SÉRIE DE FOURIER (FS)

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Série de Fourier

Anteriormente... Sinais combinação linear de δ(t) Sistemas resposta ao impulso h(t)

Análise de Fourier Sinais combinação linear de “senóides”

Exponenciais complexas Sistemas resposta em freqüência

Série de Fourier

Excitação periódica Sistema linear e invariante no tempo (LTI)

Aplicando um impulso ao sistema Resposta ao impulso

Aplicando um trem de impulsos ao sistema “Resposta periódica” Apenas resposta forçada da EDO que rege o

LTI

Série de Fourier

Excitação periódica Exemplos:

Gota em tanque de água Mola Massa

Resposta ao impulso

Série de Fourier

Excitação periódica

Presença de transitório

Série de Fourier

Excitação periódica Exercício

Série de Fourier

Excitação periódica Presença de transitório

Exigência de excitação iniciar “a muito tempo atrás”

Operação trabalhosa Soma infinita de respostas ao impulso

atrasadas

Como analisar apenas a resposta forçada do sistema a uma excitação periódica?

Série de Fourier

Excitação exponencial complexa Dado:

Sistema LTI h(t) Excitação exponencial complexa x(t) = e+jΩt

Por convolução, a resposta é:

Note: resposta para uma freqüência específica Ω

autovalor

j

autofunção

tj de)(he)t(y

Série de Fourier

Excitação exponencial complexa Pelo princípio da superposição

Para o sistema h(t) A resposta é

com

tjk

tj2

tj1

k21 eAeAeA)t(x

tjk

tj2

tj1

k21 eBeBeB)t(y

de)(hB kjk

Série de Fourier

Excitação exponencial complexa Autovalor

Projeção da função h(t) sobre a função g(t) = e+jΩt

Produto interno <h(t), g*(t) >

Autovetor/Autofunção Direção g(t) considerada na qual se projeta

h(t)

de)(hd)(g)(hg,h j

Série de Fourier

Excitação exponencial complexa Exemplo

Aproximação deonda triangularinclinada usandosinais do tipocos(kΩt+Θ)

Série de Fourier

Excitação exponencial complexa As freqüências kΩ são chamadas

harmônicas k ∈ Z São múltiplas de 2π/T

Cada Ak cos(kΩt+Θ) pode ser convertido em: [Ak cos(Θ)] cos(kΩt) + [–Ak sen(Θ)] sen(kΩt)

Senóides com fase soma de senóides e cossenóides ponderadas.

Série de Fourier

Definição Se x(t) é periódico, com período T,

t0≤t<t0+T

E

X[k] k-ésima amplitude harmônica das exponenciais complexas da decomposição de x(t)

Ω = 1 / T

Tt

t

tjk0

0

dte)t(xT

1]k[X

k

tjke]k[X)t(x

Série de Fourier

Definição Em termos de senos e cossenos

E

Xc[k] e Xs[k] k-ésima amplitude harmônica das senóides e cossenóides da decomposição de x(t)

,2,1,0k,dt)tkcos()t(xT

2]k[Xc

1k

scc )tksen(]k[X)tkcos(]k[X]0[X)t(x

,2,1k,dt)tksen()t(xT

2]k[Xs

Série de Fourier

Definição Condições de existência

Sinal absolutamente somável entre t0≤t<t0+T

Número finito de máximos e mínimos entre t0≤t<t0+T

Número finito de descontinuidades entre t0≤t<t0+T

Sinais hipotéticos não possuem série de Fourier x(t) = sen(1/t)

Série de Fourier

Questão de periodicidade A partir de:

Temos que:

k

tjke]k[X)t(x

)qTt(x)t(x

Série de Fourier

Questão de periodicidade

Série de Fourier

Questão de periodicidade

Série de Fourier

Questão da periodicidade Reforçando:

k ∈ Z Não existe componente para k não inteiro! X[k] é uma seqüência/série de números

Ω = 1 / T Freqüência de cálculo está relacionado com o

período do sinal escolhido para a análise da série Existem 2 períodos envolvidos

Período real do sinal Período para cálculo da Série de Fourier

Exemplos/Exercícios

Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS Usando uma amplitude harmônica Xn[k]

O erro mínimo será:

Com argmin{Ee} = X[k]

N

Nk

tjkNN e]k[X)t(x

N|k|

2

Ne ]k[X}Emin{

Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS

Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS

Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS Sinais “contínuos”

Convergência com número finito de harmônicos

Sinais “descontínuos” Presença de impulsos δ(t) Convergência com número finito de

harmônicos Mas não atinge convergência absoluta Fenômeno de Gibbs

Representação de função descontínua usando função contínua (no caso, exponenciais complexas)

Oscilação nas regiões de descontinuidade

Série de Fourier

Truncamento e Convergência de FS Sinais “descontínuos”

Exemplos: Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou

não) “Ruído” em imagens compactadas (JPEG) “Ruído” em vídeo digital compactado (MPEG, TV

digital) Pré-eco em instrumentos de percussão

Série de Fourier

Truncamento e Convergência de FS Aproximação de u(t) via FS

A

A/2

0tA

0t2/A

0t0

)t(Au

Série de Fourier

Propriedades Linearidade

com T = m Tx = q Ty

]k[bY]k[aX]k[Z)t(by)t(ax)t(z

]k[Y)t(y

]k[X)t(x

FS

FS

FS

Série de Fourier

Propriedades Inversão de tempo

com T = m Tx

]k[X)t(x

]k[X)t(xFS

FS

Série de Fourier

Propriedades Deslocamento no tempo

com T = m Tx

Deslocamento em freqüência com T = m Tx

]k[Xe)tt(x

]k[X)t(x0tjkFS

0

FS

]kk[X)t(xe

]k[X)t(x

0FStjk

FS

0

Série de Fourier

Propriedades Deslocamento no tempo atraso de fase

Série de Fourier

Propriedades Deslocamento na freqüência modulação

AM

Série de Fourier

Propriedades Escala de tempo

com T = m Tx

ou

aTT],k[X)at(x

TT],k[X)t(x

xFS

xFS

xFS

xFS

TT,.c.c,0

ak],ak[X)at(x

TT],k[X)t(x

Z

Série de Fourier

Propriedades Diferenciação

Com T = m Tx

]k[Xjk)t(xdt

d

]k[X)t(x

FS

FS

Série de Fourier

Propriedades Integração

Com T = m Tx e X[0]=0

Se X[0] ≠ 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica

Inexistência da série de Fourier para tal sinal

0k,jk

]k[Xd)(x

]k[X)t(x

FSt

FS

Série de Fourier

Propriedades Modulação

com T = m Tx = q Ty

]k[Y]k[X]k[Z)t(y)t(x)t(z

]k[Y)t(y

]k[X)t(x

FS

FS

FS

Série de Fourier

Propriedades Convolução periódica

com T = m Tx = q Ty

]k[Y]k[XT]k[Z)t(y)t(x)t(z

]k[Y)t(y

]k[X)t(x

FS

FS

FS

Série de Fourier

Propriedades Modulação e Convolução

Modulação no tempo Convolução em freqüência

Convolução no tempo Modulação em freqüência

Princípio de filtragem!

Série de Fourier

Propriedades Conjugado

Com T = m Tx

Propriedade decorrente: Se x(t) é par, |X[k]|2 – módulo – é par Se x(t) é par, <X[k] – fase – é impar

]k[X]k[Y)t(x)t(y

]k[X)t(xFS

FS

Série de Fourier

Propriedades Teorema de Parseval

Com T = m Tx

Potência média do sinal Soma das potências médias harmônicas

k

2FS

T

2

FS

]k[Xdt)t(xT

1

]k[X)t(x

Série de Fourier

Aplicação em Análise de Sistemas LTI Do conceito de autofunção

Excitação exponencial complexa (freqüência Ω)

Resposta exponencial complexa (freqüência Ω)

Exemplos/Exercícios

Série de Fourier

Aplicação em Análise de Sistemas LTI Aplicação direta sobre EDO

Linear a coeficientes constantes Obtenção da resposta do sistema a

componentes harmônicos espectrais Por manipulação algébrica

Apenas para harmônicos de Ω = 2π/T

]k[H]k[V]k[V

in

out