Trasformazioni geometriche nel piano

• La trasformazione nel piano è una corrispondenza biunivoca dell’insieme dei punti del piano con se stesso. Indicando con “t” una generica trasformazione nel piano α, mediante una particolare relazione un generico punto P ϵ α si trasforma in un altro punto P' ϵ α.

• t : P P'

• Considerato un piano di riferimento cartesiano xoy, la trasformazione t trasformerà un generico punto P(x;y) in un punto P' (x';y')

poiché t è biunivoca, esisterà una trasformazione tˉ¹ inversa che trasformerà P' in P.

• In particolare se F è una figura geometrica, applicando una stessa trasformazione t ad ogni punto si ottiene una nuova figura geometrica F' costituita dai trasformati dei punti di F

Se consideriamo una curva γ di equazione F(xy)=0 e se applichiamo a ciascun punto di γ una stessa trasformazione, la curva γ si trasforma in una curva γ'di equazione G(x' y')=0.

Per costruire la trasformata G(x' y')=0 della F(xy)=0 è necessario scrivere le equazioni “equazioni della trasformazione” cioè quelle equazioni che indicano la legge con cui determinare le coordinate x' e y' del trasformato di un punto P(xy)Alcune trasformazioni sono pertanto descritte da un sistema di equazioni che legano le coordinate dei punti del piano a quelle dei loro trasformati.

t traslazione di vettore v(1;-2)

x'=x+1 x=x'-1 y'=y-2 y=y'+2

γ : y=x²-2x

y'+2= (x'-1)²-2(x'-1)y'+2=x'²+1-2x'-2x' +2γ': y'=x²-4x' +1

ISOMETRICHE ( conservano le distanze

per cui un segmento si trasforma in un

segmento congruente a quello dato e

conserva gli angoli)

• Trasformazioni

NON ISOMETRICHE (non conservano le

distanze).

Traslazioni di vettore V (a,b)

Simmetrie centrali di centro P(x0y0)

ISOMETRIE

Simmetria assiale con asse la rettaISOMETRIE

asse x x' = xy' = -y{

asse y

{x' = -xy' = y

asse y =x

x' = yy' = x{

asse y =-x

x' = -yy' = -x{

TRASFORMAZIONI NON ISOMETRICHE

DILATAZIONI con centro P(x0 y0) e rapporto h e k

{x' = h(x-x0)+x0

y' = k(y-y0)+y0

OMOTETIA con centro P(x0 y0) e rapporto k

{x' = K(x-x0)+x0

y' = k(y-y0)+y0

Nella dilatazione una figura può allungarsi o comprimersi solo un una direzione o in direzioni diverse.

Nella omotetia una figura si allunga o si contrae nello stesso rapporto in tutte le direzioni

Le trasformazioni dei punti P(xy) del piano nei punti P'(x' y'), dello stesso piano sono descritte da un sistema di equazioni che legano le coordinate dei punti del piano x e y, a quelle dei loro trasformati x', y'.

Si chiamano AFFINITA’ quelle corrispondenze biunivoche fra punti del piano che mantengono l’allineamento dei punti e il parallelismo

Ad esempio l’ombra proiettata dai raggi del sole è una trasformazione affine

Le ombre proiettate da una lampada non è un affinità perché pur mantenendosi l’allineamento, non si mantiene il parallelismo.

Le trasformazioni affini sono descritte dal sistema

P(xy)

P'(x'y') T0{x'=ax+by+cy=dx'+ex'+f

Al variare del valore dei coefficenti a,b,c,d,e,f si ottengono le diverse trasformazioniEs: a=-1 b=c=0 d=f=0 e=-1 T{x'=-x

y'=-y

Simmetria rispetto O (isometria perché mantiene le distanze)

Es: a=e=1 b=d=0 T {x'=x+cy'=y+f

Traslazione di vettore V(c,f) (isometria perché mantiene le distanze)

a=d=k b=c=0 e=f=0 T{x'=kxy'=y+f

Omotetia di rapporto K

a=h d=k b=c=e=f=0 T {x'=hxy'=kx

Dilatazione (non è una isometria)

Data l’ellisse x²/9 + y²/4=1 con centro O(0;0)Applicando una dilatazione

{x'=x/3y'=y/2

Si ottiene la circonferenza di centro O(0,0) e rapporto=1