Κεφάλαιο 1...Κεφάλαιο 1ο: Βασικές Έννοιες 15 3 2 1 x x x 3 2 1 y y y...

ΚΚεεφφάάλλααιιοο 11

Βασικές Έννοιες

1.1 Βασικές γεωμετρικές έννοιες

1.2 Περί ευθείας

1.3 Περί επιπέδου

1.4 Κύκλος, σφαίρα – Έλλειψη, ελλειψοειδές

1.5 Παραδείγματα

1.6 Πίνακες και Συστήματα εξισώσεων

1.7 Εισαγωγή στην αρμονική ταλάντωση

1.8 Επεκτάσεις πάνω στη συνάρτηση

1.9 Ομάδες και δακτύλιοι

1.10 Σφαιρικά τρίγωνα (σ.τ)

1.11 Μερικές χρήσιμες ιδιότητες των (σ.τ)

1.12 Βασικές έννοιες Διανυσματικού λογισμού

1.13 Εφαρμογές στην Έλλειψη

Παραδείγματα: 40 Σχήματα: 35

Τεχνολογικά Μαθηματικά & Στατιστική Ι 14

1.0 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται βασικές γεωμετρικές έννοιες από την αναλυτική γεωμετρία (ενότητες 1.1 – 1.5), αναπτύσσονται βασικές έννοιες επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος (ενότητα 1.6) και δίδεται έμφαση στο τρόπο αντιμετώπι-σης του προβλήματος της αρμονικής ανάλυσης στην ενότητα 1.7, σαν μια ενότητα – σύνδεσμο των μαθηματικών και της φυσικής εφαρμογής. Πως δηλαδή ένα φυσι-κό πρόβλημα “μαθηματικοποιείται” μέσω της έννοιας της συνάρτησης (ενότητα 1.8 γενική μορφή).

Στο κεφάλαιο αυτό επίσης αναφέρονται οι βασικοί ορισμοί οι οποίοι χρησιμοποι-ούνται για να εφοδιασθεί ένα σύνολο με μια δομή (δες ενότητα 1.9). Οι έννοιες αυτές θα χρησιμοποιηθούν στην συνέχεια. Για παράδειγμα η έννοια της ομάδας είναι χρήσιμη στον ορισμό του διανυσματικού χώρου, κεφάλαιο 5. Η έννοια του δακτυλίου και του σώματος κρίνονται βασικές για την θεμελίωση άλλων εννοιών. Γίνεται αναφορά στα διανύσματα (ενότητα 1.12), μια ιδιαίτερη αναφορά στην έλ-λειψη (ενότητα 1.13), στα σφαιρικά τρίγωνα (ενότητα 1.11 και 1.12) και γενικά επιδιώκεται να καλυφθούν βασικές εισαγωγικές έννοιες μαθηματικών που χρησι-μοποιούνται στις εφαρμογές.

1.1. Βασικές γεωμετρικές έννοιες Στην ενότητα αυτή, και στις ενότητες που ακολουθούν γίνεται μια σύντομη ανα-φορά στις βασικές έννοιες και ορισμούς από την Αναλυτική Γεωμετρία. Έτσι θα εξοικειωθεί ο αναγνώστης με τις έννοιες αυτές τις οποίες θα συναντήσει εκτενέ-στερα στην Γραμμική Άλγεβρα, όπως αναπτύσσεται εδώ στα κεφάλαια 5 και 6.

Ορισμός 1.1.1: Έστω ότι το σημείο Ο ένα σταθερό σημείο στο χώρο. Εάν έχουμε το σημείο Ρ ως ένα τυχαίο σημείο του χώρου τότε το διάνυσμα OP καλείται διά-νυσμα θέσεως του σημείου Ρ.

Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να αναφερόμαστε στο σημείο r και να εννοούμε το σημείο Ρ το οποίο έχει διάνυσμα θέσεως r, δες Σχήμα 1.1.1.

Ισχύουν τα επόμενα:

Θεώρημα 1.1.1: Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος είναι οι διαφορές των ομώ-νυμων συντεταγμένων της αρχής του διανύσματος από το τέλος του.

Θεώρημα 1.1.2: Ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε τα σημεία 1 1 1,P x y ,

2 2 2,P x y , ),( 333 yx του επιπέδου να βρίσκονται σε ευθεία είναι η ακόλουθη:

Κεφάλαιο 1ο : Βασικές Έννοιες

15

3

2

1

x

x

x

3

2

1

y

y

y

1

1

1

= 0. (1.1.1)

Θεώρημα 1.1.3: Ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε τέσσερα σημεία ),,( 1111 zyx , ),,( 2222 zyx , ),,( 3333 zyx , ),,( 4444 zyx να είναι συνεπίπεδα

είναι η ακόλουθη:

4

3

2

1

x

x

x

x

4

3

2

1

y

y

y

y

4

3

2

1

z

z

z

z

1

1

1

1

= 0. (1.1.2)

Ορισμός 1.1.2: Έστω ότι τα σημεία ,, 21 βρίσκονται σε μία ευθεία. Υπάρχει

τότε πραγματικός αριθμός k τέτοιος ώστε (P1P)=k(PP2). Ο αριθμός k καλείται

απλός λόγος των τριών σημείων ,, 21 και συμβολίζεται k ),,( 21 .

Ορισμός 1.1.3: Έστω ότι τα 4321 ,,, βρίσκονται σε έναν άξονα. Καλούμε

διπλό ή αρμονικό λόγο των σημείων 4321 ,,, , με τη σειρά που δίνονται, τον

λόγο.

)P(P

)PP(

)PP(P

)PP(P)PPPP(

23

31

421

3214321 ∙

)P(P

)PP(

24

41, όπου (ΡiΡj) το μέτρο του PiPj.

Ορισμός 1.1.4: Θα συμβολίζεται kα =(P1P2P3P4). Αν ο διπλός λόγος ισούται με kα = –1 τότε ορίζουμε ότι τα 4321 ,,, αποτελούν αρμονική τετράδα.

Ορισμός 1.1.5: Εάν η τετράδα ),,,( 4321 είναι αρμονική τότε τα 21, κα-

λούνται αρμονικά συζυγή ως προς τα 43 , και αντιστρόφως τα 43 , αρμονικά

συζυγή ως προς τα 21, .

Θεώρημα 1.1.4: Το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος έχει συντεταγμένες τα ημι-αθροίσματα των ομώνυμων συντεταγμένων των άκρων.

Εφαρμογή 1.1.1: Έστω Oxyz ένα σύστημα συντεταγμένων το οποίο μετατοπίζε-

ται παράλληλα κατά (α,β,γ) ώστε να λάβει μία νέα θέση στο χώρο '''' zyxO .


Σχήμα 1.1.1: Παράλληλη μεταφορά στο χώρο.

Αν Ρ τυχαίο σημείο με συντεταγμένες ),,( zyx στο Oxyz και )',','( zyx στο

'''' zyxO έχουμε OP OO O P . Επειδή έχουμε 0 0x x 0 0y y 0 0z z ως

μοναδιαία διανύσματα στα συστήματα συντεταγμένων Oxyz , '''' zyxO αντίστοι-χα, ισχύει η σχέση

οπότε :

'

'

'

zz

yy

xx

ή

zz

yy

xx

'

'

'

(1.1.3)

Έτσι, κατά τη παράλληλη μεταφορά των αξόνων, οι συντεταγμένες τυχαίου ση-μείου Ρ μεταφέρεται όπως στην (1.1.3).

Εφαρμογή 1.1.2: Αν tc ειναί η θερμοκρασία σε κλίμακα Celcius τότε η θερ-μοκρασία σε κλίμακα Kelvin είναι: T=tc+273.15o .

Άρα γίνεται, από μαθηματική προσέγγιση, μια “μεταφορά” του συστήματος μέ-τρησης, ενώ η φυσική ερμηνεία χρησιμοποιεί άλλο σκεπτικό.

Εφαρμογή 1.1.3: Έστω ένα σύστημα συντεταγμένων Oxy .Θεωρείται,

στροφή του άξονα Ox γύρω από το Ο με γωνία φ και του Oy με γωνία ω, ως ένα

νέο σύστημα συντεταγμένων ''' yxO με μοναδιαία διανύσματα 0 0,x y . Έστω ότι θ

η γωνία των 0 0,x y , όπου 0 0 0 0, , ,x x y y τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες

, , ,x x y y αντίστοιχα.

P(x,y,z) P΄(x΄,y΄,z΄)


17

Σχήμα 1.1.2: Στροφή συστήματος των αξόνων

Τότε αποδεικνύεται ότι:

)sin('sin'sin

sin')sin('sin

yxy

yxx. (1.1.4)

Αν το σύστημα συντεταγμένων Oxy είναι ορθογώνιο δηλαδή 2

cos'sin'

sin'cos'

yxy

yxx

(1.1.4α)

)cos(

sin

)cos(

sin'

)cos(

sin

)cos(

cos'

yxy

yxx

(1.1.4β)

Αν και το ''' yxO είναι ορθογώνιο, δηλαδή προκύπτει με στροφή γύρω από αυτή

τη γωνία και των δύο αξόνων, δηλαδή έχουμε τότε:

cos'sin'

sin'cos'

yxy

yxx

(1.1.4γ)

ή αντίστοιχα:

cossin'

sincos'

yxy

yxx

(1.1.4δ)

Αν ονομασθεί Α ο πίνακας των συντεταγμένων της στροφής τότε

P(x,y) P(x΄,y΄)


cos

sinA

sin

cos.

Ο Α είναι συμμετρικός TAA και είναι γνωστός ως πίνακας του μετασχηματι-σμού, δες και ενότητα 6.2.

Εφαρμογή 1.1.4: Είναι δυνατό να εκτελέσουμε ταυτόχρονα και τις δύο πράξεις, δηλαδή την παράλληλη μεταφορά και τη στροφή. Τότε βάσει των εφαρμογών 1.1.2 και 1.1.3 είναι:

cos'sin'

sin'cos'

yxy

yxx

(1.1.5α)

ή

' ( ) cos )sin

' ( )sin ( ) cos .

x x a y

y x a y

(1.1.5β)

Μια γενική θεωρητική προσέγγιση αναπτύσσεται στο Κεφάλαιο 6.

1.2 Περί ευθείας Ορισμός 1.2.1: Η ευθεία γραμμή ορίζεται:

α. Από ένα σημείο της, )( 11 rP και ενός διανύσματος a παράλληλο σε αυτή.

β. Από δύο σημεία )(),( 2211 rPrP που βρίσκονται πάνω σε αυτή.

Έστω μία ευθεία διερχόμενη από το σημείο )( 00 rP δηλαδή το σημείο 0P ορίζεται

από το διάνυσμα 0r , και το διάνυσμα a όπως πιο πάνω και το )(rPr ένα τυχαίο

σημείο σε αυτή.

Τα PP0 και a είναι παράλληλα άρα υπάρχει αριθμός t ώστε taPP 0 . Eίναι δε

επί πλέον 00 rrPP οπότε:

tarr 0 διανυσματική εξίσωση ευθείας (1.2.1α)


19

α

Ρ0 0r

Σχήμα 1.2.1: Ορισμός της ευθείας

Αν ορίζεται η ευθεία από δύο σημεία 21, PP τότε ως διάνυσμα παράλληλο μπορεί

να ληφθεί το 21PP οπότε είναι:

)r-t(rrr ή PtPrr 121211 (1.2.1β)

Θεωρούμε στο Oxyz σύστημα συντεταγμένων, του οποίου η αρχή συμπίπτει με

την διανυσματική αρχή, τα ),,( 1111 zyxP , ),,( 2222 zyxP , ),,( zyxP και το

διάνυσμα α με συντεταγμένες ),,( . Τότε βάσει των (1.2.1α), (1.2.1β) έχουμε:

tzz

tyy

txx

1

1

1

ή

)(

)(

)(

121

121

121

zztzz

yytyy

xxtxx

παραμετρικές εξισώσεις (1.2.1γ)

Με απαλοιφή της παραμέτρου t βρίσκουμε:

12

1

12

1

12

1111

zz

zz

yy

yy

xx

xxzzyyxx

(1.2.1δ)

γνωστές ως αναλυτικές εξισώσεις ευθείας διερχόμενες από τα ),,( 1111 zyxP ,

),,( 2222 zyxP . Στο επίπεδο οι σχέσεις απλουστεύονται ως εξής:

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx0)()()()( 1121121212 xyyxxxyxxxyy

δηλαδή της μορφής: 0 CByAx , )0,0(),( BA (1.2.2)

r


Άρα, κάθε ευθεία γραμμή έχει εξίσωση της μορφής (1.2.2) και αντίστροφα, είναι

δε πάντοτε παράλληλη προς το διάνυσμα ,B A . Δες και παράδειγμα 2.2.3.

Από την σχέση (1.2.2) προκύπτει ότι :

1

B

Cy

A

Cx

ή 1yx

(1.2.3)

όπου τα , είναι οι συντεταγμένες από την αρχή, δες Σχήμα 1.2.2.

Σχήμα 1.2.2: Εξίσωση της ευθείας

Εάν αναφερθούμε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τότε το διάνυσμα ( , )A Bn είναι

κάθετο προς την ευθεία (1.2.2) διότι: ( ) 0BA A B an . Όπως θα δούμε και στο κεφάλαιο 5 αυτό το γινόμενο παριστά το εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυ-σμάτων που, όταν είναι μηδέν, τα διανύσματα είναι κάθετα (δες και κεφάλαιο 5).

Ορισμός 1.2.2: Συντελεστής διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας λέγεται η εφαπτο-μένη της γωνίας, η οποία σχηματίζεται από την ευθεία και τον άξονα Ox . Όμοια ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος.

Από το σχήμα 1.2.3 συμπεραίνουμε:

Σχήμα 1.2.3: Συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας


21

Επειδή η ευθεία με εξίσωση 0 CByAx είναι παράλληλη προς το διάνυσμα

),( AB , ο συντελεστής κατεύθυνσης m δίδεται από τον τύπο

cos

sin

AB

Am

.

Αν δε το σύστημα των αξόνων είναι ορθογώνιο, δηλαδή 2

, B

Am ,

0B δηλαδή η εξίσωση της ευθείας σε ορθογώνιο σύστημα μπορεί να γραφτεί, αν αυτή διέρχεται από το ),( yxP : mxy : m συντελεστής κατεύθυνσης.

Αν η ευθεία διέρχεται από τα σημεία ),( 111 yxP , ),( 222 yxP τότε είναι παράλλη-

λη στο 21PP και έχει συντελεστή κατεύθυνσης 12

12

xx

yy

, οπότε ισχύει και η εξί-

σωση: )( 11 xxmyy όπου m ο συντελεστής κατεύθυνσης.

Θεώρημα 1.2.1: Έστω οι ευθείες:

0:)( 1111 CyBxA

0:)( 2222 CyBxA

Τότε:

(i) Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δύο ευθείες κάθετες είναι : 02121 BBAA ή 1 2 1m m .

(ii) Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δύο ευθείες παράλληλες είναι οι συντελεστές των αγνώστων να είναι ανάλογοι:

2

1

2

1

B

B

A

A

(iii) Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συμπίπτουν δύο ευθείες είναι:

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

Η απόσταση σημείου ),( 000 yxP από την ευθεία 0 CByAx ορίζεται από

τον τύπο:

2 20

1 2

s in sin( )( , ) .

co s( ) ( ) ( )

a aB Am ta g x a

a aO B O P P B


22

00

BA

CByAxd

. (1.2.5)

Το εξαρτάται από το σε πιο ημιεπίπεδο ανήκει το 0P , δες παράδειγμα 1.5.6.

1.3 Περί επιπέδου. Το επίπεδο είναι βασική γεωμετρική έννοια και στις εφαρμογές θεωρούνται οι το- μές επιπέδου με σφαίρα και έλλειψη που συζητούνται στην επόμενη ενότητα.

Ορισμός 1.3.1: Το επίπεδο ορίζεται:

α. Ένα σημείο του και δύο διανύσματα παράλληλα στο επίπεδο και μη συγ-γραμμικά.

β. Δύο σημεία του και ένα διάνυσμα παράλληλο στο επίπεδο και μη παράλ-ληλο στο διάνυσμα των δύο σημείων.

γ. Τρία σημεία που δεν είναι στην ίδια ευθεία.

Η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου είναι:

arrrraarr )( ή 121211 (1.3.1α)

Σχήμα 1.3.1: Ορισμός του επιπέδου.

Οπότε για τις συντεταγμένες (x,y,z), βάσει του τύπου (1.3.1α) ισχύει :


23

211

211

211

zz

yy

xx

παραμετρικές εξισώσεις, όπου

1 1 1

2 2 2

3 3 3

(α ,β ,γ )

(α ,β ,γ )

(α ,β ,γ )

1

2

3

α

α

α

ή

)()(

)()(

)()(

13121

13121

13121

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

αναλυτικές εξισώσεις

Η γενική εξίσωση του επιπέδου είναι:

0 DCzByAx (1.3.1γ)

Εάν 0,,, DCBA τότε το επίπεδο τέμνει τον άξονα στα σημεία :

0,0,

A

D

0,,0

B

D

C

D,0,0

Η ( 1.3.1γ ) λαμβάνει την μορφή:

1

C

Dz

B

Dy

A

Dx

ή 1zyx

(1.3.1δ)

όπου τα ,, ορίζονται προφανώς και είναι οι συντεταγμένες στην αρχή του επιπέδου. Η γενίκευση του θεωρήματος 1.2.1 είναι το εξής θεώρημα.

Θεώρημα 1.3.1: Έστω τα επίπεδα:

)(

)(

)(

3

2

1

E

E

E

0

0

0

3333

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

DzCyBxA

Τότε:

Συμπίπτουν εφόσον ισχύουν οι συνθήκες της μορφής :


2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A (1.3.2α)

Είναι παράλληλα μεταξύ τους όταν ισχύουν οι συνθήκες της μορφής:

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A (1.3.2β)

Ορισμός 1.3.2: Καλούμε αξονική δέσμη επιπέδων το σύνολο των επιπέδων του χώρου των διερχόμενων από την ίδια ευθεία η οποία ονομάζεται άξονας της δέ-σμης.

Αν )( 1E : 0111 DzCyBxA

)( 2E : 0222 DzCyBxA

τότε βάσει των δύο αυτών τυχαίων επιπέδων της δέσμης η εξίσωση τυχαίου επιπέ-δου αυτής είναι:

02211 EE (1.3.3) Ορισμός 1.3.3: Καλούμε κεντρική δέσμη επιπέδων το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο. Το σταθερό αυτό σημείο καλείται κέντρο της δέσμης.

Αν δοθούν τα επίπεδα )( 1E , )( 2E , )( 3E της κεντρικής δέσμης, τότε η εξίσωση

τυχαίου επιπέδου της δέσμης είναι: 0332211 EEE .

1.4 Κύκλος, σφαίρα – Έλλειψη , ελλειψοειδές Ο κύκλος (χρήσιμος όχι μόνο στην κυκλική κίνηση) και η έλλειψη, κυρίως δε το ελλειψοειδές, αποτελούν χρήσιμες γεωμετρικές έννοιες στις τεχνολογικές εφαρμο-γές. Γι’ αυτό η ενότητα 1.13 προσεγγίζει τις εφαρμογές αυτές ιδιαιτέρως.

Ισχύουν περιληπτικά τα ακόλουθα για την περιφέρεια κύκλου, δές και το Σχήμα 1.4.1:


25

Σχήμα 1.4.1: Εξίσωση περιφέρειας.

Από το σχήμα φαίνεται ότι για την περιφέρεια κέντρου C(h,k) και ακτίνας α ισχύ-ουν:

akyhx 22, άρα η εξίσωση περιφέρειας είναι:

222 akyhx : τυπική μορφή (1.4.1)

022 FEyDxyx : κανονική μορφή

222

2

2

akhF

kE

hD

(1.4.1α)

τότε το κέντρο είναι το σημείο

2,

2

ED, και η ακτίνα

2

422 FED .

Διερεύνηση:

Ι) 0422 FED : υπάρχει περιφέρεια

ΙΙ) 0422 FED : η περιφέρεια εκφυλίζεται σε σημεία

ΙΙΙ) 0422 FED : φανταστική περιφέρεια


Ορισμός 1.4.2: Δύναμη του σημείου ),( P ως προς την περιφέρεια με εξίσωση

222 akyhx ορίζεται το μέγεθος:

222 )()( akh (1.4.2)

Ορισμός 1.4.3: Έστω σφαίρα S ακτίνας R κέντρου ),,( K . Τότε η εξίσωσή

της, αν ),,( zyxP τυχαίο σημείο σε αυτή, είναι:

2222 Rzyx (1.4.3)

Η εξίσωση (1.4.3) λαμβάνει τη μορφή μετά τις πράξεις:

0222 DCzByAxzyx όπου

2222

2

2

2

D

C

B

A

(1.4.3α)

Αν ως κέντρο ληφθεί η αρχή των συντεταγμένων (αξόνων) τότε :

2222 Rzyx

Ορισμός 1.4.4: Δύναμη ενός σημείου ),,( P ως προς τη σφαίρα

2222 Rzyx ορίζετε το μέγεθος:

(ξ-α)2 + (η-β)2 + (ζ-γ)2 - R2 (1.4.4)

Αν η σφαίρα δίνεται από την εξίσωση:

0222 DCzByAxzyx (1.4.4α)

τότε η δύναμη είναι : 0222 DCBA

Εάν ένα σημείο P(x,y) διατηρεί το άθροισμα των αποστάσεων του από δύο ση-

μεία 1 2E -c,0 , E c,0 σταθερή, PE1+PE2 = 2a τότε ο γεωμετρικός τόπος αυτών

των σημείων είναι έλλειψη. Θεωρούμε την εξίσωση της έλλειψης ,12

2

2

2

b

y

a

xμε

222 cab .


27

Σχήμα 1.4.2: H Έλλειψη.

Αν είναι γνωστά τα a και b τότε προσδιορίζεται το 22 bac και ορίζεται η πο-

σότητα a

ce γνωστή ως εκκεντρότητα της έλλειψης. Η γενική θεώρηση των εξι-

σώσεων των γεωμετρικών αυτών σχημάτων, αντιμετωπίζεται στο Κεφάλαιο 6, ό-που αναπτύσσεται η γενική δευτεροβάθμια εξίσωση και τα σχετικά γενικά θεωρή-ματα, π.χ. η γενική εξίσωση της εφαπτομένης. Δες και παραδείγματα 1.5.7 και 1.5.9. Οι ‘έννοιες αυτές γενικεύονται στο Κεφάλαιο 6.

1.5 Παραδείγματα Τα πιο κάτω παραδείγματα αποσκοπούν να αποσαφηνίσουν τις γεωμετρικές έν-νοιες που αναπτύχθηκαν στις ενότητες 1.2, 1.3, 1.4.

Παράδειγμα 1.5.1: Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών:

(ε1): 3x + 2y = 5 (ε2): 6x + 4y = 7

Λύση:

Το σημείο τομής είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων

3x + 2y = 5 , 6x +4y = 7

Το σύστημα δεν έχει λύση, οπότε οι ευθείες είναι παράλληλες, γεγονός το οποίο αναμενόταν λόγω της αναλογίας των συντελεστών.

Παράδειγμα 1.5.2: Έστω η δέσμη που ορίζεται από τις ευθείες:

(ε1): 3x + 2y + 8 = 0 (ε2): 2x - 9y -5 = 0


Να βρεθεί η ευθεία της δέσμης ή παράλληλες προς την ευθεία: 6x - 2y + 11 = 0.

Λύση:

Το κέντρο της δέσμης Ο(x0,y0) έχει συντεταγμένες που δίδονται από τους τύπους:

231

62

9

2

2

3

9

2

5

8

0

x 131

31

9

2

2

3

5

8

2

3

0

y

Άρα το κέντρο είναι το σημείο Ο (-2,-1). Για τις κλίσεις των ευθειών παρατηρούμε

ότι είναι m1 = m2 = 2

6= 3. Τελικά ζητείται ευθεία που διέρχεται από το Ο και έχει

κλίση 3. Άρα:

y – y0 = m (x – x0 ) y + 1 = 3( x + 2 ) 3x + 2y + 5 = 0

Παράδειγμα 1.5.3: Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Μ1 (2,1) , Μ2 (5,3) , Μ3 (3,4) τέτοια ώστε να είναι τα μέσα πλευρών ενός τριγώνου. Να βρεθούν οι συντεταγμέ-νες των κορυφών του τριγώνου, έστω ABC.

Λύση:

Το τρίγωνο και τα μέσα του παρίστανται ως εξής:

Σχήμα 1.5.1: Παράδειγμα 1.5.3.

Από τον ορισμό του μεσαίου σημείου, πρέπει να λυθεί το σύστημα :

52

21 xx

32

31 xx

22

32 xx

32

21 yy

42

31 yy

12

32 yy

Επιλύστε το.

Παράδειγμα 1.5.4: Να προσδιοριστεί η σταθερά k με τρόπο ώστε οι ευθείες


29

2x - 3y - 4 = 0, 4x + ky - 2 = 0, 3x - 5y + 6 = 0 να ανήκουν σε δέσμη.

Λύση:

Η αναγκαία και ικανή συνθήκη να διέρχονται και οι τρεις ευθείες από κοινό ση-μείο είναι:

4

50

653

24

432

kkD .

Παράδειγμα 1.5.5: Να δείξετε ότι τα ύψη παντός τριγώνου διέρχονται από ένα κοινό σημείο

Λύση:

Έστω το τρίγωνο ABC και τα ύψη του CF, BE, 0D. Τότε οι εξισώσεις των ευθυ-γράμμων τμημάτων είναι:


CB :

b

by

ac

ax bx + (c-α) y – cb = 0 .

Είναι γνωστό ότι η κλίση της AD (επειδή είναι κάθετα στη CB):

b

ac

ac

bmmmm

111

11 .

Η AD διέρχεται από το σημείο (0,0) , είναι γνωστή και η κλίση της άρα υπολογί-ζεται:


AD : 0)(

byxacyxb

ac.

CA : 0

aybxb

by

a

ax άρα

a

bm . Οπότε: με

ΒΕ : b

a

a

bmcx

a

by

1)(0 1 .

ΒΕ : αy – bx + bc = 0.

CF : x = α.

Για να διέρχονται τα ύψη από αυτό το σημείο , πρέπει η ορίζουσα D = 0 με

0

01

0

a

acba

bac

D .

Παράδειγμα 1.5.6: Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας της παράλληλης προς την ευθεία 5x+12y-12=0 η οποία βρίσκεται σε απόσταση 4 από αυτή.

Λύση:


5212125413

12125

125

1212511

11

22

11

yx

yxyxd

Επειδή είναι ευθείες παράλληλες έχουν την ίδια κλίση: 12

5m .

Άρα, η εξίσωση εκείνης που διέρχεται από το 1 1,x y είναι:


31

0)125(125551212)(12

5111111 yxyxxxyyxxyy

Παράδειγμα 1.5.7: Να βρεθεί εξίσωση ευθείας η οποία είναι εφαπτομένη στον κύκλο: x2 + y2 + 4x – 6y + 8 = 0 στο δοθέν σημείο (-3,5).

Λύση:

Το ακόλουθο σχήμα περιγράφει τα δεδομένα :


Είναι: D = 4, E = -6, F = 8 σύμφωνα με τον συμβολισμό της ενότητας 1.4, σχέ-σεις (1.4.1α). Άρα

(x-2) 2 + (y-3) 2 = 5 οπότε C (-2,3).

Έστω τώρα ότι η CA έχει κλίση m1: 21

11

xx

yym .

Άρα η κλίση της PA έστω 2

12 m και όπου πρέπει m1·m2 = -1, ως κάθετες.

Τελικά: 0723102)3(2

15 xyxyxy .

Παράδειγμα 1.5.8: Δίνεται η εξίσωση 2x2 + 2y2 –3x + 4y – 7 = 0. Να γραφεί υπό την τυπική μορφή.

Λύση :

Ισχύει: 02

72

2

322 yxyx .

Οπότε με τον συμβολισμό (1.4.1α) είναι


4

4)

2()

2(

2222 FEDE

yD

x

κλπ.

Παράδειγμα 1.5.9: Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ της ευθείας (ε):

zyx

2

8

2

0 και της τομής των ευθειών

(ε1): zyx

3

2

3

1, (ε2): 1

3

1

2

z

yx.

Λύση:

Τίθεται zyx

3

2

3

1 = t και 1

3

1

2

z

yx = τ.

Οπότε : x = 3t + 1 x = 2τ

y = 3t + 2 y = 3τ – 1

z = t z = τ – 1

Άρα: 3t + 1 = 2τ , 3t + 2 = 3τ – 1 t = 1 , τ = 2

οπότε: t = τ – 1 , x = 4 , y = 5 , z = 1.

Άρα το σημείο τομής των(ε1), (ε2): Ρ (4,5,1) και 3

210

144

6436100

d .

Παράδειγμα 1.5.10: Nα προσδιοριστεί το σημείο τομής της ευθείας (ε):

2

4

3

2

3

12 zyx

με το επίπεδο (Ε) : 7x + 9y + 2z = 1

Λύση:

Τίθεται tzy

2

4

3

2

3

1-2x.

Όπου 2

13tx

, y = -3t + 2, z = 4 – 2t.

Οι τιμές επαληθεύουν το (Ε): 1t12t)-2(4-2)t3(9)2

1t3(7

.


33

Άρα x = 2 , y = -1 , z = 2 με Ρ (2,-1,2) το σημείο τομής.

Παράδειγμα 1.5.11: Ποια είναι η καμπύλη που στο τυχαίο σημείο της έστω P(x,y) οι συντεταγμένες x και y πληρούν τις σχέσεις (γνωστές σαν παραμετρικές

εξισώσεις): x=cost y=1-cos2t .

Λύση:

Είναι 2y=1-cos2t=2-2x .Επί πλέον 1cos1 tx από τον ορισμό του συνη-

μίτονου και άρα 20 y . Οπότε στη γραφική παράσταση της 2y=2-2x (παρα-

στήσατε την) η τομή με τον άξονα x x είναι τα σημεία, έστω, Α΄(-1,0) και Α(1,0) τα οποία αντιστοιχούν σε t = π,0 αντίστοιχα. Στον άξονα των Oy η τομή είναι το

σημείο Β(0,2), έστω, το οποίο αντιστοιχεί στην τιμή 2

t .

Παράδειγμα 1.5.12: Η εκκεντρότητα της Γης είναι 0,02 της Αφροδίτης 0,01, του Άρη 0,09, του Πλούτωνα 0,25.

Παράδειγμα 1.5.13: Η τροχιά του κομήτη Κόχουτεκ έχει πλάτος περί τις 44 ΑU

(Astronomical Units = αστρονομική μονάδα 610*6.92 miles) και μήκος περί τα 3600 ΑU. Η εκκεντρότητα της τροχιάς υπολογίζεται τότε ως εξής :

Λύση:

Είναι από τα δεδομένα

2a = 3600, 2b = 44.

999.01800

)22()1800( 22222

a

ba

a

ce .

Δες και παράδειγμα 2.2.2.

1.6 Πίνακες και Συστήματα Εξισώσεων. Η έννοια του πίνακα παίζει ένα σπουδαίο ρόλο στα μαθηματικά. Δεν είναι μόνο η κομψή εμφάνιση δεδομένων και αποτελεσμάτων που καθιστά χρήσιμους τους πί-νακες, μα είναι και η ιδιότητα τους να αποτελούν το μέσο έκφρασης των γραμμι-κών μετασχηματισμών. Βέβαια η άλγεβρα των πινάκων διαφέρει ουσιωδώς της άλγεβρας των αριθμών, παρ’ όλο που και οι αριθμοί είναι ένας πίνακας 1×1. Την ειδοποιό διαφορά παρέχει το (γνωστό ως) θεώρημα των Galey-Hamilton. Η κομψή εμφάνιση πολύπλοκων συστημάτων είναι αποτέλεσμα χρήσεως πινάκων όπου και κατά κόρον χρησιμοποιούμε τους πίνακες, δες Κεφάλαια 5-7. Γι’ αυτό αναφέρουμε


πριν από την επίλυση συστημάτων, τους πίνακες, αναφέροντας ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες.

Ορισμός 1.6.1 Η διάταξη Α= 11 12 .... 14

.

.

.m1 m2 mn

α α α

α α α

καλείται m x n πίνακας. Όταν

m=n ο πίνακας καλείται τετραγωνικός.

Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα n×n αντιστοιχείται ένας αριθμός που καλείται ορίζου-σα του πίνακα.

Για τον πίνακα , 1,2, 1,2ijA a i j η ορίζουσα του Α είναι

11 22 12 21det A a a a a . Για έναν 3x3 πίνακα είναι:

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

Αν οι στήλες του πίνακα γίνουν γραμμές και οι γραμμές στήλες τότε ο πίνακας κα-λείται συμμετρικός του Α και συμβολίζεται ΑΤ.

Πρόταση 1.6.1: Ο πίνακας TA A είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος

nxnA (όπου nxn πίστα το σύνολο των nxn πινάκων).

Απόδειξη:

i) AAAAAA TTTTTT )()( : άρα συμμετρικός.

ii) Πρέπει να δειχθεί ότι 0)-(Rx η ποσότητα

T Tx A Ax 0 . Είναι

2TT T T T

2x A Ax x A Ax Ax Ax Ax 0

.

Όμως Αx = 0 θα ισχύει μόνο όταν nx 0 αφού 0A (δηλαδή το σύστημα

επιδέχεται μόνο τη μηδενική λύση). Όμως 0x άρα Αx = 0 οπότε

0AxAx TT .

Πρόταση 1.6.2: Η ορίζουσα τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των διαγω-νίων στοιχείων του.

Απόδειξη:


35

Επαγωγικά

(i) Με ν=2 1121 11 22

21 22

0a

A a a aa a

(ii) Με ν=ν-1

(i) Αποδεικνύουμε ότι ισχύει με .

1122

21 22

11 32 33 11 11

222 1 111

3......2

2 11

K Kv v vv

v v vv

v v v v vv

v v

kk kka a a a a

(1.6.1)

Η έννοια της norm πίνακα εισάγεται συμβιβαστικά με τη διανυσματική norm (δες Κεφάλαιο 5). Ως εφαρμογή δείχνουμε τη συμβιβαστικότητα της «φυσικής» norm μετά της 1l .

Παράδειγμα 1.6.1: Του πίνακα

2

1

2

5

2

0

2

1

1

A βρίσκουμε τις norm

1, .

Ορίζονται

ij

ijj

a 75,7,4maxmax:A1

(column row)

Είναι 99,4,3maxmax:A ij

iji

a (row norm)

Από το παράδειγμα 1.6.1 φαίνεται ο τρόπος ορισμού μιας μορφής μέτρου (norm) ενός πίνακα.

Πρόταση 1.6.4: Ισχύουν:


1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x 2x 3x 3

4x 7x 7x 1

2x 4x 5x 7

(i) || || || ( ) || || || || ||

(ii)

A A B B A B B A B A B

A B A B

B B A A B A A B A A B

(iii) 1

|| |||| || || || || ||

|| ||

xx x

Ό-ντως

1 1 1

1

xAx Ax x A Ax x A Ax A Ax Ax A

A

(iv) A

AA

1

1)1(

1

1 1 .

Όντως:

A1

1A)(IA*A)(IA)I(A)I(A)I(1I 1-1-1-1-1-

A

και

1-1-1-1- I)A(A1

1I)(AI)A(I)(AIAI)(A*I)A(I1

(v)

1 1I A , A 1

1 A

. (1.6.2)

Παράδειγμα 1.6.2: Το σύστημα να επιλυθεί με τις παρακάτω μεθόδους:


37

α) Gauss

β) Με χρήση πινάκων μετασχηματισμού

γ) Με παραγοντοποίηση του Α.

Λύση:

Α)

άρα

β)

Μ1

10

1

1

1

1

3

2 =

101

12

1

1

1 2 2 3 2 2 3

M A 2 1 4 17 7 0 3 1

1 0 1 2 4 5 0 6 8

1

1 3 3

M B 2 1 1 5

1 0 1 7 4

(1)

2 (1)12

32

u

1 1M = 0 1 1 0 1 λκ 2 u 3,...

0 0 2 1

uaa

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 2 3

1 2 3 2 3 3

2x 2x 3x 3 2x 2x 3x 3 2x 2x 3x 3

1 64x 7x 7x 1 3x x 5 3x x 5

2 32

2x 4x 5x 7 6x 8x 4 6x 62

Tx 2, 2, 1


2 1

2 2 3 2 2 31

M M A 0 1 0 3 1 0 3 1

0 2 1 0 6 8 0 0 6

2 1

3

M M B 5

6

οπότε

1

2

3

2 2 3 x 3

3 1 x 5

6 x 6

άρα (2, 2,1)Tx .

γ)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 2 3 1 υ υ υ

4 7 7 1 0 υ υ

2 4 8 1 0 0 υ

11 12 13

11 21 12 21 22 13 21 23

11 31 12 31 22 32 13 31 23 32 33

υ υ υ

υ υ υ υ υ

υ υ υ υ υ υ

.

Από το δημιουργούμενο σύστημα είναι:

2 2 3 2 0 0 2 2 3

4 7 2 4 1 0 0 1 5 L U

2 4 8 2 8 1 0 0 2y

Υπολογίζουμε διάνυσμα y εκ της σχέσεως Ly και κατόπιν από τη σχέση

Ux y υπολογίζουμε το x δηλαδή.LUx

LyUx y

.

Παράδειγμα 1.6.3: Να λυθεί με την απαλοιφή του Gauss (η μέθοδος αναπτύσσε-ται μόνο μέσω του παραδείγματος) το σύστημα:


39

1 1 2

2 1 2 3

3 2 3 4

4 3 4 5

5 4 5

ε : 2x x 1

ε : x 2x x 0

ε : x 2x x 1

ε : x 2x x 1

ε : x 2x 0

Λύση:

1ο βήμα:

1 2

i11 2 2 3

11

2 3 4

3 4 5

4 5

1 1x x

2 2α 1 3 1

ε ε x xα 2 2 2

x 2x x 1

x 2x x 1

x 2x 0

2ο βήμα :

1 2

2 3

3 4

3 4 5

4 5

1x x 1

22

x x 034

x x 13

x 2x x 1

x 2x 0

3ο βήμα:


1 2

2 3

3 4

4 5

4 5

1 1x x

2 22 1

x x3 2

3x x 1

45

x x 14

x 2x 0

4ο βήμα:

1 2 1

2 3 2

3 4 3

4 5 4

5 5

1 1x x x 1

2 22 1

x x x 13 3

3x x 1 x 1

44

x x 0 x 056

x 0 x 05

άρα Txxxxxx )0,0,1,1,1(),,,,( 54321 .

Παράδειγμα 1.6.4: Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα

5 1 1

A 1 5 1

1 1 5

,

δηλαδή εκείνος ο πίνακας 1 τέτοιος ώστε 1 1 , όπου Ι ο μο-ναδιαίος πίνακας.


41

Λύση:

Έχουμε: 11 12 13

21 22 22

31 32 33

5 1 1 x x x 1 0 0

1 5 1 x x x 0 1 0

1 1 5 x x x 0 0 1

. Άρα επιλύονται τα

συστήματα της μορφής Ax(r)= er, r=1,2,3 με er το μοναδιαίο διάνυσμα με μονάδα στη θέση r .

11 21 311

5

11 21 31

11 21 31

r j 5x x x 1

x 5x x 0

x x 5x 0

11 21 31

21 31

21 31

1 1 1x x x5 5 524 4 1x x5 5 54 24 1x x5 5 5

Με

11 21 31

21 31

31

1 1 1x x x5 5 54 4 1x x5 30 30

140 5x30 30

άρα:

11 21 316 1 1x x x28 28 28

Όμοια με:

12 22 32

13 23 33

61 1r 2 x , x , x28 28 2861 1r 3 x , x , x28 28 28


286

281

281

281

286

281

231

281

286

A 1-

Εφαρμογή 1.6.5: Στη θεωρία πολυωνυμικής προσέγγισης η ορίζουσα του Vandermonde :

n

n

n

n

1

0

2n

21

20

n

1

0

n10

x

...

x

x

...x

...

...x

...x

x

...

x

x

1

...

1

1

:)x...,,x,V(x

παίζει ένα σπουδαίο ρόλο, γι’ αυτό και την υπολογίζουμε (επαγωγικά). Έστω, αρ-χικά ότι:

011

010 x-x

x

x

1

1:)x,V(x

22

21

20

2

1

0

210

x

x

x

x

x

x

1

1

1

:)x,x,V(x

Έστω x2=x και θεωρούμε την συνάρτηση

2

21

20

1

0

10

x

x

x

x

x

x

1

1

1

:x),x,V(x

Το V(x0, x1, x) είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού ως προς x δηλαδή 2

0 1 2 1 0V(x ,x ,x)=α x +α x+α και επειδή V(x0,x1,x1)=0 και V(x0,x1,x0)=0 τα x0,x1

είναι ρίζες του πολυωνύμου V(x0,x1,x) άρα είναι δυνατόν να γραφεί ως:

V (x0,x1,x) = α2(x-x0)(x-x1)

Το α2 είναι συντελεστής του x2, άρα από την ανάπτυξη της ορίζουσας V(x0, x1, x):


43

01101

02 x-x)x,V(x

x

x

1

1α

Οπό-τε

))()((),,())()((),,( 021201210100110 xxxxxxxxxVxxxxxxxxxV

2

1

)(ji

ji xx

Στο δεύτερο βήμα της επαγωγής:

0 1 1 1 0 2 0 2 1 3 0 1 2

1

( , ,..., ) ( )( )( )( )...( )

( ).

n n n

n

i ji j

V x x x x x x x x x x x x x

x x

Οπότε η n-τάξεως ορίζουσα του Vandermonde V(x0, x1,…, xn) θεωρούμενη ως συ-νάρτηση του xn=x.

V(x0, x1, …, xn-1, x) μηδενίζεται για x0, x1,…, xn-1 άρα έχει ως ρίζες τα x0, x1,…, xn-1 ήτοι:

))...()((),,...,,( 10110 nnn xxxxxxaxxxxV .

Όμως αn είναι ο συντελεστής του xnn άρα από την ανάπτυξη της ορίζουσας ο συ-

ντελεστής του xnn είναι:

2 10 0 0

2 11 1 1

2 1n-1 2 n-1

x1 x ... x

x1 x ... xα

...... ... ...

x1 x ... x

n

n

n

n

.

Άρα V(x0, x1,…, xn-1, x)=V(x0, x1, …, xn-1)(x-x0)…(x-xn-1)= ( ).n

i ji j

x x

Στη συνέχεια αναφέρεται μια ενότητα που συνδέει τα Μαθηματικά με την Φυσική (και αντίστροφα).


1.7 Εισαγωγή στην Αρμονική Ταλάντωση.

Στα επόμενα συζητιούνται οι πρώτες έννοιες που συνδέουν τα μαθηματικά με τις εφαρμογές και συγκεκριμένα την φυσική. Πως δηλαδή μια συνάρτηση μπορεί να περιγράψει ένα φαινόμενο, εδώ φυσικό φαινόμενο. Είναι ίσως η φυσική ένας ευ-ρύτατος ερευνητικός χώρος εφαρμογής των μαθηματικών και ταυτόχρονα τροφο-δοτεί τα μαθηματικά με νέες ιδέες π.χ. οι πίνακες. Ποιο κάτω αναφέρεται και η «φυσική» σημασία κάθε βήματος.

Ορισμός 1.7.1: Μηχανικό κύμα λέγετε κάθε διαταραχή μέσα σ’ ένα ελαστικό μέσο, η οποία μεταφέρει ενέργεια και ορμή με καθορισμένη ταχύτητα. H ταχύτη-τα διάδοσης του κύματος είναι σταθερή και υπολογίζεται από τη σχέση:

υ =x

t (1.7.1)

όπου x είναι η απόσταση του κύματος από την πηγή και ο χρόνος διάδοσης.

Σημειώνονται περιληπτικά τα ακόλουθα που πρέπει να γνωρίζει ο αναγνώστης ο οποίος δυνατόν να χειρίζεται το μαθηματικό μέρος, πρέπει όμως να αντιλαμβάνε-ται και το φυσικό:

1. Φαινόμενα όπως η ανάκλαση, η διάθλαση και η συμβολή παρατηρούνται και στα μηχανικά και στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

2. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος δεν εξαρτάται από το πόσο ισχυρή εί-ναι η διαταραχή αλλά μόνο από τις ιδιότητες του μέσου που διαταράσσε-ται.

3. Η ταχύτητα του κύματος είναι σταθερή σε αντίθεση με την ταχύτητα με την οποία κινούνται τα σημεία του μέσου γύρω από τη θέση ισορροπίας τους, που δεν είναι σταθερή.

4. Κατά την διάδοση ενός κύματος δεν υπάρχει μεταφορά ύλης από μία πε-ριοχή του ελαστικού μέσου σε μία άλλη.

5. Ελαστικό μέσο θεωρείται η περιοχή ενός χώρου με την ιδιότητα να εμφα-νίζει κοινές ιδιότητες σε κάθε σημείο και να είναι συνεχής.

6. Η ενέργεια στα κύματα είναι η κινητική και η δυναμική ενέργεια της ύ-λης.

7. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται και στο κενό με ταχύτητα c = 3 · 108 m /s σε αντίθεση με τα μηχανικά.

8. Στην περίπτωση που η πηγή εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση (γ.α.τ.) τότε το κύμα λέγεται αρμονικό.


45

9. Η συχνότητα του κύματος και η συχνότητα της ταλάντωσης των μορίων ταυτίζονται.

10. Τυχαία διαταραχή μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων.

Όλα αυτά αποτελούν για τον Μαθηματικό τις «υποθέσεις» για την α-ναφορά σε κάποιο «μοντέλο», δηλαδή μια εξίσωση τελικά, που περι-γράφει το φαινόμενο, δες (1.7.3).

Ανάλογα με το είδος της ενέργειας που μεταφέρουν τα κύματα τα διακρίνουμε σε δύο κατηγορίες.

I . Μηχανικά κύματα τα οποία διαδίδονται σε υλικά μέσα και μεταφέρουν

μηχανική ενέργεια από σημείο σε σημείο του μέσου. Αυτά διακρίνονται σε:

I.i . Γραμμικά (διάδοση σε μία διάσταση π.χ. νήμα),

I.ii. Επιφανειακά (διάδοση σε δύο διαστάσεις π.χ. επιφάνεια υγρού),

I.iii. Κύματα χώρου (διάδοση σε όλες τις διευθύνσεις π.χ. ήχος-φως), και

II. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα που μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητι-κού πεδίου.

Τα κύματα ανάλογα με τον τρόπο διάδοσης διακρίνονται σε:

1. Εγκάρσια λέγονται τα κύματα στα οποία τα υλικά σωματίδια (μόρια) του ελα-στικού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Διαδίδονται μόνο στα στερεά και κατά προσέγγιση στην επιφάνεια των υγρών και δημιουργούν όρη και κοιλάδες.

Σχήμα 1.7.1: Εγκάρσιο κύμα

2. Διαμήκη λέγονται τα κύματα στα οποία τα υλικά σωματίδια (μόρια) του ελαστι-κού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση παράλληλη στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Διαδίδονται και στις τρεις καταστάσεις και δημιουργούν πυκνώματα και αραιώματα


Σχήμα 1.7.2: Διαμήκη κύματα

Τα εγκάρσια δημιουργούν όρη και κοιλάδες, δηλαδή παραμορφώνουντο ελαστικό μέσο στο οποίο διαδίδονται, χωρίς να αλλάξουν τον όγκο αλλά μόνο το σχήμα και αυτή την ελαστικότητα την παρουσιάζουν μόνο τα στερεά (και κατά προσέγγιση η επιφάνεια υγρών) διαδίδονται μόνο σε αυτά. Τα διαμήκη κύματα δημιουργούν πυ-κνώματα και αραιώματα, δηλαδή τοπικές μεταβολές της πυκνότητας του μέσου κάτι που μπορεί να συμβεί στις τρεις καταστάσεις ύλης .

Συχνότητα κύματος f είναι η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής η οποία είναι ανε-ξάρτητη από το μέσο διάδοσης.

Ορισμός 1.7.2: Περίοδος Τ ενός κύματος ονομάζετε το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνει την κίνηση του, που είναι αρμο-νική ταλάντωση.

Ορισμός 1.7.3: Μήκος κύματος λ λέγεται η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου ή ισοδύναμα, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται κατά την ίδια φορά.

Σχήμα 1.7.3: Συχνότητα περιόδου κύματος

Σημειώνεται ότι :

· Η συχνότητα κύματος δεν αλλάζει καθώς το κύμα αλλάζει μέσο.

· Η ταχύτητα και το μήκος κύματος ενός κύματος εξαρτώνται από το μέσο στο οποίο διαδίδονται.


47

Από την εξίσωση ταχύτητας διάδοσης κύματος , δες (1.7.1) αν θεωρήσουμε χρόνο t ίσο με το χρόνο μιας περιόδου Τ, τότε η απόσταση x που διαδίδεται το κύμα είναι ίση με το μήκος κύματος λ, άρα

υ = T

λ άρα υ = λ · f , Τ =

1

f (1.7.2)

Για να δημιουργηθεί αρμονικό κύμα θα πρέπει η πηγή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρούμε ότι υπάρχει πηγή στην αρχή του άξονα xx’. Τη χρονική στιγμή to = 0 η πηγή αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = A · sinωt, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης της πηγής και ωt η φάση.

Σχήμα 1.7.4: Αρμονικό κύμα

Ένα σημείο Μ που βρίσκεται δεξιά του σημείου Ο και απέχει από την πηγή από-

σταση x θα αρχίσει να εκτελεί ταλάντωση μετά από χρόνο U

x = t1 με U τη ταχύ-

τητα του κύματος και 1t ο χρόνος που χρειάζεται να μεταβεί το κύμα από την πηγή στο σημείο Μ. Άρα την χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας του θα είναι ίδια με την απομάκρυνση του Ο πριν το χρόνο t1 δη-λαδή t –t1. Έτσι η απομάκρυνση του Μ θα δίνεται για χρονική στιγμή t από την εξίσωση:

)t-(t sinω Ay 1 (1.7.3)

όπου: Α είναι το πλάτος της ταλάντωσης των μορίων του μέσου που είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης της πηγής και y είναι η απομάκρυνση των μορίων (υλι-κών σωματιδίων) του ελαστικού μέσου από τη θέση ισορροπίας που με τη βοή-

θεια των σχέσεων : ω = Τ

π2 ,

U

xt1 και

λ

λfU η (1.7.3)γράφεται


UTT

tsin2πA

U

x-t

T

2πsinAy

x

λ

x

T

tsin2πA (1.7.4)

t είναι η χρονική στιγμή που μελετάτε.

x είναι η απόσταση του υλικού σωματιδίου από την αρχή των αξόνων.

Τα εξής θα πρέπει να έχει υπόψη του ο αναγνώστης:

(i) Η εξίσωση (1.7.4) ισχύει όταν το κύμα διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά. Αν το κύμα κινείται αντίρροπα του άξονα x (από δεξιά προς τα αριστερά) τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

λ

x

T

tsin2πAy (1.7.4α)

(ii) Στην εξίσωση του αρμονικού κύματος η απομάκρυνση y είναι αρμο-νική συνάρτηση τόσο του χρόνου t, όσο και της απόστασης x από την πηγή, ),( txyy .

(iii) Ο παράγοντας

λ

x

T

t2πφ (1.7.4β)

με διαστάσεις γωνίας (rad) λέγεται φάση

και εξαρτάται από τις μεταβλητές: t (αυξάνεται με τον χρόνο) και

την απόσταση x του σημείου από το Ο (ελαττώνεται όσο

αυξάνεται το x).

(iv) Εάν η πηγή που παράγει το αρμονικό κύμα έχει αρχική φάση τότε η εξίσωση του αρμονικού κύματος θα έχει τη μορφή:

π2

φ

λ

x

T

tsin2πAy

ο (1.7.4γ)

Το διάγραμμα της προηγούμενης εξίσωσης ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος και φαίνεται παρακάτω στο Σχήμα 1.7.5.


49

Σχήμα 1.7.5 : Στιγμιότυπο κύματος

Παράδειγμα 1.7.1: Στο διάγραμμα 1.7.6 παρουσιάζονται στιγμιότυπα αρμονικού

κύματος κατά τις χρονικές στιγμές 4

T,

2

T,

4

3T, Τ.

Σχήμα 1.7.6: Στιγμιότυπο αρμονικού κύματος

Η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του μέσου που απέχουν μεταξύ τους απόστα-ση d για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t, χρήζει ιδιαίτερης προσοχής. Αν το σημείο


Μ απέχει από την πηγή απόσταση x1 ενώ την ίδια χρονική στιγμή το σημείο Ν απέ-χει από την πηγή x2, τότε οι φάσεις των σημείων Μ και Ν είναι αντίστοιχα:

πηγή M N

x1

x2

Σχήμα 1.7.10 : Διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων

φ1 = 2π [T

t -

λ1x

] = T

tπ2 -

λ

π2 1x.

φ2 = 2π [T

t -

λ2x

] = T

tπ2 -

λ

π2 2x.

Άρα η διαφορά φάσης τους Δφ θα είναι: Δφ = φ1 - φ2

Παράδειγμα 1.7.2: Ποια η διαφορά φάσης για το σημείο Κ ενός ελαστικού μέσου

σε δύο χρονικές στιγμές t1 και t2 όταν είναι γνωστά τα Τ , λ.

Έστω το σημείο Κ που απέχει από την πηγή απόσταση x. Τότε σύμφωνα με τα πα-ραπάνω η φάση του είναι αντίστοιχα τις χρονικές στιγμές

φ1 = 2π [T

t1 - λx

] = T

t1π2 -

λπx2

.

φ2 = 2π [T

t2 - λx

] = T

t 22 π -

λπx2

.

Δφ = T

π2Δt .

Εφαρμογή 1.7.3: Εξίσωση του Newton (παραλείπεται σε πρώτη ανάγνωση, δες

κεφάλαιο 4). Εάν θεωρηθεί η δύναμη F που εφαρμόζεται σε ένα παλλόμενο σύ-στημα και έστω k η σταθερά του ελατηρίου επαναφοράς και m η μάζα του παλλό-μενου σώματος, τότε:

d


51

(i) Επειδή F m x

, και F=-kx ισχύει: m x kx 0

, x=x(t), dx(t)

xdt

Τότε η ιδιοσυχνότητα (σε Hz) του παλλόμενου συστήματος που πρακτικά σημαίνει το πλήθος των ταλαντώσεων στην μονάδα του χρόνου υπολογίζεται ως

m

k

2π

1f .

(ii) Αν θεωρηθεί α ο συντελεστής απόσβεσης (Kg/s) τότε για το παλλόμενο σύστη-

μα με απόσβεση α ισχύει: m α kx 0x x

Τότε η ιδιοσυχνότητα είναι:

2

2m

α

m

k

2π

1f

.

(iii) Επειδή η λύση στο (i) είναι

2 2x αsin(ωt) τότε U x(t) -ωαcos(ωt), α x(t) -ω αsin(ωt) -ω x.

Παράδειγμα 1.7.4: Ποιά η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου, αν εντός ελαστικού μέσου διαδοθεί το αρμονικό κύμα της μορφής (1.7.4) δηλαδή

y = A ·sin2π[T

t -

λx

] .

(Στηρίζεται σε γνώση της παραγώγου, δες κεφάλαιο 3). Τότε η ταχύτητα και η επι-τάχυνση της ταλάντωσης δίνονται από (δες και Παράδειγμα 1.7.3):

υ = ω·Α·cos2π [T

t -

λx

] με υmax = ω·Α.

α = - ω2·Α·sin2π [T

t -

λx

] με αmax = ω2·Α.

Η ταχύτητα συνδέεται με την απομάκρυνση: υ = ±ω· 2 2A y .

Αν η αρχική φάση είναι φ0, στην απομάκρυνση, τότε αυτή θα εμφανίζεται και στις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης:

υ = ω·Α·cos2π[T

t -

λx

+ π2

φ0 ]


α = - ω2 sin2π[T

t -

λx

+ π2

φ0 ] .

Εφαρμογή 1.7.5: Σύνθεση δυο ταλαντώσεων. Δύο ταλαντώσεις με τυχαία δια-φορά φάσεως φ είναι κίνηση σε ελλειπτική τροχιά.

Λύση:

Έστω δύο ταλαντώσεις με διαφορά φάσης φ, x=αsinωt, y=αsin(ωt+φ). Τότε:

cosωtsinφφcosωtsinα

y ,ωt sin

α

x .

Επειδή cosωt = 2

22

α

x1ωt sin1 τότε:

2

2

α

x-1sinφ φcos

α

x

α

y .

Η εξίσωση αυτή παριστά έλλειψη, δες ενότητα 1.4. Επί πλέον ισχύουν:

(i) αν φ=0ο τότε y = x

φ=180ο τότε y = -x

(ii) αν φ=90ο ή 270ο τότε

2

2 2 22

y x1 y x α .

α α

Με βάση τα πιο πάνω ποια η σύνθεση δύο αρμονικών ρευμάτων;

Εφαρμογή 1.7.6: Ηλεκτρισμός

(i) Ένα κύκλωμα το οποίο τροφοδοτείται με εναλλασσόμενη τάση U=U0sinωt διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα I=I0sin(ωt-φ)

Η ισχύς που καταναλίσκεται τότε είναι P = U0I0sin(ωt)sin(ωt-φ) .

Αποδεικνύεται ότι με 2

UU,

2

Ii 0

εν0

εν τότε η μέση ισχύς είναι:

φcosUiP ενεν

-

(ii) Στα τριφασικά ρεύματα έστω


53

i1=I0sin(ωt) , i2=I0sin(ωt+120o) , i3=I0sin(ωt+240o) οπότε iολ=i1+i2+i3=I0[sin(ωt)+sin(ωt+120o)+sin(ωt+240o)]=I0.0 = 0.

Παράδειγμα 1.7.7: Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου κατά την διεύθυνση του άξονα του x. Δύο σημεία Μ, Ν του μέσου σε ορι-σμένη χρονική στιγμή t έχουν φάσεις λόγω της ταλάντωσής τους, φΜ και φΝ αντί-στοιχα με φΜ < φΝ. Πως διαδίδεται το κύμα από το σημείο Μ προς το σημείο Ν ή αντίστροφα;

Λύση:

(i) Έστω ότι το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά. Τότε θα έχει εξίσωση:

y = A ·sin2π[T

t -

λ

x] . Τότε για τα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα:

φΜ = 2π[T

t -

λMx

] , φΝ = 2π[T

t -

λNx

].

Είναι:

φΜ < φΝ άρα 2π[T

t -

λMx

] < 2π[T

t -

λNx

] ↔ xM > xN .

Άρα το Ν είναι πιο κοντά στην πηγή και το κύμα διαδίδεται από το Ν στο Μ.

Αν το κύμα διαδιδόταν κατά την αρνητική φορά τότε:

y = A ·sin2π [T

t +

λx

].

Οπότε για τα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα είναι:

φΜ = 2π[T

t +

λ

Mx] , φN = 2π[

T

t +

λNx

] .

Επειδή φΜ < φΝ άρα θα είνα xM < xN..

Άρα το σημείο Μ είναι πιο κοντά στην αρχή των αξόνων και το κύμα διαδίδεται από το Ν προς το Μ.

Αυτή ακριβώς η φυσική ερμηνεία των μαθηματικών εννοιών είναι ένα έξοχο παρά-δειγμα χρήσης των μαθηματικών στην τεχνολογία, και γι’ αυτόν τον σκοπό εργάστη-κε ο Lord Kelvin . Παρακάτω ακολουθούν και άλλα παραδείγματα με το ίδιο σκε-πτικό.


Παράδειγμα 1.7.8: Μια πηγή βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και εκτελεί αρμο-νική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t = 0 έχει απομάκρυνση y = 0,1 m. Η πηγή δημιουργεί αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του

άξονα x’x και έχει πλάτος Α = 0,1 m, μήκος κύματος λ = 0,4 m και συχνότητα f = 4 Hz. Να βρείτε:

Ι. Την περίοδο και την κυκλική συχνότητα του κύματος.

ΙΙ. Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ΙΙΙ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

Λύση:

Είναι διαδοχικά:

Ι. Τ = f

1 =

4

1s, ω =

T

π2 =

4

1π2

= 8π rad/s.

ΙΙ. υ = λ·f = 0,4·4 s

m = 1,6

s

m .

ΙΙΙ. Επειδή η πηγή για t = 0 έχει y = 0,1 m είναι sinφο =1 → φο = 2

π rad.

Άρα η εξίσωση του κύματος είναι:

y = A · sin2π [T

t -

λx

+ π2

φ 0 ] → y = 0,1·sin2π [ 4t – 2.5x + 4

1] .

Εφαρμογή 1.7.9: Ακουστική 1. Στην περίπτωση μιας εξαναγκαστικής ταλάντω-σης χωρίς απόσβεση εξετάζεται μια περιοδική διέγερση (σε N) της μορφής J=J0sin(ωt), όπου J0 η αρχική ένταση της περιοδικής διέγερσης, ω η γωνιακή ταχύ-τητα της (rad/s) και t η περίοδος ταλάντωσης σε s. Αν ω1 είναι η φυσική γωνιακή ταχύτητα του παλλόμενου συστήματος σε rad/s τότε αποδεικνύεται ότι ο συντελε-στής ενίσχυσης (ΣΕ) είναι:

12

1ω

ω1

.

Οπότε : (i) Αν 0ωω 1

(ii) Αν 0ωω 1


55

(iii) Αν 1ωω

Η συνθήκη ω=ω1 ονομάζεται συντονισμός.

Εφαρμογή 1.7.10: Ακουστική 2. Αν κληθεί Ι η ακουστική σε W/m2 , I0 η ακου-στική ένταση αναφοράς επιλεγόμενη ως 10-12 W/m2 και P η ακουστική πίεση (N/m2) , P0 η ακουστική πίεση αναφοράς ίση με 2 105 N/m2 τότε:

Ορίζεται η μονάδα decibel dB ως εξής:

0o P

Plog20

I

I10logdB .

Παράδειγμα 1.7.11: Με τη βοήθεια κάποιου διεγέρτη δημιουργείτε σε ένα σημείο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου μία κίνηση που περιγράφεται από τη σχέση y = 4·10-2sin10πt. Σε σημείο Μ του ελαστικού μέσου, που βρίσκεται στη θέση x = 6 m, η διαταραχή φτάνει σε χρόνο t = 3 s, καθώς το κύμα διαδίδεται προς δεξιά.

Ποιά η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος:

Ι. Σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο Μ.

ΙΙ. Σε συνάρτηση με την απόσταση τη χρονική στιγμή t = 5 s.

Το σημείο Ο βρίσκεται στη θέση x = 0.

Λύση :

Επειδή η εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής είναι η y = A·sin(2πT

t) συνάγεται

από τη δεδομένη εξίσωση ότι: Α = 4·10-2 m και 2πT

t= 10πt ή T = 0,2 s .

Το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα διάδοσης x’x τότε η

φάση κάθε σημείου δίνεται ως γνωστόν από τη σχέση φ = 2π [T

t -

λx

] .

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι : υ = t

x =

3

6 m/s = 2 m/s και το μήκος

κύματος είναι : λ = υΤ = 2·0,2m = 0,4m .

Συνεπώς φ = 2π [2,0

t -

4,0

x] = 2π (5t – 2,5x).

Ι. Για x = 6m έχουμε : φ = 2π (5t – 15), οπότε με t ≥ 3s , τότε είναι φ>0. Με t=3 , φ=0 και με t=4, φ=10π.


Άρα η γραφική παράσταση της φ σε διάγραμμα φαίνεται στο Σχήμα 1.7.8, όπου φ σε rad και t σε s(=sec)

φ

10π

0 3 4 t

Σχήμα 1.7.8 : Παράδειγμα 1.7.11

ΙΙ. Για t = 5s από το I είναι :

φ = 2π (25 – 2,5x) οπότε με x ≤ 10 m, είναι φ>0. Με x=0 είναι φ=50π.

Άρα η γραφική παράσταση της φ σε διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα 1.7.9, με φ σε rad και x σε m.

Υπενθυμίζεται το σχόλιο (iii) στην (1.7.4β) ότι η φάση φ είναι συνάρτηση των t και x, ως εκ τούτου έχουν νόημα οι δύο γραφικές παραστάσεις 1.7.11 και 1.7.12. Θεωρείται η μια μεταβλητή σταθερή και παρίσταται η γραφική παράσταση μετα-βολής της άλλης. Ο Αναγνώστης συνήθως βλέπει διαγράμματα της μορφής

( )y f x στο ορθογώνιο σύστημα ( , )x y . Eδώ τα διαγράμματα είναι της μορφής:

( ) ( ).f x ή f t

Παράδειγμα 1.7.12: Το άκρο Δ μιας χορδής εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντω-ση με y = 0,06sinπt (y σε m και t σε s), κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Η ταχύ-τητα διάδοσης του κύματος είναι υ = 0,5 m/s.


57

I. Να βρείτε την εξίσωση του κύματος και να υπολογιστεί η απομάκρυνση y και η ταχύτητα ενός σημείου που απέχει από το σημείο Δ απόσταση x = 4/3m, τη χρονι-κή στιγμή t = 4 s.

II. Να γίνει η γραφική παράσταση της εξίσωσης του κύματος

i. Τη χρονική στιγμή t = 12

17 T , ii. Στη θέση x =

6

7 λ .

Λύση:

I. Υπενθυμίζεται η σχέση (1.7.4γ), οπότε τότε απο τη δοθείσα 0.065sin( )y t είναι: Α = 0,06 m, φ0 = 0, y = 0,06sinπt. Επειδή ωt = πt είναι ω

= π rad / s και οπότε επειδή T

π2 = π έχουν Τ = 2 s.

Επίσης από την (1.7.2) υ = λf άρα λ = f

υ =

T

1υ

= υΤ = 1 m.

Άρα η εξίσωση του κύματος είναι:

y = Α·sin2π [T

t -

λx

] = 0,06sin2π [2

t - x] .

Τώρα:

Για x = 4/3 m και t = 4 s υπολογίζετε:

y = 0,06sin2π [2

4 -

3

4] = 0,06sin2π·

3

2 = 0,06sin

3

4 π = 0,06 [ -

2

3] = -0,03 3

υ = Α·ω·cos2π [T

t -

λx

] = -0,03π (δες εφαρμογή 1.7.3.).

II. i. Όταν t = 12

17T η αντίστοιχη εξίσωση του κύματος είναι :

y = A·sin2π [12

17 -

λx

], δες Σχήμα 1.7.10.



Για x = 0 είναι: y = A·sin2π12

17 = )]

12

51(2sin[ A =

2

A. Δες σχήμα 1.7.10.

Σχήμα 1.7.11: Παράδειγμα 1.7.12

Σε χρόνο t = 12

17Τ το κύμα έχει διαδοθεί x = υt = υ

12

17Τ =

12

17 17

12T .

ii. Για x = 6

7λ η εξίσωση του κύματος είναι: y = A·sin2π [

T

t -

6

7] .

Η εξίσωση ισχύει για T

t -

6

7 > 0 ή t >

6

7T, δηλαδή από τη στιγμή που το κύ-

μα έφτασε στο x, δες σχήμα 1.7.11.

Παράδειγμα 1.7.13: Να εξετασθεί πότε δύο σημεία βρίσκονται σε συμφωνία φά-σης και πότε σε αντίθεση φάσης;

Λύση:

Δύο σημεία βρίσκονται:


59

Ι. Σε συμφωνία φάσης όταν κάθε χρονική στιγμή (δηλαδή για κάθε t) έχουν την ίδια απομάκρυνση (x), την ίδια ταχύτητα (υ) και κινούνται με την ίδια φορά.

ΙΙ. Σε αντίθεση φάσης, όταν σε κάθε χρονική στιγμή έχουν αντίθετες απομακρύν-σεις (-x), με το ίδιο μέτρο ταχύτητας (υ) και κινούνται με αντίθετη φορά.

Έστω y1 = A·sin2π [T

t -

λ1x

] και y2 = A·sin2π [T

t -

λ2x

] .

Αφού είναι σε συμφωνία φάσης θα ισχύει:

y1 = y2 άρα A·sin2π [T

t -

λ1x

] = A·sin2π [T

t -

λ2x

] οπότε

sin2π [T

t -

λ1x

] = sin2π [T

t -

λ2x

] άρα 2π [T

t -

λ1x

] = 2kπ + 2π [T

t -

λ2x

],

Zk , άρα x2 – x1 = kλ .

Δηλαδή αυτή η εξίσωση ερμηνεύεται ότι, εκείνα τα σημεία που απέχουν ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος βρίσκονται σε συμφωνία φάσης.

Αν είναι σε αντίθεση φάσης θα πρέπει να ισχύει:

y1 = - y2 άρα A·sin2π [T

t -

λ1x

] = - A·sin2π [T

t -

λ2x

] οπότε

sin2π [T

t -

λ1x

] = sin2π [λ

2x -

T

t ] άρα 2π [

T

t -

λ1x

] = 2kπ + π – 2π [λ

2x -

T

t]

με Zk οπότε x2 – x1 = (2k + 1)2

λ .

Δηλαδή αυτή η εξίσωση ερμηνεύεται ότι, εκείνα τα σημεία που απέχουν περιττό πολλαπλάσιο του «ημικύματος» βρίσκονται σε αντίθεση φάσης.

1.8 Σχέση και συνάρτηση Έστω δύο μη κενά σύνολα Χ και Ψ και τότε ορίζεται το καρτεσιανό γινόμενο

, , ,ό

X x y x X y

: έστω, XR . Το υποσύνολο R ορίζει,

στα μαθηματικά μια σχέση. Τότε δίδεται ο πιο κάτω ορισμός.

Ορισμός 1.8.1: Καλούμε απεικόνιση του Χ στο Ψ, έστω φ και συμβολίζουμε με φ X μια σχέση R του Χ και Ψ ούτως ώστε, εάν Ryx , και xx και


yy . Η συνάρτηση καλείται μονότιμη. Οι περισσότερες συναρτήσεις ισχύουν

όταν yy .

Η σχέση R καλείται και διάγραμμα R της απεικόνισης φ και συμβολίζεται Ryx , ή xy .

Όταν Ryxyxx ,: : μονοσήμαντος.

Ειδικές απεικονίσεις:

i) φ: X αμφιμονοσήμαντη του Χ και Ψ xxXxxό

:,

xx .

ii) φ: X αμφιμονοσήμαντη επί ό

) , :

) , :

a x x X x x x x

b y Y x X y x

ii) Όταν X είτε XX : έχουμε αυτομορφισμό του Χ.

Παράδειγμα 1.8.1: Η ταυτοτική απεικόνιση του x.

xxidxxidx : , XX

Το διάγραμμα R της ταυτοτικής απεικόνισης είναι η διαγώνιος Δ του καρτεσιανού γινομένου XX .

Πρόταση 1.8.1: Έστω Χ, Y δυο μη κενά σύνολα και η YXf : η οποία είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε υπάρχει μια απεικόνιση g idxgofX : και idfog ώστε να ισχύουν τα παρακάτω μεταθετικά διαγράμματα.

Ι. X f g X ΙΙ.

g f

gofidx X fogid Ψ


61

Αντίστροφα: Αν υπάρχουν αυτά τα διαγράμματα και είναι μεταθετικά, τότε η f είναι αμφιμονοσήμαντη.

Πρόταση 1.8.2: Έστω Χ, Ψ μη κενά σύνολα και Xf : μια αμφιμονοσήμα-

ντη απεικόνιση. Επιπλέον έστω Xg :1 και Xg :2 και αυτά έτσι

ώστε να έχουν μεταθετικά διαγράμματα: Τότε Xggg :21 αμφιμο-νοσήμαντες συναρτήσεις.

Ορισμός 1.8.2: H σχέση XXR σε ένα σύνολο Χ λέμε ότι είναι μια σχέση ισοδυναμίας εάν πληρούνται οι επόμενες συνθήκες:

a). Xx Rxx , (αυτοπαθής)

b). XXyx , RxyRyx ,, (συμμετρική)

c). XXXzyx ,, RzxRzyRyx ,,,, (μεταβατική).

Παράδειγμα 1.8.2: mu,

kmumuό

Τότε μπορούμε να ορίσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας:

xyXyxxZX : RyxRxyxy ,, .

Το σύνολο RXXxx : καλείται σύνολό πηλίκου, του συνόλου Χ ως προς

την σχέση R.

Η RXX ί : καλείται κανονική απεικόνιση βάση της οποίας

: :x x x y X y x

.

Θεώρημα 1.8.1: Δυο σχέσεις ισοδυναμίας του Χ ή συμπίπτουν ή είναι υποσύνολά του Χ ξένα μεταξύ τους.

Τα παραπάνω εκφράζουμε λέγοντας ότι οι κλάσεις ισοδυναμίας του Χ ορίζουν μια διαμέριση του Χ. Γενικά αν μια οικογένεια (Ai) υποσυνόλων του X Ii λέμε ότι η εν λόγω οικογένεια ορίζει μια διαμέριση του Χ εάν πληρούνται οι εξής συνθήκες:

1). ii j

X A

2). ,i jA A με i j i jA A A A


Πρόταση1.8.3:Έστω

xfxfRxxXXxxXXRό

,,,: . Η σχέση R είναι σχέση ισοδυναμίας.

Απόδειξη:

α). xfxfxx

β). xyxfyfyfxfyx

γ). zxzfxf

zfyfzy

yfxfyx

Πρόταση 1.8.4: Εάν YXf : και R μια σχέση ισοδυναμίας του Χ την oποία

ορίζει η f . Τότε ορίζετε η YRXf : xfxfx

ό

.

Πρόταση 1.8.5: Μια διαμέριση ορίζει μια σχέση ισοδυναμίας.

Απόδειξη:

Ως γνωστό, διαμέριση έχουμε όταν 1 ii j

X A

2 i j i jVA A A A .

Εάν XXyx , λέμε : ,R

ix y i I x y A .

Θα δείξουμε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας.

α). , ,i i ii j

x X A x A i I x x A

β). , , ,i ix y x y A i I y xA y x

γ). ,

,i

i j i jj

x y x y Ay A A A A

y z y z A

ή AjAi άτοπο

όταν , , ,i ix y z A x z A x z .

Πρόταση 1.8.6: Έστω Xx , x η κλάση ισοδυναμίας του x ως προς την σχέση ισοδυναμίας R την οποία ορίζει μια διαμέριση του Χ. Τότε ix A , ix A .


63

Απόδειξη:

Έστω ix A . Αν , iy x y x A . Άρα i j i jx A A A A . Οπότε iy A

xy .

Αντίστροφα: ,i iy A x y A x y όταν xy άρα i iy x A x A .

Θεώρημα 1.8.2: Δίνεται ένα σύνολο Χ, σε κάθε σχέση ισοδυναμίας και Χ αντι-στοιχεί μια διαμέρισης του Χ της οποίας τα στοιχεία είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας ως προς την δοθείσα σχέση.

Αντίστροφα: Σε κάθε διαμέριση του Χ αντιστοιχεί μια σχέση ισοδυναμίας με Χ της οποίας οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι τα στοιχεία της δοθείσας διαμέρισης. Επιπλέ-ον οι παραπάνω αντιστοιχίσεις είναι μονοσήμαντα ορισμένες δηλαδή μια σχέση ισοδυναμίας αντιστοιχεί σε μια μόνο διαμέριση και αντίστροφα.

1.9 Ομάδες και Δακτύλιοι Στην ενότητα αυτή συζητούνται οι βασικές έννοιες της ομάδας, δακτυλίου και σώ-ματος, οι οποίες προσφέρουν “θεωρητική κάλυψη” σε πολλές τεχνολογικές εφαρ-μογές των μαθηματικών.

Ορισμός 1.9.1: Έστω ένα σύνολο G≠0, στο σύνολο αυτό εισάγουμε μια διμελή εσωτερική πράξη, δηλαδή μια απεικόνιση μονότιμη φ του καρτεσιανού γινομένου GxG, στο G συμβολίζεται:

bababaGGxG )],[(),(::

Με την πράξη αυτή υποθέτουμε ότι ισχύουν,

1O . Gcbacbacba ,,),()(

2O . Ga , Ge , aaeea )(

3O . Ga , Ga , eaa΄a΄a )( .

Τότε το σύνολο G καλείται ομάδα (group).

Αν ισχύει και το GxGbaabbaOA ),(,: , τότε καλούμε το G αβελιανή (Abelian) ομάδα .

Παρατηρήσεις:

i)Το διατεταγμένο ζεύγος ορίζεται ως baaba ,,),( .


ii) Εάν την εισερχόμενη πράξη την καλέσουμε πρόσθεση τότε η ομάδα καλεί-ται προσθετική. Το ουδέτερο στοιχείο καλείται μηδέν (“0”), το δε συμμετρικό συμβολίζεται “-α” και καλείται αντίθετο του α.

iii) Αν η πράξη κληθεί πολλαπλασιασμός, τότε την συμβολίζουμε “·” και κα-λείται πολλαπλασιαστική ομάδα και το a·b γινόμενο. Το ουδέτερο στοιχείο καλεί-ται μονάδα και το αντίστροφο συμβολίζεται “α-1”.

Ορισμός 1.9.1α: Αν το (G,*) πληροί μόνο την O1 προσεταιριστική ιδιότητα, τότε καλείται ημιομάδα.

Αν a,b,c είναι στοιχεία της ομάδας (G,*) τότε ισχύει ο νόμος της διαγραφής δηλαδή :

bacb *c*α

Επί πλέον οι εξισώσεις x*a=b , a*x=b έχουν μοναδική λύση αντίστοιχα x=b*a΄, x=a΄*b με a*a΄=a΄*a=e , όπου e το μοναδιαίο στοιχείο της ομάδας.

Ορισμός 1.9.2: Ένα υποσύνολο F του G, GF καλείται υποομάδα της (G,*) αν και μόνο αν το F είναι κλειστό ως προς την πράξη * , και το συμμετρικό στοιχείο κάθε στοιχείου του F ανήκει στο F.

Δηλαδή αν

F.f , ef*ff*f τοFf(ii)

Ff*f τότεFf,(i)f΄΄΄

2121

Παράδειγμα 1.9.1: Να δειχθεί ότι μια ομάδα με τρία στοιχεία είναι της μορφής

(G,*) με ,,G 2aae

Λύση:

Έστω ότι G=e,a,b. Πρέπει να δειχθεί ότι G.a 2 Κατ΄ αρχήν aa 2 , αν e.a Πράγματι αν

e,ae*aaa*aaa 2 άτοπο. Αν 2ab τότε a2 = e. Όμως

bb*a a,b*a διαφορετικά b = e, a = e. Άρα ab a*aeb*a άτοπο. Άρα τελικά b = a2 .

Παράδειγμα 1.9.2: Να δειχθεί ότι το (Qb,+) είναι αντιμεταθετική ομάδα με

NnZ,a,b

aqQ

nb .


65

Λύση:

Το Qb είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση. Πράγματι αν b21 Qq,q τότε

n3

n

n2

n1

n2

n1

21b

a

b

baba

b

a

b

aqq

,

όπου Zb*ab*aa n2n13 , άρα b21 Qqq .

Το ουδέτερο στοιχείο είναι το b.Qb

00e

Το συμμετρικό στοιχείο του 11 1 qqείναι q ΄ με ,b

aq

n1

1

αφού q1+q1΄= 0.

Επειδή η πρόσθεση στο Qb είναι αντιμεταθετική το (Qb ,+) είναι αντιμεταθετική ομάδα.

Ορισμός 1.9.3: Το σύνολο R εφοδιασμένο με τις πράξεις *, . , (R,*, . ) ορίζει τον δακτύλιο (ring) τότε και μόνο τότε αν:

Δ1. Το (R,*) είναι αντιμεταθετική ομάδα.

Δ2. Το (R, . ) είναι ημιομάδα.

Δ3. Η πράξη . είναι επιμεριστική ως προς την πράξη *.

Ορισμός 1.9.3α : Ο μη μηδενικός , αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο και επί πλέον η σχέση 0b ή 0a0b*a , καλείται ακέραια πε-ριοχή.

Παράδειγμα 1.9.4: Να δειχθεί ότι το (Δ,+, . ) με n2n,δ:δΔ είναι α-ντιμεταθετικός δακτύλιος.

Λύση:

(ii) Η πρόσθεση + είναι πράξη προσεταιριστική :

)δδ(δ)n2n2(n2n2)n2n2(δ)δ(δ 321321321321

(iii) Η πρόσθεση + είναι πράξη αντιμεταθετική. Προφανώς.

(iv) Υπάρχει για την πρόσθεση + ουδέτερο στοιχείο το 0 , αφού 0=2*0 και άρα δδ02n0*20*22n0δ

(iv) 0δ΄δ :-2n2(-n)δ΄2n δΔ,δ

(v) Η πράξη . είναι προσεταιριστική


)δ.δ.(δ)n2.n2.(n2n2).n2.n2(δ).δ.(δ 321321321321

(vi) Η πράξη . είναι αντιμεταθετική.

12122121 .δδ)n2)(n2()n2)(n2(.δδ

(vii) Η πράξη . είναι επιμεριστική ως προς την + :

32313231321321 .δδ.δδn2n2n2n2n2)n2n2(δ).δ(δ

Παράδειγμα 1.9.5: Το σύνολο των πινάκων της μορφής 0

0 0

aA

με a Z

είναι δακτύλιος ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Δεν είναι σώμα αφού detA=0 και άρα δεν υπάρχει Α-1

Παράδειγμα 1.9.6: Το σύνολο των πινάκων Π της μορφής 1 3a

a Z0 1

A

, είναι ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό.

Όντως :

Με α = 0 , Α = Ι. Επιπλέον το γινόμενο δύο στοιχείων Α1*Α2 , είναι της ίδιας μορ-φής, άρα είναι σύνολο κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Επειδή

-1det 1 0 άρα Α ,A άρα υπάρχει το συμμετρικό στοιχείο. Τελικά το (Π, .) είναι ομάδα.

Ορισμός 1.9.4: Το σύνολο ),,(,, πράξεις τιςμε οεφοδιασμέν

λέγεται σώμα τότε και μόνο τότε αν :

Σ1 . Το (Σ,+, . ) είναι μη μηδενικός δακτύλιος.

Σ2 . Το (Σ,+, . ) είναι ομάδα.

Παράδειγμα 1.9.7: Σώμα είναι τα σύνολα των ρητών (Q,+, . ) , το σύνολο των πραγματικών (R,+, . ).

Ορισμός 1.9.4: Πράξη (εσωτερική) είναι μια απεικόνιση π: AAA .

Ορισμός 1.9.5: Ομάδα είναι ένα ζεύγος ,G όπου π μια πράξη και G με τις ιδιότητες:

i) η π προσεταιριστική

ii) gegge ,: , Gg


67

iii) GG : eg Gg 1 gg .

Παράδειγμα 1.9.8: Το ζεύγος oAAut , είναι ομάδα, όπου η μια πράξη οριζό-μενη:

AAutAAutAAAut AAuto 212121 ,, .

Αυτή είναι η ομάδα αυτομορφισμών του Α.

Απόδειξη:

Έστω 321 ,, ορισμένες στο Α.

i). xoxxoxoo 321321321321

xoo 321 Ax όταν 321321 oooo .

ii). ουδέτερο στοιχείο AAut και ididA.

.

Όντως xxidxido , Ax όταν ido .

iii). Πρέπει να AAutAAutAAut 1:::

AA :1

.

1 yx . Οι 1, έχουν κοινό πεδίο ορισμού.

Αρκεί μόνο να δείξουμε ότι: id 1 , Ax αρκεί xxidxo 1 .

Είναι όμως yxyxyxxo .

11 όταν

idoxidxo 11 .

Ορισμός 1.9.5: Μορφισμός ή αυτομορφισμός μίας ομάδας ,G και της ,G

είναι μια απεικόνιση '1 2 1 2: : , ,h G G h g g h g h g όταν ισχύει

το παρακάτω διάγραμμα :

GG hh GG

G h

G


δηλαδή όταν :

21, gg hh 21 , ghgh

21 , gg h

2121 ,, gghghgh

Ορισμός 1.9.6: Έστω ,G μια ομάδα και A . Η G δρα επί του Α .

μορφισμός : AAutG .

Επειδή η είναι μορφισμός και AAutG, ομάδες ισχύει:

1) Aide

2) fogfg

Το είδος της δράσεως εξαρτάται από την ορισθείσα η οποία είναι μονοσήμαντα ορισμένη.

Θεώρημα 1.9.1: Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες.

α) Η ομάδα G δρα επί του A .

β) AAG : με ιδιότητα

i). xxe , , Ax ii). xfgxgf ,,,

Οι έννοιες της ομάδας, δακτυλίου, σώματος είναι χρήσιμες σε αρκετές τεχνολογι-κές εφαρμογές, αφού θέλουμε όταν “εμπλέκονται” δύο στοιχεία ενός συνόλου, το αποτέλεσμα να «παραμένει» στο σύνολο της αναφοράς.

1.10 Σφαιρικά Τρίγωνα Η έννοια του τριγώνου στο επίπεδο γενικεύεται για ένα τρίγωνο πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια, το σφαιρικό τρίγωνο, χρήσιμο στην Αστρονομία, την Γεωδαι-σία και άλλες περιορισμένες και εξειδικευμένες τεχνολογικές εφαρμογές.

Ορισμός 1.10.1 Θεωρούμε στην επιφάνεια μιας δοθείσης σφαίρας τρία σημεία Α, Β, Γ, τα οποία κείνται στο ίδιο ημισφαίριο. Αν τα σημεία αυτά τα ενώσουμε με τόξα μεγίστων κύκλων (που να βρίσκονται στο ίδιο ημισφαίριο), τότε το σχήμα που προκύπτει καλείται σφαιρικό τρίγωνο.


69

Το σφαιρικό τρίγωνο, δηλαδή, είναι το σχήμα εκείνο, του οποίου οι τρεις πλευρές είναι τόξα μεγίστων κύκλων της ίδιας σφαίρας που βρίσκονται στο ίδιο ημισφαίριο της, δηλαδή είναι μικρότερα από 180°. Στο σχήμα 1.10.1 φαίνεται το σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ.

Σχήμα 1.10.1: Ορισμός σφαιρικού τριγώνου.

Σημειώνουμε ότι οι πλευρές του σφαιρικού τριγώνου μετρούνται σε μοίρες. Οι γωνί-ες Α,Β,Γ του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ έχουν το ίδιο μέτρο αντίστοιχα με τις αντί-στοιχες δίεδρες γωνίες Γ- ΟΑ-Β, Α- ΟΒ-Γ και Β- ΟΓ-Α της τρίεδρης Ο.ΑΒΓ.

Επειδή οι πλευρές κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι τόξα μεγίστων κύκλων της σφαίρας, αν μία πλευρά ενός τριγώνου είναι τόξο μικρού κύκλου, τότε ασφαλώς δεν θα δημιουργείται σφαιρικό τρίγωνο. Παραθέτουμε τον πίνακα αντιστοιχίας των ιδιοτήτων ενός σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ και των ιδιοτήτων του επιπέδου, στον Πίνακα 10.1.

Κύρια στοιχεία σφαιρικού τριγώνου ονομάζουμε τα μέτρα των τριών πλευρών του α, β, γ και τα μέτρα των τριών γωνιών του Α, Β, Γ. Τα έξι αυτά κύρια στοιχεία εκ-φράζονται όλα σε μοίρες ή όλα σε ακτίνια κλπ.

Δύο σφαιρικά τρίγωνα της ίδιας σφαίρας λέγονται συμμετρικά, όταν οι αντίστοιχες κορυφές τους είναι σημεία αντιδιαμετρικά της σφαίρας (Σχήμα 1.10.2). Τα συμμε-τρικά τρίγωνα έχουν αντίστοιχες τρίεδρες γωνίες κατά κορυφή.

Στα συμμετρικά σφαιρικά τρίγωνα οι αντίστοιχες πλευρές είναι ίσες καθώς και οι αντίστοιχες γωνίες, χωρίς γενικά τα τρίγωνα αυτά να είναι ίσα μεταξύ τους,

Σχήμα 1.10.2 Συμμετρικό σφαιρικό τρίγωνο.


Ο παρακάτω πίνακας συγκεντρώνει τις αντιστοιχίες μεταξύ τρίεδρης γωνίας και του σφαιρικού τριγώνου.

Πίνακας 10.1. Αντιστοιχία σφαιρικού τριγώνου και επιπέδου

Τρίεδρη στερεά γωνία Σφαιρικό τρίγωνο

1) Έδρα.

2) Δίεδρη.

3) Κάθε έδρα είναι μικρότερη από 180°.

4) Το άθροισμα των εδρών είναι μικρότερο από 360° (4 ορθές).

5) Κάθε έδρα είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων ε-δρών και μεγαλύτερη από τη δια-φορά τους.

6) Κάθε δίεδρη είναι μικρότερη από

180°.

7) Το άθροισμα των δίεδρων γω-νιών περιέχεται μεταξύ των 180° και 540°.

8) Κάθε δίεδρη αν αυξηθεί κατά 180° είναι μεγαλύτερη από το ά-θροισμα των δύο άλλων δίεδρων.

9) Απέναντι της μεγαλύτερης έ-δρας βρίσκεται η μεγαλύτερη δίε-δρη κ αντίστροφα

10) Αν το ημιάθροισμα δύο εδρών είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 90°, τότε και το ημιάθροισμα των αντίστοιχων δίεδρων είναι μεγα-λύτερο η αντίστοιχα μικρότερο από 90°.

1) Πλευρά.

2) Γωνία.

3) Ο < α < 180° (κυκλικά).

4) Άθροισμα πλευρών τριγώνου μικρότερο από 360°: α + β + γ < 360°.

5) Κάθε πλευρά του τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

6) Κάθε γωνία του σφαιρικού τριγώνου είναι μικρότερη από 180°.

7) Το άθροισμα των γωνιών του σφαιρικού τριγώνου περιέχεται μεταξύ 180° και 540°. 180°<Α + Β + Γ<540°.

8) Κάθε γωνία του σφαιρικού τριγώνου αν αυ-ξηθεί κατά 180° γίνεται μεγαλύτερη από το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του Α + 180° > Β + Γ (κυκλικά).

9) Απέναντι στη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνιά του σφαιρικού τριγώνου και αντίστροφα

10) αν 9 0 9 0

2 2

9 0 9 02 2


71

Και εδώ η ισότητα των σφαιρικών τριγώνων της ίδιας σφαίρας ανάγεται στην ισό-τητα στερεών τριέδρων γωνιών της οποίας οι αποδείξεις θεωρούνται γνωστές, α-ναφέρονται στη Στερεομετρία και ξεφεύγουν του σκοπού της συνοπτικής αυτής παρουσίασης.

Πρόταση 1.10.1: Δύο σφαιρικά τρίγωνα της ίδιας σφαίρας (ή ίσων σφαιρών) είναι ίσα (ή συμμετρικά) όταν έχουν:

- Μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σ' αυτήν γωνίες ίσες.

- Μία γωνία ίση και τις πλευρές που την περιέχουν ίσες.

- Και τις τρεις πλευρές ίσες.

- Και τις τρεις γωνίες ίσες.

Ορισμός 1.10.2: Θεωρούμε τις παραπληρωματικές τρίεδρες Ο.ΑΒΓ και Ο'.Α'ΒΤ' και έστω ότι η κορυφή τους Ο είναι το κέντρο σφαίρας ακτίνας Ρ. Τότε οι ακμές τους ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΑ', ΟΒ', ΟΓ' θα τέμνουν την επιφάνεια της σφαίρας αυτής έστω στα αντίστοιχα σημεία Α, Β, Γ, Α', Β' Γ'. Ορίζονται έτσι τα σφαιρικά τρίγωνα ΑΒΓ και Α'ΒΤ' τα οποία βεβαίως αντιστοιχούν στις παραπάνω τρίεδρες. Τα τρίγω-να αυτά ΑΒΓ και Α'ΒΤ' που αντιστοιχούν στις παραπληρωματικές τρίεδρες Ο.ΑΒΓ και Ο.Α'Β'Γ' καλούνται πολικά τρίγωνα.

Σχήμα 1.10.3: Πολικά σφαιρικά τρίγωνα.

Για τα πολικά τρίγωνα ΑΒΓ και Α'ΒΤ' ισχύουν:

Α + α' = 2 ορθές Α' + α = 2 ορθές

Β + β' = 2 ορθές Β' + β = 2 ορθές

Γ + γ' = 2 ορθές Γ' + γ = 2 ορθές


Άρα: Στα πολικά τρίγωνα οι πλευρές του ενός είναι παραπληρώματα των γωνιών του άλλου. Τα σφαιρικά τρίγωνα μπορεί να έχουν μια ή δυο ή τρεις γωνίες ορθές, οπότε λέγονται αντίστοιχα ορθογώνια ή δισορθογώνια ή τρισορθογώνια.

Το σφαιρικό τρίγωνο, του οποίου

1. μία πλευρά έχει μέτρο 90° ονομάζεται ορθόπλευρο,

2. αν έχει δύο ή τρεις πλευρές με μέτρο 90°, τότε αυτό λέγεται αντίστοιχα δισορθόπλευρο ή τρισορθόπλευρο.

3. ‘Οπως και στα επίπεδα τρίγωνα έτσι και στα σφαιρικά, έχουμε ισόπλευρα, ισοσκελή και σκαλινά σφαιρικά τρίγωνα. Τυχόν (ή πλάγιο ή κοινό) σφαιρι-κό τρίγωνο λέγεται εκείνο που δεν έχει αναγκαστικά μία πλευρά ή μία γω-νία μέτρου 90°.

Παράδειγμα 1.10.1: Να δειχθεί ότι σε κάθε ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ, όπου Α = 90°, Ισχύουν οι εξής βασικοί τύποι του ορθογωνίου τριγώνου

Σχήμα 1.10.4: Ορθογώνιες μορφές σφαιρικών τριγώνων.


73

Ισχύουν:

Λύση:

Θεωρούμε την αντίστοιχη τρίεδρη Ο.ΑΒΓ του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ με Α = 90°. Έστω α < 90° και β < 90°.

Από την κορυφή Γ φέρομε ένα επίπεδο κάθετο στην ΟΒ που τέμνει την ΟΑ στο Δ και την ΟΒ στο Ε (Σχήμα 1.10.5).

Επειδή ΟΕ επιπ. ΓΔΕ => ΟΕ ΕΓ και ΟΕ ΕΔ. Άρα τα τρίγωνα ΓΕΟ και ΔΕΟ είναι ορθογώνια. Επίσης η γωνία ΓΕΔ είναι αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης Γ-ΟΒ-Α, άρα είναι ίση με το μέτρο της γωνίας Β του σφαιρικού τριγώνου. Επειδή το επίπεδο ΓΔΕ ΟΕ => επιπ. ΓΔΕ επιπ. ΟΒΑ. Τα επίπεδα ΟΓΑ και ΓΔΕ που είναι κάθετα στο επίπεδο ΟΒΑ τέμνονται κατά την ΓΔ.


Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΓΔΟ, ΓΔΕ και ΓΕΟ έχομε:

sin sin sin

1) sinβ = sinΒsinα

2) tanβ= tanΒsinγ

3) tanβ = cosΓtanα

4) cosα = cosγ cosβ

5) cosΒ = sinΓcosβ

6) sinγ =sinΓsinα

7) tanγ =tanΓsinβ

8) tanγ =cosBtanα

9) cosα =tonΒtonΓ

10) cosΓ =sinΒcosγ


Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΓΔΟ, ΓΔΕ και ΕΕΟ

tan tan sin

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΓΕΟ, ΔΕΟ και ΓΔΟ:

cos cos tan

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΕΟ, ΓΔΕ και ΓΕΟ:

tan cos tan

Αν θεωρηθεί τώρα από το Β ένα επίπεδο κάθετο στην ΟΓ και με ανάλογη εργασία αποδεικνύεται, άλλο ένα σύνολο τεσσάρων τύπων. Εξάγονται και από τους παρα-πάνω εναλλάσσοντας το β με το γ και το Β με Γ, κλπ.

Ορισμός 1.10.3: Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο η διαφορά που βρίσκουμε, αν αφαιρέ-σουμε 180° από το άθροισμα των τριών γωνιών του, καλείται σφαιρική υπεροχή του τριγώνου και παριστάνεται με 2S. Άρα:

2S = Α+Β+Γ-180°

Θεωρούμε τώρα ένα τρισορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ (σχήμα 1.10.6). Την ακτίνα της σφαίρας, στην οποία ανήκει ένα σφαιρικό τρίγωνο, τη θεωρούμε ίση με τη μονάδα. Αντιλαμβανόμαστε και από το σχήμα 1.10.6 ότι το εμβαδόν ενός τρι-σορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το 1/8 της επιφάνειας της σφαίρας (γιατί αυτή χωρίζεται σε 8 ίσα σφαιρικά τρισορθογώνια τρίγωνα). Στο τρισορθογώνιο τρίγωνο

λοιπόν έχουμε Α =Β = Γ = π/2. Άρα 22

S

.

Σχήμα 1.10.6: Τρισορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο.


75

Γνωρίζομε ότι η επιφάνεια της σφαίρας είναι Ε = 4πR2, όπου R η ακτίνα της. Και επειδή θεωρούμε R = 1, η επιφάνεια της σφαίρας γράφεται:

Ε = 4πR2 = 4π

Το εμβαδόν τότε του σφαιρικού τριγώνου θα είναι: 4

8 8 2

. Οπότε:

28

S . Άρα συνοπτικά,

Πρόταση 1.10.2: Η σφαιρική υπεροχή κάθε σφαιρικού τριγώνου ισούται προς το εμβαδόν του, αν ως μονάδα επιφανειών θεωρηθεί το εμβαδόν τρισορθογωνίου σφαιρικού τριγώνου. Επειδή το τρισορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο που λαμβάνεται ως μονάδα μετρήσεως των επιφανειών είναι το 1/8 της επιφάνειας της σφαίρας στην οποία ανήκει το τρί-γωνο, συνάγουμε το εξής:

Πρόταση 1.10.3: Το εμβαδόν του σφαιρικού τριγώνου σε τετραγωνικά μέτρα, ι-σούται με το γινόμενο της σφαιρικής του υπεροχής επί το ένα όγδοο του εμβαδού της επιφάνειας της σφαίρας.

Έτσι αν R είναι η ακτίνα της σφαίρας και Α, Β, Γ οι γωνίες του σφαιρικού τριγώ-νου σε· ορθές γωνίες, τότε:

Εμβαδόν σφαιρικού τριγώνου:

(Α + Β + Γ - 2) 1

8 4ΠR

2 = σφαιρική υπεροχή

1

2 ΠR

2 .

1.11 Μερικές χρήσιμες ιδιότητες των σφαιρικών τριγώνων Αναφέρουμε εδώ ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες των σφαιρικών τριγώνων. Για ό-σους ενδιαφέρονται περισσότερο, παραθέτουμε και τις σχετικές αποδείξεις αν και προϋποθέτουν βασικές γνώσεις από τη Στερεομετρία. Σε πρώτη ανάγνωση μπορεί να παραληφθεί η ενότητα αυτή, που απευθύνεται κυρίως σε όσους ασχολούνται με εφαρμογές τοπογραφίας.

1) Τα ύψη κάθε σφαιρικού τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

2) Η κάθετος που άγεται από την κορυφή Α ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) διχοτομεί τη βάση Β Γ και τη γωνία Α.

3) Οι διάμεσοι κάθε σφαιρικού τριγώνου διέρχονται από το αυτό σημείο

4) Οι διχοτόμοι των γωνιών σφαιρικού τριγώνου διέρχονται από το αυτό σημείο.


5) Οι μεσοκάθετες στις πλευρές σφαιρικού τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημεί-ο.

Σχήμα: 1.11.1: Ύψη σφαιρικού τριγώνου.

Παράδειγμα 1.11.1 Σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε περιφέρεια και διατηρεί σταθερή τη βάση του ΑΒ, ενώ η κορυφή του Γ γράφει την περιφέρεια. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των γωνιών της βάσεως, ελαττωμένο κατά τη γωνία της κορυφής, παραμένει σταθερό.

Λύση:

Από τον πόλο Ρ της περιγεγραμμένης περιφέρειας φέρομε τρία τόξα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ μεγίστων κύκλων (Σχήμα 1.11.5). Το τρίγωνο διαιρείται έτσι σε τρία ισοσκελή σφαιρικά τρίγωνα, διότι ΡΑ = ΡΒ = ΡΓ και άρα: Α + Β-Γ = ω + φ + ω + ρ-φ-ρ = 2ω = σταθερό.

Σχήμα 1.11.2: παράδειγμα 1.11.5.

Παράδειγμα 1.11.2 Από σημείο Μ, που δεν ταυτίζεται με τους πόλους περιφέρει-ας (O) μέγιστου κύκλου σφαίρας, διέρχεται μια μόνο περιφέρεια μέγιστου κύκλου κάθετη στη (O). Η περιφέρεια αυτή διέρχεται και από τον πόλο της (O).


77

Λύση:

Έστω Ρ και Ρ' οι πόλοι της περιφέρειας (O) και Μ ένα σημείο της σφαίρας (Σχήμα 1.11.3). Φέρουμε την ΟΜ που είναι πλάγια στο επίπεδο της (ε). Ο μέγιστος κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Ρ,Ρ' και Μ είναι κάθετος στον (ε) γιατί τα επίπεδα τους είναι κάθετα. Έστω ότι υπάρχει και άλλος μέγιστος κύκλος ΖΜΖ' διερχόμενος δια του Μ και κάθετος στον (O). Το επίπεδο τότε ΖΜΖ' θα ήταν κάθετο στο επίπε-δο του (O) και τότε από την ευθεία ΟΜ θα διέρχονταν δυο κάθετα επίπεδα επί τον (O). Αυτό όμως είναι αδύνατο γιατί η ΟΜ είναι πλάγια προς το επίπεδο (O).


Παράδειγμα 1.11.3: Το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Γ = 90°) είναι ισοσκελές. Αν οι χορδές των πλευρών α, β, γ είναι αντίστοιχα χ, ψ, z και R είναι η ακτίνα της σφαί-ρας, να δειχθεί ότι:

22 2

22

2

xz

R

.

Λύση:

Από τα επίπεδα τρίγωνα ΟΑΓ, ΟΑΒ και ΟΒΓ (Σχήμα 1.11.3) έχουμε αντίστοιχα (βλ. και το τυπολόγιο της επίπεδης τριγωνομετρίας):

2 2 2 22. cosR R R (1)

2 2 2 22. cosz R R R (2)

2 2 2 22. cosx R R R (3)

Από το σφαιρικό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε (γνωστοί σαν κανόνες Napier, δες και παράδειγμα 1.11.4).


cos cos cos (4)


Διαιρώντας τις (1) και (2), και έχοντας υπόψη την (4) είναι:

2 2

2 2

2 cos 1

2 cos cos

R

z R

Οπότε αντικαθιστώντας το cosα από την (3) με το ίσο του: 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

R R

z R R x

,

Και επειδή , τότε θα έχουμε διαδοχικά:

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2

2 22

2 2 2

R R xz

z R R x R

.

Παράδειγμα 1.11.4: Αναλογικοί τύποι του Napier.

tan sin tan sin2 2 2 2, ,

cot sin cot sin2 2 2 2

tan sin tan cos2 2 2 2, .

tan sin tan cos2 2 2 2

A B A B

A B A B

A B A B

1.12 Βασικές έννοιες Διανυσματικού Λογισμού. Παρακάτω δίδονται μια σειρά από ιδιότητες του λεγόμενου «διανυσματικού λογι-σμού», που παλαιότερα απασχολούσε τους μαθηματικούς. Εδώ παρατίθενται οι έννοιες περιληπτικά και συνοπτικά, ώστε ο αναγνώστης να μπορεί να εφαρμόσει όποιο τύπο χρειαστεί. Πληρέστερη και σύγχρονη ανάπτυξη επιτυγχάνεται στα Κε-φάλαια 4 και 5 και ιδιαίτερα στην ενότητα 6.1 αναφέρονται οι γενικεύσεις.


79

ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

α) Εσωτερικό γινόμενο.

abbababababa

,cos

β) Εξωτερικό γινόμενο.

: sin , :a b a b a b

Διάνυσμα κάθετο προς τα a , b φοράς τέτοιας ώστε τα ( a , b , e ) να αποτελούν

δεξιόστροφο σύστημα.

Ιδιότητες:

i) abba .

ii) 0 baba Ιδιαιτέρως 0 aa , 000 aa

0 ba , 0a , bab 0 .

iii) bababa .

Έστω a , b με συνιστώσες (α1,α2,α3),(β1,β2,β3) σε ένα κανονικό σύστημα αναφο-

ράς 0 0 0, ,x y z , το οποίο είναι δεξιόστροφο. Τότε:

0 0 0

1 2 3

1 2 3

x y z

a b a a a

.

Από τον ορισμό του εξωτερικού (διανυσματικού) γινομένου παρατηρούμε ότι πα-ριστά το εμβαδόν παραλληλογράμμου με πλευρές τα a , b .

γ) Μικτό γινόμενο.

1.

, , cos , sin , cos ,a b c a b c a b c a b c a b c a b a b c

.

Από τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι παριστά όγκο (προσημασμένο) παραλληλεπι-πέδου με συντρέχουσες άκρες σε κοινή κορυφή ίσες προς τα a , b , c .

Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς 000 ,, zyx ορίζεται:


0 0 0

1 2 3 1 0 2 0 3 0

1 2 3

x y z

a b c a a a x y z

όπου 321 ,, οι συντεταγμένες του c. Τελικά

000

321

321

321

,, zyx

aaa

cba

Είναι 0abc μόνο αν τα cba ,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ισχύει τότε

Πρόταση 1.12.1: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρία διανύσματα

cba ,, συνεπίπεδα είναι:

0

321

321

321

aaa

δ) Δις εξωτερικό γινόμενο.

Τα γινόμενα ( a b ) x c , a x(b x c ) καλούνται δις εξωτερικά. Το διάνυσμα

a x(b x c ) (αν είναι 0 ) είναι κάθετο προς το a και το b x c άρα συνεπίπεδο προς τα a και c . Οπότε a x(b x c ) 1 2b c .

Ιδιαίτερα ισχύει η σχέση

0 0 0

1 2 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 1 0

2 3 3 2 3 1 3 1 1 2 2 1

1 1 2 2 1 3 2 3 3 2 0 1 3 1 3 1 2 2 3 3 2 0

1 1 2 2 3 3 1 0 2 0 3 0 1 1 2 2 3 3 1 0 2 0 3 0

x y z

a b c a a a a a x

a a y a a z

a a a x y z a a a x y z

ac b ab c

.

Όμοια: a b c ac b bc a , δηλαδή: a b c a b c .


81

Ισχύει: 0a b c b c a c a b (Ιδιότητα του Jacobi).

δ). Τετραπλά γινόμενα.

Αυτά είναι της μορφής a b c d ή a b c d .

Έχουμε επί πλέον

a b c d a b c d ac b bc a d ac bd bc ad .

Δηλαδή ac ada b c d

bc bd .

Θέτοντας a d e τότε έχουμε

a b c d e c d ed c ec d abd c abc d .

1.13 Εφαρμογές της Έλλειψης Στα παρακάτω θεωρούμε διάφορες εφαρμογές της έλλειψης που αντιστοιχούν σε διάφορους κλάδους τεχνολογικών εφαρμογών, για εφαρμογή στην Στατιστική δες παράδειγμα 3.13.4. Ως εκ τούτου ο αναγνώστης αντιλαμβάνεται το εύρος των εφαρμογών, και μελετά ιδιαίτερα εκείνη την εφαρμογή που τον ενδιαφέρει (και όχι μόνο!).

Θεωρούμε την παρακάτω έλλειψη όπως στο Σχήμα 1.13.1, τότε:

Σχήμα 1.13.1: Έλλειψη.

Ορίζονται και ονομάζονται:

EE’ = εστιακή απόσταση

A, A’ = κορυφές έλλειψης


AA’ = Μεγάλος άξονας της έλλειψης = 2a

BB’ = Μικρός άξονας της έλλειψης =>2b

Ορίζουμε ως e= εκκεντρότητα το λόγο της εστιακής απόστασης προς το μήκος του μεγάλου άξονα, δηλαδή:

2 2 2 2

2 2 2

' 2

' 2

E E c ce a b a b

e eAA a aa a

c a b

.

Επειδή c<a έχουμε e<1, δηλαδή η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μικρότερη της

μονάδας. Από την εξίσωση 2 2

2 21

x y

a b για 0y θα έχουμε:

22 2

21

xx a x a

a .

Και για x=0 θα έχουμε: 2

22

1y

y bb

.

Αυτό σημαίνει ότι η έλλειψη τέμνει τον άξονα xx’ στα σημεία A’(-a,0) και Α(a,0) ενώ τον άξονα yy’ στα σημεία Β’(Ο,-b) και Β(0,b). Επί πλέον

22 2 2 2 2 22

2 2 2

2 22 2 2

1

1 1 1 .

a b a b a b be e

a a a a a

b b be e e

a a a

Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης προσδιορίζει το λόγο των αξόνων της και ο λόγος των αξόνων της προσδιορίζει την εκκεντρότητα της. Δες και παράδειγμα 2.2.2.

Καθώς η εκκεντρότητα πλησιάζει το 1 η ποσότητα 1 - e ελαττώνεται και κατά συ-νέπεια ελαττώνεται και ο λόγος b/a. Άρα όσο πιο μεγάλη είναι η εκκεντρότητα τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη. Γίνεται, τελικά, κύκλος όταν 0b a e .

Επιφάνεια Έλλειψης : SE = π a b,

όπου 12a μεγάλου άξονα, 1

2b μικρού άξονα.

To Ελλειψοειδές εκ περιστροφής

Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής είναι το γεωμετρικό σχήμα που μοιάζει το περισ-σότερο με το αληθινό τμήμα της Γης. Η τομή του ελλειψοειδούς με ένα επίπεδο


83

που περιέχει τον άξονα περιστροφής είναι μία έλλειψη. Η τομή του ελλειψοειδούς με ένα επίπεδο που περιέχει τον μεγάλο (ημι-)άξονα που είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής είναι ένας (μέγιστος) κύκλος, με ακτίνα ίση με το μισό μεγάλο άξονα

του ελλειψοειδούς 2

.2

aa

Ισημερινός: Αυτός ο κύκλος καλείται ισημερινός (και το επίπεδο που τον περιέχει ισημερινό επίπεδο)

Οι τομές του ελλειψοειδούς από επίπεδα παράλληλα στον ισημερινό είναι επίσης κύκλοι ακτίνων < a.

Μεσημβρινοί: Οι τομές επιπέδων καθέτων στον Ισημερινό που περιέχουν τον άξο-να περιστροφής (του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής) είναι ελλείψεις που ονομάζο-νται Μεσημβρινοί.

Οι διαστάσεις του γήινου ελλειψοειδούς ορίζονται:

- με το μεγάλο ημιάξονα a (το μήκος του συμπίπτει περίπου με το μήκος της ιση-μερινής ακτίνας).

- με το μικρό ημιάξονα b.

- με την επιπλάτυνση (ή πλάτυνση ή ελλειπτικότητα) f, a b

fa

.

- ή μόνο με τα α και f που αποτελούν τις παραμέτρους του (γήινου) / ελλειψοει-δούς.

Άλλες χρήσιμες παράμετροι του ελλειψοειδούς είναι:

Η πρώτη εκκεντρότητα: 2 2

2

a be

a

.

Η δεύτερη εκκεντρότητα: 2 2

2'

a be

b

.

Μεσημβρινή Ακτίνα

Η μεσημβρινή ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο Α, είναι η ακτίνα της μεσημ-βρινής έλλειψης στο σημείο Α. Αυτή η ακτίνα σημειώνεται διεθνώς με το μικρό ελληνικό γράμμα ρ.


Σχήμα 1.13.2: Μεσημβρινή ακτίνα καμπυλότητας (ρ).

Είναι τότε εξ ορισμού:

32

2

2 2

(1 )

(1 sin )

a e

e

Όπου α = ο μεγάλος ημιάξονας,

e = πρώτη εκκεντρότητα έλλειψης , και

φ = το πλάτος του.

Σημειώνεται ότι η μεσημβρινή ακτίνα ρ παίρνει

την ελάχιστη τιμή στον Ισημερινό, όπου

ρmin

2b

a (b = μικρός ημιάξονας του ΕΕΠ) γιατί στον ισημερινό 0 .

την μέγιστη τιμή στους πόλους, όπου

ρmax 2a b γιατί τότε:


85

3 32 2

2 2

2 2 2

2 2 2 22 2 2

2 3 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

(1 ) (1 )90 sin 90 1

(1 sin ) (1 )

(1 )

(1 ) (1 ) 11

1 .

a e a e

e e

a e a a a a

e e e a b a a b

aa

b ba

Εγκάρσια Ακτίνα Καμπυλότητας

Η εγκάρσια ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο Α (ονομάζεται επίσης μεγάλη κα-νονική ακτίνα καμπυλότητας), είναι η ακτίνα της καμπύλης που σχηματίζεται

Σχήμα 1.13.3: Εγκάρσια ακτίνα καμπυλότητας ή μεγάλη κανονική (ν).

Από το ελλειψοειδές εκείνο, του επιπέδου που περιέχει το Α (δες Σχήμα 1.13.3) και είναι κάθετο στην επιφάνεια του ΕΕΠ και στο μεσημβρινό που περνάει από το Α. Σημειώνεται στη διεθνή βιβλιογραφία με το ελληνικό γράμμα ν και είναι:

2 21 sin

ve

Στον ισημερινό 20 sin 0 0 1 0

.

Τη μέγιστη τιμή η ακτίνα ν την παίρνει στους πόλους γιατί εκεί:


2 2

290 sin sin 90 1

1 e

τελικά: 2

vb

.

Οι μεσημβρινοί είναι ελλείψεις και η ακτίνα καμπυλότητας τους (δηλαδή η με-σημβρινή τους ακτίνα) αλλάζει σε κάθε σημείο. Κατά συνέπεια, για μία δεδομένη γωνία, το μήκος του τόξου αυξάνει προς την διεύθυνση του πόλου. Υποθέτουμε ένα απειροελάχιστο τόξο μεσημβρινού που αντιστοιχεί σε μια διαφορά πλάτους dφ. Το μήκος του θα είναι dLλ = ρ dφ άρα

2

32

1

2

2 2

(1 )

(1 sin )

a eL d

e

όπου φ = πλάτος των σημείων της αρχής και του τέλους του τόξου (φ1 και φ2).

Η Γεωδαιτική γραμμή αντιστοιχεί σε μία ορθοδρομία. Όμως (ισχύει και στη σφαί-ρα), η ορθοδρομία αναπαριστάνεται από ένα τόξο μέγιστου κύκλου. Αν ξέρουμε τις συντεταγμένες των σημείων Ρ1 και Ρ2 και ψάχνουμε την γεωδαισιακή απόσταση Lg, αυτή δίνεται από τον τύπο:

2g

aCL

και για τον υπολογισμό της ακολουθούνται συνήθως τα εξής βήματα:

1ο. Υπολογίζουμε πρώτα τις ποσότητες:

2 411 ' cose , 2 2

11 ' cose , 21 'C e

2ο. Γνωρίζοντας ότι δφ = φ2 – φ1 και δλ = λ2 – λ1,

Υπολογίζουμε τότε τις ποσότητες :

2

12

3 ' 21 sin 2 32 4

eE

B

, sin cosF E

2 21 1

1sin cos cos sin sin , arctan , sin

2

GG B E E H F G

A F

2 11 1

( ) 1, tan sin cos tan tan

2

AI B E

A

.


87

Σημειώνετε ότι:

a = ημιάξονας του ελλειψοειδούς

e' = δευτερεύουσα εκκεντρότητα του ΕΕΠ.

Κεντρικός παράλληλος μιας προβολής

Ο όρος «κεντρικός παράλληλος μιας προβολής» - που σημειώνεται συνήθως με φ0 – μπορεί να αντιστοιχεί (ανάλογα με την περίπτωση) σε διάφορους ορισμούς :

- σε παράλληλο που περνάει από το πόλο της προβολής

εάν φυσικά αυτός υπάρχει και δεν είναι ένας γήινος πόλος.

- σε πολική γραμμή της προβολής (γραμμή διατηρούμενης κλίμακας)

εάν αυτή υπάρχει και είναι ένας παράλληλος.

- σε παράλληλο σε σχέση με τον οποίο όλες οι γεωμετρικές ιδιότητες της προ-βολής είναι συμμετρικές.

Τώρα αναφορικά με στις προβολές, που μπορούν να επιτευχθούν, και έχουν άμεση σχέση στην χαρτογραφία, αναφέρονται οι εξής, σύμφωνα με τον κανόνα επιλογής:

- από την υπό ανάπτυξη επιφάνεια που εκλέξαμε για την προβολή.

- από την βασική τους ιδιότητα (συμμορφισμός / ισοδυναμία).

- από το όνομα του κατασκευαστή / επινοητή της.

- από τη θέση στο χώρο που θα έχει η υπό ανάπτυξη επιφάνεια σε σχέση με τον άξονα περιστροφής της Γης.

- τη φύση των τροποποιήσεων που ενδεχόμενα έχουν γίνει σε σχέση με την κανο-νική εφαρμογή της.

Οι πιο κοινές κατηγοριοποιήσεις των προβολών γίνονται με βάση κριτήρια που αφορούν τις βασικές ιδιότητες των προβολών καθώς επίσης και τις υπό ανάπτυξη επιφάνειες που χρησιμοποιούνται.

Με αυτά τα κριτήρια οι προβολές κατηγοριοποιούνται σε :

- σύμμορφες, ισοδύναμες, αφυλακτικές, (+ ισαπέχουσες).

- αζιμουθιακές / πολικές / μεσημβρινές, κυλινδρικές, κωνικές.

Αυτές οι κατηγοριοποιήσεις εντούτοις, στην πρώτη περίπτωση ομαδοποιούν προ-βολές που έχουν πολύ διαφορετικές μορφές, και στη δεύτερη ομαδοποιούν προβο-λές με ιδιότητες πολύ διαφορετικές. Ο αναγνώστης θα ενημερωθεί ότι η πιο γνω-στή μέθοδος προβολής είναι η Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) ή Ανάλυ-ση Παλινδρόμισης, δες Χ. Κίτσος: Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική ΙΙ.


Για τα θέματα αυτά της Γεωδαισίας υπάρχουν κυρίως 4 ομάδες προβολών, που αντιστοιχούν, τελικά, σε τέσσερα ζευγάρια σχέσεων, που συνδέουν τις γεωγραφι-κές συντεταγμένες (φ, θ) με τις ορθογώνιες (x, y).

Η γενική περίπτωση: οι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί αναπαρίστανται από καμπύλες. Οι σχετικές μαθηματικές σχέσεις γράφονται τότε στη μορφή:

(x, y)=(F1(φ, θ), F2(φ, θ)), με F1, F2 γνωστές συναρτήσεις.

Στηριζόμαστε στη παρουσία μεσημβρινών σε ευθείες γραμμές παράλληλες με το κεντρικό μεσημβρινό, αλλά οι παράλληλοι είναι καμπύλες. Η τάξη αυτή περι-λαμβάνει λίγες προβολές, και η γενική μορφή των εμπλεκομένων σχέσεων είναι:

(x, y)=(F1(θ), F2(φ, θ)).

Οι καλούμενες ψευδό-κυλινδρικές προβολές που παρουσιάζουν τους με-σημβρινούς με καμπύλες, και τους παράλληλους με ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Οι γενικές σχέσεις (που έχουν αυτή τη φορά ένα y σταθερό σε σχέση με το πλάτος που βρισκόμαστε) είναι:

(x, y)=(F1(φ,θ), F2(φ)).

Προβολές των οποίων ο κάνναβος αποτελεί ένα δίκτυο δύο συνόλων παράλλη-λων ευθειών. Οι κυλινδρικές προβολές ανήκουν σε αυτή τη τάξη και οι σχέσεις τό-τε γράφονται γενικά ως :

(x, y)=(F1(θ), F2(φ)).

Το ελλειψοειδές και η ελεύθερη κίνηση του στερεού.

Ας αναφέρουμε και μια άλλη περίπτωση ύπαρξης και μελέτης ελλειψοειδούς: Πιο πρακτική από την απ’ ευθείας ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης στερεού, με όποιο τρόπο και αν γίνεται αυτή, είναι η μέθοδος του Poinson η οποία εξετάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κίνησης αυτής.. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στη γεωμετρική παράσταση και φυσική ερμηνεία δύο ολοκληρωμάτων της κίνη-σης, η ύπαρξη των οποίων διαπιστώνεται ότι υπακούει στο σύστημα των εξισώσε-ων (ας μην δοθούν λεπτομέρειες που εκφεύγουν του σκοπού του παρόντος) .

Γνωστή από την τελευταία τώρα ισότητα, με διαίρεση και των δύο μελών της με τη σταθερά Τ παίρνουμε την εξίσωση του ελλειψοειδούς:

123

23

22

22

21

21

. Όπου 3,2,1,2

iI

T

ii .

Το ελλειψοειδές που παριστά ονομάζεται ελλειψοειδές ενεργείας ή ελλειψοειδές του Poinson.


89

Υπάρχουν και άλλα ελλειψοειδή, τα οποία αναφέρονται στην κίνηση του στερεού. Ο αναγνώστης πρέπει απλώς να συγκρατήσει ότι το ελλειψοειδές (και η έλλειψη) είναι βασικά σχήματα τόσο στην Ουράνια Μηχανική, την Γεωδαισία όσο και στην Στατιστική.

1.14 Σχόλια Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύχθηκαν διάφορες βασικές έννοιες, για ποικίλους κλά-δους της τεχνολογίας: ηλεκτρονικούς, φυσικούς, τοπογράφους κλπ και ένα πλήθος παραδειγμάτων ενισχύει την κατανόηση της θεωρίας που αναπτύχθηκε. Οι έννοιες αυτές είναι κύριες για την ανάπτυξη που ακολουθείτε εδώ, π.χ. οι γεωμετρικές έν-νοιες αναπτύσσονται στα Κεφάλαια 4,5 και 6. Άρα το Κεφάλαιο 1 ενεργεί ως Κε-φάλαιο υποστήριξης των εννοιών που ακολουθούν. Ο αναγνώστης πρέπει να αντι-ληφθεί τις βασικές αυτές έννοιες χρήσιμες στις τεχνολογικές εφαρμογές. Κάποιες από τις έννοιες αυτές είναι ετερόκλιτες, δεν αποτελούν μια ολοκληρωμένη παρου-σίαση μιας μόνο ιδέας, όπως π.χ. τα σφαιρικά τρίγωνα που φαίνεται να είναι απο-κομμένη η ανάπτυξη από άλλες έννοιες.

Όμως ο αναγνώστης μετά από τις πρώτες γεωμετρικές έννοιες που παραθέσαμε, επεκτείνετε στα σφαιρικά τρίγωνα, χρήσιμα την τοπογραφία - έτσι ο αναγνώστης μπορεί να επιλέξει εκείνο το τμήμα που τον ενδιαφέρει. Άλλες όμως έννοιες , όπως π.χ. τα παραδείγματα στην αρμονική ανάλυση είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την έννοια της συνάρτησης, παρόλο ότι φαίνεται ότι δεν έχουν σχέση με την γενική αυτή παράθεση εννοιών, βασικών για κάποιον που ενδιαφέρεται για τα Μαθηματι-κά.


1ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1Α1: Αποδείξατε την Εφαρμογή 1.1.3 πλήρως.

1Α2: Ποιο το σύστημα (1.1.4) με θ = 2

. Ποιες οι (1.1.4β) με φ=120ο, ω=30ο .

1Α3: Γράψατε τις (1.1.4γ), (1.1.4δ) υπό μορφή πινάκων.

1Α4: Πως μετατρέπεται ο (1.2.4) με ω = 2

.

1Α5: Ποια η δύναμη του σημείου Ρ(2,3,-1) ως προς την σφαίρα (x-2)2 + (y-4)2 + (z-1)2 = 9.

1Α6: Επιλύσατε πλήρως το παράδειγμα 1.5.3, όμοια το παράδειγμα 1.5.5.

1Α7: Δίνεται η ευθεία (ε): 2

32

3

1

z

m

yx. Προσδιορίστε το m ώστε η

ευθεία (ε) να είναι παράλληλη προς το επίπεδο (Ε): x - 3y + 6z – 7 = 0.

1Α8: Υπολογίσατε την

12T

κλ2 3 1 κ ,λA : ρ A A , A ν max α

.

1Α9: Αποδείξατε πλήρως την σχέση (1.6.2).

1A10: Γραμμικό αρμονικό κύμα με εξίσωση y = 2 sinπ [8t - 10

x] ( y,x σε cm, t σε

s) διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x'x. Να βρείτε:

(i). Το πλάτος, τη περίοδο, το μήκος κύματος και την ταχύτητα του κύματος.

(ii). Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο,

ενός σημείου Ν που απέχει 60cm από την πηγή.

(iii). Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος, για t = 13 s.

Απ. A = 2 cm, T = 1/4 s, λ = 20 cm, V = 80 cm/s.

1A11: Η εξίσωση γραμμικού κύματος είναι y = - 20sin2π (5x – 10t). Να υπολογίσετε:

(i). Την ταχύτητα διάδoσης του κύματος


91

(ii). Την απόσταση δυο σημείων του ελαστικού μέσου κάποια χρονική στιγμή αν Δφ = 180˚.

(iii). Τη διαφορά φάσης τις χρονικές στιγμές t1 = 2s και t2 = 3s, ενός σημείου Μ.

Απ. α. υ = 2 m/s, β. Δx = 0,1 m, γ. Δφ = 20π rad

1A12: Κύμα περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0,1sin2π [2

x - 20t],

α) Να αποδείξετε ότι σωματίδιο της χορδής στην θέση x = 2 m και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

β) Προσδιορίστε τη συχνότητα ταλάντωσης και την αρχική φάση του συγκεκριμέ-νου σωματιδίου.

1Α13: Αν στο δακτύλιο (Δ,+, . ) ισχύει δ*δ=δ, με , τότε ο δακτύλιος είναι αντιμεταθετικός.

1Α14: Σε ένα δακτύλιο του Boole (εκείνος ο δακτύλιος (Β,+, . ) όπου

bb , 2 Bb ) ισχύει (b+b)2=b+b. Επί πλέον b+b=0 (δηλαδή κάθε στοιχείο συμπίπτει με το συμμετρικό του ως προς ,+).

Κεφάλαιο 1...Κεφάλαιο 1ο: Βασικές Έννοιες 15 3 2 1 x x x 3 2 1 y y y...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 1...Κεφάλαιο 1ο: Βασικές Έννοιες 15 3 2 1 x x x 3 2 1 y y y...