Il piano - smmm.unipv.itsmmm.unipv.it/didattica/GeoAlg/lezione18_10_Bonsante.pdf · Il piano...

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Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Il piano Equazione parametrica Descrive le coordinate dei punti sul piano in termini di due parametri π : x = 2 + α - β y = -1 + α - β z = 1 + α + β x , y , z dipendono linearmente dai parametri; π = 0 @ 2 -1 1 1 A + span 0 @ 0 @ 1 1 1 1 A , 0 @ -1 -1 1 1 A 1 A

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Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Il piano

Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sul piano in termini didue parametri

π :

x = 2 + α− βy = −1 + α− βz = 1 + α+ β

x , y , z dipendono linearmentedai parametri;π =0@ 2−11

1A + span

0@0@111

1A ,

0@−1−11

1A1A

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Il piano

Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sul piano in termini didue parametri

π :

x = 2 + α− βy = −1 + α− βz = 1 + α+ β

x , y , z dipendono linearmentedai parametri;π =0@ 2−11

1A + span

0@0@111

1A ,

0@−1−11

1A1A

E quazione cartesianaDescrive il piano π comeinsieme di soluzione diun’equazione lineare

x − y = 3

Il vettore n =

0@ 1−10

1A e normale

al piano.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

La retta

Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sulla retta in termini di unparametro reale

r :

x = 2 + αy = −1 + αz = 1 + α

x , y , z dipendono linearmentedal parametro;

r =

0@ 2−11

1A + span

0@111

1A.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

La retta

Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sulla retta in termini di unparametro reale

r :

x = 2 + αy = −1 + αz = 1 + α

x , y , z dipendono linearmentedal parametro;

r =

0@ 2−11

1A + span

0@111

1A.

Equazione cartesianaDescrive la retta r = insieme disoluzioni di un sistema linearedi 2 eq. in 3 inc.{

x − y = 3x + y + z = 2

La retta r e intersezione delpiano di eq. x − y = 3 e delpiano di eq. x + y + z = 2.

I vettori

0@ 1−10

1A e

0@111

1A sono

normali alla retta

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Problemi

1 Data un’equazione parametrica di un piano/rettadeterminarne un’equazione cartesiana.

2 Data un’equazione cartesiana di un piano/rettadeterminarne un’equazione parametrica.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

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Da parametriche a cartesiane per la retta

Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni

x2 − 1 = y

2 −12

x2 − 1 = z

3 + 13

y2 −

12 = z

3 + 13

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Da parametriche a cartesiane per la retta

Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni

x2 − 1 = y

2 −12

x2 − 1 = z

3 + 13

y2 −

12 = z

3 + 13

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SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Da parametriche a cartesiane per la retta

Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni

x2 − 1 = y

2 −12

x2 − 1 = z

3 + 13

y2 −

12 = z

3 + 13

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Da parametriche a cartesiane per la retta

Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni

x2 − 1 = y

2 −12

x2 − 1 = z

3 + 13

y2 −

12 = z

3 + 13

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Da parametriche a cartesiane per la retta

Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni { x

2 − 1 = y2 −

12

x2 − 1 = z

3 + 13

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Da parametriche a cartesiane: caso retta

Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x

2 − 1 = y2 −

12

x2 − 1 = z

3 + 13

{ x2 −

y2 = 1− 1

2x2 −

z3 = 1 + 1

3

{x − y = 13x − 2z = 8

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Da parametriche a cartesiane: caso retta

Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x

2 − 1 = y2 −

12

x2 − 1 = z

3 + 13

{ x2 −

y2 = 1− 1

2x2 −

z3 = 1 + 1

3

{x − y = 13x − 2z = 8

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Da parametriche a cartesiane: caso retta

Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x

2 − 1 = y2 −

12

x2 − 1 = z

3 + 13

{ x2 −

y2 = 1− 1

2x2 −

z3 = 1 + 1

3

{x − y = 13x − 2z = 8

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Da parametriche a cartesiane: caso retta

Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α

2α = x − 22α = y − 13α = z + 1

α = x

2 − 1α = y

2 −12

α = z3 + 1

3

.

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x

2 − 1 = y2 −

12

x2 − 1 = z

3 + 13

{ x2 −

y2 = 1− 1

2x2 −

z3 = 1 + 1

3

{x − y = 13x − 2z = 8

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:

β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:

β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:

β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:

β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:

β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

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Da parametriche a cartesiane: caso piano

Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β

8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:

β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β

8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β

8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β

Deduciamo dunque che

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .

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Alcuni casi particolari

1)

x = 3y = 2 + 3αz = 1− α

Ricavo i parametri dalla seconda e terza equazione{α = y

3 −23

α = 1− ze deduco y

3 −23 = 1− z ovvero y + 3z = 5.

L’altra equazione?

x = 3.

Equazione cartesiana:{

x = 3y + 3z = 5

.

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Alcuni casi particolari

1)

x = 3y = 2 + 3αz = 1− α

Ricavo i parametri dalla seconda e terza equazione{α = y

3 −23

α = 1− ze deduco y

3 −23 = 1− z ovvero y + 3z = 5.

L’altra equazione?x = 3.

Equazione cartesiana:{

x = 3y + 3z = 5

.

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Alcuni casi particolari

2)

x = 7y = 3z = 3 + 2α

Equazione cartesiana:

{x = 7y = 3

3)

x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β

Equazione cartesiana: x = 12.

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Alcuni casi particolari

2)

x = 7y = 3z = 3 + 2α

Equazione cartesiana:{

x = 7y = 3

3)

x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β

Equazione cartesiana: x = 12.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

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Alcuni casi particolari

2)

x = 7y = 3z = 3 + 2α

Equazione cartesiana:{

x = 7y = 3

3)

x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β

Equazione cartesiana:

x = 12.

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Alcuni casi particolari

2)

x = 7y = 3z = 3 + 2α

Equazione cartesiana:{

x = 7y = 3

3)

x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β

Equazione cartesiana: x = 12.

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Alcuni casi particolari

4)

x = 7 + 2α+ βy = 3 + 4α+ 2βz = 3 + 2α

Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7− 2α.Sostituendo nella seconda equazione:y = 3 + 4α+ 2(x − 7− 2α)Deduco che y = −11 + 2x .

Il parametro α e sparito!

Equazione cartesiana: y=-11+2x.

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Alcuni casi particolari

4)

x = 7 + 2α+ βy = 3 + 4α+ 2βz = 3 + 2α

Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7− 2α.Sostituendo nella seconda equazione:y = 3 + 4α+ 2(x − 7− 2α)Deduco che y = −11 + 2x . Il parametro α e sparito!

Equazione cartesiana: y=-11+2x.

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Alcuni casi particolari

4)

x = 7 + 2α+ βy = 3 + 4α+ 2βz = 3 + 2α

Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7− 2α.Sostituendo nella seconda equazione:y = 3 + 4α+ 2(x − 7− 2α)Deduco che y = −11 + 2x . Il parametro α e sparito!

Equazione cartesiana: y=-11+2x.

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Procedimento per il piano

Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2.

Possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente

z = 3x + 2y − 2

La soluzione generale di tale equazione ex = αy = βz = 3α+ 2β − 2

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Procedimento per il piano

Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2.Possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente

z = 3x + 2y − 2

La soluzione generale di tale equazione ex = αy = βz = 3α+ 2β − 2

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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2

{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z{

x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z

Dunque in definitiva si ottiene il sistema{

y = 1 + 2zx = −3z

la cui

soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α

.

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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2

{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z

{x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z

Dunque in definitiva si ottiene il sistema{

y = 1 + 2zx = −3z

la cui

soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α

.

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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2

{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z{

x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z

{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z

Dunque in definitiva si ottiene il sistema{

y = 1 + 2zx = −3z

la cui

soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α

.

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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2

{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z{

x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z

Dunque in definitiva si ottiene il sistema{

y = 1 + 2zx = −3z

la cui

soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α

.

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Alcuni casi particolari

1) x + z = 3. Ricavo z = 3− x , la soluzione generale ex = αz = 3− αy =

β

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Alcuni casi particolari

1) x + z = 3. Ricavo z = 3− x , la soluzione generale ex = αz = 3− αy =β

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Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Procedendo come prima otteniamo{

x + y = 1 + zx + y = −2z

Osserviamo che affinche tale sistema abbia soluzione bisognache 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.

In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistemanelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni sez 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.

Come procediamo in questo caso?

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Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Procedendo come prima otteniamo{

x + y = 1 + zx + y = −2z

Osserviamo che affinche tale sistema abbia soluzione bisognache 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.

In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistemanelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni sez 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.

Come procediamo in questo caso?

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Procedendo come prima otteniamo{

x + y = 1 + zx + y = −2z

Osserviamo che affinche tale sistema abbia soluzione bisognache 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.

In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistemanelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni sez 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.

Come procediamo in questo caso?

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y

Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.

Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{

x = 2/3− yz = −1/3

x = 2/3− αy = αz = −1/3

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y

Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.

Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{

x = 2/3− yz = −1/3

x = 2/3− αy = αz = −1/3

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y

Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{

x = 2/3− yz = −1/3

x = 2/3− αy = αz = −1/3

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche

Alcuni casi particolari

2){

x + y − z = 1x + y + 2z = 0

Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y

Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{

x = 2/3− yz = −1/3

x = 2/3− αy = αz = −1/3

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Due piani possono essere:coincidenti;paralleli;incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Due piani possono essere:coincidenti;paralleli;incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.

Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa.

π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.

Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.

In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.

π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.

Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani

Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.

I vettori normali

111

,

217

sono indipendenti. π e π′ sono

incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:

incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidenti

x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:

parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallele

x + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:

incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti

2x + 13y = 2 3x + 1

2y = 3:coincidenti√

3x + z = 1 3x +√

3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:

coincidenti√

3x + z = 1 3x +√

3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:

paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Esempi

x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1

3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti

√3x + z = 1 3x +

√3z = 1:paralleli.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente

ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′

I vettori

abc

e

a′

b′

c′

sono uno multiplo dell’altro?

se la

risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente

ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′

I vettori

abc

e

a′

b′

c′

sono uno multiplo dell’altro?se la

risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:

Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente

ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′

I vettori

abc

e

a′

b′

c′

sono uno multiplo dell’altro?se la

risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:Le due equazioni sono multiple fra loro?

se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente

ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′

I vettori

abc

e

a′

b′

c′

sono uno multiplo dell’altro?se la

risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Equazione del piano parallelo ad un piano dato epassante per un punto dato

Supponiamo di avere un piano di equazione

x + 3y + z = 2

Determinare l’equazione del piano π′ parallelo a π passante per

il punto P =

2−46

:

l’equazione avra la forma x + 3y − z = k :Poiche il punto P appartiene al piano π′ dobbiamo avere2 + 3 · (−4)− 6 = k . Ovvero ricaviamo k = −16.

x + 3y − z = −16 .

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Equazione del piano parallelo ad un piano dato epassante per un punto dato

Supponiamo di avere un piano di equazione

x + 3y + z = 2

Determinare l’equazione del piano π′ parallelo a π passante per

il punto P =

2−46

:

l’equazione avra la forma x + 3y − z = k :Poiche il punto P appartiene al piano π′ dobbiamo avere2 + 3 · (−4)− 6 = k . Ovvero ricaviamo k = −16.

x + 3y − z = −16 .

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Equazione del piano parallelo ad un piano dato epassante per un punto dato

Supponiamo di avere un piano di equazione

x + 3y + z = 2

Determinare l’equazione del piano π′ parallelo a π passante per

il punto P =

2−46

:

l’equazione avra la forma x + 3y − z = k :Poiche il punto P appartiene al piano π′ dobbiamo avere2 + 3 · (−4)− 6 = k . Ovvero ricaviamo k = −16.

x + 3y − z = −16 .

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Data una retta r e un piano π ci sono tre casi:r e contenuta in π;r e π sono paralleli;r e π sono incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Data una retta r e un piano π ci sono tre casi:r e contenuta in π;r e π sono paralleli;r e π sono incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Data una retta r e un piano π ci sono tre casi:r e contenuta in π;r e π sono paralleli;r e π sono incidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

110

+ span

10−1

Il punto

110

appartiene a π:

r e π sono coincidenti o

incidenti.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0:r e contenuto in π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

110

+ span

10−1

Il punto

110

appartiene a π: r e π sono coincidenti o

incidenti.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0:r e contenuto in π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

110

+ span

10−1

Il punto

110

appartiene a π: r e π sono coincidenti o

incidenti.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0:r e contenuto in π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

10−1

Il punto

120

non appartiene a π:

r e π sono incidenti o

paralleli.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0: r e parallelo a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

10−1

Il punto

120

non appartiene a π: r e π sono incidenti o

paralleli.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0: r e parallelo a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

10−1

Il punto

120

non appartiene a π: r e π sono incidenti o

paralleli.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0:

r e parallelo a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

10−1

Il punto

120

non appartiene a π: r e π sono incidenti o

paralleli.

Il vettore

10−1

e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0: r e parallelo a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

101

Il punto

120

non appartiene a π:

r e π sono incidenti o

parallele.

Il vettore

101

non e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0: r e incidente a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

101

Il punto

120

non appartiene a π: r e π sono incidenti o

parallele.

Il vettore

101

non e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0: r e incidente a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

101

Il punto

120

non appartiene a π: r e π sono incidenti o

parallele.

Il vettore

101

non e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0:

r e incidente a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Riconoscimento della posizione retta/piano

Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta

r =

120

+ span

101

Il punto

120

non appartiene a π: r e π sono incidenti o

parallele.

Il vettore

101

non e contenuto nel piano π0 di equazione

x + y + z = 0: r e incidente a π

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .

Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?

se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:P appartiene a π?se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .

Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:

P appartiene a π?se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .

Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:P appartiene a π?

se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Procedura generale

Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .

Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:P appartiene a π?se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Due rette possono esserecoincidenti;parallele;incidenti;sghembe;

Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche

Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Due rette possono esserecoincidenti;parallele;incidenti;sghembe;

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Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette

Due rette possono esserecoincidenti;parallele;incidenti;sghembe;