Priprema za 1.ispit znanja – trigonometrija

1. Pretvori u decimalni oblik kut:

α=75 °25 ' 36 ˝

Rj :α=75 °+(2560

)°+(36

3600)°=75 °+0.41666 °+0.01 °=75.4266 °

2. Pretvori u radijane kuteve:

a) α=300 °

Rj : αr=α °⋅ π180°

⇒ αr=300°⋅ π180 °

=5,2361rad

b) α=28 °39 ' 45˝

Rj : 28 ° 39 ' 45 ˝=28,6625 ° ⇒ αr=28,6625⋅ π180 °

=0.5003 rad

3. Pretvori u stupnjeve kuteve:

a) αr=11π

3Rj : α °=αr⋅

180°π ⇒ α °=

11π

3⋅

180°π =660 °

b) α=4,28 rad Rj : α °=4,28⋅180 °

π =245,2176 °=245 ° 13 ' 3 ˝

c) αr=−1,2rad

Rj :α°=−1,2⋅

180°π =−68,7526 °

0,7526⋅60=45.156 0,156⋅60=9.36 ⇒ α=−68 ° 45 ' 9 ˝

4. Odredi glavnu mjeru kuta : α '=α−⌊ α360°

⌋⋅360 ° α '=α−⌊ α2π

⌋⋅2π

a) α=555 °

Rj :α '=555 °−⌊555 °360 °

⌋360 °=555 °−1⋅360 °=195 °

b) α=2017 °

Rj :α '=2017 °−⌊2017 °360 °

⌋⋅360 °=2017 °−5⋅360°=2017 °−1800 °=217 °

c) α=−1260 °

Rj :α '=−1260°−⌊−1260°

360 °⌋⋅360 °=−1260°−(−4 )⋅360 °=−1260 °+1440 °=180 °

d) α=531π

4

Rj :α '=531π

4−⌊

531π

42π

⌋⋅2π=531π

4−66⋅2π=

531π

4−

528π

4=

3π

4

5. Na brojevnoj kružnici istakni točke koje pripadaju sljedećim kutevima.

t1=25 π

4t2=−

1297π

3t 3=

253π

6t 4=−

315π

2

Rj: Odredi glavnu mjeru kuta:

t1 '=π4

, t 2 '=5 π

3, t3 '=

π6

, t 4 '=π2

6. Na trigonometrijskoj kružnici nacrtaj točku E(t) i istakni sint, cost, tgt, ctgt, ako je t=17 π

3.

Rj: Glavna mjera kuta od

17 π

3je

5π

3

7) Na trigonometrijskoj kružnici istakni točke za koje vrijedi :

a) sint=−12

b) tgt=32

c) cos t=13

d) ctgt=−23

Rj: a) sint=−12

b) tgt=32

c) cost=13

d) ctgt=−23

8. Izračunaj vrijednost preostalih trigonometrijskih funkcija , ako je :

a) sin t=−1517

,t∈(3π

2,2 π)

b) tg t=−√3,t∈(−5π ,−11π

2)

Rj: a) Kut se nalazi u 4.kvadrantu ⇒ cos t je pozitivan

cos t=√1−sin2t=√1−(−1517

)2

=√ 289−225289

=√ 64289

=8

17

tgt=sin tcos t

=

−1517817

=−158

ctg t=1

tg t=−

815

b) Kut se nalaziu2.kvadrantu , ⇒ sin t je pozitivan ,a cos t i ctg t negativni

sint=tg t

√1+tg2 t⇒ sin t=

−√3

−√1+(−√3)2=

−√3−√1+3

=−√3−√4

=−√3−2

=√32

cos t=∓√1−sin2 t ⇒ cos t=−√1−(−√3

2)

2

=−√1−34=−√ 1

4=

−12

ctg t=1

tg t⇒ ctgt=

1−√3

=−√33

9. Dokažida vrijedi:cos4 t+sin2t⋅cos2t+sin2 t+tg2 t=1

cos2t

Rj: sin2 t+cos2t=1

cos4 t+sin 2t⋅cos2t+sin2 t+tg2t=cos2 t(cos2 t+sin2t⏞1

)+sin2t+tg2 t=cos2t+sin2 t⏞1

+ tg2 t=1+sin2 t

cos2t

=

cos2 t+sin 2tcos2 t

=1

cos2t

10. Pojednostavni sljedeći izraz: 1−sin4 t−cos4 tcos4 t

Rj. 1⏞

sin 2 t+cos2 t

−sin4 t−cos4 t

cos4t=

sin2 t+cos2t−sin4 t+cos4 t

cos4 t=

sin2t−sin4 t+cos2t−cos4 t

cos4 t=

sin2t (1−sin2 t )⏞

cos2 t

+cos2 t(1−cos2t)⏞sin2 t

cos4 t=

sin2 t⋅cos2 t+cos2 t⋅sin2tcos4t

=2sin2 t⋅cos2 t

cos4 t=

2sin2 tcos2t

=2 tg2t

11. Ako jesin t+cos tsin t−cos t

=23

, koliko je tgt ?

Rj: sin t+cos t / :cos tsint−cos t /: cos t

=

sin tcos t

+1

sin tcos t

−1=

tg t+1tg t−1

⇒

tg t+1tg t−1

=23

⇒ tgt+1=23⋅(tg t−1) ⇒ tg t+1=

23tg t−

23

⇒13tgt=

−53

⇒ tgt=−5

12. Provjeri jesu li dane funkcije parne ili neparne:

a) f (x)=1+cos x

x2 Rj: f (−x )=

1+cos(−x )

(−x )2 =

1+cosxx2 ⇒ funkcija je parna

b) f (x)=x+3 sinx

Rj: f (−x )=−x+3 sin (−x )=−x−3 sinx=−(x+3 sinx) ⇒ funkcija je neparna

13. Izračunaj temeljni period sljedećih funkcija :

a) f (x)=sin (3 x−π4)

Rj: f (x+P)=sin (3(x+P)−π4)=sin(3 x+3P−π

4)=sin(3 x−π

4+3 P)

⇒ 3P=2π ⇒ P=2π

3

b) f (x)=12tg

x2

Rj: f (x+P)=12tg(

x+P2

)=12tg(

x2+

P2

) ⇒P2

=π ⇒ P=2π

14. Izračunaj , bez upotrebe kalkulatora: sin55 π

3+cos (−

37 π

6)⋅tg(−

41π

4)

Rj:

sin55 π

3+cos(−

37π

6)⋅tg(−

41π

4)=

sin( π3+9⋅2π)+cos( π

6+3⋅2π)⋅tg(−( π

4+5⋅2π))=sin π

3−cos π

6⋅tg π

4=√3

2−√3

2⋅1=0