analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

14
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika Rys. 1. Schemat obciążenia modelu, potencjalnie najbardziej obciążone przekroje F r F zg Obciążenie (strzałka niebieska, Rys. 1) działa pod kątem α stopni do płaszczyzny końcowej wspornika i może być zamienione na dwie składowe (strzałki czerwone): normalną i styczną. Analiza teoretyczna w każdym przypadku została przeprowadzona wg. następującego schematu: 1. Wstępnie wyznaczane są naprężenia normalne i styczne dla trzech najbardziej wytężonych przekrojów. Obliczenia są wykonane dla wypadkowego obciążenia 1 kN, które zostało zamienione na dwie składowe: normalną wywołującą rozciąganie modelu oraz styczną , która wywołuje go zginanie. 2. Dla każdego z przekrojów w sposób przybliżony wyznaczana jest maksymalna wartość naprężeń efektywnych oraz poziom siły wypadkowej, przy której naprężenia te osiągną poziom naprężeń dopuszczalnych. Dla przekrojów z otworami uwzględniane są współczynniki koncentracji naprężeń. 3. Z trzech obliczonych w ten sposób sił wypadkowych wybierana jest wartość minimalna, która uważana jest krytyczną wartością obciążenia dla danej konstrukcji. 4. Dla wyznaczania przemieszczeń opracowane są dwa uproszczone modele wspornika. Obliczenia w obu przypadkach przeprowadzone są dla krytycznego obciążenia wyznaczonego wyżej. Dane do obliczeń Właściwości przekrojów Rys. 2. Przekroje 1,2 i 3 z zaznaczonymi strefami ekstremalnych naprężeń normalnych przy zginaniu Na Rys. 2 pokazane są przekroje, w których można oczekiwać najwyższych naprężeń normalnych przy zginaniu momentem wokół poziomej osi symetrii przekroju. Kolorem czerwonym zaznaczone są strefy maksymalnego rozciągania, zielonym - ściskania. Ponieważ na pole naprężeń od zginania zostanie nałożone jednorodne pole dodatnich naprężeń od rozciągania, to oczywistym jest, że maksymalne naprężenia będziemy mieli na górnej krawędzi każdego przekroju. Uwaga techniczna . Dalsza analiza pokaże , że w przypadku układu z kilku belek założenie , że przy zginaniu najbardziej obciążony jest ten przekrój , w którym działa największy moment , nie zawsze sprawdza się . A J Właściwości przekrojów można łatwo odczytać zarówno w SW jak i w Femap. W każdym przypadku do obliczenia naprężenia osiowego przy rozciąganiu oraz średniej wartości naprężeń stycznych przy ścinaniu potrzebujemy pola przekroju , do obliczenia naprężeń normalnych - odpowiedniego momentu bezwładności przekroju , a do obliczenia samego momentu - odległości przekroju od powierzchni, na której działa obciążenie. Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021 1 / 14

Transcript of analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Page 1: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika

Rys. 1. Schemat obciążenia modelu, potencjalnie najbardziej obciążone przekroje

Fr

Fzg

Obciążenie (strzałka niebieska, Rys. 1) działa pod kątem α stopni do płaszczyzny końcowej wspornika i może byćzamienione na dwie składowe (strzałki czerwone): normalną i styczną. Analiza teoretyczna w każdym przypadkuzostała przeprowadzona wg. następującego schematu:

1. Wstępnie wyznaczane są naprężenia normalne i styczne dla trzech najbardziej wytężonych przekrojów.Obliczenia są wykonane dla wypadkowego obciążenia 1 kN, które zostało zamienione na dwie składowe: normalną

wywołującą rozciąganie modelu oraz styczną , która wywołuje go zginanie.

2. Dla każdego z przekrojów w sposób przybliżony wyznaczana jest maksymalna wartość naprężeń efektywnychoraz poziom siły wypadkowej, przy której naprężenia te osiągną poziom naprężeń dopuszczalnych. Dla przekrojów zotworami uwzględniane są współczynniki koncentracji naprężeń.

3. Z trzech obliczonych w ten sposób sił wypadkowych wybierana jest wartość minimalna, która uważana jestkrytyczną wartością obciążenia dla danej konstrukcji.

4. Dla wyznaczania przemieszczeń opracowane są dwa uproszczone modele wspornika. Obliczenia w obuprzypadkach przeprowadzone są dla krytycznego obciążenia wyznaczonego wyżej.

Dane do obliczeń

Właściwości przekrojów

Rys. 2. Przekroje 1,2 i 3 z zaznaczonymi strefami ekstremalnych naprężeń normalnych przy zginaniu

Na Rys. 2 pokazane są przekroje, w których można oczekiwać najwyższych naprężeń normalnych przy zginaniumomentem wokół poziomej osi symetrii przekroju. Kolorem czerwonym zaznaczone są strefy maksymalnegorozciągania, zielonym - ściskania. Ponieważ na pole naprężeń od zginania zostanie nałożone jednorodne poledodatnich naprężeń od rozciągania, to oczywistym jest, że maksymalne naprężenia będziemy mieli na górnejkrawędzi każdego przekroju.

Uwaga techniczna. Dalsza analiza pokaże, że w przypadku układu z kilku belek założenie, że przy zginaniunajbardziej obciążony jest ten przekrój, w którym działa największy moment, nie zawsze sprawdza się.

A J

Właściwości przekrojów można łatwo odczytać zarówno w SW jak i w Femap. W każdym przypadku do obliczenianaprężenia osiowego przy rozciąganiu oraz średniej wartości naprężeń stycznych przy ścinaniu potrzebujemy polaprzekroju , do obliczenia naprężeń normalnych - odpowiedniego momentu bezwładności przekroju , a doobliczenia samego momentu - odległości przekroju od powierzchni, na której działa obciążenie.

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

1 / 14

Page 2: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Przekrój nr 1, pełny, obok umocowania

Pole przekroju2

mm1683,29A1

Moment bezwładności względem osi poziomej4

cm149,1769Jz1

Odległość od miejsca przyłożenia obciążenia mm388L1

Przekrój nr 2, dwuczęściowy, środek otworu kołowego

Pole przekroju2

mm1203,29A2

Moment bezwładności względem osi poziomej4

cm83,3209Jz2

Odległość od miejsca przyłożenia obciążenia mm320L2

Przekrój nr 3, dwuczęściowy, koniec szczeliny najbardziej oddalony od miejsca przyłożenia obciążenia

Pole przekroju2

mm1395,29A3

Moment bezwładności względem osi poziomej4

cm147,7945Jz3

Odległość od miejsca przyłożenia obciążenia mm200L3

%0,93Jz1

Jz3

1

Widzimy, że zmiana momentu bezwładności na skutek dodania dwóch szczelin na osi neutralnej jest minimalna.

Pozostałe dane

Wymiary elementów przekroju, składowe obciążenia

Wysokość przekroju mm80h Grubość ścianki mm6t

Promień otworu mm25r Dopuszczalne naprężenie MPa300k

Kąt pochylenia obciążenia °45α

Obciążenie 1 kN, składowe: sin αkN1Fr

cos αkN1Fzg

Wyniki obliczeń – naprężenia

Pierwszy przekrój, naprężenia normalne i styczne

W pierwszym przekroju maksymalne naprężenie normalne jest sumą naprężeń normalnych pochodzących od zginania irozciągania. Naprężenia wywołane zginaniem na górnej i dolnej powierzchni wspornika różnią się tylko znakiem. Niżejzostało uwzględnione tylko dodatnie z nich, ponieważ zostanie ono dodatkowo powiększone poprzez dodanienaprężenia od rozciągania.

Naprężenia normalne, rozciąganie MPa0,42A1

Fr

σroz1

Naprężenia normalne, zginanie MPa7,362

h

Jz1

L1

Fzg

σzg1

Średnie naprężenia styczne, ścinanie MPa0,42A1

Fzg

τ1

Maksymalne naprężenie normalnenominalne MPa7,78σ

roz1σzg1

σnom1

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

2 / 14

Page 3: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Rys. 3. Usytuowanie strefy koncentracji naprężeń w okolicach przekroju nr 1.

Na linii przejścia od ścianki wspornika do zaokrąglenia, które łączy te ściankę z płyta podpory jest strefa koncentracjinaprężeń.

Rys. 4. Schemat do wyznaczania współczynnika koncentracji naprężeń dla przekroju nr 1.

D

L

Ponieważ w rozpatrywanej strefie dominuje rozciąganie, do wyznaczania współczynnika koncentracji naprężeń zostałużyty schemat pokazany na Rys. 4 (tabela 17.1, schemat 5a [1]). W danym przypadku mamy ćwiartkę odpowiedniegoprzekroju (zaznaczona kolorem czerwonym na Rys. 4). Ponieważ wspornik jest umocowany sztywnie do ściany, wymiar

L możemy uważać za nieskończony, co pozawala automatycznie zadowolić ograniczenie na wartość . Parametry,

które charakteryzują taki przekrój:

mm20h1

mm12r1

mm52D1

1,7r1

h1

x 0,77D1

h1

2yZmienne robocze

Ponieważ wartość x jest w zakresie [0,1 2] to używamy wzory z grupy zaznaczonej na Rys. 3a kolorem niebieskim.

x0,031x1,007C1

x0,314x0,5850,114C2

x0,271x0,9920,241C3

x0,012x0,5770,134C4

1,43

yC4

2yC

3yC

2C1

Kt1

Maksymalne naprężenie normalne MPa10,63σnom1

Kt1

σmax1

Maksymalne naprężenie zredukowane MPa10,652

τ1

32

σmax1

σrmax1

Uwaga techniczna. Tu i dalej naprężenie zredukowane jest obliczane w oparciu o średnią wartość naprężeństycznych w całym przekroju więc nie jest to wynik dokładny.

Maksymalne obciążenie wspornikawynikające z danych dla 1 przekroju

kN28,16kNσrmax1

kF1

max

Drugi przekrój, naprężenia normalne i styczne

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

3 / 14

Page 4: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Drugi przekrój zawiera otwór, który dla górnej powierzchnie wspornika jest rozciągany zarówno przy rozciąganiu jak iprzy zginaniu. Z tego powodu wynik obliczony ze wzorów wytrzymałości materiałów będzie nominalnym naprężeniemdla tego przekroju. Faktyczną wartość naprężeń normalnych na krawędzi otworu można będzie wyznaczyć tylko pouwzględnieniu odpowiedniego współczynnika koncentracji naprężeń.

Naprężenia normalne, rozciąganie MPa0,59A2

Fr

σroz2

Naprężenia normalne, zginanie MPa10,862

h

Jz2

L2

Fzg

σzg2

Średnie naprężenia styczne, ścinanie MPa0,59A2

Fzg

τ2

Maksymalne nominalne naprężenie normalne MPa11,45σroz2

σzg2

σnom2

h

Dla tarczy z otworem znane są wzory do wyznaczaniawspółczynnika koncentracji naprężeń w tym przypadku.Żeby z nich skorzystać, zastąpimy w każdej z dwóchpołówek przekroju belki ściankę przez odpowiedniątarczę ze środkowym otworem za pomocą"wyprostowania" i skrócenia zaokrąglanych części wsposób pokazany na Rys. 5. W ten sposób szerokośćtarczy będzie równa szerokości przekroju belki .

Rys. 5. Metoda zamiany wejściowego profilu ceowego na tarczę

Rys. 6. Zrzut z ekranu - wzór używany do wyznaczania współczynnika koncentracji naprężeń ([1], Ch. 17, schemat 7a)

σnom

Kt

Do obliczeń zgodnie z wybranym schematem (Rys. 6) potrzebujemy tylko wartości naprężeń nominalnych i

współczynnika koncentracji naprężeń

D

r2xWzór na współczynnik koncentracji naprężeń dla

3x1,53

2x3,66x3,133K x

Współczynnik koncentracji naprężeń 2,1Kh

r2Kt2

Maksymalne naprężenie normalne MPa24,04σnom2

Kt2

σmax2

Maksymalne naprężenie zredukowane MPa24,072

τ2

32

σmax2

σrmax2

Maksymalne obciążenie wspornikawynikające z danych dla 2 przekroju

kN12,47kNσrmax2

kF2

max

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

4 / 14

Page 5: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Trzeci przekrój, naprężenia normalne i styczne

Odległość od końca wspornika dopoczątku otworu

mm88L4

Długość wycięcia mm124L5

Szerokość rowka mm24d

Rys 7. Schemat uproszczenia modelu

d L5

Przed oszacowaniem poziomu naprężeń w okolicach przekroju nr 3 wprowadzamy dodatkowe uproszczenie. Realnykształt rowku (Rys. 7) uproszczamy do prostokąta o wymiarach x . Wymiary te są większe od rzeczywistych, co

pozwala potencjalnie zwiększyć zarówno ugięcie jak i naprężenia.

Rys. 8. Schemat obliczeniowy wspornika (model belkowy).

Na Rys. 8 pokazany jest belkowy model wspornika. Otwory w kształcie rowków dzielą dzielą go wspornik na dwajednakowych ceownika, które mogą odkształcać się niezależnie. Osie wszystkich czterech belek (linie czarne) nie sąniezależne. Końcowe przekroje belek o dużym przekroju (kolor żółty) narzucają swoje kąty obrotu przekrojomceowników (kolor zielony). Poza tym przemieszczenia w kierunku pionowym na końcach osi w strefach kontaktu belek 1i 2 są również jednakowe.

Właściwości przekroju każdego ceownika

Wartość momentu bezwładności przekroju ceownikawzględem jego lokalnej osi X (Rys. 9) pobrana z modelu SW

4cm4,33J

3c

Odległość środka ciężkości przekroju ceownika od osi całegowspornika

mm31,58hc

Odległość środka ciężkości przekroju ceownika do najbardziejoddalonego punktu w kierunku pionowym

Rys. 9. Przekrój ceownika, położenie jego środka ciężkości,główne osie i strefy maksymalnych naprężeń normalnychprzy zginaniu.

mm19,582

dhc

c

Fr

Fzg

M3

Fzg

W celu wyznaczenia naprężeń w ceownikach, można rozważyć następujący schemat (Rys. 8). Ceowniki są sztywnieumocowane w przekroju nr 1 i obciążone przez sztywna więź-łącznik w przekroju nr 2. Do tej więzi przyłożone są:- siła rozciągająca (taka sama, jak do całego modelu),

- siła tnąca (również taka sama, jak do całego modelu)

- moment gnący wynikający z tego, że realna siła , która działa na końcu modelu jest jakby "obciążeniem

zdalnym" dla tego przekroju.

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

5 / 14

Page 6: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

FrNaprężenia normalne wynikające od rozciągania siłą

W przypadku rozciągania z symetrii zagadnienia wynika, że każdy z ceowników będzie działać połowa obciążenia iodpowiednie naprężenia będą jednakowe.

Naprężenia normalne,ogólne

MPa0,51A3

0,5

Fr

0,5σroz3

Naprężenia normalne wynikające od zginania

W danym przypadku zginanie dwóch połączonych belek środkowych jest procesem złożonym, który można rozdzielićna dwa niezależne składniki.

Składnik pierwszy

Fo

hc

2Fo

M3

Monza rozpatrując parę ceowników jak jedenprzekrój belki, który składa się górnej i dolnejczęści. Jak przy każdym zginaniu, jednapolowa przekroju belki (w danym przypadkugórna) zostanie poddana rozciąganiu, druga(w danym przypadku dolna) - ściskaniu (Rys.10).

Można uważać, że w wyniku zginania górnyceownik rozciągany jest siła osiową , a

dolny - ściskany dokładnie taka sama siła (Rys. 10). Ta para sił tworzy moment

, który ma byc częścią

wypadkowego momentu w przekroju po

prawej stronie.

Rys. 10. Schemat rozciągania-zginania ceowników.

Składnik drugi

Rys. 11. Model obliczeniowy – dwie belki połączone sztywnymi ścianami (a) oraz charakter odkształcenia takiego modelu (b).

Pod wpływem siły tnącej na rozpatrywany fragment wspornika on rozpada się na dwa ceownika, które odkształcająsię niezależnie, ale połączone są sztywnymi przekrojami pozostałych części wspornika (Rys. 11). W sposóbuproszczony, można uważać te pozostałe części wspornika doskonale sztywnymi (linie czerwona na Rys. 11a).Dominującym typem obciążenia w tym przypadku będzie zginanie pod wpływem siły poprzecznej (niebieska strzałkana Rys. 11a). Na skutek symetrii odkształcenia obydwu ceowników, przyłożenie obciążenia nie wywołuje obrotuprzekroju na ich prawym końcu, o czym "niedowiarki":-) mogą łatwo przekonać się bezpośrednio w SWS za pomocąprostego modelu (Rys. 11b).

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

6 / 14

Page 7: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Łatwo zauważyć, że charakter odkształcenia każdego ceownika jestidentyczny do odkształcenia belki umocowanej podwójnie (Rys. 12).Dla tego klasycznego schematu belki znane są wszystkie wzoryobliczeniowe, wiec dość łatwo możemy wyznaczyć wszystkieniezbędne wartości.

LP2

1LP

2

1

Fzg

P

Dla schematu belki pokazanego na Rys. 12 ekstremalne wartościmomentu gnącego osiągane są na końcach belki. Wartości te są

jednakowe i wynoszą dla prawego i dla lewego

końców belki.Na każdy z ceowników pokazanych na Rys. 10a działa połowa siły

, która jednocześnie jest połową siły dla schematu Rys. 12.

Wtedy maksymalna wartość momentu gnącego wynosi

mN21,92L52

Fzg

2

1M3c

Rys 12. Schemat obciążenia i wykresymomentów gnacych M i sił tnących Q dla belkiumocowanej podwójnie.

M3c

2 hs

Fo

2

M3

Fo

Suma momentów od pierwszego i drugiego składników, czyli oraz musi być równa wypadkowemu

momentu gnacemu w tym przekroju To pozawala nam wyznaczyć wartości sił osiowych . Uwzględniając

kierunki momentów mamy:

hc

Fo

2L5

Fzg2

1L4

Fzg

hc

Fo

2M3c

2L4

Fzg albo

kN1,679L42

L5

hc

2

Fzg

Fo

L42

L5

Uwaga techniczna. Sens fizyczny tego wzoru jest prosty. Siły osiowe wytwarzają moment, który równy jest

momentu wypadkowemu w środkowym przekroju dwóch ceowników, czyli na odległości od obciążenia. Na

Rys. 11 widać, że akurat w tym punkcie wkład drugiego składnika momentu staje się zerowy.

Fo

Pod działaniem sił osiowych w górnym ceowniku pojawią się dodatkowe naprężenia rozciągające a w dolnym -

ściskające o wartości bezwzględnej

MPa2,407A3

0,5

Fo

σroz3dod

Maksymalne naprężenia normalne przy zginaniu ceowników momentami pokazanymi na Rys. 12 będą na końcachceowników (bo w tych punktach momenty są maksymalne) w strefach 1 i 2 najbardziej oddalonych od osi przekrojukażdego ceownika (Rys. 9). Niżej zostaną wyznaczone wartości bezwzględne tych naprężeń.

Naprężenia normalne,zginanie, strefa nr 1

MPa9,91cJ3c

M3c

σzg3_1

Naprężenia normalne,zginanie, strefa nr 2

MPa4,26hc2

h

J3c

M3c

σzg3_2

Średnie naprężenia styczne, przekrój 3 MPa0,51A3

Fzg

τ3

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

7 / 14

Page 8: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Rys. 13. Potencjalne punkty największych naprężeń normalnych dla odcinka modelowanego za pomocą dwóch ceowników.

Fr

MPa0,51σroz3

Fo

MPa2,4071σroz3dod

M3c

MPa9,91σzg3_1

MPa4,3σzg3_2

MPa9,91σzg3_1

MPa4,3σzg3_2

Normalne naprężenia w odcinku wspornika modelowanego za pomocą dwóch ceowników pochodzą z trzech źródeł:- na skutek siły rozciągającej mamy w każdym punkcie ceowników naprężenie

- na skutek dodatkowego rozciągania/ściskania siłami mamy dodatkowe naprężenia

rozciągające dla górnego ceownika i ściskające dla dolnego.- na skutek działania siły tnącej powstają momenty, które maksymalne wartości osiągają na końcach

ceowników (Rys. 12). Największe rozciąganie mamy w punktach 4 i 5 (wartość ), mniejsze - w

punktach 1 i 8 ( ). Największe ściskanie mamy w punktach 3 i 6 (wartość ),

mniejsze - w punktach 1 i 8 ( ).

Rys. 14. Symboliczne porównanie wartości naprężeń normalnych w punktach 1-8.

Rys. 14 pozwala wstępnie porównać poziom naprężeń normalnych w różnych punktach. Znak 'plus' oznaczanaprężenia rozciągające, 'minus' - ściskające. Podwojenie znaków oznacza relatywnie wysoką wartość naprężeń.Widzimy, że paradoksalnie najwyższy poziom naprężeń osiągany jest nie w oddalonym od miejsca przyłożeniaobciążenia przekroju 1-3-5-7 lecz w przekroju 2-4-6-8, a dokładniej w punktach 4 (maksymalne naprężeniarozciągające) i 6 (maksymalne naprężenia ściskające).

Maksymalne nominalne naprężenie normalnerozciąganie, punkt nr 4

MPa12,83σzg3_1

σroz3dod

σroz3

σnom3r

Maksymalne nominalne naprężenie normalneściskanie, punkt nr 6

MPa11,81σzg3_1

σroz3dod

σroz3

σnom3s

KtRys. 15. Schemat zginania belki z dwoma zaokrągleniami oraz zależność od względnego promieniu zaokrąglenia.

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

8 / 14

Page 9: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

c2d r

d D r2dd

r

0,3c22

d1,6

c2

dc2

1,4Kt3

W standardowych poradnikach brak wzorów do wyznaczenia wartości współczynnika koncentracji naprężeń obokpunktu nr 4. W sposób przybliżony można skorzystać ze schematu pokazanego na Rys. 15 ([1]. Ch. 17, tab. 17f).Przyjmujemy, że w tym przypadku szerokość wąskiego odcinka belki , promień zaokrąglenia to połowa

szerokości rowka , a szerokość szerokiej części belki to . Wtedy względny promień zaokrąglenia

wynosi a względna szerokość belki D/d to . Wartość współczynnika koncentracji

naprężeń, która odpowiada tym parametrom to

Maksymalne naprężenie normalne MPa17,96σnom3r

Kt3

σmax3

Maksymalne naprężenie zredukowane MPa17,982

τ3

32

σmax3

σrmax3

Maksymalne obciążenie dla przekrojuz punktem 4

kN16,69kNσrmax3

kF3

max

Wnioski

kN12,5min F3max

F2max

F1maxP

kr

Największa wartość naprężeń zredukowanych występuje w przekroju nr 2. Odpowiednia wartość siły krytycznej (

) jest maksymalnym obciążeniem dla danego modelu.

Wyznaczenie przemieszczeń

Pr

Pzg

Obliczenia przemieszczeń zostały przeprowadzone dla wyznaczonego wcześniej obciążenia krytycznego. Jego możnapodzielić na dwie składowe: składową normalną , która wywołuje rozciąganie modelu oraz składową styczną ,

wywołującą zginanie.

kN8,81sin αPkr

Pr

kN8,81cos αPkr

Pzg

PrModel uproszczony nr 1, obciążenie - rozciąganie osiowe siłą

Rys. 16. Schemat przeprowadzonych uproszczeń

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

9 / 14

Page 10: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

L1

L2

L3

DL4

L5

W uproszczonym modelu (Rys. 16) pozbywamy się podstawy wspornika oraz tarczy służącej do przyłożenia obciążeniana jego końcu. Upraszczamy kształt otworu kołowego do kwadratu o długości boku równemu średnicy koła, a kształtotworu-rowka – do kształtu prostokąta. Usuwamy zaokrąglenia na styku wspornika i jego podstawy oraz na styku tarczyobciążeniowej i belki wspornika. W ten sposób wspornik staje się belką o przekroju typu rura kwadratowa o długości Lpodzieloną na kilka części:

● Rura o przekroju pełnym na odcinkach o długościach , ,

● Rura osłabiona dwoma otworami kwadratowymi DxD na odcinku o długości

● Rura osłabiona dwoma otworami o kształcie prostokąta o wysokości d na odcinku o długości

Wartości parametrów geometrycznych:

mm400L mm60L1

mm40D mm88L2

mm124L5

mm88L3

Ai

E

Li

FLi

Ai

Wydłużenie i-ego odcinka tego modelu można obliczyć jako , gdzie i są długością odcinku i polem jego

przekroju odpowiednio.Moduł Younga stali GPa210E Współczynnik Poissona 0,3ν

Moduł ścinania GPa80,8ν12

EG

Wydłużenie wspornika mm0,011A3

L5

A2

D

A1

L3

L2

L1

E

Pr

∆r

Ignorując wszystkie otwory można otrzymać zaniżoną wartość maksymalnego przemieszczenia osiowego

Zaniżona wartość wydłużenia mm3

109,97A1

E

LPr

δr

%10,41δr

∆r

Widzimy, że różnica pomiędzy wartością zaniżoną a dokładniejszą to

PzgModel uproszczony nr 2, obciążenie - zginanie siłą

δzg

x x δzg_max

Podobnie jak wcześniej, ignorując wszystkie otwory można zapisać wzór na zależność zaniżonej wartości ugięciaod odległości od punktu umocowania i wyznaczyć wartość maksymalną .

L

x3

Jz1

E

2xLP

zg

6

1δzg

x mm0,6003Jz1

E

3LP

zg

3

1δzg_max

1

Wyżej podano wzory klasycznej teorii belek. W naszym przypadku teoria ta daje zaniżone wartości ugięcia, ponieważwspornik jest relatywnie krótki. Dokładniejsze wyniki pozwala otrzymać teoria Timoszenki, w której te same wzorywyglądają następująco:

0,57ν2

ν1k

2

mm0,646A1

Gk

LPzg

Jz1

E

3LP

zg

3

1δzg_max_T

A1

Gk

xPzg

δzg

xδzg_T

x3

kTu jest współczynnikiem ścinania, wartość którego jest znana tylko dla kilku podstawowych przekrojów belek.Użyty tu wzór (2) jest wyprowadzony dla belek z dowolnym profilem cienkościennym, więc dla rozpatrywanych profilijest to wzór przybliżony. Różnica pomiędzy maksymalnymi wartościami ugięcia obliczonymi ze wzorów teoriiklasycznej i teorii Timoszenki wynosi

%7,61δzg_max

δzg_max_T

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

10 / 14

Page 11: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

PzgModel dokładniejszy nr 3, obciążenie - zginanie siłą

Rys. 17. Schemat przeprowadzonych uproszczeń, model nr 2

mm188L2

DL1

L1

mm124L5

L2

mm88L3

L1

L3

L2

Dokładniejsze oszacowanie ugięcia wymaga podziału wspornika na 3 części pokazane na Rys. 17. Zakładamy, żedwie z nich (o długościach i ) mają pełny przekrój (czyli ignorujemy otwory o średnice D). Część środkowa o

długości składa się z dwóch niezależnych ceowników. Warto od początku mieć na uwadze, że każda z tych belek

jest relatywnie zbyt krótka, żeby móc uzyskać dokładny wynik za pomocą wzorów klasycznej wytrzymałości materiałówdlatego będą używane wzory teorii Timoszenki. Niżej każda z tych części zostanie rozważona osobno.

Odcinek nr 1 (od umocowania do przekroju A)

L1

xPrzemieszczenia w kierunku pionowym dla tego odcinku wspornika można wyznaczyć ze wzoru (3) dla

Maksymalne ugięcie na końcu tego odcinka (czyli w przekroju A) wynosi

mm0,19δzg_T

L1

yA

Kąt pochylenia przekroju A obliczamy ze wzoru otrzymanego za pomocą różniczkowania (3).

A1

Gk

Pzg

L

x

L

x2

Jz1

E

2LP

zg

2

1θ x 3

101,73θ L1

θA

Wyżej znak kąta obrotu przekroju został zmieniony na ujemny ponieważ umownie uważamy dodatnimi przemieszczeniaw dół.

Odcinek nr 2 (od przekroju A do przekroju B)

yA

θA

Pzg

L3

Pzg

x θΑ

yA

Fo

Pzg

Odcinek ten uważamy umocowanym w przekroju A z początkowym przemieszczeniem i początkowym obrotem

przekroju każdego ceownika . Na drugim końcu na ceowniki działa siła tnąca oraz moment gnący . W

tej sytuacji ogólne ugięcie jest suma kilku składników:1. Składnika wynikającego z przesunięcia i obrotu punktu początkowego ceowników: . Tu x –

odległość od przekroju A do wybranego punktu na osi belki.2. Ugięcia wynikającego od czystego zginania dwoch połaczonych ceowników momentem pary sil

3. Ugięcia wynikającego z działania siły tnącej . Daje przemieszczenia pokazane na Rys. 12.

4. Składnika dodatkowego z teorii Timoszenki.

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

11 / 14

Page 12: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Fo

hc

2FoMoment gnący od pary sił czyli

hc

2Fo

Jz3

δ2z

x

θ2

x

Po działaniem momentu gnącego ceowniki odkształcają się tak,

jakby stanowiły całość (Rys. 18). Sztywność dwóch połaczonych przekrojów nazginanie wyznacza moment bezwładości Pozwala to obliczyć zależność

ugięcia od odległości od przekroju A do wybranego punktu na osi belki

oraz kąta obrotu przekroju za pomocą znanych wzorów dla czystego

zginania

Jz3

E2

2xh

c2F

oδ2z

x Jz3

E

xhc

2Fo

θ2z

x

L2

xWartości tych parametrów na końcu ceowników (dla ) są następujące:

Rys. 18. Schemat czystego zginaniapołaczonych ceowników 5

104,24θ2z

L2mm0,0026δ

2zL2

Moment od siły tnącej

Pzg

δ2t

Zakładamy, że na każdy z ceowników działa siła 1/2* , co powoduje ugięcie identyczne z pokazanym na Rys. 12

dla belki podwójnie umocowanej. Dla tego schematu ugięcie można obliczyć za pomocą wzοru

3

L

x2

2

L

x31

JE12

3LP

δ2t

x

xL2

Pzg2

1

δ2t

x

gdzie wszystkie oznaczenia są takie, jak na Rys. 11, x jest odległością wzdłuż osi belki mierzoną od przekroju B do

przekroju A, czyli w kierunku odwrotnym do wymaganego. Po zamianie x na oraz P na dostajemy

ostateczny wzór na ugięcie :

2

L2

x1

L2

x211

J3c

E24

3L2

Pzg

δ2t

x mm0,077009δ2t

L2

Ten typ obciązenia nie powoduje zmiany kąta pochylenia przekroju B.

29,3δ2z

L2

δ2t

L2

Warto odnotować, że ten składnik ugięcia belki jest znacznie wiekszy od poprzedniego. Na końcu belki wywołane im

przemieszczenie jest razy wieksze.

Podsumowanie

A3

Gk

xPzg

δ2z

xδ2t

xxθA

yA

y2 xWzór na pełne ugięcie na całym odcinku

Wartość ugięcia w końcowym przekroju B mm0,501y2 L2

yB

Kąt obrotu przekroju B na końcu ceowników: 0,0018θ2z

L2

θA

θB

Odcinek nr 3 (od przekroju B do końca wspornika)

yB

θB

Pzg

Ten odcinek jest umocowany w przekroju B z początkowym przemieszczeniem i początkowym obrotem przekroju

. Na belkę działa tylko siła tnąca więc do wyznaczenia ugięcia można skorzystać ze wzoru podobnego do (3)

A1

Gk

xPzg

L3

x3

Jz1

E

2xL

3Pzg

6

1δ3

zg_Tx

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

12 / 14

Page 13: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Pełny wzór na ugięcie na tym odcinku

δ3zg_T

xxθB

yB

y3 x

gdzie odległość x mierzona jest od przekroju B. Wartość ugięcia na końcu wspornika :

mm0,6701δ3zg_T

L3

L3

θA

yB

ymax

Wniosek

W danym konkretnym przypadku potencjalnie bardziej dokładny model dał wynik praktycznie identyczny do tego, codaje najprostsze podejście. Prawdopodobna przyczyną - model wymyślony do środkowego odcinka (dwa ceowniki)nie jest w stanie "uchwycić" wszystkie aspekty realnej konstrukcji.

Porównanie z wynikami prostej analizy MES

Ten punkt nie musi być częścią teoretycznego rozdziału PP. Został umieszczony tu w celach dydaktycznych, żebyocenić dokładność metod analitycznych.

Rys. 19. Przemieszczenia osiowe we wsporniku poddanemu rozciąganiu

kN12,47Pkr

Prosta analiza MES przeprowadzona w SWS pokazała, że maksymalne wydłużenie wspornika poddanego obciążeniujest znacznie większe od przewidywanego (Rys. 19). Ale przemieszczenie to wywołane jest

odkształceniem końcowej tarczy, która nie była brana pod uwagę. Średnia wartość przemieszczeń na krawędzi tejtarczy wynosi 0,011 mm i jest zbieżna z wartością obliczoną teoretycznie.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0,5

1

Odległość od umocowania, mm

Ugię

cie, m

m

Teoria uproszczona (brak otworów)

Teoria dokładna

MES 3D

MES belka

Rys. 20. Zależność ugięcia wspornika od odległości od umocowania.

Porównanie wartości ugięcia (Rys. 20) pokazuje, że wyniki teoretyczne od samego początku są niższe od wynikówanalizy MES 3D, ale zgadzają się z wynikami MES dla modelu belkowego. Różnica pomiedzy wynikami teoretycznym anumerycznym dla modelu belkowego zaczyna sie na najbardziej skomlikowanym pod kątem analizy odcinku z dwomaceownikami.

Dane do wykresu

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

13 / 14

Page 14: analiza teoretyczna SMath 2021 v9 - tu.kielce.pl

Rys. 21. Rozkład naprężeń normalnych w połowie wspornika.

Maksymalna wartość naprężeń normalnych otrzymana w wyniku przestrzennej analizy MES (ok. 312 MPa) tylkonieznacznie przekracza naprężenia dopuszczalne (Rys. 21). Dodatkowo teoria poprawnie przewidziała miejscakoncentracji naprężeń w okolicach początku rowka (zaznaczone na Rys. 21).

Literatura

1. Young W., Budynas R., Sadegh A.M. Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th Edition, McGraw-Hill, 2012.

Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021

14 / 14