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Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
Sala 5017 Efermassa@lee.uerj.br
Aula 4
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Microondas I
→ Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas).
Equação de onda – Solução de onda plana
(1) → (2) →
(3) → (4) →
∇×E = −∂ B∂ t
= −μ∂ H∂ t
∇×H = ∂ D∂ t
= ϵ∂ E∂ t
∇⋅D = ϵ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0
(1 e 2) → ∇×∇× E = −μ∂(∇×H )
∂ t = −μϵ
∂2 E
∂ t 2
Id . vetorial→∇×∇×E = ∇(∇⋅E)−∇2 E = −∇ 2 E → da condição (3)
⇒−∇2 E = −μϵ
∂2 E
∂ t2 → da mesma forma para H
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Microondas I
→ Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas).
Equação de onda – Solução de onda plana
(1) → (2) →
(3) → (4) →
∇×E = −∂ B∂ t
= −μ∂ H∂ t
∇×H = ∂ D∂ t
= ϵ∂ E∂ t
∇⋅D = ϵ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)
z
E
H
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)
z
E
H
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
ω = 2π f → Frequência
k = 2πλ
→ Constante de propagação
ω t±kz → Fase
(-) Propagação no sentido positivo de ‘z’(+) Progação no sentido negativo de ‘z’
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
ω = 2π f → Frequência
k = 2πλ
→ Constante de propagação
ω t±kz → Fase
Relação ωk
= 1
√μϵ
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
ω = 2π f → Frequência
k = 2πλ
→ Constante de propagação
ω t±kz → Fase
ωk
= 1
√μϵ = 1
√μr ϵr
ωk0
* Dentro de um material dielétrico(permitividade relativa do meio é real)
μ = μrμ0
ϵ = ϵr ϵ0
→ λλ0
= 1
√μr ϵr
Comprimento de onda depende do material.
k = ω√μϵ
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
ω = 2π f → Frequência
k = 2πλ
→ Constante de propagação
ω t±kz → Fase
** Velocidade de fase da onda → Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante).
d (ω t±k z)dt
= 0 ⇒ ω±kdzdt
= 0 ⇒ω±k v f =0 v f = ωk
= 1
√μϵ
k = ω√μϵ
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Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
ω = 2π f → Frequência
k = 2πλ
→ Constante de propagação
ω t±kz → Fase
** Velocidade de fase da onda → Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante).
Novácuo , v f = c= 1
√μ0 ϵ0 = 2,9979⋅108 m / s
Nodielétrico , v f = c
√μr ϵr
k = ω√μϵ
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções
ω = 2π f → Frequência
k = 2πλ
→ Constante de propagação
ω t±kz → Fase
** Velocidade de fase da onda – Exemplos:
Nodielétrico , v f = c
√μr ϵr Teflon (10 GHz) 2,08 2,08 .108
Vidro (3 GHz) 4,84 1,37 .108
Água destilada (3 GHz) 76,7 3,42 .107
ϵr v f (m/ s)
* não magnético μr = 1
k = ω√μϵ
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x
Ex = E0 sin(ω t±k z)
Ex = E0 cos(ω t±k z)
Ex = E0 ei(ω t±k z)
Conjunto de soluções → Expressar a solução na forma de Euler é conveniente ao trabalhar com eq diferenciais parciais (eq de onda).
→A solução geral para o campo na direção ‘x’ é dada pela combinação linear das ondas se propagando nos dois sentidos:
Ex(z , t ) = Ex (z)eiω t = (E+ e
−ikz+E- e+ikz)eiω t
→eiω t , é uma constante de tempona eq de onda .
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E − μϵ
∂2 E
∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ
∂2 H
∂ t2 = 0
Ex(z , t ) = Ex (z)eiω t = (E+ e
−ikz+E- e+ikz)eiω t
→eiω t , é uma constante de tempona eq de onda .
* O importante no problema é conhecer a ampitude do campo ao longo de ‘z’
⇒ Ex (z) = E+e−ikz+E- e
+ikz
Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t
∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t
∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0
Daequação de Maxwell (1) →∇×E = −∂ B∂ t
= −μ∂ H∂ t
= −iωμ H (z )
→∇×Ex (z) = ∂ Ex (z)
∂ zy = −iωμ H y (z ) ⇒ H y (z) =
iωμ
∂ Ex( z)
∂ zy
H y (z) = k
ωμ (E+e−ikz
−E -e+ikz
) y k = ω√μϵ
⇒ H y(z) = √ ϵμ (E+ e
−ikz−E- e+ikz) y = √ ϵ
μ Ex(z) y
E (z) H ( z)Relação entre os campos e
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t
∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0
Relação entre os campos eE (z) H ( z)
→∇×Ex (z) = ∂ Ex (z)
∂ zy = −iωμ H y (z )
⇒ H y(z) = √ ϵμ (E+ e
−ikz−E- e+ikz) y = √ ϵ
μ Ex(z) y
Impedância intrínseca do meio ⇒ η = √μϵ (Ω)
→ Parametro de comparação da amplitude relativa entre E e H a partir da razão (E/H).
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t
∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0
Impedância intrínseca do meio ⇒ η = √μϵ (Ω)
H y (z) = 1η(E+ e
−ikz−E- e
+ikz) y
Ex(z) = (E+ e−ikz+E- e
+ikz) xNovácuo , η0 =√
μ0ϵ0
= 377Ω
Nummaterial , η =√μrϵr √
μ0ϵ0
= √μrϵr
η0 = ηr η0
ηr → Impedância relativa domeio
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Exemplo 1.1 (do livro):
Uma onda plana que se propaga num meio dielétrico sem perdas tem um campo elétrico dado por
com frequência de 5,0 GHz e comprimento de onda no material de 3,0 cm.
Determine a constante de propagação, a velocidade de fase, a permitividade relativa do meio, e a impedância de onda.
Ex = E0 cos(ω t−β z)
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
→ Permitividade do meio com perdas é complexa ϵ = ϵ ,−i ϵ , ,
(2)→ ∇×H = iω(ϵ '−iϵ ' ') E + σ E = iωϵ ' E + (ωϵ ' '+σ) E
→ Condutividade real efetiva (dissipativa) σ* = ωϵ ' ' + σ
∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z) = ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' E (z)−iωμσ* E (z)
(1)→ ∇× E = −iωμ H
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
(eq de onda no meio com perdas)
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
→ Solução
→ Constante de propagação complexa
Ex = E+ e−γ z+E- e
+γ z −γ2 = +ω
2μϵ ' (1−
iσ*
ωϵ ')
⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σ*
ωϵ ' ≡ α+iβ β = k
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Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
→ Meio condutor (σ ≠ 0)
→ Solução Ex = E+ e−γ z = E+ e
−α z e−iβ z (amortecimento)
⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '
≡ α+iβ
α → Constante de atenuação
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
→ Meio condutor (σ ≠ 0)
⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '
≡ α+iβ
v f = ωβ λ = 2πβ
→ H y (z) = i
ωμ∂ Ex( z)
∂ zy ⇒ H y(z) =
−iγωμ (E+ e
−γ z−E- e
+γ z) y
Imped domeio complexa→η = iωμγ
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Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
→ Meio dielétrico (J = 0) (σ = 0)
⇒ γ = iω√μϵr ϵ0(1−i tgδ) ≡ α+iβ
v f = ωβ
⇒ η = √μϵ ⇒ γ = iω√μϵ
Permitividade é complexa ⇒ ϵ = ϵ '−iϵ ' ' = ϵr ϵ0(1−i tgδ)
λ = 2πβ η =
iωμγ
ϵ ' = ϵr ϵ0
tan δ = ωϵ ' '+σ
ωϵ '
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Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
→ Meio bom condutor *
γ ≡ α+iβ
v f = ωβ
⇒ η = √μϵ
⇒ γ = iω√μϵ
λ = 2πβ
(σ≫ωϵ ')
γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '
⇒ γ ≈ iω√μϵ ' √−i σωϵ '
= (1+i)√ωμσ
2
⇒ α ≈ √ωμϵ
2
η = iωμγ ≈ (1+i)√
ωμ
2σ
* Fase de 45o entre E e H:
H y (z) = 1η(E+ e
−ikz−E- e
+ikz) y
Ex(z) = (E+ e−ikz+E- e
+ikz) x
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Equação de onda – Solução de onda plana
Ondas planas num meio com perdas
⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*
ωϵ ') E (z) = 0
→ Profundidade de película
→ Distância percorrida para a qual a amplitude é reduzida pelo fator 1/e (~ 1/3)
→ Para bom condutor
→ Metais como ouro, cobre e alumínio!
e−αδp = e−1 = 0,368 (redução para36,8 %)
Ex = E+ e−γ z = E+ e
−α z e−iβ z (amortecimento)
(δ p)
δp = 1α
(σ≫ωϵ ')δ p = √ 2
ωμσ
η = (1+i)√ωμ2σ
= (1+i)δ pσ
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Equação de onda – Solução de onda plana
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Equação de onda – Solução de onda plana
Exemplo 1.2 (do livro):
Calule a profundidade de película na frequência de 10GHz para o alumínio, cobre, ouro e prata.
δ p = √ 2ωμσ
Bons condutores!
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Equação de onda – Solução de onda plana
Exemplo:
Calule a impedância intrínseca do alumínio na frequência de 10GHz.
η = (1+i)√ωμ2σ
= (1+i)δ pσ