Estimativas e erros em medidas diretas (I)

1

Física Geral - Laboratório (2015/2)

Física Geral - 2015/2 - Aula 1

Parâmetros de correlação

2

i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)

�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N

�

xy

= xy � xy

Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:

�xy

= �yx

e que não importa a ordem das variáveis:

Resumo da última aula

Física Geral - 2015/2 - Aula 1

Parâmetros de correlação

3

ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão

r =�

xy

�x

�y

�1 � r 1

Correlação linear, perfeita e positiva: r = 1

Correlação linear, perfeita e negativa: r = �1

Resumo da última aula

Física Geral - 2015/2 - Aula 1

Parâmetros de correlaçãoAtividade de Aula

4

ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190

IDAD

E (a

nos)

16

18

20

22

24

26

h_idadeAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 19.62Std Dev x 8.789Std Dev y 1.756

h_idadeAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 19.62Std Dev x 8.789Std Dev y 1.756

Diagrama de Dispersao: Idade Vs. Altura

covariancia Idade Vs. Altura: 1.5503 coeficiente de correlacao, Idade Vs. Altura: 0.100456

Física Geral - 2015/2 - Aula 1

Parâmetros de correlaçãoAtividade de Aula

5

covariancia Idade Vs. Massa: 8.56213 coeficiente de correlacao, Idade Vs. Massa: 0.268052

MASSA (Kg)50 60 70 80 90 100 110

IDAD

E (a

nos)

16

18

20

22

24

26

h_idadeMassaEntries 26Mean x 69.96Mean y 19.62Std Dev x 18.19Std Dev y 1.756

h_idadeMassaEntries 26Mean x 69.96Mean y 19.62Std Dev x 18.19Std Dev y 1.756

Diagrama de Dispersao: Idade Vs. Massa

Física Geral - 2015/2 - Aula 1

Parâmetros de correlaçãoAtividade de Aula

6

covariancia Massa Vs. Altura: 122.778 coeficiente de correlacao, Massa Vs. Altura: 0.767841

ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190

MAS

SA (K

g)

50

60

70

80

90

100

110

h_massaAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 69.96Std Dev x 8.789Std Dev y 18.19

h_massaAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 69.96Std Dev x 8.789Std Dev y 18.19

Diagrama de Dispersao: Massa Vs. Altura

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Experimentos: medidas diretas

7

Experimento de medidas diretas de uma grandeza:

Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza

Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.

Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida

No processo de medição de uma grandeza, há inevitavelmente incertezas

Imperfeições instrumentais, limitações observacionais, condições ambientais, etc.

Hipóteses, modelos teóricos

Natureza possivelmente aleatória do fenômeno

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Valor esperado de uma grandeza

8

Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente

É claro que não podemos repetir uma medição infinitamente..

Dessa forma, fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza

Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Resultado de uma medição

9

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

x± ✏

x

(unidade)

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Estimativa do valor esperado

10

A partir de medições de uma grandeza, com instrumentos bem calibrados e procedimentos apropriados, e para um grande número de medidas diretas, a média da distribuição de frequência dos dados tende ao valor esperado da grandeza

A distribuição de frequência dos dados é chamada de distribuição amostral

Ou seja, a melhor estimativa para o valor esperado de uma grandeza, x, a partir de uma amostra {xi} de dados, é a média

(Podemos pensar no limite para um número grande de medidas, ou seja, N → ∞)

x! µ

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Estimativa do valor esperado

11

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Incertezas aleatórias e sistemáticas

12

Incertezas aleatórias: devido a flutuações inevitáveis no processo de medição, que provocam a dispersão das medidas em torno da média

Incertezas sistemáticas: desvios em geral regulares, devido a imperfeições instrumentais, observacionais, ou do modelo teórico

As incertezas aleatórias estão associadas à precisão do experimento, enquanto as incertezas sistemáticas, com a sua exatidão

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Medições: precisão e exatidão

13

preciso

exato

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Erro da média

14

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Erro da média

15

Distribuição das médias de 100 “experimentos”, cada um com 100 medidas

Note que o “erro da média” é menor que o “erro da medida”

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Estimativa do erro da medida e da média

16

s

x

=

vuutNX

i=1

(xi

� x)2

N � 1=

rN

N � 1�

x

Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:

Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.

O erro da média pode ser aproximado por:

desvio padrão

“desvio padrão experimental” ou “amostral”

O desvio padrão experimental (sx) será comumente representado igualmente por σx

�x

=s

xpN

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Estimativa do erro da medida e da média

17

N !1) sx

⇡ �x

�x

⇡ �xpN

Para um número grande de medidas:

Quanto maior o número de medidas em um experimento, menor o erro estimado “da média”

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas

18

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

x

Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por repetição (maior número N de medidas).

Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes.

�x

=s

xpN

Física Geral - 2015/2- Aula 319

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

x �x

=s

xpN

Exemplo:

x = 10, 08± 0, 07(unid.)x = 10, 0835

�

x

= 0, 072Número de algarismos significativos determinado pelo valor do erro

Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas

Física Geral - 2015/ - Aula 320

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

x �x

=s

xpN

Como determinar o número de algarismos significativos do valor esperado

1. Determinar o erro: 2. Determinar o erro com um algarismo significativo: 3. Determinar a estimativa do valor esperado com o mesmo número de casas decimais que o erro associado ao valor esperado: 10,08

�x

= 0, 07�x

= 0, 072

x = 10, 0835�

x

= 0, 072

Exemplo:

Física Geral - 2015/ - Aula 321

Arredondamento

Exemplo de arredondamento para 2 casas decimais

• caso 1: 4,8251 ⇒ 4,83 • caso 2: 4,8249 ⇒ 4,82 • caso 3: 4,815 ⇒ 4,81 (número ímpar, não há incrementação)

• caso 4: 4,825 ⇒ 4,83 (número par, há incrementação)

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Primeira Prática: Medida com Resistores

22

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Primeira Prática: Medida com Resistores

23

• Trazer os resultados da primeira prática em 28/09/2015 impreterivelmente;

• Enviar dados, até 21/09/2015 impreterivelmente, para:

labfisicageraluerj@gmail.com

Física Geral - 2014/1 - Aula 224

d1/2 d3 d2 d1

Multímetro digitalDisplay digital de “3 1/2” dígitos:

Número de “contagens”: 0 - 1999

Funções: Medição de tensão contínua (DC - V)Medição de tensão alternada (AC - V)Medição de corrente contínua (DC - A)Medição de resistência (Ω)Possivelmente: Teste de continuidade, testes de diodos e transistores,...

Física Geral - 2014/1 - Aula 225

Conectores para pontas de prova

Função de medida de resistência (a posição pode variar de multímetro para multímetro)

Multímetro digital

Função de medida de tensão contínua

Física Geral - 2014/1 - Aula 2

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha

26

0 0 2

DC600 V200 V20 V2 V200 mV

Resolução: 1 V

(Variação do dígito menos significativo)

Física Geral - 2014/1 - Aula 227

0 1 6

DC600 V200 V20 V2 V200 mV

▪

Resolução: 0,1 V = 100 mV

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha

Física Geral - 2014/1 - Aula 228

1 5 7

DC600 V200 V20 V2 V200 mV

▪

Resolução: 0,01 V = 10 mV

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha

Física Geral - 2014/1 - Aula 229

1 5 7 1

DC600 V200 V20 V2 V200 mV

▪

Resolução: 0,001 V = 1 mV

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha

Física Geral - 2014/1 - Aula 230

1

DC600 V200 V20 V2 V200 mV

▪

Resolução: 0,1 mV = 100 μV

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilhaMostrador com dígito “1” à esquerda: valor acima do máximo da escala

Física Geral - 2014/1 - Aula 231

Como ler o código de cores de um resistorCor Código

Preto 0

Castanho 1

Vermelho 2

Laranja 3

Amarelo 4

Verde 5

Azul 6

Violeta 7

Cinza 8

Branco 9

Castanho ± 1%

Vermelho ± 2%

Dourado ± 5%

Prata ± 10%Precisão