PENGUJIAN HIPOTESIS

PROSEDUR UMUM

• Langkah 1 :

tentukan hipotesis 0 (H0) dan

anti hipotesis (H1)

misalnya: H0 : µ = 100

H1 : μ ≠ 100

atau H1 : μ > 100

atau H1 : μ < 100

PROSEDUR UMUM

• Langkah 2:

tentukan jenis distribusi yang cocok:

� bila n > 30 dan σ diketahui � distribusi-Z

� bila tidak terpenuhi � distribusi –t

• Langkah 3:

tentukan resiko penolakan hipotesis � nilai α

� ≠ � uji dua sisi � pada α/2

� > � uji sisi kanan area � pada α

� < � uji sisi kiri area � pada α

PROSEDUR UMUM

• Langkah 4:

hitung rasio kritis sebagai:

Hx µ−=

x

HxRK

σ

µ0

−=

PROSEDUR UMUM

• Langkah 5:

Siapkan statemen kesimpulan:

� terima H0 � perbedaan standar antara x (rerata

perhitungan) dan μH0(rerata hipotesis) perhitungan) dan μH0(rerata hipotesis)

jatuh di daerah penerimaan

atau

� tolak H0 � perbedaan standar antara x (rerata

perhitungan) dan μH0 (rerata hipotesis)

jatuh di daerah penolakan

PENGUJIAN SAMPEL

• Dua kemungkinan:

� Pengujian satu sampel

artinya hipotesis diambil terhadap satu nilai tertentu

mis. H0 : μ = 100

� Pengujian dengan dua sampel

artinya terdapat dua parameter yang saling dibandingkan

mis. H0 : μ1 = μ2

Contoh:

1. Penelitian terdahulu menunjukkan bahwa konsentrasi

DDT rata-rata pada jaringan lemak manusia adalah 9

ppm, selanjutnya DDT dilarang untuk digunakan dengan

harapan konsentrasi diata akan menurun. Bagaimana

menyusun hipotesa?menyusun hipotesa?

Ho: µ ≥ 9 ppm � interpretasi?

H1: µ < 9 ppm � interpretasi ?

2. Standard menyatakan bahwa kualitas air yang aman untuk

budidaya kerang untuk dikonsumsi adalah jika kandungan bakteri

rata dalam 1 mL sebanyak 70, karena jika lebih besar dari 70 akan

menyebabkan hepatitis.

Hipotesa dalam monitoring? Hipotesa dalam monitoring?

Ho: µ ≤ 70 � interpretasi?

H1: µ > 70 � interpretasi ?

3. Daun yang berguguran pada ekosistem akan

menyebabkan peningkatan kandungan nitrogen sebesar

2kg/ha/thn. Jika terjadi penggundulan hutan maka akan

terjadi penurunan kandungan tsb, hipotesa:

Ho: µ ≥ 2 � interpretasi?

H1: µ < 2 � interpretasi ?

4. Nilai protein total rata-rata dalam darah orang

dewasa sehat adalah 7,25 mg/L. Hipotesa untuk

hasil pengujian darah seseorang adalah:

Ho: µ = 7,25 � interpretasi? Ho: µ = 7,25 � interpretasi?

H1: µ ≠ 7,25 � interpretasi ?

Hipotesa Statistik

• Asumsi mengenai populasi sebelum dilakukan

sampling berdasarkan teori dan pertimbangan-

pertimbangan sebelumnya

• Ho: hipotesa yang diuji dan H1 merupakan

kebalikan Ho dan merupakan kesimpulan jika Ho

ditolak.

Nilai Kritis/Rasio Kritis

• Hasil uji statistik terletak pada daerah penerimaan

� Ho diterima

NKNK

Daerah penerimaan

Daerah penolakanDaerah penolakan

Resiko dalam metoda Statistika

• Ho direncanakan untuk ditolak

Pernyataan Benar

Ho benar H1 benar

Keputusan

Menolah Ho Kesalahan Tipe I

probabilitas: α

Keputusan Benar

Probabilitas: Power

Menerima Ho Keputusan benar Kesalahan tipe II

Probabilitas : β

• Level of significance: α : Probabilitas melakukan kesalahan tipe I � α= 0,05 atau

lebih kecil

• Koefisien kepercayaan (confidence coefficient): (1-α)

• Risiko β: perbedaan parameter populasi antara hipotesa dengan nilai

sesungguhnya � dapat dikendalikan dengan meningkatkan jumlah sampel

Probabilitas : β

p-value

• Probabilitas mendapat hasil uji statistik sama dengan atau

lebih ekstrim daripada hasil yang diperoleh dari data

sampel, jika Ho benar-benar betul.

• Tingkat signifikansi hasil observasi yang merupakan nilai • Tingkat signifikansi hasil observasi yang merupakan nilai

terkecil dimana Ho dapat ditolak:

– Jika p ≥ α � terima Ho

– Jika p < α � tolak Ho

Contoh soal

Diketahui:

n : 25

x : 0,5018

σ : 0,004

Hasil uji hipotesa?

1. Ho : µ = 0,503 2. Ho : µ ≥ 0,503

H1: µ ≠ 0,503 H1: µ < 0,503

p ? p ?

PENGUJIAN SATU SAMPEL

σ DIKETAHUI• Hipotesis nol � nilai parameter dari populasi adalah sesuai dengan

suatu nilai.

• Anti-hipotesis � hipotesis alternatif:

(a) H : μ < sebuah nilai(a) H1 : μ < sebuah nilai

� uji sisi kiri sebesar α

� keputusan yang diambil:

Terima H0 bila RK ≥ -Z

Tolak H0 bila RK < -Z

PENGUJIAN SATU SAMPEL

σ DIKETAHUI

(b) H1 : μ > sebuah nilai

� uji sisi kanan sebesar α

� keputusan yang diambil:� keputusan yang diambil:

Terima H0 bila RK ≤ Z

Tolak H0 bila RK > Z

PENGUJIAN SATU SAMPEL

σ DIKETAHUI

(c) H1 : μ ≠ sebuah nilai

� uji dua sisi sebesar α

� keputusan yang diambil:� keputusan yang diambil:

Terima H0 bila RK = Z

Tolak H0 bila RK < -Z atau RK > Z

PENGUJIAN SATU SAMPEL

σ TIDAK DIKETAHUI• Data tentang σ jarang diketahhui.

• Distribusi sampling tidak bisa lagi mendekati normal jika

jumlah data ≤ 30.jumlah data ≤ 30.

• Distribusi -Z tetap bisa digunakan bila jumlah sampel > 30.

• Distribusi-t digunakan bila jumlah sampel < 30.

PENGUJIAN SATU SAMPEL

REKAPITULASI

PENGUJIAN DUA SAMPEL

• Dua hal yang harus diperhatikan:

(1) kedua sampel yang diuji hendaknya cukup besar (n

> 30)

(2) kedua sampel tersebut hendaknya bebas �

sampel diambil dari grup yang berbeda

� sampel yang diambil dari grup pertama tidak

berhubungan dengan sampel dari grup kedua

PENGUJIAN DUA SAMPEL

• Secara umum:

hipotesis-nol � H0 : μ1 = μ2

hipotesis-alternatif:hipotesis-alternatif:

- alternatif dua sisi � H1 : μ1 ≠ μ2

- alternatif sisi kanan � H1 : μ1 > μ2

- alternatif sisi kiri � H1 : μ1 < μ2

PENGUJIAN DUA SAMPEL

• Persamaan rasio kritis (RK):

2

1

2

1

2121 )()(

nn

XXZRK

σσ

µµ

+

−−−==

Jika diasumsikan bahwa sampel diambil secara acak dan

independen dari populasi yang terdistribusi normal dan varians

kedua populasi sama (σ12=σ2

2) � Pooled –variance t test

21 nn

PENGUJIAN DUA SAMPEL

(lanjt.)

Uji Hipotesa:

Ho : μ1=μ2 atau μ1-μ2 =0

dengan hipotesa alternatif

H1 : μ1≠μ2 atau μ1-μ2 ≠ 0

Pada kebanyakan kasus:

σ tidak diketahui dan hanya mengetahui nilai rata2 (X) dan varians

sampel (s2)

Bila σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 =

σ2= σ

+

−−−=

21

2

2121

11

)()(

nnSp

XXt

µµ

2

)1()1(

21

2

22

2

1122

21 −+⋅−+⋅−

==− nn

snsnS pxxs

21 nn

Uji statistik t pada derajat kebebasan df = n1+n2-2

Contoh soal

Suatu studi dilakukan untuk membandingkan pengaruh penggunaan fungisida terhadap

kadar merkuri dalam telur burung yang mengkonsumsi biji-bijian yang tercemar fungisida.

Dilakukan pengambilan sampel secara random telur yang dihasilkan di Swedia dimana

digunakan fungsida yang mengandung merkuri dan telur yang dihasilkan dari Jerman yang

tidak menggunakan fungisida. Hasil yang diperoleh adalah sbb:

Swedia Jerman

n1= 18 n2= 40

x1= 0,0359 ppm x2= 0,0946 ppm

s1 = 0,0218 s2= 0,0840

Tentukan hasil uji statistik, apakah kedua sampel mempunyai nilai rata-rata yang berbeda

atau tidak ?

Uji statistik perbedaan antara 2

varians

Ho: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2

2

Tolak bila Fhitung > Fu atau Fhitung < FL

df: numerator n1 – 1 dan denumerator n2-1

FL = 1/Fu

2

2

2

1

s

sF =

PENGUJIAN DUA SAMPEL

bila σ1 ≠ σ2

• Persamaan rasio kritis (RK):

21 xxRK

xxσ

−=

−

2

2

2

1

2

1

21

21

nnxx

xx

σσσ

σ

+=

−

−

PENGUJIAN DUA SAMPEL

bila σ1 ≠ σ2 = σ

• Bila σ tidak diketahui dan n < 30 � σ diganti dengan s dan

gunakan distribusi-t

PENGUJIAN DUA SAMPEL

YANG TIDAK BEBAS

• Yang diperbandingkan � seluruh data yang ada.

• Prosedur ini didekati dengan statistika non-

parametrik dan tidak terikat pada pola distribusi parametrik dan tidak terikat pada pola distribusi

samplingnya.

• Cara non-parametrik � mencari perbedaan setiap

pasangan sampel.

PENGUJIAN DUA SAMPEL

YANG TIDAK BEBAS

• Persamaan yang digunakan:

n

DZ

d

d

µµ−

=

( )

( )

n

s

DtRK

n

DDs

n

DD

D

D

iD

i

µ−==

−−∑

=

∑=

1

)( 2

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah• ANAVA � pendekatan yang memungkinkan digunakannya

sampel untuk menguji apakah nilai dari dua atau lebih rerata

populasi yang tidak diketahui adalah sama.

• Pengujian signifikansi perbedaan � dengan menentukan

variabel bebas dan variabel tak bebas.variabel bebas dan variabel tak bebas.

• Variabel bebas � tidak terikat pada perlakuan ataupun

kondisi yang terjadi.

• Variabel tak bebas � dipengaruhi oleh perlakuan yang

diberikan atau kondisi yang terjadi.

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah• Eksperimen yang hanya menggunakan satu

variabel bebas � klasifikasi-satu-arah (one-way classification) � hanya satu faktor klasifikasi yang digunakan � completely randomized design.

• Hipotesis:

- hipotesis-nol: H0 : μ1 = μ2 = μ3 =…..= μk

- hipotesis-alternatif: H1 : seluruh populasi tidak mempunyai rerata yang sama

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Asumsi yang digunakan:

- Sampel harus dipilih secara acak, dan

setiap sampel adalah bebas satu dengan lain.

- Populasi yang dianalisis berdistribusi normal.- Populasi yang dianalisis berdistribusi normal.

- Seluruh populasi dari sampel tersebut mempunyai

varian yang sama � variansi yang homogen.

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Bila hipotesis-nol diterima:

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Bila hipotesis-nol ditolak:

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Skema umum klasifikasi-satu-arah:

Sampel Rerata

1 x11 x12 � x1j � x1n x1

2 x21 x22 � x2j � x2n x2

� � � � � � � �

i xi1 xi2 � xij � xin xi

� � � � � � � �

k xk1 xk2 � xkj � xkn xk

X

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Bila μi adalah rerata dari populasi ke-i dan σ2 adalah varian

dari k populasi, maka :

ijiij

atau

x εµ +=

untuk i = 1,2,…, k

dan j = 1,2,…,n

ijiijx

atau

εαµ ++=

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Asumsi awal σ2 adalah sama, maka varian diestimasi dengan

satu varian:

( )22

1 −

−= ∑ xx

siij

sedang varian antar kelompok sampel:

11 −= ∑

ns

( )1

2

2

−

−= ∑

k

xxs

i

x

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Varian dalam sebuah populasi (within):

dengan df = k (n – 1)

( )( )1

2

2

−

−= ∑∑

nk

xx iij

wσ

dengan df = k (n – 1)

• Varian antar populasi (between)

dengan df = (k – 1)

( )( )1

2

2

−

−= ∑

k

xxn i

bσ

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah• Rasio kritis F = σb

2/ σw2 dibandingkan terhadap

nilai sesuai dengan distribusi-F dengan df sebesar (k-1) dan k(n-1).

• Hipotesis-nol ditolak jika:

σb2 > σw

2 atau

Fperhitungan > Ftabel

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Persamaan yang digunakan :

( )( )[ ]

( )nkSSE

kTrSSRK

−=

−

−=

∑ 2

1

1

( ) ( )

( ) SSETrSSSST

kn

TC

Cn

TTrSS

CxSST

i

ij

+=

=

−

=

−=

∑∑

2

2

2

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Bila jumlah sampel tidak sama:

( ) ∑ −

= C

nT

TrSSi

i

2

∑=

nTC2

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)

Klasifikasi Satu Arah

• Rekapitulasi analisis variansi

Sumber

variasi

Derajat

kebebasan

Jumlah

kuadrat

Rerata kuadrat RK

Perlakuan k-1 SS(Tr) MS(Tr) = MS(Tr)/MSEPerlakuan k-1 SS(Tr) MS(Tr) =

SS(Tr)/(k-1)

MS(Tr)/MSE

Galat k(n-1) SSE MSE = SSE/(k(n-

1))

Jumlah nk-1 SST

PENGUJIAN HOMOGENITAS DUA

VARIANSI

• Hipotesis: H0 : σ12 = σ2

2

H1 : σ12 = σ2

2

• Rasio kritis untuk uji σ1= σ2• Rasio kritis untuk uji σ1= σ2

PENGUJIAN HOMOGENITAS LEBIH DARI

DUA VARIANSI

(UJI BARLETT)• Bila k buah sampel dengan ukuran n1,n2,…, nk

diambil dari polpulasi berdistribusi normal dan mempunyai ukuran varian

yang sama:

( )( )( )[ ]( ) ( )∑

∑ −−= log110ln2

ii snBRK

� distribusi-X2

� derajat kebebasan df1=k-1

� tingkat signifikansi = α

( ) ( )( )( )( )∑

∑∑

−

−=

−=

1

1

1log

2

2

2

i

ii

i

n

sns

nsB

PENGUJIAN HOMOGENITAS

UJI INDEPENDENSI DUA FAKTOR

• Persamaan yang digunakan:

( )

( )

.

2

2 −=

=

∑∑f

ffX

n

nmf

b keo

ojioe

fe : teoritis

fo : observasi

m : jumlah baris ke-i

n : jumlah kolom ke-j

( )( )11 −−=

=∑∑kbdf

fX

e