Równania wektorowe

plan prędkości

plan przyspieszeń

NMMN vvv

MNkNM rωv

(2D) – punkty M i N należą do jednego członu

Równania wektorowe w ruchu płaskim

t

NM

n

NMMNMMN aaaaaa

MNkMNkk

n

NM rrωωa2

MNk

t

NM rεa

NMMN vvv

MNkNM rωv

Równania wektorowe w ruchu płaskim

Przykład: korba - suwak

A

B

C

K

D0

1

2

31 const

ABωv 1B1B ABωv

Dane:

1 , wymiary geometryczne mechanizmu

A

B

C

K

D0

1

2

31 constkvC

kvCB

CBBC vvv

vB

pv

b

A

B

C

K

D0

1

2

31 constkvC

kvCB

CBBC vvv kvCBkvC

vB

pv

b

A

B

C

K

D0

1

2

31 constkvC

kvCB

CBBC vvv kvCBkvC

vB vCB

vCpv

c

b

A

B

C

K

D0

1

2

31 const

kvKB

kvKC

KCCKBB

KCCK

KBBK

vvvv

vvv

vvv

vB

vCB

vCpv

c

b

k

kvKC

kvKBvKB

vK

.kc

KC

bk

BK

bc

BC

ΔbckΔBCK

const

~

A

B

C

K

D0

1

2

31 const

kvKB

kvBC

kvKC

kvCB

vB

vCB

vCpv

c

b

k

kvKC

kvKBvKB

vK

PODOBIEŃSTWO

członu BCK i planu bck

t

B

n

BB aaa

AB

vABωa)(

2

B2

1

n

B11

n

B ABωωa

0ABεa 1

t

B1

t

B ABεa

A

B

C

K

D0

1

2

31 constt

Bka

n

Bka

)(ω0,ε 11 const.gdyż

Ca

t

CBa

c

b

Cka

Ban

CBa

CBa

t

CBka

n

CBka

pa

A

B

C

D0

1

2

31 const

t

CBka

t

Cka

n

CBka

K

t

CB

n

CB

t

B

n

B

t

C

n

C

CBBC

aaaaaa

aaa

?ε ale CB,εa,CB

va

,0v

a

22

t

CB

2

CBn

CB

2

Cn

C

gdyż

KCCKBB

KCCK

KBBK

aaaa

aaa

aaa

t

KBka

A

B

C

K

D0

1

2

31 const

t

KCka

n

KCkan

KBka

t

KBa

Ca

n

KBa

pac

bk

Cka

Ba

n

KCa

t

KCa

CBa

t

KBkat

KCka

t

KC

n

KC

t

C

n

C

t

KB

n

KB

t

B

n

B aaaaaaaa

;KC

va;

KB

va;0;0

2

KCn

KC

2

KBn

KB

n

C

t

B aa

A

B

C

K

D0

1

2

31 const

t

KBkat

KCka

t

CBka

t

Cka

n

CBka

n

KCka n

KBka

t

BAka

n

BAka

ΔbckΔBCK ~

PODOBIEŃSTWO

członu i planu a

A

B

C

K

D0

1

2

31 const

Ca pac

bk

BaaK

RÓWNANIA WEKTOROWE, PARA

POSTĘPOWA.

(2D) – punkty J i K - dwa człony j, k

KJJK vvv

ρωv k

j

KJ

C

KJ

t

KJ

n

KJJKJJK aaaaaaa

ρρωωa2

k

j

k

j

k

jn

KJ

ρεa k

jt

KJ

KJj

C

KJ vωa 2Przyspieszenie

Coriolisa

C

KJ

t

KJJKJJK aaaaaa

Para krzywkowa

1

2

0A

B

C

D

d.vCB

1

1

2

0A

B

C

D

k.vCB

1

vB

k.vC

CBBC vvv

vB

vC

vCB

vp

2

CD

C2

v

j

k

J

K

Ok

Oj

vJK

JKKJ vvv

Przyspieszenia – mech. zastępczy!!!

Mechanizm krzywkowy – mechanizm zastępczy 4R

1

2

0

A

O1

D

O2

1

2

R. wektorowe (v i a), plany -

podsumowanie

B

C

k.vCB

TYLKO v

a – mech zastępczy

Przykład 2 – mechanizm jarzmowy

A

B

C

D0

1

2

3

1 2 const.

e3

1

3

ABωv 1B

1B

ABωv

kvCB

kvC

vB

vCB

vC

pv

c

b

IIAB

AB CD

d

CBBC vvv

Dane:

1= const., wymiary geometryczne mechanizmu

A

B

C

D0

1

2

3

1 2 const.

e3

1

3

Ca

t

Cab

cBa

c

CBa

t

CBka

n

CBka

pa

t

CBa

n

Ca

u 1

c

CBa

CBw vv

C

CB

t

CB

n

CB

t

B

n

B

t

C

n

C

CBBC

aaaaaaa

aaa

CB1

C

CBCB1

C

CB

2

CBn

CB

2

Cn

C

11

t

B

2

Bn

B

vω2a2

,0v

a,CD

va

0ε gdy 0,ABεa,AB

va

vωa

gdyż

ż

Mechanizm III klasy

człon czynny

grupa III klasy

MECHANIZM III KLASY

vD

A C

B

E

D

F

vE

vF

d

f

e

GRUPA III KLASY

vD

A C

B

E

D

F

vE

vF

d

f

e

RkvAD

kvRA

kvRB

kvBE

RDDR

RAADDRAADDR

RAAR

ADDA

)(

vvv

vvvvvvv

vvv

vvv

jeden kierunek

vD

A C

B

E

D

F

vE

vF

d

f

e

RkvAD

kvRA

kvRB

kvBE

REER

RBBEERBBEER

RBBR

BEEB

)(

vvv

vvvvvvv

vvv

vvv

jeden kierunek

REER

RDDR

vvv

vvv

vD

A C

B

E

D

F

vE

vF

d

f

e

RkvAD

kvRA

kvRB

kvBE

kvRD

vE

vRD

vDpv

e

d

r

vR

kvREREERDD vvvv

vD

A C

B

E

D

F

vE

vF

d

f

e

S

TR

kvADkvRA

kvRB

kvBE

kvCR

CFFCRR

CFFC

CRRC

vvvv

vvv

vvv

kvCF

vE

vRD

vD

pv

e

d

r

vR

kvCR

vC

vCR

c

fvFvCF

D

f

aD

A C

B

E

F

aE

aF

d e

S

TR

t

BEka

t

RBka

n

BEka

n

RBka

t

ADkat

RAka

n

ADka

n

RAka

t

RD

n

RA

n

ADDR

t

RA

t

AD

n

RA

n

ADDR

t

RA

n

RA

t

AD

n

ADDR

RAAR

t

AD

n

ADDADDA

)(

aaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

jeden kierunek

D

f

aD

A C

B

E

F

aE

aF

d e

S

TR

t

BEka

t

RBka

n

BEka

n

RBka

t

ADkat

RAka

n

ADka

n

RAka

t

RE

n

RB

n

BEER

t

RB

t

BE

n

RB

n

BEER

t

RB

n

RB

t

BE

n

BEER

RBBR

t

BE

n

BEEBEEB

)(

aaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

D

f

aD

A C

B

E

F

aE

aF

d e

S

TR

t

BEka

t

RBka

n

BEka

n

RBka

t

ADkat

RAka

n

ADka

n

RAka

pa

d

e

r

n

RDa

Ea

t

RDa

Ra

t

REan

REa

t

RE

n

RB

n

BEE

t

RD

n

RA

n

ADD

t

RE

n

RB

n

BEER

t

RD

n

RA

n

ADDR

aaaaaaaa

aaaaa

aaaaa

;BE

va;

RB

va

;RA

va;

AD

va

2

BEn

BE

2

RBn

RB

2

RAn

RA

2

ADn

AD

D

f

aD

A C

B

E

F

aE

aF

d e

S

TR

t

BEka

t

RBka

n

BEka

n

RBka

t

ADkat

RAka

n

ADka

n

RAka

t

CRka

n

CRka

t

CF

n

CFF

t

CR

n

CRR

t

CF

n

CFFC

t

CR

n

CRRC

aaaaaa

aaaa

aaaa

;CF

va;

CR

va

2

CFn

CF

2

CRn

CR

f

c

pa

d

e

r

n

RDa

Ea

t

RDa

Ra

t

REan

REan

CRa

n

CFa

t

CRa

t

CFa

CaFa

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

MECHANIZM III KLASY

Dane: v6 = vF

EFFE vvv Możliwe równanie:

Potrzebny kierunek vE ???

OGÓLNIE: ŚRODEK OBROTU NIE JEST ŚRODKIEM PRZYSPIESZEŃ !

To, że prędkość punktu v=0 nie oznacza, że również jego przyspieszenie a=0 !!!

Można skorzystać ze środka obrotu,

ale tylko do określenia v

FE

C

A

D

4

5

6B

v6

Przykład 3 - mechanizm III klasy

Dane: v6 = vF, l

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

kvBA II kvPB

kvPA

kvEF II kvPE

kvPF

PAAP

PBBAAPBBAAP

PBBP

BAAB

)(

vvv

vvvvvvv

vvv

vvv

PFEP

PEEFEPEEFFP

PEEP

EFFE

)(

vvv

vvvvvvv

vvv

vvv

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

kvBA II kvPB

kvPA

kvEF II kvPE

kvPF

PFFPAB

PFFP

PABP

vvvv

vvv

vvv

kvBA II kvPB

kvPA

kvEF II kvPE

kvPF

vF

vPFvPA=vP

pv

p

f

P

S

T

A

C

B

E

D

F

kvC

v6

1

2

4

3

5

6

kvBA II kvPB

kvPA

kvEF II kvPE

kvPF

kvCP

kvEF II kvPE

kvBA II kvPB

kvPA

kvPF

vF f

kvCvCP

vC

vPF

kvCP

pv

b

c

p

CDDCPP

CDDC

CPPC

vvvv

vvv

vvv

ΔbcpΔBCP~

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

kvBA II kvPB

kvPA

kvEF II kvPE

kvPF

ΔbceΔBCE~

kvBA II kvPB

kvPA

kvEF II kvPE

kvPF

vF f

kvC

vCP

vC

vCP

kvCP

pv

b

c

p

e

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

t

PF

t

EF kk aa IIt

PFkat

PB

t

BA kk aa IIt

PAka

n

BAka

n

PBka

n

PEka

n

EFka

t

PF

n

PE

n

EFFP

t

PE

t

EF

n

PE

n

EFFP

t

PE

n

PE

t

EF

n

EFFPEEP

t

EF

n

EFFEFFE

)(

aaaaa

aaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaa

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

t

PF

t

EF kk aa IIt

PFkat

PB

t

BA kk aa IIt

PAka

n

BAka

n

PBka

n

PEka

n

EFka

t

PA

n

PB

n

BAAP

t

PB

t

BA

n

PB

n

BAAP

t

PB

n

PB

t

BA

n

BAAPBBP

t

BA

n

BAABAAB

)(

aaaaa

aaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaa

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

t

PF

t

EF kk aa IIt

PFkat

PB

t

BA kk aa IIt

PAka

n

BAka

n

PBka

n

PEka

n

EFka

n

PEa

n

EFa

t

PFka

n

BAan

PBa

t

PAka

p

pa

t

PA

n

PB

n

BAA

t

PF

n

PE

n

EFF

t

PA

n

PB

n

BAAP

t

PF

n

PE

n

EFFP

aaaaaaaa

aaaaa

aaaaa

;PB

va;

BA

va;

PE

va;

EF

va;0;0

2

PBn

PB

2

BAn

BA

2

PEn

PE

2

EFn

EFAF aa

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

t

PF

t

EF kk aa IIt

PFkat

PB

t

BA kk aa IIt

PAka

n

BAka

n

PBka

n

PEka

n

EFka

n

CDka

t

CPka

t

CDka

n

CPka

n

PEa

n

EFa

t

PFka

n

BAan

PBa

n

CPap

pa

Ca

c

t

PAka

t

PAka

t

CD

n

CDD

t

CP

n

CPP

t

CD

n

CDDC

t

CP

n

CPPC

aaaaaa

aaaa

aaaa

;CD

va;

CP

va

2

CDn

CD

2

CPn

CP

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

t

PF

t

EF kk aa IIt

PFkat

PB

t

BA kk aa IIt

PAka

n

BAka

n

PBka

n

PEka

n

EFka

n

CDka

t

CPka

t

CDka

n

CPka

n

PEa

n

EFa

t

PFka

n

BAan

PBa

n

CPap

pa

Ca

c

n

CPka

t

PAka

b

n

BCa

t

BCka

e

t

CDka

n

CDa

t

BAka

Pa

t

BC

n

BCC

t

BA

n

BAA

t

BC

n

BCCB

t

BA

n

BAAB

aaaaaa

aaaa

aaaa

;BC

va;

BA

va

2

BCn

BC

2

BAn

BA

P

S

T

A

C

B

E

D

F

v6

1

2

4

3

5

6

t

PF

t

EF kk aa IIt

PFkat

PB

t

BA kk aa IIt

PAka

n

BAka

n

PBka

n

PEka

n

EFka

n

CDka

t

CPka

t

CDka

n

CPka

n

PEa

n

EFa

t

PFka

n

BAa

n

PBa

n

CPap

pa

Ca

c

n

CPka

t

PAka

b

n

BCa

t

BCka

e

t

CDka

n

CDa

t

BAka

Pa

ΔbceΔBCE~

Materiał prezentowany na wykładzie nr 5 i 6 znajduje się:

Gronowicz A.: Podstawy analizy układów kinematycznych. Oficyna Wydawnicza PWr., Wrocław

2003;

str.: 110- 128

Miller S.: Teoria maszyn i mechanizmów. Analiza układów mechanicznych. Oficyna Wydawnicza

PWr. Wrocław 1996;

str.: 42-62

Przykładowe rozwiązane zadania z kinematyki:

Gronowicz A. Miller S., Twaróg W.: Teoria maszyn i mechanizmów. Zestaw problemów analizy i

projektowania. Oficyna Wydawnicza PWr. Wrocław 2002;

Zadanie 007/16

Zadanie 008/17

Zadanie 009/19

Zadanie 010/21

Zadanie 011/25