Química Física II. Tema II - qfa.uam.es · definido por una función de onda, Ψ, que no es...
57
Química Física II. Tema II TEMA II: LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 1. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo 2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 3. Principio de incertidumbre 4. La función de onda y su interpretación 5. Partículas en cajas 6. Oscilador armónico 7. Rotor Rígido 8. Barreras de potencial, efecto túnel
Transcript of Química Física II. Tema II - qfa.uam.es · definido por una función de onda, Ψ, que no es...
Química Física II. Tema II
TEMA II: LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
1. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo3. Principio de incertidumbre4. La función de onda y su interpretación5. Partículas en cajas6. Oscilador armónico7. Rotor Rígido8. Barreras de potencial, efecto túnel
Nuevos experimentos conducen a nuevas hipótesis
Principio de Incertidumbre
= h/2п
El proceso de medida interacciona con el sistema medidoNo todas las magnitudes se pueden medir exactamente
Fue enunciado por Werner Heisenberg en 1927 y se puede apreciar a nivel molecular o menor.
(otra de las variantes del principio, que puede generalizarse para diferentes magnitudes complementarias)
Nota: la incertidumbre se calcula como en estadística.
y a la vez.
La Mecánica Cuántica se basa en unos Postulados
La mecánica cuántica “funciona”, no se ha encontrado una teoría mejor desde hace 90 años.
La mecánica cuántica parece estar en contra de nuestra percepción macroscópica de la naturaleza.
Tiene implicaciones filosóficas: “física cuántica y filosofía”.
http://revistas.ucm.es/fsl/00348244/articulos/RESF9494220477A.PDF
(Postulados según el libro de Ira N. Levine)
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado I: El estado de un sistema viene descrito por una función de las coordenadas de posición y de espín delas partíıculas que forman el sistema y del tiempo. Dicha función recibe el nombre de función de estado ofunción de onda, Ψ, y debe cumplir ciertos requisitos: ser uniforme, unívoca y continua, sus derivadas primeras debenser continuas (salvo en los posibles puntos en que el potencial se haga infinito), y la función debe ser decuadrado integrable (esta condición sólo es exigible en sistemas ligados).
(Postulados según el libro de Ira N. Levine)
Postulados de la Mecánica Cuántica
Significado de la función de Onda
Significado de la función de Onda
Significado de la función de Onda: Normalización
Significado de la función de Onda
Significado de la función de Onda
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado II: A cada observable a del sistema se asocia un operador lineal y hermítico  definido en el espacio de lasfunciones aceptables Ψ.
Observables
Construcción de operadores (observables)
Construcción de operadores (observables)
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado III: La medida de un observable a cualquiera en un sistema sólo puede dar como resultado uno de losautovalores a del operador correspondiente a dicho observable Â:
ÂΨ = a Ψ
Evidentemente, Ψ es una función bien comportada, como se indica en el Postulado I.
“el problema de la medida de un observable en un estado”
Si medimos una propiedad: ¿Qué resultados podemos obtener?
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado IV:
Este Postulado puede no ser comprendido en Tercer Curso, depende de si conocen los alumnos, del Algebra, la definición de “base” y de “comjunto completo”.
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado V: Si el sistema se encuentra en un estado definido por una función de onda, Ψ , que no es autofunción de un operador, Â , asociado a un observable, a, una medida del observable a dará como resultado unautovalor de Â, pero no se puede predecir cuál de todos los posibles será. No obstante, si se hacen repetidasmediciones de ese observable, la media de los valores obtenidos vendrá dada por:
donde las integrales se extienden a todo el espacio de definición de Ψ.
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado VI: La evolución temporal de un sistema cuántico viene dada por la ecuación de Schrödingerdependiente del tiempo.
Titulo
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado VII: La función de onda correspondiente a un sistema de fermiones idénticos (espín semientero) debeser antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de dos de ellos (Principio de Exclusión de Pauli). Para un sistema de bosones idénticos (espín entero), debe ser simétrica respecto de dicho intercambio.
La Ψ debe cumplir las condiciones del sistema
Condiciones de contorno: “confinamiento ���� cuantización”
Aplicación a sistemas sencillos.
Sistemas sencillos: partícula que se mueve en una dimensión: casos libre y confinada.
Caja monodimensional: función Ψ y densidad Ψ2
Los niveles se separan más al aumentar el número cuántico
Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.
Caja bidimensional: degeneración de la Energía
E =( h2/(8m) ) (nx2 + ny2)
(a=b=1)
Dos grados de libertad, dos números cuánticos.
(1,2) (2,1)
Caja bidimensional: función Ψ y densidad Ψ2
(1,1)(2,1)
(2,2)
Caja tridimensional
Dentro de la cajaFuera de la caja
Números cuánticos positivos
Separación de variables
Caja tridimensional cúbica (a = b = c)
Estado fundamental no degenerado
Estado triplementedegenerado
Tres funciones de onda diferentes con la misma energía
Caja tridimensional cúbica (a = b = c)
Estado no degenerado
Estado no degenerado
Estado triplementedegenerado
Degeneración debida a la simetría del sistema
Barreras de Potencial en una dimensión
Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.
C+ onda incidenteC- onda reflejadaD+ onda transmitida
Barreras de Potencial en una dimensión
Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.
C+ onda incidenteC- onda reflejadaD+ onda transmitida
Barreras de Potencial una dimensión: Efecto túnel
La probabilidad de hallar a la partícula en III no es nula aunque E < V0
Barreras de Potencial: Efecto túnel.
Oscilador Armónico Monodimensional
Niveles de energía equiespaciados
Oscilador Armónico Monodimensional
La solución son los polinomios de Hermite
Oscilador Armónico Monodimensional
Oscilador Armónico Monodimensional
Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.
Oscilador Armónico Monodimensional
(efecto tunel)
El potencial infinito produce la cuantización de la energía. Pero al serlo en el infinito, permite un “efecto túnel”.
Oscilador Armónico Tridimensional
Separación de variables
Oscilador Armónico Tridimensional
Degeneración debida a la simetría del sistema
No degenerado
Triplemente degenerado
Seis veces degenerado
Rotor rígido de dos partículas (clásico)
Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.
Nota: V = 0
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.
Nota: V = 0
Rotor rígido de dos partículas
Usamos coordenadas esféricas. R es cte en el rotor rígido
θφθ ddrdrdxdydzdV sen2==
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Coordenadas esféricas.
La dirección Z es privilegiada en coordenadas esféricas.
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Separamos variables para resolver la ecuación diferencial
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
La rigidez del rotor provoca la cuantización de la energía.Dos grados de libertad, dos números cuánticos l y m
Polinomios asociados de Legendre
Rotor rígido: Normalización de funciones
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Rotor rígido: precesión del momento angular
Ejemplo: si j = 2, entonces m = -2, -1, 0, 1, 2
Representación gráfica de armónicos esféricos
Representación gráfica de armónicos esféricos
Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos. Las partes rojas representan las regiones donde la función es positiva, y las verdes representan regiones donde la función es negativa.
Nota: que los alumnos dibujen un armónico Pz
Las funciones propias son los Armónicos Esféricos, dependen de dos números cuánticos, j y m (a veces se usan l y m)
Plm = Polinomios asociados de Legendre
Resumen Rotor
Suelen usarse los números cúanticos l (momento angular total) y m (componente z del momento angular)
l = 0 (s), 1 (p), 2 (d, 3 (f) ..
Si l = 0 y m = 0 ���� Pz
Referencias recomendadas
http://www.qfa.uam.es
http://www.uam.es/quimica
http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-61-physical-chemistry-fall-2007/
http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-73-introductory-quantum-mechanics-i-fall-2005/
http://es.wikipedia.org para muchas definiciones.
