BAB III

INTEGRAL RANGKAP

3.1 Konsep :Misalkan sebuah persegi panjang yang dibatasi

oleh empat garis lurus x=r, x=s; y=k, y=m, seperti gambardi bawah ini :

Gambar 3.1 Luas Daerah Segi Empat Kecil

Jika semua elemen δa dijumlahkan sepanjang y=m, y=k(vertikal) maka akan menghasilkan :

)1.3(.

my

ky

xyA

Maka menjadi gambar sbb :

Gambar 3.2 Luas Daerah δa Sepanjang Sumbu y

Y

X

δy

δx

m

k

r s

δa

δa =δy.δx

X

m

k

Y

r s

2

Kemudian dijumlahkan sepanjang x=r sampai x=s makamenjadi luas total A sehingga diperoleh :

)2.3(.

sx

rx

my

ky

xyA

Maka menjadi gambar sbb :

Gambar 3.3 Luas Daerah Total

Jika δy →0, dan δx→0 maka persamaan di atas menjadi :

)3.3(

sx

rx

my

kydydxA

Bila dihitung maka :

sx

rx

my

kydydxA

dxyAsx

rx

mk

= dxkm

sx

rx

)(

srxkmA )( = )).(( rskm

Dari gambar di atas maka luas segiempat (mkrs) =

(m-k).(s-r). Maka rumus integral rangkap dirumuskan sbb:

dxdyyxfy

y

x

x2

1

2

1

, atau )4.3(),(S

dxdyyxf

X

m

k

Y

r s

3

Atau

dydxyxfx

x

y

y2

1

2

1

, atau S

dydxyxf ),(

dydxyxfxx

xx

yy

yy

2

1

2

1

,

Gambar 3.4 Penyelesaian Integral Ganda

Contoh 32:

2

2

02

2

0

2

0

2

0

2

0

1

o

2

0

31

0

22

0

satuan3

244

3

2

)yy3

1(dyy2dy

3

1

dy)y23

1(dy0)y2

3

1(

dy)yx2x3

1(dydx)y2x(

Contoh 33:

drdrdr

2

2

cos3

0

22cos3

0

222

2

sin3

1sin

12

4

2

2

2

42

2

2

2

2

5323

4,2

sincos15

1sincos

15

1sin

15

29

)cos(cos9sincos9

satuan

dd

Note : rumus reduksi :

xdxn

n

n

xxxdx n 2

144 cos

1sincoscos

1.2 Aplikasi Integral Rangkap :

3.2.1 Luas Daerah : S

dydxA = S

dxdyyxf ),(

Contoh 34 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh5

4xy ,

sumbu –x, dan ordinat pada x=5.

5

4xy

Gambar 3.5 Luas Daerah y=4x/5 dan x=5

0 5 X

Y

δy

δx

Luas Elemen :yx .

Luas Pita :

1

0

.yy

y

xy

5

Jumlah semua pita semacam itu sepanjang gambarmemberikan :

5

0

1

0

5

0

1

0

.

.

x

x

yy

y

x

x

yy

y

xy

xyA

Jika δy →0, dan δx→0 maka persamaan di atas menjadi :

25

0

2

5

0

5

0

1

0

5

0

5

0

1

0

10)25(5

2

5

2

5

41

satuanx

dxx

dxydxy

dxdyA

y

y

Contoh 35 :

Tentukan luas daerah yang dilingkupi oleh kurvayang dilingkupi kurva

xy 921 dan

9

2

2

xy )0,0( 21 yy

Pertama-tama kita harus mencari dahulu titik potongnya.Untuk itu 21 yy

Sehingga :

819

4xx 02794 xx 0)729( 3 xx

9,0 xx

6

Tabel 3.1 Hasil Perhitungan

Gambar 3.6 Grafik Hasil perhitungan

7

Luas daerah :

9

0

2

9

0

3

9

0

2

9

0 21

9

0

9

0

27275427

2

93

)(

23

21

1

2

1

2

satuanx

x

dxx

x

dxyy

dxydxdyAy

y

yy

Cara 2 :Bila diamati dari sumbu y maka persamaan

9

2

2

xy menjadi yx 92 , dan xy 92

1 menjadi9

2

1

yx

dan luas daerah menjadi :

9

0

2

9

0

3

9

0

2

9

0 12

9

0 1

9

0

27275427

2

93

)(

23

21

2 2

1

satuany

y

dyy

y

dyxx

dyxdydxAx

x

xx

Contoh 36 :

Hitunglah luas bidang datar yang dibatasi oleh garis

xy 2 dan lingkaran 422 yx

8

Jawab:

Gambar 3.7 Luas Daerah dibatasi Garis dan Lingkaran

Luas : s

dydxA

Batas ( daerah S)2

21 42 yxyx

dyx

dydxA

yy

y

y

2

0

4)2(

2

0

4

)2(

2

2

|

2

0

2 24 dyyy

20

221

2

124

22sin2

yyy

yy

22

)0(24

satuan

422 yx

xy 2

x

y

0

20 21 yy

9

3.2.2 Pusat Massa (Titik Pusat)

Gambar 3.8 Pusat Masa

Massa Rk pada titik ),( kYkX adalah:

)(),( RkAkYkXm dengan ),( yx adalahkerapatan (massa per satuan luas) dan k = 1, 2, ...,n.

Total Massa (Rtotal): )(),(1

RkAkYkXmn

k

Jika 0P , maka s

dRyxm ),(

Bila momen dari tiap massakAkYkXkXRk ),( , maka total momen terhadap

sumbu y adalah kkYkXkXMyn

k

),(1

dan total

momen terhadap sumbu x adalah

kkYkXkYMxn

k

),(1

. Sehingga titik berat ),( yx

adalah:

s

),( kkk yxR

kx

ky

y

x

10

s

s

dAyx

dAyxx

m

Myx

),(

),(

; )5.3(

),(

),(

s

s

dAyx

dAyxy

m

Mxy

Contoh 37:

Suatu daerah S memiliki kerapatan xyyx ),(

yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan grafik 32

xy tentukan pusat massa dan titik berat.

Jawab :

s

x

dxdyxydAxym8

0 0

3

2

dxxdxxy

x

8

0

3

7

0

8

0

2

2

1

2

3

2

6,1535

768

10

3

2

18

0

3

10

x

dxdyyxdAyxxMys

x

8

0 0

2

3

2

),(

23,94513

288,12

2

1 8

0

3

10

dxx

dxdyyxdAyxyMxs

x

8

0 0

2

3

2

),(

11

33,3413

1024

3

1 8

0

3 dxx

15,66,153

33,945

m

Myx 22,2

6,153

33,341

m

Mxy

3.2.3 Volume Benda Putar

Volume benda putar V yang dibatasi olehpermukaan ),( yxfz dan alas S [di mana S adalah

proyeksi permukaan ),( yxfz terhadap bidang yx atau perpotongan ),( yxfz dengan yx ] adalah:

)6.3(),(s

dydxyxfv

Contoh 38:

1) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh tabung

silinder 222 ayx , z = 0 dan z – y = 0.

Jawab:

Gambar 3.9 Volume Benda Putar

12

2221 0 xayy

axax 21

a

a

xa

dxdyyV

22

0

dxyV xaa

a

22

02 |

2

1

33

3222

3

2

|3

1

2

1)(

2

1

satuana

xxadxxa aa

a

a

3.2.4 Momen Inersia :

Momen inersia yang dipelajari dari energi kinetikKE, dari suatu partikel m dan kecepatan v, bergerak padasatu garis lurus adalah 2

21 mvKE , jika rv

Dimana ɷ= rad/det maka bila disubsitusikan , menjadi22

21 )( mrKE . Suku mr 2 disebut momen inersia

partikel yang ditandai dengan I. Jadi partikel yangberputar itu,

)7.3(221 IKE

Untuk sistem n partikel pada suatu bidang bermasa

nmmm ,....,, 21 dan berjarak nrrr ,....,, 21 dari garis L, maka

momen inersia sistem itu terhadap L didefenisikan sebagai

)8.3(... 22222

211 kknn rmrmrmrmI

13

Jika suatu lamina dengan kerapatan ),( yx mencakupsuatu bidang S dari bidang xy ( gambar…) maka momeninersia dari tiap keping RK, ditambahkan dan ambil limitke rumus berikut. Momen inersia (momen kedua) laminaterhadap sumbu-sumbu x,y dan z diberikan oleh :

)9.3(),()(

),(),(

22

22

S

yxz

SS

yx

IIdAyxyxI

dAyxxIdAyxyI

Contoh 39:

Tentukan momen inersia terhadap sumbu x,y, dan zuntuk lamina pada suatu daerah S memiliki kerapatan

xyyx ),( yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan

grafik 32

xy

Jawab :

7,70217

49152

61442

1

71,8777

6144

4

1

8

0

8

0

3/13

0

33

8

0

8

0

3/11

0

33

3/2

3/2

yxz

S

x

y

S

x

x

III

dxxdxdyyxydAxI

dxxdxdyxydAxyI

14

Contoh 40 :

Tentukan Ix ,Iy , dan I0 dari daerah yang dibatasioleh 0,22 xyx dan 0y .

Jawab :

Titik potong garis 22 yx atau xy 22dengan sumbu X adalah x=1

)1(=

),(

1

0

338

)1(2

0

1

0

331

1

0

)1(2

0

222

dxxdxy

dxdyydAydAyxyI

x

x

SS

x

3

2

)331(

1

04

4132

23

38

1

0

3238

xxxx

dxxxx

1

0

1

04

413

3132

1

0

2)1(2

0

1

0

2

1

0

)1(2

0

222

6

12)(2

)1(2

),(

xxdxxx

dxxxyx

dydxxdAxdAyxxI

x

x

SS

y

6

5

6

1

3

20 yx III

3.3 INTEGRAL LIPAT TIGA

Misalkan f fungsi dari 3 variabel yangterdefinisikan melalui suatu kotak B, dimana masing-masing sisinya sejajar dengan sumbu kordinat kartesian.

15

Kotak B tersebut dibagi menjadi kotak yang lebihkecil yang dinyatakan dengan Bk, dimana k = 1, 2,3, . . ., n merupakan suatu partisi-partisi (P)

Jika diambil suatu titik kzkykx ,, danmenjumlahkan seluruh kotak-kotak yang kecil itumaka :

)10.3(),,(),,(10

lim dvzyxfVkkzkykxfB

n

kP

dimana zkykxkVk .. adalah volume dari B

Gambar 3.10 Volume Integral Lipat Tiga

B

dvzyxf ),,( , dinyatakan sebagai integral rangkap tiga

(tripel integral)

Integral rangkap tiga dapat ditulis :

)11.3(),,( dzdydxzyxfB

Mempunyai pengertian sebagai berikut :

16

i. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap xdengan menganggap y dan z konstanta

ii. Pengintegralan kedua, adalah hasil dari (i)diintegralkan terhadap y dengan menganggap zkonstanta

iii. Hasil dari (ii) diintegralkan terhadap z.

Bila volume B disajikan dalam batas-batasintegral, maka bentuk diatas dapat ditulis sebagai berikut :

dzdydxzyxfzyx

zyx

zy

zy

z

z

),,(),(2

),(1

)(2

)(1

2

1

dzdydxyxfxx

xx

yy

yy

zz

zz

2

1

2

1

2

1

,

Gambar 3.11 Penyelesaian Integral Lipat Tiga

Dimana batas x1 dan x2 merupakan fungsi dari ydan z, batas y1 dan y2 merupakan fungsi dari z dan batas z1

dan z2 adalah suatu konstanta.

Catatan : Bila batas x1, x2, y1, y2, dan z1 serta z2 diatasmerupakan konstanta, maka volume Bmerupakan suatu kotak (balok) yang setiapsisinya sejajar dengan salah satu bidangkordinat.

12

3

17

Contoh 41:

1). dzdydxzyx )2(2

0

1

1

3

1

:

3

3

12

3

1

3

1

3

1

1

12

1

1

3

1

2

0

1

1

223

1

8

)24()1812(24

)44()222()22(

222)242(

22

satuan

zz

dzzdzzz

dzyzyydzdyzy

dzdyxxyx

2). dxdydzzyxxyx

0

23

0

1

0

:

3

1

0

111

0

10

0

1

0

55

0

451

0

00

2231

0

110

1

)(110

1

10

1

10

1

2

1

)2

1(

satuan

xdxx

dxyxdydxyx

dxdyzyx

xx

xyx

18

3.4 Aplikasi Integral Rangkap Tiga

3.4.1 Pusat Massa (titik berat)

Gambar 3.12 Pusat Masa Intergral Lipat Tiga

Massa VzyxB kkkk ,, dengan ),,( zyxadalah kerapatan (massa per satuan volume) padatitik kkk zyx ,, dan k = 1, 2, 3, ... , n.

Total massa B : Vzyxmn

kkkk

1

,,

Jika v

dVzyxmP ,,0

Momen kB pada bidang kkkkk Vzyxzxy ,,

x

y

z

kz

kB),,( kkk zyx

s

xyS

19

xyM adalah momen volume benda terhadap

bidang xy )12.3(),,(

),,(

s

sxy

dVzyx

dVzyxz

m

Mz

yzM adalah momen volume benda terhadap bidang

yz )13.3(),,(

),,(

s

syz

dVzyx

dVzyxx

m

Mx

xzM adalah momen volume benda terhadap bidang

xz )14.3(),,(

),,(

s

sxz

dVzyx

dVzyxy

m

My

3.4.2 Volume Benda

Integral rangkap 3, fungsi ),,( zyxf yaitu:

)15.3(,, dzdydxzyxfv

Bila 1),,( zyxf , untuk semua titik di dalam V,maka daerah integral rangkap tiga tersebut adalahvolume daerah V, sehingga diperoleh:

dzdydxVv

Contoh 42:Tentukan letak titik berat zyx ,, dari benda

yang dibatasi oleh dua silinder 222 azx dan

20

222 azy dalam okt pertama, bila 1,, zyx .

Jawab :

Gambar 3.12 Letak Titik Berat

2221 0 zaxx

2221 0 zayy

azz 21 0

a za za

dzdydxm0 0 0

22 22

a za

dzdyza0 0

22

22

222 azx

222 azy

y

z

x

21

30

32

0

22

3

2

3

1azzadzza a

a

a za za

xy dzdydxzM0 0 0

22 22

a za

dzdyzaz0 0

22

22

40

42

0

22

4

1

4

1

2azz

adzzaz a

a

a za za

xz dzdydxyM0 0 0

22 22

a za

dzdyzay0 0

22

22

dzzay zaa

22

0

0

222

2

1

a

a

a

zaza

za

zazdzza

01

422

2

2

322

0

3

222

]sin2

3

2

3

[8

1

2

1

32

3

22

3

8

1 24 a

a

a za za

yz dzdydxxM0 0 0

22 22

22

a za

dzdyza0 0

22

22

2

1

32

3

2

1

2

1

2

0

22

0

022 2

322

a

dzzadzyzaaa

za

2

8

3;

64

9;

64

9a

m

Mz

am

My

am

Mx xyxzyz

2) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh silinder222 ayx bidang z = x dan z = 0

Jawab:

Gambar 3.14 Volume Benda

Batas – batas Integral :yzz 21 0

2221 0 xayy

x

y

zyz

0

a

a

23

axx 21 0

a xa y

dxdydzV0 0 0

22

2

dxydzdyy xaaa xa

22

22

0

0

2

0 0

22

30

32

0

22

3

2

3

1axxaadxxaa a

a

1.5 Tugas

1. Hitung Integral 4

2

2

1

4

0)2( dzdydxzxy

2. Buktikan Integral

0

cos4

0

16(

0

2Z ydzdydxy adalah

)43(964