La distribuzione normale o distribuzione di Gauss

Gauss ha dimostrato che secondo questa legge si possono riteneredistribuiti gli errori accidentali di misura di una qualsivogliagrandezza.

Densità di probabilità:

p (x ) = 1

√2πσ(x) exp

- 1

2

x - µ (x )

σ(x)

2

Poichè la curva è simmetrica la media, la mediana e la moda coincidonotra loro.

Cambiare il valore della media µ(x) equivale a fare scorrere lungo l'assedelle ascisse il grafico che rappresenta la densità di probabilità p(x) .

Cambiare il valore dello scarto quadratico medio σ (x ) equivale acambiare la forma del grafico.

Probabilità che la x sia contenuta in un certo intervallo:

- intervallo [µ (x ) - σ (x ), µ (x ) + σ (x )] → probabilità uguale a 0,683;

- intervallo [µ (x ) - 2σ (x ), µ (x ) + 2σ (x )] → probabilità uguale a 0,945;

- intervallo [µ (x ) - 3σ (x ), µ (x ) + 3σ (x )] → probabilità uguale a 0,997.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

p(x)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

σ(x) σ(x)

µ(x)

Distribuzione di Gauss

- 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0

0,000

0,100

0,200

x

p(x)

a b

Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni normali condiverso valore della media µ (x ) (10 per la distribuzione a e 20 per ladistribuzione b) e uguale valore (2,5) dello scarto quadratico medio σ(x)

- 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0

0,000

0,100

0,200

x

p(x)

a

b

Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni normali conuguale valore (10) della media µ (x ) e diverso valore dello scartoquadratico medio σ (x ) (2,5 per la distribuzione a e 5 per ladistribuzione b)

Il teorema del limite centrale

N variabili casuali indipendenti x1, x2, ..., xN

variabile casuale → z = ∑i= 1

N

x i

La distribuzione della variabile z tende a essere normale, al tendere diN a infinito, quali che siano le funzioni di probabilità delle variabilioriginarie.

La distribuzione normale in forma canonica

P (x ) = ∫-∞

x

p(x)dx

P (x ) =

⌡⌠

-∞

x

1

√2πσ(x) exp

- 1

2

x - µ (x )

σ(x)

2dx

La funzione non è integrabile analiticamente: P (x) si deve calcolare permezzo di un procedimento numerico approssimato.

In passato i valori della probabilità P (x) erano tabulati.Oggi si calcolano per mezzo di un codice di calcolo automatico.

u = x - µ (x )

σ(x) variabile ridotta o standardizzata

P (u) = P (x) probabilità di non superamento

p(u) = p(x)d xdu

dxdu

= σ (x ) → p(u) = p(x)σ(x)

p (u ) = 1

√2 π

exp

-

u 2

2 densità di probabilità

µ (u ) = µ (x ) - µ (x )

σ(x) = 0 σ(u) =

σ(x)σ(x)

= 1

Funzione di probabilità della distribuzione di Gauss. Valoridel la var iabi le r idot ta u in funzione di quell i dellaprobabilità di non superamento P .

P .5000 .5050 .5100 .5150 .5200 .5250 .5300 .5350 .5400 .5450u .0000 .0125 .0250 .0375 .0500 .0625 .0751 .0876 .1002 .1128

P .5500 .5550 .5600 .5650 .5700 .5750 .5800 .5850 .5900 .5950u .1254 .1380 .1507 .1633 .1760 .1888 .2015 .2143 .2271 .2400

P .6000 .6050 .6100 .6150 .6200 .6250 .6300 .6350 .6400 .6450u .2529 .2659 .2789 .2919 .3050 .3182 .3314 .3447 .3580 .3714

P .6500 .6550 .6600 .6650 .6700 .6750 .6800 .6850 .6900 .6950u .3849 .3984 .4120 .4257 .4395 .4533 .4673 .4813 .4954 .5097

P .7000 .7050 .7100 .7150 .7200 .7250 .7300 .7350 .7400 .7450u .5240 .5384 .5530 .5677 .5825 .5974 .6125 .6277 .6430 .6585

P .7500 .7550 .7600 .7650 .7700 .7750 .7800 .7850 .7900 .7950u .6742 .6900 .7060 .7222 .7386 .7552 .7720 .7890 .8062 .8237

P .8000 .8050 .8100 .8150 .8200 .8250 .8300 .8350 .8400 .8450u .8415 .8595 .8778 .8964 .9153 .9345 .9541 .9741 .9944 1.0152

P .8500 .8550 .8600 .8650 .8700 .8750 .8800 .8850 .8900 .8950u 1.0364 1.0581 1.0804 1.1031 1.1265 1.1504 1.1751 1.2005 1.2267 1.2537

P .9000 .9050 .9100 .9150 .9200 .9250 .9300 .9350 .9400 .9450u 1.2817 1.3108 1.3410 1.3724 1.4053 1.4398 1.4761 1.5144 1.5551 1.5985

P .9500 .9550 .9600 .9650 .9700 .9750 .9800 .9850 .9900 .9950u 1.6452 1.6958 1.7511 1.8123 1.8812 1.9604 2.0542 2.1705 2.3268 2.5762

P .9900 .9910 .9920 .9930 .9940 .9950 .9960 .9970 .9980 .9990u 2.3268 2.3661 2.4093 2.4577 2.5126 2.5762 2.6525 2.7481 2.8785 3.0905

P .9990 .9991 .9992 .9993 .9994 .9995 .9996 .9997 .9998 .9999u 3.0905 3.1217 3.1562 3.1949 3.2391 3.2908 3.3530 3.4319 3.5404 3.7194

(A causa della simmetria della distribuzione non sono tabulati ivalori negativi della variabile ridotta.)

Approssimazione numerica della funzione di probabilità delladistribuzione di Gauss per u ≥ 0

p (u ) = 1

√2 π

exp

- u 2

2

P (u ) = ∫- ∞

u

p(u)d u

r = 0,2316419b1 = 0,31938153b2 = -0,356563782b3 = 1,781477937b4 = -1,821255978b5 = 1,330274429

f = 1

√2 π

exp

- u 2

2

t = 1

1 + r u

P (u ) ≅ 1 - f(b 1 t + b 2 t2 + b 3 t3 + b 4 t4 + b 5 t5 )

Approssimazione numerica del l ' inversa del la funzione diprobabilità della distribuzione di Gauss per P ≥ 0,5

P (u ) = ∫- ∞

u

p(u)d u

c0 = 2,515517c1 = 0,802853c2 = 0,010328d1 = 1,432788d2 = 0,189269d3 = 0,001308

t = √l n 1

( 1 - P )2

u ≅ t - \ S \ D O 3 ( \ F ( c 0 + c 1 t + c 2 t2 ; 1 + d 1 t + d 2 t2 + d 3 t3 ) ) .

Distribuzione di Gauss - Esempi di calcolo

________________________________________________________

Parametri della distribuzione:

µ (x) = 5 0 0 σ (x) = 1 0 0

________________________________________________________

Determinazione della probabilità di non superamento P(x) di un valoredella x assegnato:

x = 6 5 0

u = (650 - 500) /100 = 1 , 5

u → P(u) (codice di calcolo o tabella)

P (u) = 0,9332

P(x) = P(u)

P (x) = 0,9332

________________________________________________________

Determinazione del valore della variabile x con probabilità di nonsuperamento P(x) assegnata:

P (x) = 0,8

P (u) = P (x)

P (u) = 0,8

P(u) → u (codice di calcolo o tabella)

u = 0,8415

x = µ (x ) + uσ (x ) = 500 + 0,8415 × 100 = 584 ,15

Distribuzione lognormale a due parametri

y = l n x variabile trasformata

p (x ) = 1

x√2πσ(y) exp

- 1

2

l n x - µ (y )

σ(y)

2

La distribuzione della x è limitata inferiormente e ha come limite zero.La distribuzione della variabile originaria x non è simmetrica.

Relazioni tra media e varianza della variabile originaria x e dellavariabile trasformata y :

µ (y ) = l n µ (x ) - 1 2

l n

1 +

σ 2(x )µ2(x)

σ 2 (y ) = ln

1 +

σ 2(x )µ2(x)

u = ay + b variabile gaussiana standardizzata

u = a l n x + b

a = 1

σ(y) b = -

µ (y )σ(y)

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

p(x)

0 1000 2000 3000 4000

x

µ(x) = 1000

σ(x) = 300

Distribuzione lognormale

0 1 0 2 0 3 0 4 0

0,0

0,1

0,2

0,3

x

p(x)

a

b

Distribuzioni lognormali con uguale valore dello scarto quadraticomedio σ (y ) e diverso valore (maggiore per la distribuzione b ) dellamedia µ(y)

0 1 0 2 0 3 0 4 0

0,0

0,1

0,2

0,3

x

p(x)

a

b

Distribuzioni lognormali con uguale valore della media µ (y ) e diversovalore (maggiore per la distribuzione b ) dello scarto quadraticomedio σ(y)

Distribuzione lognormale a tre parametri

y = l n ( x - x 0 ) variabile trasformata

Parametri:

µ(y) σ(y) x0

u = a l n (x - x 0 ) + b

variabile gaussiana standardizzata

Le distribuzioni di Pearson

La funzione di densità di probabilità p (x ) è una soluzionedell'equazione differenziale

dp(x)dx

= x - a

bx 2 + cx + d p (x )

Esistono sei diversi tipi di leggi di Pearson.

La distribuzione Gamma a due parametri

p (x) = α γx γ-1e -αx

Γ(γ)

La distribuzione della variabile x è limitata inferiormente e illimitatasuperiormente.Il limite inferiore è uguale a zero.La distribuzione della variabile x non è simmetrica.

y = α x variabile trasformata

P (x ) =

⌡⌠

0

x α γ x γ -1e -α x

Γ(γ) d x =

Γ i(y ;γ )

Γ(γ)

Γ i(y ;γ) = ∫0

y

e - tt γ - 1d t funzione Gamma incompleta

Γ (γ) = ∫0

∞ e -ttγ-1dt = Γ i(∞ ;γ) funzione Gamma completa

Relazioni tra la media e la varianza della variabile x e i due parametri αe γ :

α = µ(x)

σ2(x) =

1σ(x)CV(x)

γ = µ 2(x )σ2(x)

= 1

CV2(x)

0 1 0 2 0 3 0 4 0

0,0

0,1

0,2

0,3

x

p(x)

a

b

Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni Gamma (a dueparametri) con diverso valore (maggiore per la distribuzione b ) delparametro γ e uguale valore del parametro α

0 1 0 2 0 3 0 4 0

0,0

0,1

0,2

0,3

x

p(x)

a

b

Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni Gamma (a dueparametri) con diverso valore (maggiore per la distribuzione a ) delparametro α e uguale valore del parametro γ

La distribuzione Gamma a tre parametri

p (x ) = α γ(x - x 0 )γ -1e -α (x -x0 )

Γ(γ)

La distribuzione della variabile x è limitata inferiormente e illimitatasuperiormente.Il limite inferiore è uguale al parametro x0.

La distribuzione della variabile x non è simmetrica.

La trasformazione logaritmica del la distr ibuzioneGamma (distribuzione log-Gamma)

y = l n x variabile trasformata

La variabile trasformata y si assume distribuita secondo la leggeGamma a tre parametri.

p (x ) = α γ( ln x - ln x 0 ) γ -1(x 0 /x )α

xΓ(γ)

P (x ) =

⌡⌠

x0

xα γ( ln x - l n x 0 ) γ - 1 (x 0 /x )α

xΓ(γ) d x

Negli Stati Uniti è raccomandato l'uso della distribuzione log-Gammaper l'analisi dei massimi annuali delle portate di piena.

La distribuzione del massimo valore in un campione

P(x) distribuzione di probabilità originaria

PN(x) distribuzione di probabilità del massimo in un campione didimensione N (gli elementi sono estratti dalla popolazione della xindipendentemente l'uno dall'altro)

Per l'assioma della probabilità composta è

PN (x) = P(x)N

EsempioFunzioni di densità di probabilità della distribuzione originaria (a ) ,della distribuzione del massimo valore in un campione di 10 elementi(b ) e della distribuzione del massimo valore in un campione di 100elementi (c)

0 1 0 2 0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

x

p(x) a

b

c

La distribuzione asintotica del massimo valore del Itipo o distribuzione di Gumbel

Distribuzione asintotica del massimo valore:

l im P N (x)N→∞

Distribuzione asintotica del massimo valore del I tipo o distribuzione diGumbel (valida per le distribuzioni originarie di tipo esponenziale):

P (x ) = e -e -α (x - u )

p (x ) = α e - e -α (x - u ) - α (x - u )

y = α (x - u ) variabile ridotta

P (y ) = e -e-y

µ (y) = γ (costante di Eulero) ≅ 0,5772

σ (y ) = \S\DO2(\F(π ;\R (6))) ≅ 1 ,283

Relazioni tra media e scarto quadratico medio della variabile x eparametri della distribuzione di Gumbel:

α = 1 ,283

σ(x)

u = µ (x ) - 0,450σ (x )

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

p(x)

-100 0 100 200 300 400 500 600

x

α = 0,040

α = 0,030

u = 85

Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni diGumbel, con diverso valore del parametro α e ugualevalore del parametro u