Tensor tensão e vetor tensãoTensor tensão e vetor tensão

Tensor tensão e vetor tensãoTensor tensão e vetor tensão

vetor tensão:

σxτxz

τxy

σy

τyzτyx

σz

τzxτzySz

Sx

Syn

x

y

z

θx

dAdA

θx

xz

y

n

A

C

B

nSrr

σ=

n = vetor unitário pertencente ao plano ABCS (Sx, Sy, Sz) = vetor tensão no plano ABCσx, σy, σz = componentes escalares de tensão normal

Estado de tensão num pontoEstado de tensão num ponto- designando por dA a área onde atua a tensão desconhecida S (de componentes Sx, Sy, e Sz) e por l, me n os cossenos diretores do vetor unitário n, pode-se demonstrar que:

xzxxx S.n.ml. =++ ττσ y

yzyyxy S.n.ml. =++ τστ

zzyzxz S.n.ml. =++ σττ

Estado de tensão num pontoEstado de tensão num ponto- ou, na forma matricial:

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

SSS

nml

σσ

σ

ττ

ττ

ττ

Estado de tensão num pontoEstado de tensão num ponto

• Tensão é uma grandeza tensorial: [σ] - chamado tensor de tensões;

• Uma vez conhecidas as nove componentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto;

• Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja, σxy = σyx,σxz = σzx e σyz = σzy . Logo, [σ] possui apenas seis componentes independentes.

Estado uniaxial de tensãoEstado uniaxial de tensão

Ex. – ensaio de tração

[ ]

=

00000000xσ

σ

Estado plano de tensõesEstado plano de tensões

Ex. – peças de pequena espessura

[ ]

=

000

0σ

0σ

σ yxy

yxx

τ

τ

Estado triplo de tensõesEstado triplo de tensões

[ ]

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

σσ

σ

σττ

ττ

ττ

Tensões principais e planos Tensões principais e planos principaisprincipais

( )( )

( )0=

−

−

−

pzyzxz

zypyxy

zxyxpx

σσ

σσ

σσ

ττ

ττ

ττ

Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula.

Nestes planos, atuam as tensões principais (σp), as quais correspondem às máximas tensões normais existentes.

Matematicamente, a solução do sistema a seguir permite identificar tais tensões:

Tensões principais e planos Tensões principais e planos principaisprincipais

o que leva a uma equação do 3º grau em σp, cujas raízes correspondem às tensões principais - σp1 > σp2 > σp3:

0322

13 =−+−∴ III ppp .. σσσ

yzxzxyxyxzyz

yzxzxy

I

I

I

ττττστστσσσσ

τττσσσσσσ

σσσ

........

...

zyxzyx

yzzxyx

zyx

22223

2222

1

+−−−=

−−−++=

++=onde:

ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principais

Determine as tensões principais e os planos principais correspondentes:

ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principais

ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principaisNo ponto P do plano de uma dada seção transversal de uma viga atuam as tensões: 40MPa (tração) e 48MPa (no sentido oposto ao do eixo y).

Para tal ponto, pede-se determinar:a) as tensões normal e tangencial em um plano perpendicular ao plano xy, e cuja normal n forme com o eixo x um ângulo de 30º como indicado;b) as máximas tensões normais de tração e de compressão, indicando a orientação dos planos onde ocorrem.

ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principais

Circulo de Circulo de MohrMohr

Embora não seja mais usado como era até algumas décadas atrás, o Círculo de Mohr constitui uma maneira rápida e versátil de se analisar o estado de tensões em um ponto.

Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohrNum certo ponto de uma viga são conhecidas as seguintes

tensões: σx = + 50MPa; σy = -10MPa; τxy = τyx = -40MPa.Utilizando o Círculo de Mohr, pede-se determinar:

- as tensões principais;- a máxima tensão tangencial- a orientação dos planos principais.

ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohr

ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohrSão conhecidas as tensões atuantes no ponto K da viga

esquematizada. Utilizando o círculo de Mohr, determine as tensões e as direções principais.

ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohr