Linearna algebra I

Spektar

za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V ,cilj nam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matricaoperatora A biti cim jednostavnija

najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

Spektar

za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V ,cilj nam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matricaoperatora A biti cim jednostavnija

najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

Spektar

iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavujednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se daje skalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postojivektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar(operatora A) i oznacava sa σ(A).

koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastitavrijednost, a u engleskom jeziku naziv eigenvalue

Spektar

iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavujednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se daje skalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postojivektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar(operatora A) i oznacava sa σ(A).

koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastitavrijednost, a u engleskom jeziku naziv eigenvalue

Spektar

iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavujednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se daje skalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postojivektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar(operatora A) i oznacava sa σ(A).

koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastitavrijednost, a u engleskom jeziku naziv eigenvalue

Spektar

Napomena

(a) vektor x iz navedene definicije naziva se svojstveni vektorpridruzen svojstvenoj vrijednosti λ0. Treba primijetiti dasvojstveni vektor nikako nije jedinstven: ako je x svojstvenivektor pridruzen λ0 onda je i αx svojstveni vektor pridruzenistoj svojstvenoj vrijednosti, i to za svaki skalar α iz F, α 6= 0

Spektar

Napomena

(b) neka jeVA(λ0) = {x ∈ V : Ax = λ0x}.

Ovaj skup se naziva svojstveni potprostor pridruzensvojstvenoj vrijednosti λ0. Uocimo da je VA(λ0) zaistapotprostor jer evidentno vrijedi

VA(λ0) = Ker(A− λ0I).

Primijetimo da je skup VA(λ) = {x ∈ V : Ax = λx} uvijek,za svaki skalar λ, potprostor od V . Svojstvene vrijednosti suoni skalari λ0 za koje je potprostor VA(λ0) netrivijalan.Zakljucujemo: svojstvena vrijednost operatora A je takavskalar λ0 za koji je operator A− λ0I singularan.

Spektar

Napomena

(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijskimultiplicitet) svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0).Iz definicije je jasno da je

d(λ0) ≥ 1.

Primjer

Operator A ∈ L(V 2(0)) zrcaljenja preko x−osi na prostoru V 2(0)ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 i λ2 = −1; naime A~i =~i iA~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo se kasnije uvjeriti iformalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.

Spektar

Napomena

(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijskimultiplicitet) svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0).Iz definicije je jasno da je

d(λ0) ≥ 1.

Primjer

Operator A ∈ L(V 2(0)) zrcaljenja preko x−osi na prostoru V 2(0)ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 i λ2 = −1; naime A~i =~i iA~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo se kasnije uvjeriti iformalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.

Spektar

Primjer

Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π,nema svojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost

Rϕ~a = λ0~a

znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektorapri rotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.

Definicija

Neka je A ∈Mn(F). Polinom

kA(λ) = det(A− λI)

naziva se svojstveni polinom matrice A.

Spektar

Primjer

Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π,nema svojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost

Rϕ~a = λ0~a

znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektorapri rotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.

Definicija

Neka je A ∈Mn(F). Polinom

kA(λ) = det(A− λI)

naziva se svojstveni polinom matrice A.

Spektar

Propozicija

Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) teneka je [A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V .Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer

Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

Spektar

Propozicija

Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) teneka je [A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V .Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer

Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

Spektar

Propozicija

Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) teneka je [A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V .Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer

Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

Spektar

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem Fte neka je A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednostoperatora A ako i samo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje prethodnogteorema jer polinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

Spektar

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem Fte neka je A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednostoperatora A ako i samo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje prethodnogteorema jer polinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

Spektar

Primjer

Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom ukanonskoj bazi e prostora R3:

[A]ee =

2 −1 01 0 0−1 0 2

.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.

Spektar

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Spektar

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Spektar

Propozicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ), neka su λ1, . . . , λk medusobno razlicite svojstvenevrijednosti operatora A te neka su x1, . . . , xk svojstveni vektoripridruzeni, redom, svojstvenim vrijednostima λ1, . . . , λk. Tada jeskup {x1, . . . , xk} linearno nezavisan.

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, A ∈ L(V ), te

neka je e(i) = {e(i)1 , e(i)2 , . . . , e

(i)di} baza za svojstveni potprostor

VA(λi), i = 1, . . . , k. Tada je unija⋃k

i=1 e(i) linearno nezavisan

skup u V .

Spektar

Propozicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ), neka su λ1, . . . , λk medusobno razlicite svojstvenevrijednosti operatora A te neka su x1, . . . , xk svojstveni vektoripridruzeni, redom, svojstvenim vrijednostima λ1, . . . , λk. Tada jeskup {x1, . . . , xk} linearno nezavisan.

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, A ∈ L(V ), te

neka je e(i) = {e(i)1 , e(i)2 , . . . , e

(i)di} baza za svojstveni potprostor

VA(λi), i = 1, . . . , k. Tada je unija⋃k

i=1 e(i) linearno nezavisan

skup u V .

Spektar

Korolar

Neka je V kompleksan konacnodimenzionalan vektorski prostor,neka je A ∈ L(V ) te neka je

σ(A) = {λ1, . . . , λk}.

Operator A se moze dijagonalizirati (tj. postoji baza od V u kojojje matricni prikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo akosu geometrijska i algebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti odA jednake.

Spektar

Definicija

Neka je V vektorski prostor i A ∈ L(V ). Kaze se da je potprostorM ≤ V invarijantan za A ako vrijedi

A(M) ⊆M,

tj. Ax ∈M , ∀x ∈M.

Teorem (Hamilton-Cayley)

Neka je A ∈Mn(F). Tada je

kA(A) = 0.

Spektar

Definicija

Neka je V vektorski prostor i A ∈ L(V ). Kaze se da je potprostorM ≤ V invarijantan za A ako vrijedi

A(M) ⊆M,

tj. Ax ∈M , ∀x ∈M.

Teorem (Hamilton-Cayley)

Neka je A ∈Mn(F). Tada je

kA(A) = 0.

Spektar

Korolar

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Tada je

kA(A) = 0.

Propozicija

Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je

kA(0) 6= 0.

Spektar

Korolar

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Tada je

kA(A) = 0.

Propozicija

Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je

kA(0) 6= 0.