Post on 25-Jul-2020
Dr. A. Ozols 1
Dr. Andrés Dr. Andrés OzolsOzols
SEMICONDUCTORESSEMICONDUCTORES
fuera del EQUILIBRIOfuera del EQUILIBRIO
Facultad de Ingeniería
UBA
2007
Dr. A. Ozols 2
FENÓMENOS de TRANSPORTE de CARGAFENÓMENOS de TRANSPORTE de CARGA
ARRASTRE de PORTADORESARRASTRE de PORTADORES
ar arJ vρ= ρρ >0>0
La densidad de carga moviLa densidad de carga moviééndose a una velocidad promedio de deriva o arrastre ndose a una velocidad promedio de deriva o arrastre vvarar
J en unidades de J en unidades de CoulCoul/cm/cm2 2 ss
( )par arpJ ep v=
La densidad de corriente de huecos esLa densidad de corriente de huecos es
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ARRASTRE de PORTADORESARRASTRE de PORTADORES
La velocidad de arrastre es proporcional al campo La velocidad de arrastre es proporcional al campo
arp pv Eµ=
µµpp es la movilidad de los huecoses la movilidad de los huecos
par pJ ep Eµ=
La densidad de corriente de arrastre resultaLa densidad de corriente de arrastre resulta
En cambio para los electrones que se desplazan en sentido contraEn cambio para los electrones que se desplazan en sentido contrario al campo.rio al campo.
arn nv Eµ= − Con Con µµn n >0>0
( )( )nar n nJ en E en Eµ µ= − − =
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ARRASTRE de PORTADORESARRASTRE de PORTADORES
19003900Germanio
4008500Arseniuro de Galio4801350Silicio
µp (cm2/Vs)µn (cm2/Vs)
Las magnitudes tLas magnitudes tíípicas de la movilidad de los electrones y huecos a 300 Kpicas de la movilidad de los electrones y huecos a 300 K
La densidad de corriente de arrastre debida a los dos tipos de La densidad de corriente de arrastre debida a los dos tipos de portadores de cargaportadores de carga
( )ar par nar p nJ J J e p n Eµ µ= + = +
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Efectos de la movilidadEfectos de la movilidad
La ecuaciLa ecuacióón de movimiento de huecos en un campo eln de movimiento de huecos en un campo elééctrico E es ctrico E es
* *p p
dvF m a m eEdt
= = =
La velocidad de la partLa velocidad de la partíícula, cula, vv, en el campo el, en el campo elééctrico E no incluye el efecto la ctrico E no incluye el efecto la velocidad tvelocidad téérmica aleatoria rmica aleatoria
*p
eEv tm
=La integraciLa integracióón de la ecuacin de la ecuacióón asumiendo n asumiendo una velocidad de arrastre inicial nulauna velocidad de arrastre inicial nula
El movimiento tEl movimiento téérmico estrmico estáá caracterizado por un tiempo medio entre caracterizado por un tiempo medio entre colisiones colisiones ττcpcp
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Efectos de la movilidadEfectos de la movilidad
La velocidad de arrastre mLa velocidad de arrastre mááxima, previa a la colisixima, previa a la colisióón o dispersin o dispersióónn
*armáx Cpp
eEvm
τ=
*ar pp
eEvm
τ≈
Su valor medio es la mitad Su valor medio es la mitad del valor mdel valor mááximoximo
*arp
p pp
v eE m
µ τ= =
Entonces la movilidad resulta Entonces la movilidad resulta para los huecospara los huecos
AnAnáálogamente, para los logamente, para los electroneselectrones
*arn
n nn
v eE m
µ τ= =
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Efectos de la movilidadEfectos de la movilidad
32
R Tµ−
∝
a)a) DispersiDispersióónn con la red cristalina con la red cristalina
Los Los fononesfonones (cuantos de vibraci(cuantos de vibracióón n que son generados por la que son generados por la vibracivibracióón tn téérmica de los rmica de los áátomos tomos de la red) de la red) interactinteractúúan con los an con los portadores de cargaportadores de carga
conduce a la dependencia con la Tconduce a la dependencia con la T
Los mecanismos de interacciLos mecanismos de interaccióón o dispersin o dispersióón de las cargas son:n de las cargas son:
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32
II
TN
µ ∝
I d aN N N+ −= +
b)b) DispersiDispersióónn con las impurezas con las impurezas
Las impurezas son ionizadas a Las impurezas son ionizadas a temperatura ambiente de modo temperatura ambiente de modo existen interacciones existen interacciones coulombianascoulombianas con huecos y con huecos y electrones adicionales liberados, electrones adicionales liberados, que alteran la velocidad de que alteran la velocidad de arrastre arrastre
El nEl núúmero total de impurezasmero total de impurezas
Efectos de la movilidadEfectos de la movilidad
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DIFUSIÓN de PORTADORESDIFUSIÓN de PORTADORES
( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2n Ter Ter TerF n v n v v n nλ λ λ λ= − − + = − − +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )1 0 02n Ter Ter
dn dn dnF v n n vdx dx dx
λ λ λ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + = −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Suponiendo que la Suponiendo que la concentraciconcentracióón electrn electróónicanicavarvaríía en una dimensia en una dimensióónn
El flujo neto de electrones que cruzan el plano x = 0 ,y l es eEl flujo neto de electrones que cruzan el plano x = 0 ,y l es el camino libre l camino libre medio entre colisiones, medio entre colisiones, λλ, que tiene una velocidad t, que tiene una velocidad téérmica rmica VVTerTer
Esto corresponde a un desarrollo en serie en el entorno de x = 0Esto corresponde a un desarrollo en serie en el entorno de x = 0
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DIFUSIÓN de PORTADORESDIFUSIÓN de PORTADORES
n n TerdnJ eF evdx
λ= − =
La densidad de La densidad de corriente de difusicorriente de difusióón electrn electróónicanica desde la zona de alta a la de desde la zona de alta a la de baja densidadbaja densidad
J
F
Dn n ndnJ eF eDdx
= − =
DDnn Coeficiente de DifusiCoeficiente de Difusióónn de de electroneselectrones
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DIFUSIÓN de PORTADORESDIFUSIÓN de PORTADORES
AnAnáálogamente, la densidad de logamente, la densidad de corriente de difusicorriente de difusióón de huecosn de huecos desde la zona de desde la zona de alta a la de baja densidadalta a la de baja densidad
Dp p pdpJ eF eDdx
= − = −
DDpp Coeficiente de DifusiCoeficiente de Difusióónn de huecosde huecos
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DIFUSIÓN de PORTADORESDIFUSIÓN de PORTADORES
.DJ eF qD n= − = − ∇
La densidad de corriente de difusiLa densidad de corriente de difusióón tendrn tendráá sentido definido por la carga, qsentido definido por la carga, q
El flujo de difusiEl flujo de difusióón, F, tiene la direccin, F, tiene la direccióón del gradiente de concentracin del gradiente de concentracióón de n de partpartíículas, pero sentido inversoculas, pero sentido inverso
.F D n= − ∇Ley de Ley de FickFick
La densidad de corriente de (difusiLa densidad de corriente de (difusióón + arrastre)n + arrastre)
( ) ( )D ar Dn Dp arn arpJ J J J J J J= + = + + +
( ) ( )n p n pJ eD n eD p en E ep Eµ µ= ∇ − ∇ + +
DENSIDAD de CORRIENTE TOTALDENSIDAD de CORRIENTE TOTAL
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Efectos de la movilidadEfectos de la movilidadSi ambos procesos de dispersiSi ambos procesos de dispersióón son independientes, la probabilidad n son independientes, la probabilidad de que ocurran en un intervalo de que ocurran en un intervalo dtdt es aditiva:es aditiva:
I R
dt dt dtτ τ τ
= +
Entonces la movilidad que tiene la formaEntonces la movilidad que tiene la forma *ar
Cpv eE m
µ τ= =
El aporte de todos los mecanismos de dispersiEl aporte de todos los mecanismos de dispersióón conducirn conduciráá
1 1 1
I Rµ µ µ= +
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Exceso de electrones en la Exceso de electrones en la banda de conducciónbanda de conducción
Exceso de huecos en la Exceso de huecos en la banda de valencia banda de valencia
Concentración de electrones Concentración de electrones en el equilibrioen el equilibrio
Concentración de huecos en Concentración de huecos en el equilibrioel equilibrio
+
SECONDUCTOR fuera del EQUILIBRIOSECONDUCTOR fuera del EQUILIBRIO
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GENERACIÓN: proceso de GENERACIÓN: proceso de creación de huecos o creación de huecos o electroneselectrones
RECOMBINACIÓN:RECOMBINACIÓN: proceso de proceso de aniquilación de huecos o aniquilación de huecos o electroneselectrones
≠
0 0n pG G=Velocidad de generación Velocidad de generación térmica de electronestérmica de electrones
Velocidad de generación Velocidad de generación térmica de huecostérmica de huecos
Partículas/cmPartículas/cm33s
SEMICONDUCTOR en EQUILIBRIOSEMICONDUCTOR en EQUILIBRIO
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0 0n pR R=Velocidad de Velocidad de recombinación térmica recombinación térmica de electronesde electrones
Velocidad de Velocidad de recombinaciónrecombinacióntérmica de huecostérmica de huecos
0 0 0 0n p n pR R G G= = =
Velocidad de Velocidad de generación térmicageneración térmica
Velocidad de Velocidad de recombinación térmicarecombinación térmica=
SEMICONDUCTOR en EQUILIBRIOSEMICONDUCTOR en EQUILIBRIO
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GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESOGENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESO
Tiempos de vida de electrones y huecos en excesoτn0, τp0
Velocidades de recombinación de electrones y huecos en exceso
R´n, R´p
Velocidades de generación de electrones y huecos en exceso
g´n, g´p
Concentración en exceso de electrones y huecos (pueden ser dependiente del tiempo y la posición)
δn = n-n0
δp = p-p0
Concentración total de electrones y huecos (pueden ser dependiente del tiempo y la posición)
n, p
Concentración de electrones y huecos en equilibrio térmico (independiente del tiempo y la posición)
n0, p0
DefiniciónSímbolo
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GENERACIÓN de PORTADORES en EXCESOGENERACIÓN de PORTADORES en EXCESO
´ ´n pg g=Los excesos son
generados en pares hueco-electrón
0n n nδ= +
0p p pδ= +
20 0 inp n p n≠ =
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RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESORECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESO
En estado estacionario no hay un crecimiento continuo de las concentraciones debido a la
recombinación de los portadores
´ ´n pR R=
( ) ( ) ( )2r i
dn tn n t p t
dtα ⎡ ⎤= −⎣ ⎦El cambio neto de la
concentración electrónica
( ) ( )0n t n n tδ= +( ) ( )0p t p p tδ= +
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( ) ( ) ( )2r i
dn tn n t p t
dtα ⎡ ⎤= −⎣ ⎦El cambio neto de la
concentración electrónica
( ) ( )0n t n n tδ= +( ) ( )0p t p p tδ= +
GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESOGENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESO
Velocidad de recombinación en equilibrio térmico
( ) ( )p t n tδ δ=La recombinación ocurre en pares
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
20 0
0 0
r i
r
d n tdn tn n n t p p t
dt dtd n t
n t n p n tdt
δα δ δ
δα δ δ
⎡ ⎤= = − + +⎣ ⎦
= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
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GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESOGENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESO
CONDICIÓN de BAJA INYECCIÓN
de carga
0 0n p
0p nδ
SC TIPO N
SC TIPO P 0 0p nbaja inyección
0n pδbaja inyección
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GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESOGENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESO
( )( ) ( ) ( )´0
0n r
n
d n t n tR p n t
dtδ δ
α δτ
−= = =La velocidad de recombinación
( )´ ´
0n p
n
n tR R
δτ
= =La recombinación de huecos y electrones
Caso SC TIPO P ( )( ) ( ) 0r
d n tn t p
dtδ
α δ≈ −
( ) ( ) ( )0 0/0 0r np t tn t n e n eα τδ δ δ− −≈ =La solución
00
1n
r pτ
α=Tiempo de vida de portadores
minoritarios en exceso
0 0p n
0p nδBaja inyección de carga
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Caso SC TIPO N
con baja inyección ( ) 0p t pδ
0 0p n
( )´ ´
0n p
p
p tR R
δτ
= =
La recombinación de huecos y electrones
GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESOGENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES en EXCESO
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ANÁLISIS MATEMÁTICO del EXCESO de PORTADORESANÁLISIS MATEMÁTICO del EXCESO de PORTADORES
ECUACIÓN de CONTINUIDADECUACIÓN de CONTINUIDAD
( ) ( ) ( )pxpx px
F xF x dx F x dx
x
++ + ∂
+ = +∂
( ) ( ) ( )pxpx px
F xp dxdydz F x dx F x dydz dxdydzt x
++ + ∂∂ ⎡ ⎤= + − = −⎣ ⎦∂ ∂
Flujo de huecos (número de huecos/cm2 s)Elemento de volumen
( )pxF x+ ( )pxF x dx+ +
El incremento del número de huecos
Considerando la generación y recombinación
( )pxp
pt
F xp pdxdydz g dxdydzt x τ
+⎡ ⎤∂∂= − + −⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
Tiempo de vida de portadores en equilibrio térmicoptτ
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( )pxp
pt
F xp pgt x τ
+∂∂= − + −
∂ ∂
La ecuación de continuidad
Similarmente para electrones
( )nxn
nt
F xn ngt x τ
−∂∂= − + −
∂ ∂ nxF − Flujo de electrones (número de
electrones/cm2s)
ECUACIÓN de CONTINUIDADECUACIÓN de CONTINUIDAD
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ECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPOECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPO
p p ppJ e pE eDx
µ ∂= −
∂
n n nnJ e nE eDx
µ ∂= +
∂
Las densidades de corrientes de huecos y electrones
El flujo de partículas
pp p p
J pF pE De x
µ+ ∂= = −
∂
nn n n
J nF nE De x
µ− ∂= = − −
− ∂
( )pp p
F ppE Dx x x x
µ+∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
La divergencia del flujo de huecos
Pero
( )pxp
pt
F x p pgx t τ
+∂ ∂= − + −
∂ ∂
( )p p ppt
p p pg pE Dt x x x
µτ
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( )2
2p p ppt
p p ppE D gt x x
µτ
∂ ∂ ∂= − + + −
∂ ∂ ∂
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( )nn n
F nnE Dx x x x
µ−∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
La divergencia del flujo de electrones
Pero
( )nxn
nt
F x n ngx t τ
−∂ ∂= − + −
∂ ∂
( )n n nnt
n n ng nE Dt x x x
µτ
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − = − − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( )2
2n n nnt
n n nnE D gt x x
µτ
∂ ∂ ∂= + + −
∂ ∂ ∂
ECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPOECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPO
Además
( ) p EpE E px x x
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂
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ECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPOECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPO
2
2n n nnt
n n E n nD E n gx x x t
µτ
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
2p p ppt
p p E p pD E p gx x x t
µτ
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Las ecuaciones de difusión resultan entonces
En función de los excesos
( ) ( ) ( )2
2n n nnt
n n nE nD E n gx x x tδ δ δ
µτ
∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( ) ( ) ( )2
2p p ppt
p p pE pD E p gx x x tδ δ δ
µτ
∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( )
( )
ppx x
ppt t
δ
δ
∂∂=
∂ ∂∂∂
=∂ ∂
pero
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TRANSPORTE AMBIPOLARTRANSPORTE AMBIPOLAR
intapE E E= +
( ) intint.
s
e p n EEx
δ δε
− ∂∇ = =
∂
int apE E
El campo eléctrico total
El campo interno es generado por los excesos de carga
Esto complica la determinación de las concentraciones de los excesos!!
Podría aproximarseEsto es aceptable en
la situación de neutralidad de carga
p nδ δ≈ int. 0E∇ ≈
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TRANSPORTE AMBIPOLARTRANSPORTE AMBIPOLAR
p ng g g= =
p npt nt
p nR R Rτ τ
= = = =
Son definidas la generación y recombinación de los excesos
( ) ( ) ( )2
2n n
n n nED E n g Rx x x tδ δ δ
µ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂
+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( ) ( ) ( )2
2p p
p p pED E p g Rx x x tδ δ δ
µ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂
+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Realizando la combinación nnµ
ec. 1
ec. 2
ec. 1 + p pµ ec. 2
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TRANSPORTE AMBIPOLARTRANSPORTE AMBIPOLAR
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2n p p n p n
p n n p n p
p pnD pD p n E
x xpEnp pn n p g R n p
x t
δ δµ µ µ µ
δµ µ µ µ µ µ
∂ ∂+ + −
∂ ∂∂∂
+ − + + − = +∂ ∂
Dividiendo por ( )n pn pµ µ+
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2n p p n p n
n p n p
nD pD p p pp n E g R
x x tn p n p
µ µ µ µδ δ δµ µ µ µ
+ ∂ ∂ ∂+ − + − =
∂ ∂ ∂+ +
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TRANSPORTE AMBIPOLARTRANSPORTE AMBIPOLAR
( ) ( ) ( ) ( )2* *
2
p p pD E g R
x x tδ δ δ
µ∂ ∂ ∂
+ + − =∂ ∂ ∂
La ecuación de difusión ambipolar
Definiendo el coeficiente de difusión y la movilidad ambipolares
( )( )
* n p p n
n p
nD pDD
n p
µ µ
µ µ
+=
+
( )( )
* p n
n p
p nn p
µ µµ
µ µ−
=+
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LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGALÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA
( )*n p p n
n p p n n p
n p n pn p
e eD nD D pDnD pD D D n pkT kTD e en p D n D pD n D pkT kT
µ µµ µ
++ += = =
+ ++
Las relaciones de Einstein relacionan la movilidad con los coeficientes de difusión
pn
n p
eD D kT
µµ= =
( )( ) ( )
0 0*
0 0
n p
n p
D D n n p nD
D n n D p nδ δ
δ δ+ + +
=+ + +
El coeficiente de difusión resulta
Dr. A. Ozols 34
LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGALÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA
a) semiconductor es de tipo P 0 0p n Baja inyección de carga 0p nδ
( )( ) ( )
0 0 0*
0 0 0
n p n pn
n p p
D D n n p n D D pD D
D n n D p n D pδ δ
δ δ+ + +
= =+ + +
( ) ( )( ) ( )
0 0 0*
0 0 0
p n p n p nn
n p n p p
p n p n pn p n n p n p
µ µ µ µ µ µµ µ
µ µ µ δ µ δ µ− −
= = =+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )2
2n n
n n nD E g R
x x tδ δ δ
µ∂ ∂ ∂
+ + − =∂ ∂ ∂
p nδ δ≈ Hipótesis de neutralidad de carga
La ecuación ambipolar se reduce a la correspondiente al exceso del portador minoritario
Dr. A. Ozols 35
LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGALÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA
( ) ( )´ ´0n n no n n ng R g R G g R R− = − = + − +
La generación y recombinación del exceso minoritario
generación del equilibrio y del exceso recombinación del equilibrio y del exceso
En equilibrio térmico 0 0p nG G=
´ ´ ´n n n
n
ng R g R g δτ
− = − = −
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LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGALÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA
( ) ( ) ( )2´
2p pp
p p ppD E gx x tδ δ δδµ
τ∂ ∂ ∂
+ + − =∂ ∂ ∂
Análogamente, la ecuación ambipolar para SC fuertemente extrínseco tipo N
( ) ( ) ( )2´
2n nn
n n nnD E gx x tδ δ δδµ
τ∂ ∂ ∂
+ + − =∂ ∂ ∂
Ecuación ambipolar para SC fuertemente extrínseco tipo P
Dr. A. Ozols 37
Estado estacionario ( ) ( )0n p
t tδ δ∂ ∂
= =∂ ∂
Distribución uniforme de portadores en exceso
( ) ( )2 2
2 20, 0p n
p nD D
x xδ δ∂ ∂
= =∂ ∂
Campo eléctrico nulo( ) ( )0, 0p n
p nE E
x xδ δ
µ µ∂ ∂
= =∂ ∂
No hay generación en volumen de pares hueco-electrón
´ 0g =
APLICACIONES de la ECUACIÓN de TRANSPORTE AMBIPOLARAPLICACIONES de la ECUACIÓN de TRANSPORTE AMBIPOLAR
Dr. A. Ozols 38
APLICACIONES de la ECUACIÓN de TRANSPORTE AMBIPOLARAPLICACIONES de la ECUACIÓN de TRANSPORTE AMBIPOLAR
No hay generación en volumen de pares hueco-electrón
( )p
ppt
δδτ
∂− =
∂
Distribución uniforme de portadores en exceso ( ) ( )0 p
t
p t p e τδ δ−
=
Estado estacionario
No hay generación en volumen de pares hueco-electrón
( )2
2 0pp
p pDxδ δ
τ∂
− =∂Campo eléctrico nulo ( ) p p
x xL Lp x Ae Beδ
−
= +
P p pL D τ= Longitud de Difusión
Situaciones frecuentes
a)
b)