Le coniche e la loro equazione comune

Le coniche come ombra di una sfera Una sfera che tocca il piano π nel punto F è illuminata da una sorgente puntiforme S . Nel caso della figura l'ombra delle sfera risulta una superficie delimitata da una linea chiusa compresa tra i punti O e A.

Questa curva si può anche considerare come la sezione, col piano π del cono di vertice S che "abbraccia" la sfera lungo il cerchio di diametro HK

La curva essendo sezione di un cono è detta conica; nel caso delle figura è un'ellisse.

Si può anche dire che l'ellisse è l'ombra sul piano π del cerchio di diametro HK; al diametro HK corrisponde il segmento OA che, per il modo stesso con cui si proietta , viene ad essere un asse di simmetria dell'ellisse. Se ora abbassiamo S lungo la retta t , tangente in H alla sfera, cambia la posizione di K e del corrispondente punto A. Il punto A si è allontanata da O e l'ellisse ombra si è allungata.

Se spostiamo ancora S lungo la retta t e portiamo S al livello del "polo Nord" della sfera il raggio di luce SK risulta parallelo al piano π e quindi il punto K non ha ombra sul piano, si può immaginare che il punto A corrispondente del punto K sia andato all'infinito; l'ellisse si è aperta e si è ottenuta una parabola

Abbassando ancora S lungo t la generatrice del cono SK ha un'inclinazione tale che, ora è il suo prolungamento ad incontrare il piano π nel punto A. Con un'immagine dinamica si può pensare che A, muovendosi sulla retta r passante per O e F, dopo essere andato all'infinito, a destra di O compaia di nuovo ma , questa volta, a sinistra di O. La curva si compone di due rami, uno passante per O e che rappresenta effettivamente l'ombra di una parte del cerchio di diametro HK e l'altro passante per A che risulta ombra virtuale; la conica è un iperbole. I due rami dell'iperbole hanno come le altre coniche la retta per O e F come asse di simmetria.

Un rapporto costante che caratterizza le coniche Abbiamo visto che le tre coniche - ellisse - parabola - iperbole si possono ottenere proiettando una sfera su di un piano. Vedremo come questa " origine" comune dà luogo ad una proprietà comune sul piano di proiezione. Nella figura seguente è disegnata l'ellisse che si ottiene proiettando dal punto S la circonferenza di diametro HK. F è il punto in cui la sfera tocca il pianoπ , d è la retta comune a π e al piano α del cerchio di diametro HK e D il punto di intersezione di r con d .

Al variare del punto S sulla retta t, con la conica varia la retta d, mentre il punto F resta fisso. La retta d prende il nome di direttrice e il punto F di fuoco. Si dimostra che, fissato S, per qualunque punto P di una conica si mantiene costante il rapporto fra le distanze di P dal fuoco F e dalla direttrice d . Il rapporto sarà minore di uno per l'ellisse, varrà uno per la parabola e sarà maggiore di uno per l'iperbole. Nella figura seguente abbiamo unito un generico punto P dell'ellisse con S ; La generatrice PS risulta tangente alla sfera in un punto 1P che appartiene alla circonferenza di diametro HK. I segmenti di tangenza PF e 1PP risultano congruenti.

Essendo r perpendicolare a d, la distanza PT del punto P dalla retta d è congruente al segmento ZD, ove Z è la proiezione del punto P sulla retta r . Si ha pertanto

ZDPP

PTPF 1=

Ora se costruiamo per P un piano β parallelo al piano α del cerchio di diametro HK. Il cono di vertice S taglierà β secondo un cerchio di diametro RQ parallelo a HK. Si ottiene un tronco di cono che ha per basi i cerchi paralleli di diametro HK e RQ

Le generatrici di questo tronco di cono sono tutte uguali; si ha perciò RHPP =1 Allora il rapporto

ZDPP1

si può scrivere

ZDRH

ZDPP

=1

Ora tracciamo dal punto O la parallela alle rette dei diametri HK e RQ

Applichiamo il teorema di Talete; risulta

ODOH

ZDRH

=

e quindi

ODOH

ZDPP

=1

da cui

ODOH

PTPF

=

Ora, siccome quando P percorre l'ellisse, i punti O, H, D rimangono fissi , il rapporto ODOH risulta

costante. La costante, detta eccentricità, si indica con la lettera e .

PTPFe =

Il valore dell'eccentricità per la parabola, per l'ellisse e per l'iperbole

Il rapporto PTPFe = che caratterizza le coniche non dipende dal punto P. Se facciamo coincidere

P con O si ottiene

ODOFe =

Il valore di e dipende dalla posizione del punto S , cioè dal tipo di conica. Nel caso della parabola i segmenti SK, SH , OH e OF sono congruenti con il raggio della sfera.

I triangoli rettangoli HKS e HDO sono congruenti per avere HOSH = e gli angoli OHDKHS ˆˆ = perché opposti al vertici.. Ma allora OFSKDO == e risulta

1==ODOFe

Nel caso dell'ellisse la sorgente 1S si trova al di sopra di S; la retta per 1HK incontra la retta r in un punto 1D che dista da O più di D .

Risulta dunque ODOD >1 sarà quindi

ODOF

ODOF

<1

ossia

11

<=ODOFe

L'eccentricità dell'ellisse è pertanto sempre minore di uno.

Nel caso dell'iperbole la sorgente 1S si trova al di sotto di S ; la retta per 1HK incontra la retta r in un punto 1D che dista da O meno di D .

Risulta dunque ODOD <1 sarà quindi

ODOF

ODOF

>1

ossia

11

>=ODOFe

L'eccentricità dell'iperbole è pertanto sempre maggiore di uno.

Equazione comune delle coniche Nel piano π fissiamo un sistema di riferimento cartesiano Oxy, ove l'asse x coincide con la retta r e l'asse y con la perpendicolare a r condotta dal punto O .

Poiché per una generica conica, ottenuta proiettando da un punto S il cerchio di diametro HK sul piano π , vale la relazione

ODOFe =

se assumiamo che il punto F in Oxy abbia ascissa f , l'ascissa del punto D sarà pari a ef

−

La direttrice d ha allora equazione

efy −=

Preso un generico punto ( )yxP ; della conica la sua distanza da ( )0;fF sarà

( ) 22____

yfxPF +−= La sua distanza dalla retta d sarà

efxPT +=

____

Poiché in una conica

________PTePF ⋅=

si ha

( )efxeyfx +⋅=+− 22

Elevando i due membri al quadrato si ottiene

( )2

222 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=+−

efxeyfx

Sviluppando si ricava infine l'equazione cartesiana della conica ( ) ( ) 0121 222 =⋅+⋅⋅−+⋅− xefyxe Nel caso della parabola , essendo 1=e , l'equazione diventa 042 =⋅⋅− xfy Nel caso dell'ellisse, essendo 1<e , il coefficiente della 2x sarà positivo. Nel caso dell'iperbole, essendo 1>e , il coefficiente della 2x sarà negativo.