Retas e Planos no Espaço

Geometria de PosiçãoCapítulo 1

LIVRO 4

MATEMÁTICA

A

B

C

r

s

t

αααα

ββββ

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Existem: ponto, reta e plano

Numa reta, ou fora dela, existem infinitos pontos.

Num plano, ou fora dele, existem infinitos pontos.

POSTULADOS

POSTULADO DA EXISTÊNCIA

POSTULADO DA INCLUSÃO

“ Se dois pontos A e B, distintos de uma reta (r) também pertencem

a um plano (α), então a reta (r) está contida no plano (α).”

ααααA B

r⊂ αr

POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO

... de RETAS

“Dois pontos distintos determinam uma única reta.”

A Br=AB

... de PLANOS

A

B

C

ααααββββ

φφφφ

“Três pontos não colineares determinam um único plano.”

ββββA C

B

Cuidado:

Três pontos podem ser distintos, porém alinhados, determinando infinitos planos.

“Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.”

“Duas retas concorrentes determinam um único plano.”

“Duas retas paralelas distintas determinam um único plano.”

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO PLANO

PARALELAS COINCIDENTES

CONCORRENTES

ααααrtr ==

“todos os pontos de r

são pontos de t”

ααααr

t

P∩r t =P

PARALELAS DISTINTAS

ααααrt

“r e t não possuem

ponto em comum”

Se as retas concorrentes formarem ângulo reto no plano, serão chamadas de

retas perpendiculares.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO ESPAÇO

REVERSAS

Formam ângulo reto no espaço.

rααααPd

t

Retas reversas ortogonais

“ não existe um único plano que contenha ambas ao mesmo tempo ”

Retas reversas não-ortogonais

αααα

r

P

t

d Não formam ângulo reto no espaço.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO

PARALELOS COINCIDENTES

ββββ

αααα

α =α =α =α ===== “todos os pontos de αsão pontos de β”

PARALELOS DISTINTOS

ββββ

αααα

“α e β não possuem ponto comum”

SECANTES (OU CONCORRENTES)

ααααββββ

r

α∩β = r

Se os planos secantes formarem

ângulo reto no espaço, são chamados

de planos perpendiculares.

r

αααα

ββββ

⊥α β

DIEDRO

A intersecção entre dois

planos α e β é a reta r.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS

RETA CONTIDA NO PLANO

ααααr“todos os pontos de r

pertencem a α”

RETA PARALELA AO PLANO

αααα

r“r e α não possuem ponto em comum”

RETA INCIDENTE AO PLANO (CONCORRENTE OU SECANTE)

ααααP

t

αt∩ =P

Se a reta incidente formar ângulo reto com o plano, será denominada reta perpendicular.

ααααP

t

⊥ αt

PARALELISMO

“Uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas e reversa com infinitas retas contidas nesse plano.”

αααα

r

ts

u

m n

p

PERPENDICULARISMO

αααα

P

r

“Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a infinitas e ortogonal a infinitas retas contidas nesse plano.”

PROJEÇÃO ORTOGONAL

DE PONTOS NO PLANO

αααα

P

P’

DE SEGMENTOS DE RETA NO PLANO

αααα

A B

A’ B’

A

B

A’ B’

A

B

A’ ≡ B’

resolução

[19. p163] (EXPECEX - SP)Se a reta r é paralela ao plano α, então:

a) Todas as retas de α são paralelas a r.

b) Existem em α retas paralelas a r e retas

reversas a r.

c) Existem em α retas paralelas a r e retas

perpendiculares a r.

d) Todo plano que contém r intercepta α,

segundo uma reta paralela a r.

r

α

Um plano pode conter retas paralelas e/ou retas reversas a

uma reta paralela a ele.

Uma reta incidente e/ou perpendicular a um plano não

pertence a esse plano!

Um plano que contenha r pode

ser paralelo ao plano α.

EXERCÍCIOS

resolução

s

paralelasr e s →→→→

t

perpendicularess e t →

r

x

reversasx e r →

E. (FAAP - SP)A figura abaixo mostra uma porta entreaberta

e o canto de uma sala.

As retas r e s, s e t, x e r têm, respecti-

vamente, as posições relativas:

a) paralelas, paralelas e perpendiculares.

b) paralelas, perpendiculares e reversas.

c) paralelas, perpendiculares e perpendicula-

res.

d) reversas, paralelas e perpendiculares.

e) perpendiculares, reversas e paralelas.

observe que r está contida no

plano α e a reta x é incidente

ao mesmo plano α.

α

resolução[21. p163] (FUVEST - SP)Uma formiga resolveu andar de um vértice a

outro do prisma reto de bases triangulares

ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela

partiu do vértice G, percorreu toda a aresta

perpendicular à base ABC, para em seguida

caminhar toda a diagonal da face ADGC e, fi-

nalmente, completou seu passeio percorrendo

a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao

vértice

a) A b) B c) C d) D e) E

resolução[39. p165] (UNESP - SP)Entre todas as retas suportes das arestas de

um certo cubo, considere duas, r e s,

reversas. Seja t a perpendicular comum a r e

a s. Então,

a) t é a reta suporte de uma das diagonais de

uma das faces do cubo.

b) t é a reta suporte de uma das diagonais do

cubo.

c) t é a reta suporte de uma das arestas do

cubo.

d) t é a reta que passa pelos pontos médios

das arestas contidas em r e s.

e) t é a reta perpendicular a duas faces do

cubo, por seus centros.

r

st

αααα

ββββγγγγ

r

[43. p165] (PUC - SP)

Dois planos, β e γ, cortam-se na reta r e são

perpendiculares a um plano α. Então,

a) β e γ são perpendiculares.

b) r é perpendicular a α.

c) r é paralela a α.

d) todo plano perpendicular a α encontra r.

e) existe uma reta paralela a α e a r.

resolução

[25. p164] (FATEC - SP)

O ponto A pertence à reta r, contida no plano

α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no

ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2√5

cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r

mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então

a distância de A a C, em centímetros, é igual

a:

a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5 αααα

rA

s ⊥⊥⊥⊥ αααα

B

C

2 5

B'5

6

B

2 2 2[AB] =6 +5

61[AB]=

61

222 61 5[AC] = + 22[AC] =61+20

[AC]=9

resolução

A forma de uma projeção ortogonal está

condicionada ao plano onde o objeto será

projetado.

[54. p166] (UFSCAR-SP) Considere um plano

α e um ponto P qualquer no espaço. Se por P

traçarmos a reta perpendicular a α, a

interseção dessa reta com α é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre

α. No caso de uma figura F do espaço, a

projeção ortogonal de F sobre α, é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de

seus pontos.

Com relação a um plano qualquer fixado,

pode-se dizer que:

a) a projeção ortogonal de um segmento de

reta pode resultar numa semi-reta.

b) a projeção ortogonal de uma reta sempre

resulta numa reta.

c) a projeção de uma parábola pode resultar

num segmento de reta.

d) a projeção ortogonal de um triângulo pode

resultar num quadrilátero.

e) a projeção ortogonal de uma circunferência

pode resultar num segmento de reta.

resolução