Rappel: limites à gauche et à droite

DéfinitionSoit f : A →R, A intervalle de R et a ∈R (a est dans A ou c’est uneextrémité de A ). On dit que la limite à gauche de f en a existe si:

∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ A , a − δ < x < a =⇒ |f(x)− L | < ε.

La limite à droite se définit de la même manière avec a < x < a + δ.Dans le cas où les valeurs de f(x) s’approchent de la limite en restanttoujours au-dessus (ou en-dessous) on le notera « avec un plus »:

DéfinitionOn dit que limx→a f(x) = L+ si limx→a f(x) = L et f(x) > L pour x prochede a .

De la même manière, on peut aussi écrire limx→ax<a

f(x) = L+, etc...

ExempleLa fonction x 7→ x a une limite nulle en 0. On peut cependant être plusprécis et écrire :

limx→0<

x = 0− limx→0>

x = 0+.

Avec les règles de calcul étendues ceci donne :

limx→0<

1x=

10−

= −∞ limx→0>

1x=∞.

RemarqueLorsque la limite de f en a existe, alors les limites à gauche et à droiteexistent et valent limx→a f .

Notations de Landau:

Contenu de la section

Notations de Landau:

Notations de Landau:

Notation de Landau

Il arrive souvent qu’on ait besoin de comparer des fonctions « sur lelong terme ».

ExempleDeux populations de bactéries peuvent avoir le même nombred’individus au début, mais leur nombre va-t-il rester comparable toutle temps? Les deux nombres vont-ils rester du même ordre degrandeur?

ExempleSi deux algorithmes pour factoriser le nombre n prennentrespectivement f(n) et g(n) secondes, comment savoir lequel est leplus rapide lorsque n devient grand?

Nous allons voir une définition permettant de comparer cesgrandeurs.

Notations de Landau:

Grands O

DéfinitionSoient f ,g :R→R deux fonctions. Supposons qu’il existe r ∈R et c > 0tels que pour tout x ∈ ]r ,+∞[ on a

|f(x)| ≤ c · |g(x)|On dit alors « f est un O(g) » (prononcer « f est un grand O de g »).

RemarqueCette notion indique que f /g reste borné. Généralement on compareune fonction f intéressante à une fonction g bien connue. On diraaussi que l’ordre de grandeur de f est inférieur à celui de g .

Notations de Landau:

Exemple

I 10x est O(x). En effet, si x > 0, on a bien 10x ≤ cx (par exemplec = 10 fonctionne).

I Inversement, x est O(10x) car x ≤ c10x avec c = 110 .

I sin(x)+ x2 est en O(x2) car sin(x)+ x2 ≤ 1+ x2 ≤ 2x2 si x ≥ 1.I x est O(x2) mais x2 n’est pas O(x).

Notations de Landau:

Une charactérisation des O

RésultatConsidérons la limite limx→∞

∣∣∣∣ f(x)g(x)

∣∣∣∣.I Si elle existe dans R, alors f(x) est O(g(x)).I Si elle est infinie, alors f(x) n’est pas O(g(x)).

Dans le premier cas, si la limite existe, c’est que∣∣∣∣ f(x)

g(x)

∣∣∣∣ reste bornéquand x devient suffisamment grand. Et donc

f(x) = O(g(x)

).

Notations de Landau:

Exemplexn est O(xk ) si et seulement si n ≤ k . En d’autres termes : xn est d’unordre de grandeur inférieur à xk si et seulement si n ≤ k .En effet: on calcule le quotient

∣∣∣ xn

xk

∣∣∣= ∣∣∣xn−k∣∣∣ :

I Si n ≤ k alors l’exposant n − k est négatif ou nul, donc le quotienttend vers 0 ou 1.

I Si n > k , alors l’exposant est strictement positif et donc lequotient tend vers +∞.

Notations de Landau:

« Petit o »Une définition similaire est la suivante :

DéfinitionLorsque limx→∞

∣∣∣∣ f(x)g(x)

∣∣∣∣= 0, on dit alors que f(x) est o(g(x)).

Remarque

I En particulier f(x) est en O(g(x)) mais être « peit o » donne plusd’informations (c’est plus fort).

I Si g(x) tend vers 0 et f(x) est un o(g(x)), alors f tend vers 0 plusvite que g !

Exemple

I x2 est un o(x3) (pour x→∞)I x3 n’est pas un o(x2) (pour x→∞),

Notations de Landau:

DéfinitionLes définitions de o et O se définissent de la même manière lorsque xtend vers a ∈R ou vers −∞. Il faut alors préciser à chaque fois quelleest la limite pour x !

Exemple

I x3 est un o(x2) (pour x→ 0), car

limx→0

∣∣∣∣∣∣x3

x2

∣∣∣∣∣∣= limx→0|x |= 0.

I x2 n’est pas un o(x3) (pour x→ 0).I (x −1)3 est o((x −1)2) (pour x→ 1),I x −a est o(1) quand x→ a .

RemarqueÉcrire f(x) = o(1) quand x→ a » (ici a peut être fini ou ±∞) signifiejuste: limx→a f(x) = 0.

Continuité

Contenu de la section

Continuité

Continuité

DéfinitionSoit f : A → B une fonction réelle et a ∈ A . La fonction f est ditecontinue au point a si

limx→a

f(x) = f(a)

RemarqueUne fonction est continue en a si ses valeurs près de a tendent verssa valeur en a .

Définitionf est discontinue au point a si f n’est pas continue au point a .

Définitionf est continue (sur son domaine) si elle est continue en chaque point ade son domaine.

Continuité

ExemplePar exemple, la fonction

f :R0→R : x 7→ 1x

est continue car elle est continue en chaque a ∈R0 =R\{0}.

Attention, cette fonction n’est pas définie en 0. Donc ça n’a pas desens de parler de sa continuité en 0!

Continuité

Exemple

1. Les fonctions suivantes sont continues :I g :R→R : x 7→ x2,I h :R→R : x 7→ |x | etI i :R+→R+ = x 7→

√x

2. La fonction

j :

R→Z

x , 0 7→ x|x |

0 7→ 0est discontinue en 0.

Leitmotiv: Une fonction est continue si on peut tracer son graphesans lever le crayon. Ou encore: si son graphe n’a pas de « sauts ».

Continuité Continuité et opérations

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ContinuitéContinuité et opérationsPropriétés importantes des fonctions continues

Continuité Continuité et opérations

Soient deux fonctions f et g continues en un point a . Soit c ∈R uneconstante. Alors

f +g est continue en a

cf est continue en a

fg est continue en aSi, de plus, g(a) , 0, alors

fg

est continue en a .

Continuité Continuité et opérations

RésultatSi f : A → B et g : C → D, avec A ,B ,C ,D ⊂R et Im f ⊂ C (de sorte que lacomposée g ◦ f a du sens), si f est continue en a et g est continue enf(a) alors

g ◦ f est continue en a .

RemarqueCes règles de calculs sont des conséquences directes des règles decalculs pour les limites.

Continuité Propriétés importantes des fonctions continues

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ContinuitéContinuité et opérationsPropriétés importantes des fonctions continues

Continuité Propriétés importantes des fonctions continues

Le théorème des bornes atteintes

Théorème (Théorème des bornes atteintes)Soit f : [a ,b ]→R une fonction continue. Alors l’image f([a ,b ]) estencore un intervalle fermé: il existe u ,v deux réels dans [a ,b ] tels quef([a ,b ]) = [f(u),f(v)].

Continuité Propriétés importantes des fonctions continues

ExempleL’image de [0,2π] par la fonction sinus est [−1,1], qu’on peuteffectivement ré-écrire [sin(3π/2),sin(π/2)].

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Fig.: Graphe de sin

Continuité Propriétés importantes des fonctions continues

Théorème des valeurs intermédiaires

Il est intuitivement clair que si le graphe d’une fonction continue« démarre » en dessous d’une droite horizontale et se termine audessus de cette droite, il doit croiser la droite quelque part. C’estl’objet du résultat suivant :

Théorème (Théorème de la valeur intermédiaire.)Soit f : [a ,b ]→R une fonction continue. Pour tout γ ∈R strictementcompris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ ]a ,b [ tel que f(c) = γ.

Une conséquence frappante est la suivante:

RésultatSoit f : [a ,b ]→R une fonction continue telle que f(a) < 0 et f(b) > 0.Alors il existe c ∈ ]a ,b [ tel que f(c) = 0.

Continuité Propriétés importantes des fonctions continues

Continuité des fonctions réciproques

RésultatSoit f une fonction réelle bijective définie sur un intervalle. Si f estcontinue en a, alors sa réciproque est continue en f(a).

Attention, ça ne marche plus si f n’est pas définie sur un intervalle! Parexemple si f est définie sur une union d’intervalles. (Uncontre-exemple est dans le syllabus).

Dérivées

Contenu de la section

Dérivées

Dérivées

RappelConsidérons la droite D du plan passant par les points (x ,y) et(x +∆x ,y +∆y), avec ∆x , 0. Cette droite possède une pente

m B∆y∆x

qui vaut, lorsque le repère est orthonormé, la tengente de l’angleformé par la droite avec l’horizontale.

DéfinitionSoit f : A ⊂R→R une fonction, et soit a un point intérieur à A (cen’est pas une extrémité de A ). Si la limite

limx→a

f(x)− f(a)x −a

existe dans R, on appelle cette limite le nombre dérivé de f en a et onle note f ′(a).

Quand cette limite existe, on dit que f est dérivable au point a , ouencore que f ′(a) existe.

Dérivées

6

-

y

x

∆y

∆x

P2

P1

y = f(x)

Dérivées

6

-

y

x

P2P1

y = f(x)

Dérivées

ExempleSi f(x) = x2, le nombre dérivé de f en a est 2a

Démonstration.On remarque que

f(x)− f(a)x −a

=x2 −a2

x −a=

(x −a)(x +a)x −a

= x +a

pour tout x , a . Dès lors lorsque x→ a , la limite vaut bien 2a .

On notera donc f ′(a) = 2a , ou f ′(x) = 2x .

Dérivées

RemarqueLes deux écritures suivantes sont identiques :

limx→a

f(x)− f(a)x −a

= limh→0

f(a +h)− f(a)h

On a juste posé h = x −a , qui tend vers 0 lorsque x tend vers a . Onchoisira de calculer l’expression la plus simple en fonction ducontexte donné.

Étant donnée f une fonction, la notion de dérivabilité ci-dessus donnelieu à une nouvelle fonction, notée f ′ qui à chaque valeur x pourlaquelle f est dérivable associe le nombre dérivé de f en x , c’est-à-diref ′(x). Cette fonction f ′ est appelée la fonction dérivée de f .

Dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables

RésultatSi c est une constante, et f et g sont des fonctions dérivables, on a

1. (cf)′ = cf ′

2. (f +g)′ = f ′ +g ′

3. (fg)′ = f ′g + fg ′

4. Sur un domaine où g ne s’annule pas :(

fg

)′= f ′g−fg ′

g2 .

Nous allons détailler les preuves de 1 et 3 (les autres sont dans lesyllabus).

Dérivées

RésultatSi c est une constante et f une fonction dérivable, alors (cf)′ = cf ′

Démonstration.Il faut montrer que pour tout u dans le domaine de f ′ ,(cf)′(u) = cf ′(u). On calcule simplement :

limx→u

(cf)(x)− (cf)(u)x −u

= limx→u

cf(x)− cf(u)x −u

= limx→u

cf(x)− f(u)

x −u

= c limx→u

f(x)− f(u)x −u

= cf ′(u)

Dérivées

Avant de prouver la formule pour le produit, nous aurons besoin durésultat suivant :

RésultatSi f est dérivable en u, alors f est continue en u.

Démonstration.On suppose que limx→u

f(x)−f(u)x−u existe et vaut alors le nombre réel

f ′(u). On écrit alors que, pour tout x , u :

f(x) =f(x)− f(u)

x −u(x −u)+ f(u)

et donc en passant à la limite :

limx→u

f(x) = limx→u

( f(x)− f(u)x −u

(x −u)+ f(u))= f ′(u)0+ f(u) = f(u).

Dérivées

RésultatSi f et g sont des fonctions dérivables en u,alors(fg)′(u) = f ′(u)g(u)+ f(u)g ′(u)

Démonstration.

limx→u

(fg)(x)− (fg)(u)x −u

= limx→u

f(x)g(x)− f(u)g(u)x −u

= limx→u

f(x)g(x)− f(x)g(u)+ f(x)g(u)− f(u)g(u)x −u

= limx→u

f(x)(g(x)−g(u))+ (f(x)− f(u))g(u)x −u

= limx→u

f(x)(g(x)−g(u))x −u

+(f(x)− f(u))g(u)

x −u

= limx→u

f(x)g(x)−g(u)

x −u+ lim

x→u

(f(x)− f(u))x −u

g(u)

= f(u)g ′(u)+ f ′(u)g(u)

Dérivées

Dérivées de fonctions élémentaires

RésultatLa dérivée de f définie par f(x) = x est la fonction f ′ telle que f ′(x) = 1.En général, on dira simplement « La dérivée de x est 1 ».( Parfois on précisera « par rapport à x ».)

Démonstration.

f ′(u) = limx→u

x −ux −u

= 1

Dérivées

RésultatSoit n un entier naturel. La dérivée de la fonction x 7→ xn vaut nxn−1

Démonstration.On prouve par récurrence que la proposition

P(n): « La dérivée de x 7→ xn vaut nxn−1 »est vraie pour tout n ≥ 0.Initialisation: Si n = 0, cela revient à prouver que la dérivée de lafonction nulle est la fonction nulle, qui est vrai.Récurrence: Fixons n ≥ 0 et supposons que la dérivée de xn vautnxn−1 pour cette valeur fixée. Alors:(xn+1)′ = (x·xn)′ = (x)′xn+x(xn)′ = 1·xn+x·nxn−1 = xn+nxn = (n+1)xn

ce qui est bien la formule attendue pour n +1.

Dérivées

Dérivée des fonctions exponentielles

RésultatSoit a > 0 et soit f la fonction f :R→]0,+∞[ donnée par f(x) = ax .Alors f est dérivable en tout point et f ′(x) = ax ln(a).

Preuve incomplète.

(ax)′ = limh→0

ax+h −ax

h= lim

h→0ax ah −1

h= ax lim

h→0

ah −1h

Il se trouve qu’on a:

limh→0

ah −1h

= ln(a),

mais nous ne pouvons pas encore le démontrer actuellement (et nousl’admettons donc!)

Conséquence: comme ln(e) = 1, la dérivée de la fonctionexponentielle exp(x) est elle-même!

Dérivées

Dérivation de fonctions composées

RésultatSi f et g sont des fonctions et a est intérieur au domaine de f ◦g, si gest dérivable en a et f dérivable en g(a), alors

(f ◦g)′(a) = f ′(g(a))g ′(a).

Nous ne le prouverons pas ici.

ExempleSi f(x) = exp(nx), c’est la composée de l’exponentielle et de x 7→ nx .La dérivée de l’exponentielle est elle-même, la dérivée de nx est n , dèslors f ′(x) = n exp(nx).On peut également écrire f(x) = (expx)n , d’où on voit f comme lacomposée de t 7→ tn et de l’exponentielle. La dérivée de tn par rapportà t est ntn−1, dès lors f ′(x) = n(expx)n−1 expx = n(expx)n .Le résultat est évidemment le même.

Dérivées

RésultatSi f : A → B est une bijection dérivable en a avec f ′(a) , 0, alors saréciproque f−1 est dérivable en f(a) et

(f−1)′(f(a)) =1

f ′(a).

Démonstration.Comme f est une bijection dérivable en a , elle est également continueen a et son inverse est donc continue en f(a). Dès lors nous avonslimt→f(a) f−1(t) = f−1(f(a)) = a .On a donc successivement

limt→f(a)

f−1(t)− f−1(f(a))t − f(a)

= limx→a

f−1(f(x))− f−1(f(a))f(x)− f(a)

= limx→a

x −af(x)− f(a)

=1

f ′(a).

La première égalité s’obtient par composition des limites en posantt = f(x). La dernière égalité est la définition du nombre dérivé de f−1

en f(a).

Dérivées

ExempleLa dérivée de ln(x) vaut 1/x .

Démonstration.On sait que ln est la réciproque de exp. Et exp′(x) = exp(x) > 0 pourtout x ∈R. Dès lors:

ln′(x) =1

exp′ ln(x)=

1exp(lnx)

=1x.

ExempleLa fonction f :R0→R : x 7→ ln |x | a pour dérivée 1

x .

Démonstration.

I Pour x > 0, c’est simplement lnx ;I pour x < 0, c’est ln(−x), dont la dérivée vaut 1

−x (−x)′ = 1x

également par la règle sur la dérivée d’une composée.

Dérivées

RésultatLa dérivée de xn vaut nxn−1 pour tout réel n, x > 0.

Démonstration.On écrit que, pour tout n ∈R et x > 0:

xn = exp(ln(xn)) = exp(n ln(x))En dérivant cette dernière expression nous obtenons le résultat.

Exemple

I Nous savons que c’est vrai pour n naturel.I Pour n = 1/2, on peut donner une autre preuve :

limh→0

√x +h −

√x

h= lim

h→0

(√

x +h −√

x)(√

x +h +√

x)

h(√

x +h +√

x)

= limh→0

h

h(√

x +h +√

x)=

1

2√

x=

12

x−1/2

Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .

Contenu de la section

DérivéesDérivée seconde, troisième, etc. . .

Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .

Questions de notations

Dans vos cours vous rencontrerez les notations suivantes pour ladérivée d’une fonction f en un point a :I f ′(a)

Idfdx

(a)

Ou, ayant écrit y = f(x) :I y ′(a)

Idydx

(a)

Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .

Dérivées d’ordres successifs

SupposonsI f est dérivable dans un intervalle ouvert ]a ,b [, etI sa dérivée f ′ est aussi dérivable dans ]a ,b [,

alors on définit la dérivée seconde, notée f ′′ par :f ′′(x) = (f ′)′(x); x ∈ ]a ,b [

Si f ′′ admet à son tour une dérivée dans ]a ,b [, on l’appelle dérivéetroisième, notée f ′′′ ou f 3 et ainsi de suite, c’est-à-dire

f (n+1) = (f n)′

par récurrence, pour tout n .