Vortragsthema:

Die UnschärferelationenOrt/ImpulsEnergie/Zeit

An einigen Beispielen erläutern

5. Das Photon: Welle und Teilchen5.4. Die Plancksche Strahlungsformel

18),(

3

3 −= Tkh Bec

hTu ννπν

Wichtige Punkte:

1) Form des Spektrums, Temperaturabhängigkeit

2) Ableitung durch die Annahmedas die Oszilatoren in den Wänden quantisierte Energienhaben E= nh ν

5. Das Photon: Welle und Teilchen

Einzelne Photonen

Wellenbild ergibtBlaue Linie:Wahrscheinlichkeits-verteilungder Photonen

Ebene Welle: Elektrische Feldstärke ∝ cos(ν/2π t)Intensität ∝ E2

Photonen: Photonendichte = Intensität/ (c h ν)

Wahrscheinlichkeit für ein Photon zu finden

∝ Quadrat der Amplitude

Verbindung von Wellen und Teilchenbeschreibung:

6. Teilchen als Wellen1. Einführung

1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien1.2. Historischer Rückblick

2. Kann man Atome sehen? Größe des Atoms3. Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie4. Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment5. Das Photon: Welle und Teilchen

5.1. Welle vs. Teilchen vor 19005.2. Der Photoelektrische Effekt

- Beobachtungen- Einsteins Interpretation- Impuls und Energieerhaltung

5.3. Der Comptoneffekt5.4. Die Plancksche Strahlungformel5.5. Licht als Welle und Teilchen

6. Teilchen als Welle (de Broglie)6.1. Die deBroglie Wellenlänge6.2. Experimente 1: Elektronen als Welle

Davisson Germer Experiment6.3 Möllenstedt-Düker Experiment6.4. Experimente 2: Atome/Moleküle als Welle

De Broglie Wellenlängeeines Teilchensmit Masse m0:

λ = h/p = h/ √2m0Ekin

6. Teilchen als Wellen6.3. Experimente 2: Möllenstedt/Düker Experiment (1956)

Faden+0.001 mm!

Elektronenquelle

Film

- -

•Extrem vibrationsarmer Aufbau•Sehr lokalisierte Elektronenquelle

6. Teilchen als Wellen6.3. Experimente 2: Möllenstedt/Düker Experiment (1956)

Zeit

7. Heisenbergsche Unschärferelation

Heisenbergsche Unschärferelation

Δx Δpx ≥ ħ

Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden

Es gibt keine Wechselwirkungfreie Beobachtung

P= h ν / c

Die Messung des Ortes erfordert Streuung von Licht, dadurch ist der Impuls nach der Messung geändert

Gute Ortsauflösung=kurze Wellenlänge=

hoher Impuls

7. Heisenbergsche Unschärferelation

Heisenbergsche Unschärferelation

Δx Δpx ≥ ħ

Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden

Theorie die nicht Aussage über die Welt an sich macht,sondern nur über mögliche Meßgrössen

Der Meßprozeß ändert den Zustanddes zu messenden Objektes!

Die Wechselwirkung kann nicht beliebig klein sein!(gequantelt!)

7. Heisenbergsche Unschärferelation

PräziseImpulsmessung

Objekt inunbekanntem

Zustand

Ort unbekannt,Impuls unbekannt

Präzise Ortsmessungbenötigt grossenImpulstransfer!

Objekt wiederunbekanntem Impulszustand

Ort bekannt

Impuls px

Ort

x Δx Δpx ≥ ħ

Impuls px

Ort

x Δx Δpx ≥ ħ

7. Heisenbergsche Unschärferelation

Heisenbergsche Unschärferelation

Δx Δpx ≥ ħ

Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden

Wie passt die Unschärferelation zum Wellenbild?Impuls px

Ort

x Δx Δpx ≥ ħ

7. Heisenbergsche UnschärferelationWellenfunktion:

De Broglie Welleneigenschaften der Materie:

Materie: Welle:

Energie E = hν = ħ ω Frequenz

Impuls p = h/λ = ħ k Wellenlänge

„Wellenvektor“ k=2π/ λ

A(x,t) = A0 cos(kx - ωt)

ImpulsEnergie

„Ebene Welle“

7. Heisenbergsche UnschärferelationWellenfunktion: Ebene Welle ist ein Extremfall:

A(x,t) = A0 cos(kx - ωt)

ImpulsEnergie

Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k

Ebene Welle beschreibt einvöllig delokalisiertes

(unendlich ausgedehntes)Teilchen

Impuls px

Ort

x Δx Δpx ≥ ħ

„Ebene Welle“

7. Heisenbergsche UnschärferelationWellenfunktion:

A(x,t) = A0 cos(kx - ωt)

Ebene Welle:

Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k

Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen

Sehr schöne Webpage: http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

7. Heisenbergsche UnschärferelationAufbau eines Wellenpaketes

Ψ(x) = ∑ eikx

d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

03_02b.mov

Real und Imaginaer

7. Heisenbergsche Unschärferelation

λ = h/p = h/ √2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

Quantemechanische TeilchenΔx Δpx ≥ ħ

„Wellenpaket“

Impuls px

Ort

x Δx Δpx ≥ ħ

Klassiche Bahn

Ortsunschärfe

Impulsunschärfe: verschiedene Wellenlängen

7. Heisenbergsche Unschärferelation

λ = h/p = h/ √2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen

7. Heisenbergsche UnschärferelationBeispiel: Doppelspalt mit Wellenpaket

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

Die stationäre Darstellung des Doppelspaltes mit ebener Welle vor und Kugelwellen nach dem Spalt ist der Extremfall der Unschärferelationsmit völlig scharfem Impuls (d.h. fester Wellenlänge)

Alternative:Beschreibe Teilchen durch Wellenpaketmit Δx und Δ px anstatt ebener Welle

Δ x

Δ y

7. Heisenbergsche Unschärferelation

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

Alternative:Beschreibe Teilchen durch Wellenpaketmit Δx und Δ px anstatt ebener Welle

Beispiel: Doppelspalt mit Wellenpaket

Δ x

Δ y

Gausssche WellenpaketGaussverteilung im Ort Impuls

Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden

ORT: dargestellt

Impuls/Wellenlänge:nicht zu sehen

7. Heisenbergsche UnschärferelationBeispiel: Doppelspalt mit Wellenpaket

QM-Doppelspalt-mit-phase.mov

ORT: dargestellt

Impuls: in derWellenlänge

Amplitude:Farbsättigung

7. Heisenbergsche Unschärferelation

Die Nullpunktsenergie:Eine Folge der Unschärferelationsbei Anwesenheit eines Potentials

Δx Δpx ≥ ħ

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie

Δx

Δpx

ħ = 1 10-34 kg m2/sec

10-26 m/sec

Kugel 10gauf 1μm

7. Heisenbergsche Unschärferelation

Die Nullpunktsenergie:Eine Folge der Unschärferelationsbei Anwesenheit eines Potentials

Δx Δpx ≥ ħ ħ = 1 10-34 kg m2/sec

Elektronen im Atom:

Radius: 10-10m

Elektronenimpuls>10-24 kg m/sec

me=9 10-31kg -> 9 107 m/sec

7. Heisenbergsche Unschärferelation

Δx Δpx ≥ ħOrt / Impuls

Energie/Zeit Δt ΔE ≥ ħ

Folgen:

•Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein•Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie•Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie

Energieerhaltung?kann kurzzeitig verletzt sein!

Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzenZeitintervallen.

7. Heisenbergsche Unschärferelation Beispiel 1: Δt ΔE ≥ ħ

7. Heisenbergsche Unschärferelation Beispiel 1: Δt ΔE ≥ ħ

Klassische Mechanik

Energieerhaltung giltfür jeden Zwischenschritt

Quantenmechanik

Energieerhaltung gilt fürZwischenschritte nur innerhalb

Δt ΔE ≥ ħ

hier weite

7. Heisenbergsche Unschärferelation Beispiel 2: Δt ΔE ≥ ħ

Kurze Lichtpulse sind breitbandig: Δt ΔE ≥ ħ = 6.58*10-16 eVs

Kurzer Laserpuls

Überlagerung von ebenen Wellen

Bsp: 5*10-15 sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV)

Ephoton= h νlanger sinus: scharfe Energie

•Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie)•Die Wellen interferieren•Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit•Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit•Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort•Teilchenanschauung: Wellenpaket

Wichtige Punkte: