Vorlesung und Übungen 1. Semester BA...

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SchnittgrößenVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

2 01.12.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Schnittgrößen

Verlauf der SchnittgrößenNormalkraftQuerkraftBiegemoment

Zusammenfassung

Anwendungen


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreNormalkraft

FDach

FDecke

FDecke

FDecke

FDach

FDach+ FDecke

FDach+ 2FDecke

FDach+ 3FDecke

Verlauf der Normalkraft in einer Stütze über 4 Geschoße

Vernachlässigung der Eigenlast der Stütze


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen



GStein = γ · VStein

QDach

NMauer = -n · GStein

Normalkraft infolge Mauereigenlast Normalkraft infolge Mauereigenlastund Vertikallast QDach

NMauer= -n · GStein - QDach


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen



gWand = γ · A

QDach

NWand = -γ · A · h

Normalkraft infolge Wandeigenlast Normalkraft infolge Wandeigenlastund Vertikallast QDach

h

x

NWand (x) = -γ · A · h

NWand = -γ · A · h - QDach

NWand = -γ · A · x - QDach


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreQuerkraft

P

AV = P

MA

P

x3

Qx3 = P

P

Q (x) = P

AH = 0

P

P

x1

P

P

x2

Qx2 = P Qx1 = P

Verlauf der Querkraft Q (x) über die Länge des Kragarmes


Tragkonstruktionen



P

BH = 0

A = P/2 L/2BV = P/2

L/2

1

1

Q12

2

BV = P/2

Q2

Schnitt 1 - 1

Schnitt 2 - 2PP/2

-P/2

Qli (x) = P/2

Qre (x) = -P/2

A = P/21V 0 A Q 0= ⇒ − =∑

2 VQ B P / 2= − = −2V 0 B Q 0= ⇒ + =∑

1Q A P / 2= =


Tragkonstruktionen



P

BH = 0

¼ L

BV = ¼ P

1

1

Q12

2

Q2

Schnitt 1 - 1

Schnitt 2 - 2 P¾ P

- ¼ P

Qli (x) = ¾ P

Qre (x) = -1/4 P

A = ¾ P1V 0 A Q 0= ⇒ − =∑

2 VQ B P / 2= − = −2V 0 B Q 0= ⇒ + =∑

1Q A P / 2= =

¾ LA = ¾ P

BV = ¼ P


Tragkonstruktionen



V 3 3V 0 B q x Q 0= ⇒ − ⋅ + =∑

1 1V 0 A q x Q 0= ⇒ − ⋅ − =∑

BH = 0

L

BV = q·L/2

1

A = q·L/2

q

2 3

A = q·L/2

Q2

Schnitt 2 - 2

x2 = L/2

q

A = q·L/2

Q1

Schnitt 1 - 1

x1

q

BV = q·L/2

Q3

Schnitt 3 - 3

x3

q

1 1Q q (L / 2 x )= ⋅ −

3 3Q q ( L / 2 x )= ⋅ − +2V 0 A q L / 2 Q 0= ⇒ − ⋅ − =∑

2Q q L / 2 q L / 2 0= ⋅ − ⋅ =


Tragkonstruktionen



BH = 0

L

BV = q·L/2

QA = q·L/2

Q (x) = q · (L/2 – x)

A = q·L/2

q

QBV= -q·L/2

allgemein

Q (x=0) = q · (L/2 – 0) = q · L/2

Q (x=L/2) = q · (L/2 – L/2) = 0

Q (x=L) = q · (L/2 – L) = -q · L/2

x


Tragkonstruktionen



AV = q · L

MA

AH = 0

QA = q·L

L

qQ (x) = q · (L – x)

allgemein

Q (x=0) = q · L – 0) = q · L

Q (x=L/2) = q · (L – L/2) = q · L/2

Q (x=L) = q · (L – L) = 0

x


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegemoment

AH

AV

L

qF

BQuerschnitt

Schwer- oder Mittelachse yy

z

z

x

F

B

q

AH

AV

q

N (x)

x

Q (x) M (x) M (x) Q (x)

N (x)

L - x

Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer


Tragkonstruktionen



L-x

P

MxQx

A AM 0 M P L 0= ⇒ + ⋅ =∑AM P L= − ⋅

P

AH = 0

AV

MA

L

X XM 0 M P x 0= ⇒ + ⋅ =∑XM P (L x)= − ⋅ −

M (x) P (L x)= − ⋅ − AM P L= − ⋅allgemein


Tragkonstruktionen



P

BH = 0

L/2

BV = P/2

L/2

1

1

2

2

ML/2 = P ·L/4

A = P/21 1 1M 0 M A x 0= ⇒ − + ⋅ =∑1 1M P 2 x= ⋅

M1

A = P/2

Q1Schnitt 1 - 1

x1

BV = P/2

M2

Q2

Schnitt 2 - 2

x2

= ⇒ − + ⋅ =∑ 2 2 V 2M 0 M B x 0

2 2M P 2 x= ⋅1 L/2x = L/2: M P 2 L 2 P L / 4= ⋅ = ⋅


Tragkonstruktionen



P

BH = 0

L/2

BV = P/2

L/2

ML/2 = P ·L/4

A = P/2

allgemein

0 < x < L/2

M (x) = P/2·x

L/2 < x < L

M (x) = P/2·(L – x)

M (x = L/2) = P/2·L/2 = P·L/4

M (x = 0) = P/2·0 = 0

M (x = L) = P/2·(L - L) = 0

M (x = L/2) = P/2·(L - L/2) = P·L/4


Tragkonstruktionen



P

BH = 0

ML/4 = 3/16 P ·L

allgemein

0 < x < ¼ L

M (x) = ¾ P·x

¼ L < x < L

M (x) = ¼ P·(L – x)

¼ L

BV = ¼ PA = ¾ P

¾ L

M (x = ¼ L) = ¾ P· ¼ L = 3/16P·L

M (x = 0) = ¾ P·x = 0

M (x = L) = ¼ P·(L – L) = 0

M (x = ¼ L) = ¼ P·(L – ¼ L) = 3/16P·L


Tragkonstruktionen



BH = 0

LBV = q·L/2

1

A = q·L/2

q

A = q·L/2

M1Q1

Schnitt 1 - 1

x1

q

1

1 1 1 1

M 0 A x q x x / 2 M 0

=

⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ − =∑

1 1 1 1M q L / 2 x q x x / 2= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

21 1 1

qM (L x x )2

= ⋅ ⋅ −

2qM(x) (L x x )2

= ⋅ ⋅ −

Mit x1 = x folgt

Parabel 2. Ordnung


Tragkonstruktionen



qML/2 = q·L2/8

dM(x) Lq q x 0dx 2

= ⋅ − ⋅ =

2qM(x) (L x x )2

= ⋅ ⋅ −

Lq q x 02

⋅ − ⋅ =

Maximum M(x)

Lx2

=

2 2q L L LM(x=L/2) (L ) q2 2 4 8

= ⋅ ⋅ − = ⋅

L/2 L/2

Q = 0

für

allgemein


Tragkonstruktionen



dM(x)Q(x) q (L x) 1dx

= = − ⋅ − ⋅ −

2M(x) q / 2 (L x)= − ⋅ −

AV = q · L

MA

AH = 0

MA = -q·L²/2

L

q

allgemein

x

Q(x) q (L x)= ⋅ −


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreZusammenfassung

q

L/2 L/2

q

MA = -q·L2/8

L/2

ML/2 = q·L2/8

L/2 L/2 L/2


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreZusammenfassung

qML/2 = q·L2/8

L/2 L/2

Q = 0

Mmax = P·a·b/L

a b

PP·b/L

-P·a/L

P

QA = q·L/2

Einzellast konst. Gleichstreckenlast

Momentenverlauf → linearQuerkraftverkauf → konstant

QBV= -q·L/2

Momentenverlauf → quadratischQuerkraftverkauf → linear

L


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreAnwendungen

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