Post on 10-Apr-2016
description
BAB III
INTEGRAL RANGKAP
3.1 Konsep :Misalkan sebuah persegi panjang yang dibatasi
oleh empat garis lurus x=r, x=s; y=k, y=m, seperti gambardi bawah ini :
Gambar 3.1 Luas Daerah Segi Empat Kecil
Jika semua elemen δa dijumlahkan sepanjang y=m, y=k(vertikal) maka akan menghasilkan :
)1.3(.
my
ky
xyA
Maka menjadi gambar sbb :
Gambar 3.2 Luas Daerah δa Sepanjang Sumbu y
Y
X
δy
δx
m
k
r s
δa
δa =δy.δx
X
m
k
Y
r s
2
Kemudian dijumlahkan sepanjang x=r sampai x=s makamenjadi luas total A sehingga diperoleh :
)2.3(.
sx
rx
my
ky
xyA
Maka menjadi gambar sbb :
Gambar 3.3 Luas Daerah Total
Jika δy →0, dan δx→0 maka persamaan di atas menjadi :
)3.3(
sx
rx
my
kydydxA
Bila dihitung maka :
sx
rx
my
kydydxA
dxyAsx
rx
mk
= dxkm
sx
rx
)(
srxkmA )( = )).(( rskm
Dari gambar di atas maka luas segiempat (mkrs) =
(m-k).(s-r). Maka rumus integral rangkap dirumuskan sbb:
dxdyyxfy
y
x
x2
1
2
1
, atau )4.3(),(S
dxdyyxf
X
m
k
Y
r s
3
Atau
dydxyxfx
x
y
y2
1
2
1
, atau S
dydxyxf ),(
dydxyxfxx
xx
yy
yy
2
1
2
1
,
Gambar 3.4 Penyelesaian Integral Ganda
Contoh 32:
2
2
02
2
0
2
0
2
0
2
0
1
o
2
0
31
0
22
0
satuan3
244
3
2
)yy3
1(dyy2dy
3
1
dy)y23
1(dy0)y2
3
1(
dy)yx2x3
1(dydx)y2x(
Contoh 33:
drdrdr
2
2
cos3
0
22cos3
0
222
2
sin3
1sin
12
4
2
2
2
42
2
2
2
2
5323
4,2
sincos15
1sincos
15
1sin
15
29
)cos(cos9sincos9
satuan
dd
Note : rumus reduksi :
xdxn
n
n
xxxdx n 2
144 cos
1sincoscos
1.2 Aplikasi Integral Rangkap :
3.2.1 Luas Daerah : S
dydxA = S
dxdyyxf ),(
Contoh 34 :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh5
4xy ,
sumbu –x, dan ordinat pada x=5.
5
4xy
Gambar 3.5 Luas Daerah y=4x/5 dan x=5
0 5 X
Y
δy
δx
Luas Elemen :yx .
Luas Pita :
1
0
.yy
y
xy
5
Jumlah semua pita semacam itu sepanjang gambarmemberikan :
5
0
1
0
5
0
1
0
.
.
x
x
yy
y
x
x
yy
y
xy
xyA
Jika δy →0, dan δx→0 maka persamaan di atas menjadi :
25
0
2
5
0
5
0
1
0
5
0
5
0
1
0
10)25(5
2
5
2
5
41
satuanx
dxx
dxydxy
dxdyA
y
y
Contoh 35 :
Tentukan luas daerah yang dilingkupi oleh kurvayang dilingkupi kurva
xy 921 dan
9
2
2
xy )0,0( 21 yy
Pertama-tama kita harus mencari dahulu titik potongnya.Untuk itu 21 yy
Sehingga :
819
4xx 02794 xx 0)729( 3 xx
9,0 xx
6
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan
Gambar 3.6 Grafik Hasil perhitungan
7
Luas daerah :
9
0
2
9
0
3
9
0
2
9
0 21
9
0
9
0
27275427
2
93
)(
23
21
1
2
1
2
satuanx
x
dxx
x
dxyy
dxydxdyAy
y
yy
Cara 2 :Bila diamati dari sumbu y maka persamaan
9
2
2
xy menjadi yx 92 , dan xy 92
1 menjadi9
2
1
yx
dan luas daerah menjadi :
9
0
2
9
0
3
9
0
2
9
0 12
9
0 1
9
0
27275427
2
93
)(
23
21
2 2
1
satuany
y
dyy
y
dyxx
dyxdydxAx
x
xx
Contoh 36 :
Hitunglah luas bidang datar yang dibatasi oleh garis
xy 2 dan lingkaran 422 yx
8
Jawab:
Gambar 3.7 Luas Daerah dibatasi Garis dan Lingkaran
Luas : s
dydxA
Batas ( daerah S)2
21 42 yxyx
dyx
dydxA
yy
y
y
2
0
4)2(
2
0
4
)2(
2
2
|
2
0
2 24 dyyy
20
221
2
124
22sin2
yyy
yy
22
)0(24
satuan
422 yx
xy 2
x
y
0
20 21 yy
9
3.2.2 Pusat Massa (Titik Pusat)
Gambar 3.8 Pusat Masa
Massa Rk pada titik ),( kYkX adalah:
)(),( RkAkYkXm dengan ),( yx adalahkerapatan (massa per satuan luas) dan k = 1, 2, ...,n.
Total Massa (Rtotal): )(),(1
RkAkYkXmn
k
Jika 0P , maka s
dRyxm ),(
Bila momen dari tiap massakAkYkXkXRk ),( , maka total momen terhadap
sumbu y adalah kkYkXkXMyn
k
),(1
dan total
momen terhadap sumbu x adalah
kkYkXkYMxn
k
),(1
. Sehingga titik berat ),( yx
adalah:
s
),( kkk yxR
kx
ky
y
x
10
s
s
dAyx
dAyxx
m
Myx
),(
),(
; )5.3(
),(
),(
s
s
dAyx
dAyxy
m
Mxy
Contoh 37:
Suatu daerah S memiliki kerapatan xyyx ),(
yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan grafik 32
xy tentukan pusat massa dan titik berat.
Jawab :
s
x
dxdyxydAxym8
0 0
3
2
dxxdxxy
x
8
0
3
7
0
8
0
2
2
1
2
3
2
6,1535
768
10
3
2
18
0
3
10
x
dxdyyxdAyxxMys
x
8
0 0
2
3
2
),(
23,94513
288,12
2
1 8
0
3
10
dxx
dxdyyxdAyxyMxs
x
8
0 0
2
3
2
),(
11
33,3413
1024
3
1 8
0
3 dxx
15,66,153
33,945
m
Myx 22,2
6,153
33,341
m
Mxy
3.2.3 Volume Benda Putar
Volume benda putar V yang dibatasi olehpermukaan ),( yxfz dan alas S [di mana S adalah
proyeksi permukaan ),( yxfz terhadap bidang yx atau perpotongan ),( yxfz dengan yx ] adalah:
)6.3(),(s
dydxyxfv
Contoh 38:
1) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh tabung
silinder 222 ayx , z = 0 dan z – y = 0.
Jawab:
Gambar 3.9 Volume Benda Putar
12
2221 0 xayy
axax 21
a
a
xa
dxdyyV
22
0
dxyV xaa
a
22
02 |
2
1
33
3222
3
2
|3
1
2
1)(
2
1
satuana
xxadxxa aa
a
a
3.2.4 Momen Inersia :
Momen inersia yang dipelajari dari energi kinetikKE, dari suatu partikel m dan kecepatan v, bergerak padasatu garis lurus adalah 2
21 mvKE , jika rv
Dimana ɷ= rad/det maka bila disubsitusikan , menjadi22
21 )( mrKE . Suku mr 2 disebut momen inersia
partikel yang ditandai dengan I. Jadi partikel yangberputar itu,
)7.3(221 IKE
Untuk sistem n partikel pada suatu bidang bermasa
nmmm ,....,, 21 dan berjarak nrrr ,....,, 21 dari garis L, maka
momen inersia sistem itu terhadap L didefenisikan sebagai
)8.3(... 22222
211 kknn rmrmrmrmI
13
Jika suatu lamina dengan kerapatan ),( yx mencakupsuatu bidang S dari bidang xy ( gambar…) maka momeninersia dari tiap keping RK, ditambahkan dan ambil limitke rumus berikut. Momen inersia (momen kedua) laminaterhadap sumbu-sumbu x,y dan z diberikan oleh :
)9.3(),()(
),(),(
22
22
S
yxz
SS
yx
IIdAyxyxI
dAyxxIdAyxyI
Contoh 39:
Tentukan momen inersia terhadap sumbu x,y, dan zuntuk lamina pada suatu daerah S memiliki kerapatan
xyyx ),( yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan
grafik 32
xy
Jawab :
7,70217
49152
61442
1
71,8777
6144
4
1
8
0
8
0
3/13
0
33
8
0
8
0
3/11
0
33
3/2
3/2
yxz
S
x
y
S
x
x
III
dxxdxdyyxydAxI
dxxdxdyxydAxyI
14
Contoh 40 :
Tentukan Ix ,Iy , dan I0 dari daerah yang dibatasioleh 0,22 xyx dan 0y .
Jawab :
Titik potong garis 22 yx atau xy 22dengan sumbu X adalah x=1
)1(=
),(
1
0
338
)1(2
0
1
0
331
1
0
)1(2
0
222
dxxdxy
dxdyydAydAyxyI
x
x
SS
x
3
2
)331(
1
04
4132
23
38
1
0
3238
xxxx
dxxxx
1
0
1
04
413
3132
1
0
2)1(2
0
1
0
2
1
0
)1(2
0
222
6
12)(2
)1(2
),(
xxdxxx
dxxxyx
dydxxdAxdAyxxI
x
x
SS
y
6
5
6
1
3
20 yx III
3.3 INTEGRAL LIPAT TIGA
Misalkan f fungsi dari 3 variabel yangterdefinisikan melalui suatu kotak B, dimana masing-masing sisinya sejajar dengan sumbu kordinat kartesian.
15
Kotak B tersebut dibagi menjadi kotak yang lebihkecil yang dinyatakan dengan Bk, dimana k = 1, 2,3, . . ., n merupakan suatu partisi-partisi (P)
Jika diambil suatu titik kzkykx ,, danmenjumlahkan seluruh kotak-kotak yang kecil itumaka :
)10.3(),,(),,(10
lim dvzyxfVkkzkykxfB
n
kP
dimana zkykxkVk .. adalah volume dari B
Gambar 3.10 Volume Integral Lipat Tiga
B
dvzyxf ),,( , dinyatakan sebagai integral rangkap tiga
(tripel integral)
Integral rangkap tiga dapat ditulis :
)11.3(),,( dzdydxzyxfB
Mempunyai pengertian sebagai berikut :
16
i. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap xdengan menganggap y dan z konstanta
ii. Pengintegralan kedua, adalah hasil dari (i)diintegralkan terhadap y dengan menganggap zkonstanta
iii. Hasil dari (ii) diintegralkan terhadap z.
Bila volume B disajikan dalam batas-batasintegral, maka bentuk diatas dapat ditulis sebagai berikut :
dzdydxzyxfzyx
zyx
zy
zy
z
z
),,(),(2
),(1
)(2
)(1
2
1
dzdydxyxfxx
xx
yy
yy
zz
zz
2
1
2
1
2
1
,
Gambar 3.11 Penyelesaian Integral Lipat Tiga
Dimana batas x1 dan x2 merupakan fungsi dari ydan z, batas y1 dan y2 merupakan fungsi dari z dan batas z1
dan z2 adalah suatu konstanta.
Catatan : Bila batas x1, x2, y1, y2, dan z1 serta z2 diatasmerupakan konstanta, maka volume Bmerupakan suatu kotak (balok) yang setiapsisinya sejajar dengan salah satu bidangkordinat.
12
3
17
Contoh 41:
1). dzdydxzyx )2(2
0
1
1
3
1
:
3
3
12
3
1
3
1
3
1
1
12
1
1
3
1
2
0
1
1
223
1
8
)24()1812(24
)44()222()22(
222)242(
22
satuan
zz
dzzdzzz
dzyzyydzdyzy
dzdyxxyx
2). dxdydzzyxxyx
0
23
0
1
0
:
3
1
0
111
0
10
0
1
0
55
0
451
0
00
2231
0
110
1
)(110
1
10
1
10
1
2
1
)2
1(
satuan
xdxx
dxyxdydxyx
dxdyzyx
xx
xyx
18
3.4 Aplikasi Integral Rangkap Tiga
3.4.1 Pusat Massa (titik berat)
Gambar 3.12 Pusat Masa Intergral Lipat Tiga
Massa VzyxB kkkk ,, dengan ),,( zyxadalah kerapatan (massa per satuan volume) padatitik kkk zyx ,, dan k = 1, 2, 3, ... , n.
Total massa B : Vzyxmn
kkkk
1
,,
Jika v
dVzyxmP ,,0
Momen kB pada bidang kkkkk Vzyxzxy ,,
x
y
z
kz
kB),,( kkk zyx
s
xyS
19
xyM adalah momen volume benda terhadap
bidang xy )12.3(),,(
),,(
s
sxy
dVzyx
dVzyxz
m
Mz
yzM adalah momen volume benda terhadap bidang
yz )13.3(),,(
),,(
s
syz
dVzyx
dVzyxx
m
Mx
xzM adalah momen volume benda terhadap bidang
xz )14.3(),,(
),,(
s
sxz
dVzyx
dVzyxy
m
My
3.4.2 Volume Benda
Integral rangkap 3, fungsi ),,( zyxf yaitu:
)15.3(,, dzdydxzyxfv
Bila 1),,( zyxf , untuk semua titik di dalam V,maka daerah integral rangkap tiga tersebut adalahvolume daerah V, sehingga diperoleh:
dzdydxVv
Contoh 42:Tentukan letak titik berat zyx ,, dari benda
yang dibatasi oleh dua silinder 222 azx dan
20
222 azy dalam okt pertama, bila 1,, zyx .
Jawab :
Gambar 3.12 Letak Titik Berat
2221 0 zaxx
2221 0 zayy
azz 21 0
a za za
dzdydxm0 0 0
22 22
a za
dzdyza0 0
22
22
222 azx
222 azy
y
z
x
21
30
32
0
22
3
2
3
1azzadzza a
a
a za za
xy dzdydxzM0 0 0
22 22
a za
dzdyzaz0 0
22
22
40
42
0
22
4
1
4
1
2azz
adzzaz a
a
a za za
xz dzdydxyM0 0 0
22 22
a za
dzdyzay0 0
22
22
dzzay zaa
22
0
0
222
2
1
a
a
a
zaza
za
zazdzza
01
422
2
2
322
0
3
222
]sin2
3
2
3
[8
1
2
1
32
3
22
3
8
1 24 a
a
a za za
yz dzdydxxM0 0 0
22 22
22
a za
dzdyza0 0
22
22
2
1
32
3
2
1
2
1
2
0
22
0
022 2
322
a
dzzadzyzaaa
za
2
8
3;
64
9;
64
9a
m
Mz
am
My
am
Mx xyxzyz
2) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh silinder222 ayx bidang z = x dan z = 0
Jawab:
Gambar 3.14 Volume Benda
Batas – batas Integral :yzz 21 0
2221 0 xayy
x
y
zyz
0
a
a
23
axx 21 0
a xa y
dxdydzV0 0 0
22
2
dxydzdyy xaaa xa
22
22
0
0
2
0 0
22
30
32
0
22
3
2
3
1axxaadxxaa a
a
1.5 Tugas
1. Hitung Integral 4
2
2
1
4
0)2( dzdydxzxy
2. Buktikan Integral
0
cos4
0
16(
0
2Z ydzdydxy adalah
)43(964