Transformata Fouriera i analiza spektralna

● Z czego składają się sygnały?● Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość● Liczby zespolone● Transformata Fouriera● Szybka Transformata Fouriera (FFT)● FFT w 2D● Przykłady

Częstotliwość Prędkość (liniowa): V = S / tS – drogat – czas

Prędkość kołowa: ω = θ / tθ – kątt – czas

kąt pełny = 2*PI PI=3.14....okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt pełny

Częstotliwość kąt pełny = 2*PI PI=3.14....2*PI = 360˚PI = 180˚PI/2 = 90˚ itd...

okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt pełny

jednostka: sekunda 1 s

częstotliwość f [Hz] – ile pełnych kątów na sekundęjednostka: Herz 1 Hz = 1/s

ω = 2*PI / T = 2*PI *f

Sygnał 1D

Sygnał 1D

Sygnał 1D

Sygnały składają się z wielu składowych o różnych częstotliwościach...

Zaszumiony sygnał 1D

...dodatkowo występują w nich szumy.

Sygnał 1D

Celem analizy spektralnej i zastosowania transformaty Fouriera jest analiza sygnału w przestrzeni częstotliwości (rys. po prawej). Widać, że w sygnale występują dwie częstotliwości – 25 Hz oraz 40 Hz.

Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości

Mając zaszumiony sygnał, możemy przenieść go do przestrzeni częstotliwości....

Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości

... i zaobserwować, iż pewne częstotliwości zdecydowanie dominują w sygnale, pozostałe mogą (ale nie muszą) odpowiadać za szum.

Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości

Usuwamy (zerujemy) “zbyt małe” częstotliwości i wracamy do przestrzeni sygnału za pomocą transformaty odwrotnej...

Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości

...otrzymując sygnał jedynie z dominującymi składowymi częstotliwościowymi.

Transformata Fouriera

t – czas (time domain)f – częstotliwość (frequency domain)

Liczby zespolone

Liczby zespoloneDziałania

Liczby zespolonePostać trygonometryczna

Wzory Eulera

z = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e^(iφ)

Liczby zespolone

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera

Symetrie

Transformata Fouriera

Właściwości

Transformata FourieraKonwolucja (splot) dwóch funkcji g(t) oraz h(t), których transformatami Fouriera są odpowiednio

G(f) oraz H(f).

Zamiast dokonywać uciążliwego obliczeniowo splotu w sposób bezpośredni, można obliczenia przenieść do przestrzeni częstotliwości, gdzie splot sprowadza się do mnożenia.

Transformata FourieraKonwolucja (splot) to np. również nakładanie

dyskretnej maski na obraz (np. Sobela, Gaussa, itd.)Mask = [-1,-2,-1;

0, 0, 0; 1, 2, 1];

Transformata Fouriera

Korelacja dwóch funkcji

* oznacza liczbę zespoloną sprzężoną

Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

Krytyczna częstotliwość Nyquista

to “sampling interval” - tzn. jak często próbkujemy dany sygnał

Próbkując dany sygnał nie jesteśmy w stanie “uchwycić” tych wysokich częstotliwości, które są “szybsze” od naszego próbkowania.

Powyższa zależność mówi, że próbkowanie będzie skuteczne jeśli da nam co najmniej dwie zmierzone wartości w jednym okresie T danej częstotliwości.

Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

Próbkowanie

Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

W przypadku dyskretnych sygnałów, całka przechodzi w sumę.

Nasz dyskretny sygnał składa się z N zmierzonych wartości:

Możemy uzyskać informacje o następujących częstotliwościach:

Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

Dyskretna Transformata FourieraOdwrotna

Dyskretna Transformata Fouriera

W ogólności wszystkie operacje są dla liczb zespolonych.

Szybka Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

Szybka Transformata Fouriera (Fast Fourier Transform – FFT) pozwala w sposób

efektywny liczyć transformaty dla sygnałów dyskretnych.

Transformata Fourieratransformata cosinusów i sinusów

Transformata Fouriera

Transformata sinusów

Transformata cosinusów

FFT w 2DFFT w dwóch wymiarach

Inverse FFT w dwóch wymiarach

FFT w 2DReasumując, dla obrazów przedstawianych jako dwuwymiarowa funkcja

f(m,n) mamy

FFT w 2DW przypadku dwóch wymiarów, FFT wykonuje się najpierw w jednym z wymiarów (np. dla każdego wiersza) a później dla drugiego wymiaru na otrzymanej transformacie z pierwszej FFT.

Analogicznie jest dla większej liczby wymiarów.

FFT w 2DDlatego w Matlabie wykonanie FFT dla obrazu (funkcji dwuwymiarowej)

Y = fft2(X)jest równoważne wykonaniu jednowymiarowej FFT dla każdego wiersza a potem jednowymiarowej FFT dla kązdej kolumny w wynikowym obrazie

fft(fft(X).').'

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D Warto zwrócić uwagę, że rysunek transformaty pokazuje większą energię dla dużych horyzontalnych częstotliwości niż dla dużych wertykalnych częstotliwości. Wynika to z faktu, iż na oryginalnym rysunku szybsze zmiany następują w przekroju poziomym (tzn. jest większa częstotliwość zmian), dlatego, że prostokąt jest węższy w poziomie.

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o niskich wspólczynnikach Fouriera

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o wysokich wspólczynnikach Fouriera

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o niskich wspólczynnikach Fouriera

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o wysokich wspólczynnikach Fouriera

Wniosek

Widać, że nie zawsze współczynniki Fouriera o niskich wartościach odpowiadają za szum w obrazie

(sygnale) ale niosą ważną informację.

Konwolucja

Konwolucja dwóch obrazów w przestrzeni oryginalnej odpowiada mnożeniu w przestrzni

częstotliwości!

Konwolucja za pomocą dyskretnej maski 3x3

mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];x3 = filter2(mask, x);figureimshow(x3,'notruesize');title('po filtrowaniu');

Konwolucja za pomocą mnożenia w przestrzeni częstotliwości

mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];mask = rot90(mask,2);mask(s(1),s(2)) = 0; % Zero-pad mask to be 8-by-8;

%KONWOLUCJAx2 = ifft2(fft2(x).*fft2(mask));x2 = real(x2); % Remove imaginary part caused by roundoff error

Ten sposób jest dużo oszczędniejszy w przypadku dużych masek filtrów.

Konwolucja za pomocą mnożenia w przestrzeni częstotliwości

Korelacja w przestrzeni częstotliwości

Szukany wzorzec

Korelacja w przestrzeni częstotliwości

Korelacja dwóch obrazów również może być wydajnie przeprowadzona w przestrzeni częstotliwości. Jest ona ponownie równoważna mnożeniu transforat z dodatkową rotacją szukanego wzorca.

Korelacja w przestrzeni częstotliwości

Zwróć uwagę na jaśniejsze punkty.

Korelacja w przestrzeni częstotliwości

Po odpowiednim progowaniu...

Korelacja w przestrzeni częstotliwości

...wzorzec zostaje znaleziony.