Modul 206 Regelmäßige Vielecke!

Regelmäßige Vielecke In- und Umkreise

Gleichseitiges Dreieck

s

s s

r

h r

h = 32 s

r = 23 h =

33 s

ρ = 13 h =

36 s

A = 34 s2

Gleichseitiges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

C

A

B

M c

Gleichseitiges Dreieck im Raster?

C

A

B

M c

Gleichseitiges Dreieck im Raster?

Diese Figur ist falsch!

Gleichseitiges Dreieck Falten

Falten

1. Wir beginnen mit einem langen Streifen.

Falten

2. Wir falten in irgend einer Richtung nach OBEN.

Falten

3. Auffalten

Falten

4. Wir falten nach UNTEN – nun genau wie dargestellt.

Falten

5. Auffalten

6. Wir falten nach OBEN – genau wie dargestellt.

Falten

Falten

7. Auffalten

Falten

8. Wir falten nach UNTEN – nun genau wie dargestellt.

Falten

9. Auffalten

α1

α2

α3

α4

Falten

9. Auffalten

Vermutung: limn→∞

αn( ) = 60°

α1

α2

α3

α4

Beispiel

α1 = 36° = 60° − 24°

α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°

α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°

α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°

Startwert

α1

α2

α3

α4α1

α1 = 36° = 60° − 24°

α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°

α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°

α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°

Beispiel

Startwert

α1

α2

α3

α4α1 α2

α1 = 36° = 60° − 24°

α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°

α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°

α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°

Beispiel

Startwert

α1

α2

α3

α4

α1 = 36° = 60° − 24°

α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°

α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°

α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°

Beispiel

Startwert

α1

α2

α3

α4

Beispiel

Startwert α1 = 36° = 60° − 24°

α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°

α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°

α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°

Der Fehler wird jedes Mal halbiert: limn→∞

αn( ) = 60°

α1

α2

α3

α4

Beispiel

α1 = 36°

αn =180°−αn−1

2

Startwert

Rekursionsformel

α1

α2

α3

α4

Beispiel

Wie finden wir den Limes?

Rekursionsformel

α1 = 36°

αn =180°−αn−1

2

Startwert beliebig

α1

α2

α3

α4

n

1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000° 2545.0000000° 62.5000000° -5.0000000° 4 66.2500000° -1182.5000000° 58.7500000° 92.5000000° 5 56.8750000° 681.2500000° 60.6250000° 43.7500000° 6 61.5625000° -250.6250000° 59.6875000° 68.1250000° 7 59.2187500° 215.3125000° 60.1562500° 55.9375000° 8 60.3906250° -17.6562500° 59.9218750° 62.0312500° 9 59.8046875° 98.8281250° 60.0390625° 58.9843750° 10 60.0976563° 40.5859375° 59.9804688° 60.5078125° 11 59.9511719° 69.7070313° 60.0097656° 59.7460938° 12 60.0244141° 55.1464844° 59.9951172° 60.1269531° 13 59.9877930° 62.4267578° 60.0024414° 59.9365234° 14 60.0061035° 58.7866211° 59.9987793° 60.0317383° 15 59.9969482° 60.6066895° 60.0006104° 59.9841309° 16 60.0015259° 59.6966553° 59.9996948° 60.0079346° 17 59.9992371° 60.1516724° 60.0001526° 59.9960327° 18 60.0003815° 59.9241638° 59.9999237° 60.0019836° 19 59.9998093° 60.0379181° 60.0000381° 59.9990082° 20 60.0000954° 59.9810410° 59.9999809° 60.0004959° 21 59.9999523° 60.0094795° 60.0000095° 59.9997520° 22 60.0000238° 59.9952602° 59.9999952° 60.0001240° 23 59.9999881° 60.0023699° 60.0000024° 59.9999380° 24 60.0000060° 59.9988151° 59.9999988° 60.0000310° 25 59.9999970° 60.0005925° 60.0000006° 59.9999845° 26 60.0000015° 59.9997038° 59.9999997° 60.0000077°

αn αn αn αn

Der Startwert spielt keine Rolle

Beispiel

Wie finden wir den Limes?

Rekursionsformel

α1 = 36°

αn =180°−αn−1

2

Startwert beliebig

α1

α2

α3

α4

1( ) Annahme: Es gibt einen Limes

α = limn→∞

αn( )

2( ) In Rekursionsformel einsetzen:

α = 180°−α2

3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°

1( ) Annahme: Es gibt einen Limes

α = limn→∞

αn( )

2( ) In Rekursionsformel einsetzen:

α = 180°−α2

3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°

1( ) Annahme: Es gibt einen Limes

α = limn→∞

αn( )

2( ) In Rekursionsformel einsetzen:

α = 180°−α2

3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°

Dreieck

Restenverwertung

Gleichseitiges Dreieck Falten und schneiden

Warum ist das richtig?

Quadrat

Quadrat?

Quadrat?

Fünfeck

Fünfeck

Fünfeck

Fünfeck Pentagon

Pentagramm

Fünfeck

72°

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

108°

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

108°

36 °

36 °

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

108°

36 °

36 ° 36 °

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

108°

36 °

36 ° 36 °

36 °

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

108°

36 °

36 ° 36 °

36 °

72 ° 72 °

Fünfeck

72°

s

d

s

s s

s d

108°

36 °

36 ° 36 °

36 °

72 ° 36 °

36 °

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

Ähnliche Dreiecke

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

Gleichschenklige Dreiecke

s

s

ds =

sd−s

d1 =

1d−1

d2 − d = 1

d2 − d −1 = 0

d = 1± 52

d =d>0↑

1+ 52 ≈ 1.618

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

s

s

Ähnliche Dreiecke

ds =

sd−s

d1 =

1d−1

d2 − d = 1

d2 − d −1 = 0

d = 1± 52

d =d>0↑

1+ 52 ≈ 1.618

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

s

s

s = 1

ds =

sd−s

d1 =

1d−1

d2 − d = 1

d2 − d −1 = 0

d = 1± 52

d =d>0↑

1+ 52 ≈ 1.618

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

s

s

ds =

sd−s

d1 =

1d−1

d2 − d = 1

d2 − d −1 = 0

d = 1± 52

d =d>0↑

1+ 52 ≈ 1.618

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

s

s Quadratische Gleichung

ds =

sd−s

d1 =

1d−1

d2 − d = 1

d2 − d −1 = 0

d = 1± 52

d =d>0↑

1+ 52 ≈ 1.618

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

s

s

Fünfeck

d

s

d

36 °

72 ° 36 °

36 °

s = 1 d = ?

s

s

ds =

sd−s

d1 =

1d−1

d2 − d = 1

d2 − d −1 = 0

d = 1± 52

d =d>0↑

1+ 52 ≈ 1.618

Fünfeck

1+ 52 ≈ 1.618033989…Goldener Schnitt

Fünfeck

Goldener Schnitt

Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1���

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Das Programm geht nach kurzer Pause weiter

1+ 52 ≈ 1.618033989…

Zehneck

s

r

r

r = 1 s = ?

s = 11+ 52

s = 11+ 52

= 25+1

= 25+1

5−15−1

= 2 5−25−1 = 5−1

2

s = 5−12 ≈ 0.618033988…

s = 11+ 52

= 25+1

= 25+1

5−15−1

= 2 5−25−1 = 5−1

2

s = 5−12 ≈ 0.618033988…

s = 11+ 52

= 25+1

= 25+1

5−15−1

= 2 5−25−1 = 5−1

2

s = 5−12 ≈ 0.618033988…Erweitern

Warum?

s = 11+ 52

= 25+1

= 25+1

5−15−1

= 2 5−25−1 = 5−1

2

s = 5−12 ≈ 0.618033988…

s = 11+ 52

= 25+1

= 25+1

5−15−1

= 2 5−25−1 = 5−1

2

s = 5−12 ≈ 0.618033988…

Ebenfalls goldener Schnitt (Verhältnis des goldenen Schnittes anders herum)

s = 11+ 52

= 25+1

= 25+1

5−15−1

= 2 5−25−1 = 5−1

2

s = 5−12 ≈ 0.618033988…

Goldener Schnitt

Bezeichnungen:

τ = 1+ 52 ≈ 1.618033988…

ρ = −1+ 52 ≈ 0.618033988…

Goldener Schnitt τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5

2 ≈ 0.618…

Konstruktion

1

1 2

Goldener Schnitt

Konstruktion

1

1 2

12 + 12( )2 = 5

4 =52

τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5

2 ≈ 0.618…

Goldener Schnitt

Konstruktion

1

1 2

12 + 12( )2 = 5

4 =52

τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5

2 ≈ 0.618…

Goldener Schnitt

Konstruktion

1

1 2

τ = 1+ 52 ≈1.618… ρ = −1+ 5

2 ≈ 0.618…

τ

ρ

1 1

Nochmals Zehneck

Im Prinzip können wir das Zehneck konstruieren

ρ

1 1

?

Nochmals Zehneck

ρ

1 1

? 1

Nochmals Zehneck

ρ

ρρ

1 1 1

Nochmals Zehneck

1+ ρ = τ

ρ

ρρ

τ

1 1

Nochmals Zehneck

ρ

ρ

τ

Konstruktion des Fünfeckes

Wir beginnen mit dem Umkreis

Konstruktion des Fünfeckes

Konstruktion des Fünfeckes

Konstruktion des Fünfeckes

Gruß vom goldenen Schnitt

1

1 2

Konstruktion des Fünfeckes

Konstruktion des Fünfeckes

Konstruktion des Fünfeckes

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

P

Q

PQ

=xQ − xPyQ − yP

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

QR

= PQ ⊥ =

yP − yQxQ − xP

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Drehung um +90°

Vorbereitung:

Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

P

Q R

Drehung um +90°

Vorbereitung:

Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

PQ

=xQ − xPyQ − yP

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

QR

= PQ ⊥ =

yP − yQxQ − xP

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

P

Q R

Drehung um +90°

Vorbereitung:

Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

PQ

=xQ − xPyQ − yP

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

QR

= PQ ⊥ =

yP − yQxQ − xP

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A 0

A 1

A 4

A 2

A 3

Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

A 0

A 1

A 4

A 2

A 3

B 1

Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte. Folge: Auch B1 ist Rasterpunkt.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

A 0

A 1

A 4

A 2

A 3

B 0 B 1

B 4

B 3 B 2

Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte. Folge: Auch B0, B1, B2, B3, B4 sind Rasterpunkte. Wir haben eine kleineres Rasterfünfeck.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Und dann fällt das Fünfeck durch die Maschen.

Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

Die Annahme war falsch. Richtig ist: Ein regelmäßiges Fünfeck passt nicht in einen Quadratraster.

Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)

Hexaflexagon

Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)

Hexaflexagon

Bergfalt

Talfalt

Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)

Regelmäßiges Siebeneck

Siebenbannstein Seit „vordenklicher Zeit“ Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von •  Lörrach •  Stetten •  Jnzlingen •  Hagenbach •  Adelhausen •  Ottwangen •  Brombach zusammen

Regelmäßiges Siebeneck

Siebenbannstein Seit „vordenklicher Zeit“ Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von •  Lörrach •  Stetten •  Jnzlingen •  Hagenbach •  Adelhausen •  Ottwangen •  Brombach zusammen

Regelmäßiges Siebeneck

Konstruktion mit Zirkel und Lineal?

Regelmäßiges Siebeneck

Eine Ecke übersprungen

Konstruktion mit Zirkel und Lineal?

Regelmäßiges Siebeneck

Eine Ecke übersprungen

Zwei Ecken übersprungen

Konstruktion mit Zirkel und Lineal?

Regelmäßiges Siebeneck

Eine Ecke übersprungen

Zwei Ecken übersprungen

Konstruktion mit Zirkel und Lineal?

Gauß, 1777-1855

Geht nicht

Gauß: C. F. Gauß (1777-1855) hat bewiesen, dass jedes regelmäßige n-Eck, das einem Kreis mit dem Radius r einbeschrieben werden soll, allein mit Zirkel und Lineal genau dann konstruierbar ist, wenn n eine Zweierpotenz oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und/oder verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.

Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:

Fk = 22k( ) +1

F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl

F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.

Fermat, 1601-1665!

Möglich: Dreieck Quadrat Fünfeck 15-Eck Sechseck Achteck Zehneck 30-Eck Zwölfeck 16-Eck 20-Eck 60-Eck 24-Eck 32-Eck 40-Eck 120-Eck 48-Eck 64-Eck 80-Eck 240-Eck 96-Eck 128-Eck 160-Eck 480-Eck usw. usw. usw. usw.

Scherengeometrie

„Denn der Schneider mit der Scher' Kommt sonst ganz geschwind daher, Und die Daumen schneidet er Ab, als ob Papier es wär'. „

Scherengeometrie

Der Struwwelpeter von Heinrich Hoffmann Die Geschichte vom Daumenlutscher

Scherengeometrie

Scherengeometrie Demo Cabri

Scherengeometrie

Scherengeometrie

Scherengeometrie

Scherengeometrie

Scherengeometrie

Scherengeometrie

Regelmäßiges Achteck

Decke der Kirche Wilchingen

Regelmäßiges Achteck

DIN A4 - Papier

Regelmäßiges Achteck

Mittellinie senkrecht

Regelmäßiges Achteck

Ecken einbiegen und wieder zurückfalten

Regelmäßiges Achteck

Parallelen durch die Schnittpunkte

Regelmäßiges Achteck

Waagerechte Mittellinie

Regelmäßiges Achteck

Ecken einbiegen und wieder zurückfalten

Regelmäßiges Achteck

Oktogon

Regelmäßiges Achteck

Oktogon

a

b

d

d = a2

d =!b

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a = 2b ⇒ DIN Format

Achtung: Falsche Figur!

Regelmäßiges Zwölfeck

Regelmäßiges Zwölfeck

Regelmäßiges Zwölfeck

Regelmäßiges Zwölfeck

Regelmäßiges Zwölfeck

Gleichseitiges Dreieck

Regelmäßiges Zwölfeck

Flächeninhalt = 3r2

Regelmäßiges Zwölfeck

Flächeninhalt = 3r2

Regelmäßiges Zwölfeck

Flächeninhalt = 3r2

Regelmäßiges Zwölfeck

Minimallösung?

Regelmäßiges Zwölfeck

Subtraktiv

Regelmäßiges Zwölfeck

blau = rot ?

Regelmäßiges Zwölfeck

blau = rot

Regelmäßiges Zwölfeck

blau = rot?

Regelmäßiges Zwölfeck

blau = rot?

Regelmäßiges Zwölfeck

blau = rot?