Química Física II. Tema II

TEMA II: LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER

1. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo3. Principio de incertidumbre4. La función de onda y su interpretación5. Partículas en cajas6. Oscilador armónico7. Rotor Rígido8. Barreras de potencial, efecto túnel

Nuevos experimentos conducen a nuevas hipótesis

Principio de Incertidumbre

= h/2п

El proceso de medida interacciona con el sistema medidoNo todas las magnitudes se pueden medir exactamente

Fue enunciado por Werner Heisenberg en 1927 y se puede apreciar a nivel molecular o menor.

(otra de las variantes del principio, que puede generalizarse para diferentes magnitudes complementarias)

Nota: la incertidumbre se calcula como en estadística.

y a la vez.

La Mecánica Cuántica se basa en unos Postulados

La mecánica cuántica “funciona”, no se ha encontrado una teoría mejor desde hace 90 años.

La mecánica cuántica parece estar en contra de nuestra percepción macroscópica de la naturaleza.

Tiene implicaciones filosóficas: “física cuántica y filosofía”.

http://revistas.ucm.es/fsl/00348244/articulos/RESF9494220477A.PDF

(Postulados según el libro de Ira N. Levine)

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado I: El estado de un sistema viene descrito por una función de las coordenadas de posición y de espín delas partíıculas que forman el sistema y del tiempo. Dicha función recibe el nombre de función de estado ofunción de onda, Ψ, y debe cumplir ciertos requisitos: ser uniforme, unívoca y continua, sus derivadas primeras debenser continuas (salvo en los posibles puntos en que el potencial se haga infinito), y la función debe ser decuadrado integrable (esta condición sólo es exigible en sistemas ligados).

(Postulados según el libro de Ira N. Levine)

Postulados de la Mecánica Cuántica

Significado de la función de Onda

Significado de la función de Onda

Significado de la función de Onda: Normalización

Significado de la función de Onda

Significado de la función de Onda

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado II: A cada observable a del sistema se asocia un operador lineal y hermítico  definido en el espacio de lasfunciones aceptables Ψ.

Observables

Construcción de operadores (observables)

Construcción de operadores (observables)

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado III: La medida de un observable a cualquiera en un sistema sólo puede dar como resultado uno de losautovalores a del operador correspondiente a dicho observable Â:

ÂΨ = a Ψ

Evidentemente, Ψ es una función bien comportada, como se indica en el Postulado I.

“el problema de la medida de un observable en un estado”

Si medimos una propiedad: ¿Qué resultados podemos obtener?

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado IV:

Este Postulado puede no ser comprendido en Tercer Curso, depende de si conocen los alumnos, del Algebra, la definición de “base” y de “comjunto completo”.

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado V: Si el sistema se encuentra en un estado definido por una función de onda, Ψ , que no es autofunción de un operador, Â , asociado a un observable, a, una medida del observable a dará como resultado unautovalor de Â, pero no se puede predecir cuál de todos los posibles será. No obstante, si se hacen repetidasmediciones de ese observable, la media de los valores obtenidos vendrá dada por:

donde las integrales se extienden a todo el espacio de definición de Ψ.

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado VI: La evolución temporal de un sistema cuántico viene dada por la ecuación de Schrödingerdependiente del tiempo.

Titulo

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado VII: La función de onda correspondiente a un sistema de fermiones idénticos (espín semientero) debeser antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de dos de ellos (Principio de Exclusión de Pauli). Para un sistema de bosones idénticos (espín entero), debe ser simétrica respecto de dicho intercambio.

La Ψ debe cumplir las condiciones del sistema

Condiciones de contorno: “confinamiento ���� cuantización”

Aplicación a sistemas sencillos.

Sistemas sencillos: partícula que se mueve en una dimensión: casos libre y confinada.

Caja monodimensional: función Ψ y densidad Ψ2

Los niveles se separan más al aumentar el número cuántico

Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.

Caja bidimensional: degeneración de la Energía

E =( h2/(8m) ) (nx2 + ny2)

(a=b=1)

Dos grados de libertad, dos números cuánticos.

(1,2) (2,1)

Caja bidimensional: función Ψ y densidad Ψ2

(1,1)(2,1)

(2,2)

Caja tridimensional

Dentro de la cajaFuera de la caja

Números cuánticos positivos

Separación de variables

Caja tridimensional cúbica (a = b = c)

Estado fundamental no degenerado

Estado triplementedegenerado

Tres funciones de onda diferentes con la misma energía

Caja tridimensional cúbica (a = b = c)

Estado no degenerado

Estado no degenerado

Estado triplementedegenerado

Degeneración debida a la simetría del sistema

Barreras de Potencial en una dimensión

Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.

C+ onda incidenteC- onda reflejadaD+ onda transmitida

Barreras de Potencial en una dimensión

Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.

C+ onda incidenteC- onda reflejadaD+ onda transmitida

Barreras de Potencial una dimensión: Efecto túnel

La probabilidad de hallar a la partícula en III no es nula aunque E < V0

Barreras de Potencial: Efecto túnel.

Oscilador Armónico Monodimensional

Niveles de energía equiespaciados

Oscilador Armónico Monodimensional

La solución son los polinomios de Hermite

Oscilador Armónico Monodimensional

Oscilador Armónico Monodimensional

Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.

Oscilador Armónico Monodimensional

(efecto tunel)

El potencial infinito produce la cuantización de la energía. Pero al serlo en el infinito, permite un “efecto túnel”.

Oscilador Armónico Tridimensional

Separación de variables

Oscilador Armónico Tridimensional

Degeneración debida a la simetría del sistema

No degenerado

Triplemente degenerado

Seis veces degenerado

Rotor rígido de dos partículas (clásico)

Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.

Nota: V = 0

Rotor rígido de dos partículas (cuántico)

Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.

Nota: V = 0

Rotor rígido de dos partículas

Usamos coordenadas esféricas. R es cte en el rotor rígido

θφθ ddrdrdxdydzdV sen2==

Rotor rígido de dos partículas (cuántico)

Coordenadas esféricas.

La dirección Z es privilegiada en coordenadas esféricas.

Rotor rígido de dos partículas (cuántico)

Separamos variables para resolver la ecuación diferencial

Rotor rígido de dos partículas (cuántico)

La rigidez del rotor provoca la cuantización de la energía.Dos grados de libertad, dos números cuánticos l y m

Polinomios asociados de Legendre

Rotor rígido: Normalización de funciones

Rotor rígido de dos partículas (cuántico)

Rotor rígido: precesión del momento angular

Ejemplo: si j = 2, entonces m = -2, -1, 0, 1, 2

Representación gráfica de armónicos esféricos

Representación gráfica de armónicos esféricos

Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos. Las partes rojas representan las regiones donde la función es positiva, y las verdes representan regiones donde la función es negativa.

Nota: que los alumnos dibujen un armónico Pz

Las funciones propias son los Armónicos Esféricos, dependen de dos números cuánticos, j y m (a veces se usan l y m)

Plm = Polinomios asociados de Legendre

Resumen Rotor

Suelen usarse los números cúanticos l (momento angular total) y m (componente z del momento angular)

l = 0 (s), 1 (p), 2 (d, 3 (f) ..

Si l = 0 y m = 0 ���� Pz

Referencias recomendadas

http://www.qfa.uam.es

http://www.uam.es/quimica

http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-61-physical-chemistry-fall-2007/

http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-73-introductory-quantum-mechanics-i-fall-2005/

http://es.wikipedia.org para muchas definiciones.