Post on 04-Feb-2018
Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Zenica, 26.11.2010.
Parcijalni ispit iz predmeta Matematika I
GRUPA A
1. Dokazati matematičkom indukcijom tvrdnju:
( ) ( )2sinsin sin 3 sin 5 ... sin 2 1 .
sinnxx x x n x nx
+ + + + − = ∈
2. Izračunati sve vrijednosti korjena 3 ,z ako je ( )( )1 3 1 cos sin .12 12
z i i iπ π⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
3. Izračunati sve visine u trouglu ABC ako je ( )2 , 3 , 2, 1, , .6
AB p q BC q p q p q π= − = = = =
uuur ur r uuur r ur r ur r
4. Naći tačku A koja leži na pravoj : 3 0,2 0a x y y z− − = + = , a od prave :b x y z= = je udaljena 6.
GRUPA B
1. Riješiti matričnu jednačinu 1 1,AX B C AX− −− = ako je 1 1 2 2 1 1 2 1 00 1 2 , 0 1 1 , 0 1 2 .0 2 1 0 0 1 0 0 1
A B C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. Izračunati sve vrijednosti korjena ( ) ( )( ) ( )
3 3
4 2 2
1 1.
1 1i ii i
+ − −
+ − −
3. Izračunati sve težišnice u trouglu ABC ako je
( ), 4 , 1, 1, , .3
AC p q BC q p p q p q π= + = − = = =
uuur ur r uuur r ur ur r ur r
4. Naći ravan koja prolazi kroz pravu : 5 0, 4 0a x y z x z+ + = − + = i sa ravni 4 8 1 0x y z− − + = zatvara ugao od 045 .
GRUPA C
1. Koliko ima racionalnih članova u razvoju binoma ( )303 47 5 ?+
2. Riješiti jednačinu u skupu kompleksnih brojeva: 4 230 289 0.x x− + = 3. Izračunati uglove trougla ABC ako je zadano:
( ) 53 , 2 , 2, 1, , .6
BA p q CA p q p q p q π= − = + = = =
uuur ur r uuur uur r ur r ur r
4. Naći jednačinu prave koja siječe prave 3 5:2 3 1
x y za + −= = i 10 7:
5 4 1x y zb − +
= = i paralelna
je pravoj 2 1 3: .8 7 1
x y zc + − −= =
GRUPA D
1. Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra a: ( ) ( )( ) ( )
( )
3 2 2
2 2 1
2 1
a x a y z a
a x a y z
x y a z
− + − + =
− + − + =
+ + − =
2. Naći sve vrijednosti korjena 6 27.− 3. Izračunati obim i površinu trougla ABC ako je
( ) 24 2 , 3 2 , 1, 2, , .3
AC p q CB q p p q p q π= + = − = = =
uuur ur r uuur r ur ur r ur r
4. Naći jednačinu ravni koja je paralelna ravni 2 2 3 0x y z+ − + = , a od tačke ( )1, 2, 1A − ima udaljenost 3.