Vecteurs de Fresnel

A quoi servent-ils?A simplifier les calculs trigonométriques

Christian Loverde 2006

Vecteur tournant

Grandeur sinusoïdale: u(t) = U√2.cos(ωt + φ)

Vecteur tournant de vitesse angulaire ω . Lien entre les deux:u(t) est la projection du vecteur sur l'axe Ox.

Christian Loverde 2006

Illustration

Christian Loverde 2006

Simplification

Fonction sinusoïdale Vecteur de FresnelValeurefficac

e

Phase à l’origine

Christian Loverde 2006

Somme de 2 tensions

Tensions sinusoïdales Vecteurs associés

Animation

Angle O°

U1=10V

+90°U2=5V

u(t)= u1(t) + u2(t)

Christian Loverde 2006

Résultats

u(t) = u1(t) + u2(t)

Module

Phase à l’origine

Christian Loverde 2006

Les complexes

La grandeur sinusoïdale: Le nombre complexe associé:

U = a + jb

ou

Christian Loverde 2006

Module & argument

Le nombre complexe Module ArgumentAutre représentation avec U = a2 + b2

Christian Loverde 2006

Le plan complexe

Le nombre complexe est le point M du plan complexe

Module et argument

Christian Loverde 2006

Calcul du produit

U1 x U2 module du produit = produit des modules |U1 x U2| = | U1| x | U2|

argument du produit=somme des arguments = 1 + 2

Christian Loverde 2006

Produit de 3 + 2j et 4 - j

U1 = 3 + 2j et U2 = 4-j

|U1| = 3,6 et |U2| = 4,12 => | U1| x | U2| = 14,86

(3 + 2j)(4 – j) = 14 + 5j => module2 = 142 + 52 = 14,862

1= 33,7° et 2= -14° => = 19,65° = tan-1(5/14)

Christian Loverde 2006

Calcul de la somme

Somme: U1 = a + jb U2 = c + jdpartie réelle de la somme=somme des parties réelles => réelle(S) = a + cpartie imaginaire = somme des parties imaginaires => im(S) = b + dS = (a + c) + (b + d)j

Christian Loverde 2006

Somme de 3 + 2j et 4 - j

Exemple U1=3 + 2j et U2=4-j

Partie réelle de S = 3 + 4 = 7 Partie imaginaire de S = 2 – 1 = 1 Somme S = 7 + jModule de S = 7²+1² = 7,07

Christian Loverde 2006

Calcul du quotient

Quotient: U1 / U2

module du quotient = quotient des modules | U1 / U2| = | U1| / |U2|argument du quotient=arg numérateur – arg dénominateur = 1-2

Christian Loverde 2006

Quotient de 3 + 2j et 4 - j

U1=3 + 2j et U2=4-j|U1| = 3,6 et |U2| = 4,12

| U1| / | U2| = 0,87

1 = 33,7° et 2 = -14°

= 1-2 = 47,7°

Christian Loverde 2006

Circuit R-C

Le circuit Résolution

u1 u2

u

U = U1 + U2

U1 = 3

U2 = - 4jU = 3 – 4j

Tan = -4/3 => tan-1(-4/3) = - 53,13°

Christian Loverde 2006

Conclusion

Se dit-il sceptique!

Exercices d’application