r-27 Ondas electromagneticas Fisica Moderna

09/08/2008 Dr. E Lazo, email: elazo@uta.cl, Depto. de Física, FACI, UTA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Ecuaciones de Maxwell

Ley de Gauss (Ley de Coulomb)

0 No existen monopolos magnéticos

Ley de Faraday-Lenz

Ley Maxw de A elmpe e lr -

∇ ⋅ =

∂∇× = −

∇× =∂∂

Buscaremos soluciones de ondas planas monocromáticas (1 sola frecuencia ω) en regiones del espacio sin carga (ρ=0) y en medios no conductores (J=0). En ese caso, las ecuaciones de Maxwell quedan

ε µ∂

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =

∇× = −∂

∂∇× =

Para obtener la ecuación de ondas, debemos tomar el rotor de cualquiera de las ecuaciones de Maxwell con rotor. Por ejemplo, tomemos el rotor de la ley de Faraday-Lenz.

( ) ( ) ( )2

∇ ∇ ⋅ − ∇

∂∇× = ∇×

∂− ∇×

−∂

Reemplazando la divergencia del campo eléctrico y el rotor del campo magnético: 0 00; EBE

tε µ⋅ × == ∇∇

∂∂

En la ecuación anterior se tiene:0 0

2 Et t

E ε µ⎛ ⎞∂ ∂

− ⎜ ⎟∂ ∂∇

⎝ ⎠− =

ε µ ∂∇ =

La ecuación de ondas electromagnéticas en el vacío, queda finalmente:

Tiene exactamente la misma forma que la ecuación de ondas en una cuerda.

( , ) ( , )y x t y x tx T t

ρ∂ ∂=

∂ ∂

En las cuerdas la velocidad de fase vf viene dada por: f

Por analogía y dado que las ecuaciones son idénticas, podemos decir que la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas viene dada por la velocidad de la luz en el vacío c:

83 101f sk

mv cωε µ

⎛ ⎞= × ⎜⎝

= =⎟⎠

Si las ecuaciones diferenciales son idénticas, entonces las soluciones son idénticas. Esto significa que las soluciones de la ecuación de ondas electromagnéticas, son ondas que viajan en la dirección del eje X, viene dada por:

k ri tE eE ω⋅ ±=Donde ω y k están relacionadas a través de la velocidad de fase fv

es un vector constante y representa la amplitud del campo electromagnético.0E

La onda electromagnética E(r,t) también es una onda transversal, al igual que las ondas en cuerdas que hemos estudiado.

Es decir, el campo eléctrico E de la onda electromagnética, está siempre confinado a un plano que es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Por ejemplo, si la onda viaja en la dirección del eje X, el campo E depende de la coordenada x y del tiempo t, en la forma E(x,t), pero sólo puede existir en el plano (YZ)

Si tomamos la parte real o la parte imaginaria de la solución obtenida, se ve que las soluciones físicas son funciones armónicas: senos y cosenos

( ) ( )

( ) ( )0 0

kx tE j EE x t

E j E k x tt ω

El vector campo eléctrico E apunta en una dirección perpendicular a la dirección en que viaja la onda electromagnética. En este caso el campo eléctrico E sólo puede estar en el plano (YZ). Nótese que no existe componente del campo E en la dirección donde viaja la onda.

( )0( , ) kx tiEE x t e ω±=

Si la onda viaja en la dirección x, la onda se escribe:

Si repetimos el proceso de tomar el rotor del campo, pero esta vez aplicamos el rotor a la ecuación de Ampere-Maxwell, se obtiene de nuevo una ecuación de ondas, idéntica a la ecuación para el campo eléctrico E, pero ahora para el campo magnético B:

ε µ ∂∇ =

El campo magnético B(x,t) también depende sólo de la variable x y del tiempo t y además siempre es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, es decir, es perpendicular a la dirección del eje x y al vector de onda k. Esto significa que el vector campo magnético B(x,t) siempre está contenido en el plano (YZ)

Si tomamos la parte real o la parte imaginaria de la solución obtenida, se ve que las soluciones físicas son funciones armónicas: senos y cosenos

( ) ( )

( ) ( )0 0

kx tB j BB x t

B j B k x tt ω

El vector campo eléctrico B apunta en una dirección perpendicular a la dirección x en que viaja la onda electromagnética. En este caso el campo eléctrico sólo puede estar en el plano (YZ). Nótese que no existe componente del campo B en la dirección donde viaja la onda.

( )0( , ) kx tiBB x t e ω±=

El campo B(x,t) se escribe:

¿ Cuál es la relación entre E0 y B0 ?. Usemos la ecuación de Maxwell

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0 0

ˆˆsin sin

E E kx t E j E k kx t

B B kx t B j B k kx t

= − = + −

( ) ( )

( ) ( )0 0

ˆˆ ˆ

ˆˆ c

k E j E

Ex y z

E kx t E kx

E k kx t

tω ω

ω∇×

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂

∂−

( )0 cosBB kt

x tω ω=∂

−∂

∂∇× = −

0 01kc

ε µω= =

( )0 0 0ˆˆ

z ykB E j E kω

= − +

Reemplazando en la ecuación de Maxwell, se tiene

( )0 0 0 0 0ˆˆ

z yB E j E kε µ= − +

La relación entre los módulos de los campos es la siguiente

00 0 0 0 0

EB B E

cε µ= = =

( ) ( )0 00 0 0ˆ ˆˆ

y zEB ki j Eε µ += ×

La amplitud B0 del vector campo magnético se puede escribir como el producto cruz del vector en la dirección de propagación (i) con el vector E0 :

0 0 0 0ˆB i Eε µ= ×

k EBω×

Esta expresión muestra claramente que los campos E y B son perpendiculares entre sí. Además se muestra que B es perpendicular a la dirección de propagación k de la onda (el eje x en este caso).

Si tomamos el producto cruz de esta expresión con el vector unitario (i) en la dirección de propagación, se tiene

( )0 01ˆ ˆi B i k Eω

× = × ×

Aplicando la identidad vectorial: Ax(BxC) =B(A·C)-C(A·B)

( ) ( ) ( )0 0 0 01ˆ ˆ ˆ ˆi B i k E k i E E i kω

× = × × = ⋅ − ⋅

( )0 0 0 0ˆ ˆki B E E B i

ω× = − → = ×

B kE ck×

El campo eléctrico E también es perpendicular a la dirección de propagación k de la onda (el eje x en este caso).

Por lo tanto, los vectores E0, B0 y k son perpendiculares entre sí y forman una triada ortogonal

ˆk iε µ ω=

0 00 00, 00, B BE k Ek⋅ = = ⋅ =⋅

00 ,E E ck

En notación exponencial compleja los campos vienen dados por:

i kx t

E x t E e

B x t B e

=En ese caso las relaciones entre E(x,t), B(x,t) y K quedan,

0 0, 0, Bk kE E B⋅ = ⋅⋅ = =

k E c B kω

EE E E

EBB BB

B B B BB

Campo eléctrico E polarizado en el plano (x,y). El campo magnético B es perpendicular al campo eléctrico E

Los campos E y B siempre están en un mismo plano perpendicular a la dirección de propagación.

Onda electromagnética viajando en una dirección arbitraria k del espacio. Los campos E y B existen sólo en un plano perpendicular a la dirección de propagación.

Energía electromagnética, vector de Poynting e Irradiancia I de la onda

El vector de PoyntingS se define como: ( )

1S E Bµ

( )1k EE B E E B E E kω ω

⎛ ⎞×× = × → × = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

ˆS i E Eεµ

I E Eεµ

IRRADIANCIA =INTENSIDAD= Promedio temporal de <|S|>

I E Eεµ

Promedio temporal de la densidad de energía <w>

0t tw E Eε= ⋅

Densidad de energía electromagnética w:

w E E B Bεµ

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )0w E Eε= ⋅

Relación entre la Irradiancia I y la densidad de energía <w>

I c w=

Relación entre el vector de Poynting y la densidad de energía w

ˆs cwi=

Superposición de ondas armónicas

a)Ondas de igual frecuencia (ondas armónicas)

b)Ondas de igual frecuencia pero en distintos sentidos sobre la recta (ondas estacionarias)

c)Ondas de distintas frecuencias (pulsaciones o beats)

Consideremos N campos de la misma frecuencia ωactuando en un mismo lugar del espacio

( , ) ( , ) j jN N

i kx tR j j

E x t E x t E e φω− +

= =∑ ∑

( , ) jN

i tR j

E x t E e ωα −

a) Suma de ondas armónicas de igual frecuencia ω

El resultado de la superposición es una nueva onda con la misma frecuencia que las ondas constituyentes, de amplitud E0R y de fase (αR-ωt). El proceso de cálculo es idéntico al proceso realizado en la superposición de oscilaciones armónicas.

Se obtiene:

( )2 20 0 0 0

12 cos

R j j lj j l

j lE E E E α α= <

+ −=∑ ∑

sintan

( )0( , ) cosR RRE x t E tα ω= −

La superposición de ondas armónicas de la misma frecuencia, es una nueva onda de la misma frecuencia:

Apliquemos el concepto de irradiancia a este resultado de la superposición de N campos escalares Ej, los cuales producen un campo resultante ER. De acuerdo a lo que vimos antes, la Irradiancia viene dada por

I Eεµ

Si las ondas se mueven en un mismo medio, la Irradiancia depende solo de E0

2. Por lo tanto, por sencillez usaremos la Irradiancia como

La amplitud resultante de la superposición viene dada por

( )2 20 0 0 0

12 cos

R j j l j lj j l

E E E E α α= <

= + −∑ ∑

Las irradiancias individuales Ij producidas por cada una de las ondas que se superponen en un mismo lugar del espacio, vienen dadas por

2 20 0 0

1 1; ; 22 2R R j j j jI E I E E I= = =

Por lo tanto, en términos de la irradiancia, la amplitud resultante de la superposición queda

2 cosN

j l j l

I II I α α= <

−= +∑ ∑Sorpresa!!. La irradiancia total o irradiancia resultante IR no es igual a la suma de las irradiancias individuales Ijproducidas por cada campo.

≠ ∑Cada vez que ocurre esta situación en algún punto del espacio, se dice que ha producido interferencia entre las ondas constituyentes.

( ), 2 cosN

j l j l j lj l

I I I α α<

= −∑

Se denomina término de interferencia a la siguiente expresión:

Si todas las amplitudes individuales son iguales, E0j=E0, se tiene

0 0 ,2 cosN

R j lj l

I NI I δ<

= + ∑donde ( ),j l j lδ α α= −

b) Ondas de igual frecuencia pero que viajan en distintos sentidos sobre la recta

(ondas estacionarias)

( , ) sin( ) cos( )( , ) sin( ) cos( )

E x t E kx t E kx tE x t E kx t E kx t

ω ωω ω−

Consideremos la superposición de los siguientes campos que viajan en sentidos diferentes sobre el eje x

Aplicando identidades trigonométricas, se obtiene

( )( , ) cos sin cosRE x t A kx B kx tω= +

( 0, ) 0, ( , ) 0R RE x t E x L t= = = =

Extremos fijos: el campo resultante se anula en los extremos

Condiciones de borde o de frontera

Básicamente se tienen tres tipos de condiciones de borde en x=0 y x=L, las cuales deber ser válidas para todo tiempo t:

•extremos fijos

•extremos libres

•extremos mixtos

( , ) 0

( 0, ) 0,

( , ) 00,

E x tx

E x L tx

⎧ ∂=

∂⎪

⎪⎪⎩

Extremos mixtos: el campo resultante se anula en un extremo y en el otro extremo es la derivada espacial la quese anula.

( , ) ( , )0, 0R R

E x t E x tx x= =

∂ ∂= =

∂ ∂

Extremos libres: la derivada espacial del campo resultante se anula en los extremos.

Ejemplo de extremos mixtos: fijo en x=0 y libre en x=L

Apliquemos las condiciones de borde o de frontera en forma secuencial, primero fijo en x=0 y luego libre en x=L.

( )( , ) cos sin cos 00( , ) cos 0

E t A k B k tE

xx t A t

Para que esta relación sea cierta para todo tiempo t , se debe cumplir que A=0. Luego, el campo resultante queda:

( , ) sin cosRE x t B kx tω=

Ahora aplicamos la segunda condición en el extremo x=L. Primero debemos derivar el campo resultante,

( , ) cos cosRE x t B k tx

xk ω∂=

( , ) cos cos 0x

E x t B k tx

Lk ω=

∂= =

Para que esta condición sea cierta para todo tiempo t, se debe cumplir que cos(kL)=0

(2 1) , 1,2,3,c ...s 02

o nkL k nL n π== −→=

Las ondas estacionarias cumplirán con las condiciones de borde especificadas, ssi el número angular de ondas tomasólo algunos valores discretos:

,(2 1)2

1,2,3,...nk n nLπ

== −

El número angular de onda k y la longitud de onda λcumplen la siguiente relación:

k πλ

Por lo tanto, las longitudes de onda permitidas vienen dada por:

, 1,2,3,4( 1)

...2n nLn

λ ==−

Las longitudes de onda permitidas y los k permitidos son:

1 2 3 44 4 44 , , , ...3 5 7L L LLλ λ λ λ= = = =

1 2 3 43 5 7, , , ...

2 2 2 2k k k k

L L L Lπ π π π

= = = =

Veamos las primeros 4 ondas estacionarias:

Primer modo sin( )cos2R

xE B tL

π ω=

3sin( )cos2R

xE B tLπ ω=Segundo modo

Tercer modo 5sin( )cos2R

xE B tLπ ω=

Cuarto modo 7sin( )cos2R

xE B tLπ ω=

c) Ondas de distintas frecuencias (pulsaciones o beats)

Consideremos la superposición de dos ondas de igualamplitud E0 en la misma dirección, pero de distintasfrecuencias y distintos k,

( )( )2 2

1 11 0

( , ) cos

E x t E x t

x t E x tω

ω= −

La suma o superposición de estas dos ondas viene dada por:

( ) ( )( )1 2 0 1 1 2 2cos cosRE E E E k x t k x tω ω= + = − + −

Usando la suma de los cosenos, se tiene

( ) ( )02 cos cosR m m p pE E k x t k x tω ω= − −

1 2 1 2

ω ωω

− −= =

+ += =

El subíndice p indica promedio, y el subíndice m indicamodulante.

Si las frecuencias ω1 y ω2 son muy parecidas, se ve de inmediato que ( )cos m mx tk ω−

( )cos ,p px tk ω−tiene variación muy lenta en comparación con

entonces podemos definir una amplitud de variaciónlenta, llamada Amplitud Modulante Am(x,t)

( )02 co, s( ) m mmA x E kt x tω= −

Por lo tanto, el campo resultante de la superposición no esuna onda armónica, porque su amplitud es variable:

( )c( , os) p pmRE k xA x t tω−=

Gráfico de pulsaciones o beats

Interferencia

La interferencia se define como la suma o superposición de dos o más ondas en un lugardel espacio, las cuales producen una irradianciaresultante IR que es distinta a la suma de lasirradiancias Ij de cada fuente.

≠ ∑

Escribamos la irradiancia en una forma más general

1S E Bµ

= × Pero, kB Eω×

Reemplazando este resultado en el vector de Poynting,

1S E k Eωµ

= × ×

ˆS E E iεµ

Poynting →

Se obtiene

Irradiancia → 0

E ESI εµ

= ⋅=

Si las ondas se mueven en un mismo medio, la Irradiancia depende solo de <E.E>. Por lo tanto, por sencillez usaremos la Irradiancia como

( , ) ( , )t

I E x t E x t= ⋅Consideremos la superposición o suma de ondas vectoriales en un punto des espacio. Por simplicidad sumemos sólo dos ondas.

1 2( , ) ( , ) ( , )RE x t E x t E x t= +La irradiancia resultante I viene dada por

( ) ( )1 2 1 2R R R t tI E E E E E E= ⋅ = + ⋅ +

1 1 2 2 1 22R tI E E E E E E= ⋅ + ⋅ + ⋅

1 1 2 2 1 22R t t tI E E E E E E= ⋅ + ⋅ + ⋅

j j j tI E E→ = ⋅

( )1 21 2 1 22R RtI I I E IE I I= + + ⋅ ≠→ +

12 1 22t

I E E→ = ⋅Término de interferencia

Irradiancia individual

( ) ( )1 2 01 02 cosRI I I E E δ= + + ⋅

( ) ( )1 01 2 02

12 01 022 i k r t i k r t

tI E e E eω φ ω φ⋅ − + ⋅ − += ⋅

( ) ( )

12 01 02

1 2 01 02

12 cos2

δ φ φ

= − ⋅ + −

Si usamos

y si suponemos campos paralelos

12j jI E=

01 02 01 02E E E E⋅ =

( )1 2 1 22 cosRI I I I I δ= + +

La irradiancia total queda

Análisis de la irradiancia en función del ángulo δ para campos paralelos:

Si se produce la interferencia

constructiva total

2 ,m mδ π= ∈

1 2 1 22RI I I I I+= +Si se produce interferencia constructiva0

2πδ< <

( )1 2 1 22 cosRI I I I I δ= + +

Si no hay interferencia( )2

,2 1 mm πδ = + ∈

1 2RI I I= +

Si se produce interferencia destructiva02π δ π< <

( )1 2 1 22 cosRI I I I I δ= + −

Si se produce la interferencia

destructiva total ( )2 1 ,m mδ π= + ∈

1 2 1 22RI I I I I−= +Si ahora consideramos que las amplitudes de los vectores paralelos son iguales, se tiene

0 0 02 cosRI I I I δ= + +

( ) 20 02 1 cos 4 cos

2RI I I δδ= + =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

Irradiancia resultante

0 5 10 15 20 25 300

IRRADIANCIA RESULTANTE IR

Experimentos y simulaciones

• 1 Frente plano: Cubeta• 2 Frente circular: Cubeta• 2 Frente semicircular: Cubeta• Simulación: video• Simulación: software• Simulación D. Q.

DIFRACCIÓN

Superposiciónde un gran número de

INTERFERENCIA

Superposiciónde un número pequeño de

Complicado patrón de

irradiancias

Las ondas doblan las esquinas

Cambio en la forma del frente

de ondas

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