MAT-206 Parte I

Walter T. Huaraca Vargas

15 de Março de 2017

Ângulo trigonométrico

DefiniçãoUm ângulo θ é definido pela rotação de um raio ao redor da origem(vértice) desde uma posição inicial (lado inicial) até uma posição terminal(lado final). A medida do ângulo θ é a quantidade de rotação que realiza oraio desde o lado inicial até o lado final entorno do vértice. Esta medidaserá positiva se a rotação é realizada no sentido anti-horario e será negativano caso contrario.

ObservaçãoO ângulo gerado ao rotar um raio em sentido antihorario até que coincidapor primeira vez com a sua posição inicial é chamado de ângulo de umarevolução.

Sistemas de medição angular

Sistema Sexagesimal: O angulo de uma volta dividivo em 360 parteschamadas de grau sexafesimal, cada grau se divide em 60 partes iguaischamadas minuto sexagesimal, a sua vez cada minuto se divide em 60partes iguais chamadas de segundo sexagesimal.

notação equivalenciasGrau sexagesimal 1o 1o “ 60

1

“ 36002

minuto sexagesimal 11

11

“ 602

segundo sexagesimal 12

Sistemas radial ou circular

Unidade angular é o radian definido como a medida do ângulo central emqualquer circunferencia definido por um arco de longitude igual a r .Nestesistema o ângulo de uma revolução mide 2π radianes.

ObservaçãoSe S e R são os número que representam a medida de um ângulo nossistemas sexagesimal e radial, respetivamente, então S

360 “R2π de onde:

S

180“

R

π

Angulos coterminais

DefiniçãoDos ângulo são chamados de ângulos coterminais se tem o mesmo v?rtice,o mesmo lado inicial e o mesmo lado final. Obserque se se α e beta sãocoterminais se, e somente se, existe k P Z tal que α´ β “ kp360oq ouα´ β “ kp2πradq.

Comprimento de arco e área do setorcircular

Lembremos que L “ θr e A “ 12 rL “

12θr

2

Relações trigonométricas no triânguloretângulo

As relações trigonométricas no triângulo retângulo são 6 e são denomidasSeno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.Geometricamente temos:

Observação1 Ctgα “ 1

Tgα , Secα “1

Cosα , Cscα “1

Senα .2 0 ă Senα ă 1, 0 ă Cosα ă 1, Secα ą 1, Cscα ą 1, observe que α é

agudo.3 A razão Coseno é a co-razão da razão Seno e viceversa.4 A razão Cotangente é a co-razão da razão Tangente e viceversa.5 A razão Cosecante é a co-razão da razão Secante e viceversa.6 RTα “ CoRT pcomplemento de αq “ CoRT p90o´αq “ CoRT pπ2´αq

7 basta conhecer uma razão para conhecer as outras.

Proposição1 Considere o triângulo ABC reto em B, então Ctg A

2 “ CscA` CtgA eTg A

2 “ CscA´ CtgA.2 A àrea de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto de dois do

seus lados multiplicado pelo Seno do ângulo formado por eles.

O círculo trigonométrico

Lembre que podemos associar a todo número real um único ponto sobreuma reta orientada, consideremos duas retas orientadas perpendicularesentre elas, o plano determinado pelas retas é chamado de Plano Cartesianoo Plano coordenado.

1 Origem de coordenadas O2 Eixo das abscisas ou eixo X .3 Eixo das ordenadas ou eixo Y .4 4 regiões chamados de quadrantes5 r “

a

x2 ` y2 é chamado de raio vetor

Definição1 Um ângulo esta em posição normal, se o lado inicial pertence ao

semieixo positivo das abscisas, o vêrtice é o origem do sistema decoordenadas e o lado final encontrase no plano coordenado.

2 Um ângulo em posição normal é chamado de ângulo quadrantal se seulado final encontrase sobre um dos eixos coordenados.

ObservaçãoSe θ é um ângulo positivo de menor que uma revolução, então:

1 θ P IQ então 0 ă θ ă 90o

2 θ P IIQ então q90o ă θ ă 180o

3 θ P IIIQ então 180o ă θ ă 270o

4 θ P IVQ então 270o ă θ ă 360o

ObservaçãoSe θ é um ângulo quadrantal, então são:

1 2kπ com k P Z2 p2k ` 1qπ com k P Z3

p4k`1q2 π com k P Z

4p4k`3q

2 π com k P Z

Razões trigonometricasDefiniçãoSeja α um ângulo em posição normal se Ppx ; yq é um ponto pertencenteao lado final, as razoes trigonométricas de α são:

Senα “ Ordenadaraio “

yr Tgα “ Ordenada

abscisa “yx Secα “ raio

abscisa “rx

Cosα “ abscisaraio “

yr Ctgα “ abscisa

ordenada “xy Cscα “ raio

ordenada “ry

Observação1 Observe o sinal das RT nos diferentes quadrantes. (Geometricamente)2 A RT de ângulos coterminais são iguais.3 É fácil provar que:

Senp´αq “ ´Senpαq cosp´αq “ cospαq Tgp´αq “ ´Tgpαq

Ctgp´αq “ ´Ctgpαq Secp´αq “ Secpαq Cscp´αq “ ´Cscpαq

Circunferencia trigonométrica

S “ tpx ; yq P R2; x2 ` y2 “ 1u

Op0; 0q origem Ap1; 0q origem de arcos Bp0; 1q origem de complementosA

1

p´1; 0q origem de suplementos B1

p0;´1q Ppx ; yq extremos do arco AP

Se α for o ângulo definido pelo arco AP , então as razões trigonométricassão:

Linhas trigonométricas Com direção

Linha Seno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arco aodiámetro A

1

A

Linha Coseno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arcoao diámetro B

1

B

Linhas trigonométricas

Linha Tangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origem dearcos A. (Eixo de tangentes)

2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco atéintersetar o eixo de tangentes.

3 A linha tangente é o segmento comprendido entre aorigem de arcos e o ponto de interseção com a linhatangente.

Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origemde complementos B . (Eixo de cotangentes)

2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco atéintersetar o eixo de cotangentes.

3 A linha cotangente é o segmento comprendido entre aorigem de complementos e o ponto de interseção com alinha cotagente.

Linhas trigonométricas

Linha Secante 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremo doarco até intersetar o eixo X .

2 A linha Secante é o segmento comprendido entre aorigem de coordenadas e o ponto de interseção.

Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremodo arco até intersetar o eixo Y .

2 A linha Cosecante é o segmento comprendido entre aorigem de coordenadas e o ponto de interseção.

Linhas auxiliares

Linha Verso É o segmento comprendido entre o pe da linha do Seno e aorigem de arcos A e Versα “ 2´ Cosα.

Linha Coverso É o segmento comprendido entre o pe da linha doCoseno e a origem de complementos B e Covα “ 1´ senα

Linha Ex-Secante É o segmento comprendido entre a origem de arcose o extremo da linha secante e ExSecα “ Secα´ 1

Funções trigonométricas

Observação1 Intervalos abertos, fechados, semi-aberto, semi-fechado, infinitos.2 O valor absoluto de um número real x , é:

|x | “

"

x se x ě 0´x se x ă 0

Usaremos?a2 “ |a|

3 Funções4 Dominio, Imagem e Gráfico de uma função.5 Continuidade a assintotas verticais e horizontais.6 Funções Injetivas, sobrejetivas e bijetivas.7 Funções pares e impares e periódicas.

Função Seno

y “ f pxq “ Senx

1 Domínio: R2 Imagem: r´1; 1s3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Em todo seu dominio6 Valor(es) Máximo: 1 em x “ π

2 ` 2kπ com k P Z7 Valor(es) mínimo: -1 em x “ ´π

2 ` 2kπ com k P Z8 Paridade: Impar9 Monotocidade: Crescente em r´π

2 ` 2kπ; π2 ` 2kπs com k P Z eDecrescente em rπ2 ` 2kπ; 3π

2 ` 2kπs com k P Z

Função Cosseno

y “ f pxq “ Cosx

1 Domínio: R2 Imagem: r´1; 1s3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Em todo seu dominio6 Valor(es) Máximo: 1 em x “ 2kπ com k P Z7 Valor(es) mínimo: -1 em x “ p2k ` 1qπ com k P Z8 Paridade: Par9 Monotocidade: Crescente em r´π ` 2kπ; 2kπs com k P Z e

Decrescente em r2kπ; 2kπ ` πs com k P Z

Função Tangente

y “ f pxq “ Tgx

1 Domínio: Rztp2k ` 1qπ2 u, k P Z2 Imagem: R3 Gráfico:4 Periódo: π5 Continuidade: Discontínua em x “ p2k ` 1qπ2 com k P Z6 Valor(es) Máximo: Nao tem7 Valor(es) mínimo: Não tem8 Paridade: impar9 Monotocidade: Crescente en p´π

2 ` kπ; π2 ` kπq, k P Z10 Assintotas verticais: x “ p2k ` 1qπ2

Função Cotangente

y “ f pxq “ Ctgx

1 Domínio: Rztkπu, k P Z2 Imagem: R3 Gráfico:4 Periódo: π5 Continuidade: Discontínua em x “ kπ com k P Z6 Valor(es) Máximo: Nao tem7 Valor(es) mínimo: Não tem8 Paridade: impar9 Monotocidade: Decrescente en pkπ; kπ ` πq, k P Z10 Assintotas verticais: x “ kπ

Função Secante

y “ f pxq “ Secx

1 Domínio: Rztp2k ` 1qπ2 u, k P Z.2 Imagem: Rzp´1; 1q3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Discontínua em x “ p2k ` 1qπ2 , k P Z.6 Valor(es) Máximo: Nao7 Valor(es) mínimo: Não8 Paridade: Par9 Monotocidade: Crescente em r2kπ; 2kπ ` π

2 q ou p2kπ `π2 ; 2kπ ` πs,

k P Z.

Função Cosecante

y “ f pxq “ Cscx

1 Domínio: Rztkπu, k P Z.2 Imagem: Rzp´1; 1q3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Discontínua em x “ kπ, k P Z.6 Valor(es) Máximo: Nao7 Valor(es) mínimo: Não8 Paridade: impar9 Monotocidade: Crescente em rπ2 ` 2kπ; 2kπ ` πq oup2kπ ` π; 2kπ ` 3π

2 s, k P Z. Decrescente em r2kπ ´ π2 ; 2kπq ou

p2kπ; 2kπ ` π2 s, k P Z.

ObservaçãoSe f é uma função (trogonométrica).

1 y “ kf pxq

2 y “ f pcxq

3 y “ f pxq ` K

4 y “ f px ` cq

Identidades trigonométricas Recíprocas

Proposição1 SenxCscx “ 1 se x ‰ kπ, k P Z2 CosxSecx “ 1 se x ‰ p2k ` 1qπ2 , k P Z3 TgxCtgx “ 1 se x ‰ kπ

2 , k P Z

Identidades trigonométricas Quociente

Proposição1 Senx

Cosx “ Tgx , x ‰ p2k ` 1qπ2 k P Z2 Cosx

Senx “ Ctgx , x ‰ kπ k P Z

Identidades trigonométricas Pitagóricas

Proposição1 Sen2x ` Cos2x “ 1 para todo x P R.2 1` Tg2x “ Sec2x se x ‰ p2k ` 1qπ2 , k P Z3 1` Ctg2x “ Csc2x se x ‰ kπ, k P Z

Identidades trigonométricas Auxiliares

Proposição1 Sen4x ` Cos4x “ 1´ 2Sen2xCos2x para todo x P R.2 Sen6x ` Cos6x “ 1´ 3Sen2xCos2x para todo x P R.3 Sec2x ` Csc2x “ Sec2xCsc2x para todo x P R.4 Tgx ` Ctgx “ SecxCscx para todo x P R.5 Sp1Senx ` Cosxq2 “ 2p1` Senxqp1` Cosxq para todo x P R.

Redução ao primeiro quadrante

RT p180o ˘ αq “ ˘RT pαq RT pπ ˘ αq “ ˘RT pαqRT p360o ˘ αq “ ˘RT pαq RT p2π ˘ αq “ ˘RT pαq

ObservaçãoDe pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima,dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.

Redução ao primeiro quadrante

RT p90o ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq RT pπ2 ˘ αq “ ˘C0´ RT pαqRT p270o ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq RT p3π2 ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq

ObservaçãoDe pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima,dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.

Redução ao primeiro quadrante

DefiniçãoDa do um ângulo α, o ângulo referencial de α, αr é o ângulo agudo queforma o lado final do ângulo α com o eixo das abscisas.

ObservaçãoPara reducir ao primeiro quadrante, procedemos assim:

1 Ubicamos o quadrante do ângulo2 Achamos o ângulo de referenncia associado3 Determinamos o sinal da RT dada para o quadrante achado em 1.4 Colocamos a mesma RT, agora aplicada ao ângulo de referencia e com

o sinal determinado em 3.

As leis do Seno e do Coseno

Proposição1 Senpα˘ θq “ SenαCosθ ˘ CosαSenθ

2 Cospα˘ θq “ CosαCosθ ¯ SenαSenθ

3 Tgpα˘ θq “ Tgα˘Tgθ1¯TgαTgθ

TeoremaSe ABC é um triângulo de lados a, b e c , então

a2 “ b2 ` c2 ` 2bcCosA

TeoremaSe ABC é um triângulo de lados a, b e c , então

a

SenA“

b

SenB“

c

SenC

funções trigonométricas inversas

ObservaçãoExistencia de função (relação) inversa e relação do g?afico da função e ográfico da sua inversa

1 y “ f pxq “ Senx , Dompf q “ r´π2 ;

π2 s e Impf q “ r´1; 1s

2 y “ f pxq “ Cosx , Dompf q “ r0;πs e Impf q “ r´1; 1s3 y “ f pxq “ Tgx , Dompf q “ p´π

2 ;π2 q e Impf q “ p´8;8q

4 y “ f pxq “ Ctgx , Dompf q “ p0;πq e Impf q “ p´8;8q

5 y “ f pxq “ Secx , Dompf q “ r0; π2 q Y pπ2 ;πs e

Impf q “ p´8;´1s Y r1;8q6 y “ f pxq “ Cscx , Dompf q “ r´π

2 ; 0q Y p0;π2 s e

Impf q “ p´8;´1s Y r1;8q

Equações e Inequações trigonométricas

DefiniçãoUma equação trigonométrica elementar é da forma:

FT pkpx ` θqq “ r

Onde k; θ, r P R

DefiniçãoUma solução x0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertencea r0;T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução serátx0 ` kT ; k P Zu

DefiniçãoUma equação trigonométrica não elementar se para sua resolução requerconceitos algebricos e trigonométricos. (Fatoração, diferença de quadrados,angulos duplos etc.)

DefiniçãoUma solução x0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertencea r0;T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução serátx0 ` kT ; k P Zu

Inequações trigonométricas

Não existe um procedimento padrão para a solução de inequaçõestrigonométricas, porem devemos ter em conta:

1 Para que exista solução devemos ter interseção entre os dominios dasfunções que intervem. Se não tiver interseção então o conjuntosolução é vazio.

2 Pode acontecer que exista interserção entre os dominios porem nãoexista solução.

3 Considere duas funções f pxq e gpxq contínuas, entãogeometricamente:

§ Exite pontos de interseção, nestes pontos f pxq “ gpxq.§ Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por cima do gráfico degpxq, nestes pontos gpxq ă f pxq.

§ Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por baixo do gráfico degpxq, nestes pontos gpxq ą f pxq.