Post on 27-Oct-2019
2.1 Clasificarea materialelor solide [n func\ie de rezistivitate
Din experien\a de toate zilele se ]tie c` propriet`\ile electrice ale materialelor sunt foarte
diferite. De exemplu, rezistivitatea ρ, variaz` [ntr-o gam` de valori extrem de larg`, dac` se au [n
vedere numai materialele folosite la fabricarea dispozitivelor ]i circuitelor integrate. Aluminiul,
metalul utilizat pentru realizarea contactelor la semiconductor ]i pentru trasee are rezistivitatea la
temperatura camerei, foarte mic`, de circa 10-6 Ωcm. La cap`tul opus al scalei pentru rezistivitate se
situeaz` izolatorii, de pild` bioxidul de Si (SiO2) folosit ca pelicul` protectoare ]i pasivant, ce se
caracterizeaz` printr-o rezistivitate de circa 1016 Ωcm, sau plasticul capsulelor cu o rezistivitate ]i
mai mare, de 1018 Ωcm. Se poate afirma astfel c` un circuit integrat oarecare include materiale cu o
rezistivitate ce variaz` [ntr-o gam` foarte larg` de valori (circa 24 ordine de m`rime) pentru un
parametru electric uzual.
O clasificare a materialelor solide poate fi f`cut` cu ajutorul rezistivit`\ii. Astfel, cele av@nd
ρ ≤ 10-3 Ωcm se numesc conductori, iar materialele cu ρ ≥ 108 Ωcm, izolatori.
Clasa intermediar` include semiconductorii ce constituie materialele de baz` [n fabricarea
dispozitivelor ]i circuitelor integrate. Semiconductorii s-au impus prin dou` propriet`\i remarcabile:
(i) - rezistivitatea lor poate fi u]or modificat` ]i precis controlat`;
(ii) - conduc\ia curentului este realizat` prin dou` tipuri de purt`tori mobili.
Propriet`\ile amintite ale materialelor semiconductoare se ob\in numai printr-o ordonare
perfect` a atomilor [n tot volumul, ordine ob\inut` [n monocristale. n re\eaua monocristalelor se
accept` numai defecte punctuale (atomi de impuritate) sau liniare (disloca\ii). Pentru a aprecia
densitatea de defecte admise trebuie amintit c` gama concentra\iilor de impurit`\i (num`rul de
impurit`\i [ntr-un cm3) este 1014...1019 cm-3, valori mult mai mici [n raport cu densitatea atomilor
semiconductorului, care este de aproximativ 1022 cm-3.
La fabricarea dispozitivelor ]i circuitelor integrate se folosesc semiconductori simpli, Si [n
majoritatea situa\iilor sau Ge, precum ]i semiconductori compu]i GaAs, InP, etc. Si, [n prezent ]i [n
viitor cel mai utilizat material semiconductor, are o re\ea cristalin` de tip diamant. n aceast` re\ea
fiecare atom se [nvecineaz` cu 4 atomi uniform distribui\i [n spa\iu. O reprezentare schematic`
bidimensional` este dat` [n figura 2.1:
1
Fig. 2.1
Cercul [n care s-a [nscris +4 simbolizeaz` atomul f`r` cei 4 electroni de valen\` (Si ]i Ge
sunt elemente tetravalente). ntre doi atomi vecini se stabile]te o leg`tur` covalent`. Aceast`
leg`tur` se face cu o pereche de electroni, c@te unul de la fiecare atom. Deci un atom []i va [mp`r\i
electronii de valen\`, c@te unul cu fiecare atom vecin, pentru formarea leg`turilor covalente.
Conduc\ia electric` [n semiconductori este realizat` prin mi]carea dirijat` a electronilor de
valen\`. Pentru aceasta semiconductorul trebuie plasat sub ac\iunea unui agent extern, de exemplu
un c@mp electric.
2.2 Benzi de energie [n semiconductori
Comportarea electronilor [n corpul solid, [n general ]i [n semiconductori, [n special a fost
cel mai bine descris` cu ajutorul mecanicii cuantice. Cel mai important rezultat ob\inut eviden\iaz`
faptul c` electronii, respectiv nivelele energetice se grupeaz` [n benzi energetice permise separate
prin benzi interzise, fenomen ilustrat [n fig. 2.2.
Fig. 2.2
2
Fiecare nivel energetic, reprezentat [n figur` printr-o linie continu` poate fi ocupat de cel
mult un electron. Diagrama benzilor energetice (fig.2.2) a fost elaborat` [n raport cu un nivel de
zero al energiei tocmai pentru a indica faptul c` electronii din benzile permise, fiind lega\i de atomi,
au energii negative. Nivelul zero (E = 0) corespunde energiei electronilor ce p`r`sesc
semiconductorul. Num`rul nivelelor energetice dintr-o band` permis` cre]te cu energia. Electronii
de valen\` sunt cei mai slab lega\i de atomi datorit` pozi\iei lor periferice ]i, ca urmare, ocup`
ultimele dou` benzi permise (cele mai apropiate de E = 0) denumite banda de valen\` (BV),
respectiv banda de conduc\ie (BC) (fig.2.2).
Electronii au posibilitatea s` treac` de pe un nivel energetic pe altul [n urm`toarele condi\ii:
i)- dac` electronului i se comunic` o energie el poate trece pe un nivel energetic superior cu
condi\ia ca acest nivel s` fie liber ]i energia comunicat` s` fie suficient` pentru saltul energetic
considerat.
ii)- electronul trece pe un nivel energetic inferior printr-un proces spontan, natural,
condi\ionat numai de existen\a unui nivel inferior neocupat.
Pentru a fi posibile fenomenele de conduc\ie electric` [n semiconductori este necesar ca BV
]i BC s` fie par\ial ocupate de electronii de valen\`. Fenomenele de conduc\ie sunt imposibile dac`
BV ]i BC sunt fie golite, fie complet ocupate cu electroni de valen\` iar aceast` afirma\ie poate fi
u]or [n\eleas` dac` se face o analogie cu mi]carea unui fluid [ntr-un tub [nchis la ambele capete
(fig. 2.3):
Fig. 2.3
3
Tubul (1) este asociat benzii de conduc\ie BC, iar tubul (2) benzii de valen\` BV. Se
consider` mai [nt@i situa\ia [n care tubul (1) este complet gol, iar tubul (2) este umplut de fluid (fig.
2.3a). Prin [nclinarea tuburilor ca [n fig. 2.3b nu se produce nici o deplasare a fluidului. Situa\ia este
asem`n`toare unui semiconductor aflat la 0 K c@nd electronii de valen\` ocup` integral BV (de aici
denumirea de band` de valen\`), iar BC este complet liber`. n consecin\` la zero absolut,
fenomenele de conduc\ie [n semiconductori sunt imposibile.
Dac` se transfer` o mic` cantitate de fluid din tubul (2) [n (1) (fig. 2.3c), prin [nclinarea
tuburilor apare o deplasare net` a fluidului (fig. 2.3d). Mi]c`rii fluidului, aflat [n cantitate mare [n
tubul (2), de la st@nga la dreapta, [i corespunde deplasarea [n sens invers a unei mici zone golite din
tub. Este evident c` mi]carea zonei golite este mult mai u]or de urm`rit. Analogia se face acum cu
un semiconductor aflat la o temperatur` oarecare peste zero absolut. Datorit` vibra\iilor termice ale
re\elei cristaline o parte din electronii de valen\` trec [n BC. n felul acesta BV ]i BC vor fi par\ial
ocupate de electroni.
Fenomenul fizic ce explic` trecerea electronilor din BV [n BC este ruperea de leg`turi
covalente. Dac` un electron p`r`se]te leg`tura covalent` atunci el nu mai este legat de atomul de la
care provine ]i se deplaseaz` liber [n interiorul re\elei cristaline devenind electron de conduc\ie.
Deci acest electron va ocupa un nivel energetic [n BC (de aici ]i denumirea de band` de conduc\ie).
Acest fenomen este eviden\iat [n figura 2.4 prin procesul (a).
Fig. 2.4
Locul l`sat liber poate fi ocupat de un alt electron dintr-o alt` leg`tur` covalent` (procesul
(b), fig. 2.4). Mi]carea electronului de la leg`tura covalent` spre golul existent [ntr-o alt` leg`tur`
covalent` este echivalent` cu mi]carea golului [n sens invers (reprezentat` cu linie punctat` pentru
procesul (b) din fig. 2.4).
4
La aplicarea unui c@mp electric exterior, [n semiconductor apar curen\i electrici datorit` a
dou` mecanisme de conduc\ie diferite, corespunz`toare celor dou` benzi energetice par\ial ocupate
]i anume:
(i) - deplasarea dirijat` a electronilor de conduc\ie, fenomen similar cu mi]carea fluidului [n
tubul (1) (fig. 2.3d);
(ii) - deplasarea dirijat` a electronilor din leg`turile covalente spre locurile libere din alte
leg`turi covalente, evident aceast` deplasare fiind echivalent` cu mi]carea [n sens invers a golurilor.
Fenomenul este echivalent cu deplasarea fluidului spre dreapta, respectiv a zonei golite spre st@nga
[n tubul (2) din figura 2.3d.
2.3 Electroni ]i goluri
Mi]carea electronului ca particul` individual` [n semiconductor este complet descris` cu
ajutorul mecanicii cuantice. Conduc\ia curentului electric [ns`, fiind un fenomen macroscopic,
poate fi analizat` cu legile mecanicii clasice dac` se definesc dou` particule "fictive":
(i) - electronul, e-, particul` mobil` negativ` de sarcin` -q (q = 1,6 ⋅ 1019 cm-3) ]i masa
mn ≠ m0 (m0, masa electronului liber iar mn, masa electronului [n semiconductor) folosit pentru
descrierea mi]c`rii dirijate a electronilor de conduc\ie (din BC);
(ii) - golul, e+, particul` mobil`, pozitiv` de sarcin` +q ]i masa mp ≠ mn (masa golului [n
semiconductor) utilizat pentru descrierea mi]c`rii electronilor din BV, mai precis a deplas`rii
locurilor libere de la o leg`tur` covalent` la alta.
Masele e+ ]i e- depind de natura semiconductorului.
A]a cum au fost defini\i, electronii pot ocupa numai nivelele permise din BC (fig. 2.5).
Definim astfel EC ca fiind energia asociat` margini inferioare a BC ]i corespunde energiei
poten\iale a e-. Dac` un electron are energia E, atunci diferen\a E - EC reprezint` energia sa cinetic`.
5
Golurile ocup` nivelele energetice din BV. Pentru aceste particule fictive definim EV ca
fiind energia asociat` marginii superioare a BV ]i reprezint` energia poten\ial` a golului (fig. 2.5).
Dac` un gol are energia E, atunci diferen\a E-EV reprezint` energia sa cinetic`.
Fig. 2.5
Distan\a energetic` dintre nivelele EC ]i EV corespunde, a]a cum se constat` din fig. 2.5,
l`\imii energetice EG a benzii interzise. La 3000 K, EG este de 1,1 eV la Si, respectiv de 0,67 eV
pentru Ge.
Fenomenele de conduc\ie sunt legate numai de mi]carea electronilor din BC ]i BV. Prin
urmare studiul unui semiconductor pur, aflat la echilibru termic, reprezentat prin diagrama sa
energetic` se poate face numai prin analiza celor dou` benzi permise (fig 2.5).
Probabilitatea ca un e- s` ocupe nivelul de energie E este, conform statisticii Fermi-Dirac
( )f EE E
kT
nF
=+
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
1 exp (2.1a)
iar pentru acela]i nivel probabilitatea de ocupare cu un gol este evident
(2.1b) ( ) ( )f E f Ep = −1 n
n formulele (2.1) T este temperatura absolut`, k constanta lui Boltzman, iar EF este o
energie de referin\`, numit` energie sau nivel Fermi. Mai precis, a]a cum se deduce pornind de la
rela\iile (2.1) energia Fermi corespunde nivelului a c`rui probabilitate de ocupare cu un e- sau e+
este aceia]i:
( ) ( )f E f En F p F= =12
.
LaT=0 K dac` ]i ( )f En = 0 E EF> ( )f En = 1 c@nd E EF< , deci toate nivelele energetice
situate sub nivelul Fermi sunt ocupate, iar cele peste EF sunt libere (fig. 2.6, reprezentate cu linie
punctat`).
La T > 0K func\iile de probabilitate nu mai variaz` abrupt, numai pentru E E kTF> + 3 ,
, respectiv pentru , fn ≅ 0 E E kTF< − 3 fn ≅ 1 unde 3kT reprezint` aproximativ 77 meV. (fig. 2.6,
reprezentate cu linie continu`)
6
Fig. 2.6
Energia Fermi depinde de temperatur` dar ]i de doparea semiconductorului. Ea poate fi
situat` [n:
(i) - banda interzis`, situa\ie uzual` c@nd semiconductorul se nume]te nedegenerat
(ii) - banda de conduc\ie sau de valen\`, caz [n care semiconductorul este degenerat.
2.4 Semiconductorul la echilibru termic
Echilibru termic. Semiconductorul este la echilibru termic dac`: (i) - nu se afl` sub ac\iunea
unui c@mp electric sau magnetic, radia\ii luminoase sau nucleare ]i (ii) - temperatura este uniform`
[n tot volumul s`u. n fapt, echilibrul termic este un echilibru termodinamic [n sensul c` la fiecare
proces ce are loc [n semiconductor [i corespunde un alt proces care evolueaz` [n sens contrar. De
exemplu, dac` un num`r de e- sunt excita\i de la energiea E1 la o energie superioar` E2, un num`r
egal de e- vor trece de pe nivelul energetic E2 pe E1.
La echilibru termic produsul concentra\iilor de electroni ]i goluri este constant.
(2.2) n p n consti0 02= =
unde ni se nume]te concentra\ie intrinsec`. Rela\ia (2.2) este o consecin\` direct` a legii ac\iunii
maselor.
Calcule folosind mecanica cuantic` indic` urm`toarele expresii pentru concentra\iile de e- ]i
e+ la echilibru termic:
n N E EkTc
C F0 = −
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
exp , 2
3
2
22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∗
hkTm
N nC
π (2.3a)
7
p N E EkTV
F V0 = −
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
exp ,
23
2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∗
hkTm
N pV
π (2.3b)
unde NC ]i NV reprezint` densit`\ile de st`ri energetice din banda de conduc\ie ]i respectiv
din banda de valen\` iar h este constanta lui Planck. NC ]i NV depind de masele efective ale e-,
respectiv e+ deci de natura semiconductorului ]i de temperatur`. Spre exemplu, pentru Si la T=300
K se ob\in pentru densit`\ile de st`ri energetice urm`toarele valori: NC=2.8⋅1019 cm-3 ]i
NV=1.07⋅1019 cm-3.
n condi\ii de neechilibru nici una din formulele anterioare (2.1-2.3) nu mai este valabil`.
Pentru a p`stra formalismul rela\iilor (2.3) se introduc dou` nivele energetice fictive, de calcul
numite cvasinivele Fermi, pentru electroni EFn, respectiv pentru goluri, EFp (EFn≠EFp≠EF) .
Concentra\iile de e- ]i e+ [n condi\ii de neechilibru sunt date de ecua\iile:
n N E EkTC
C Fn= −−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
exp (2.4a)
p NE E
kTVFp V= −−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟exp (2.4b)
n formulele prezentate [n acest subcapitol starea de echilibru termic este eviden\iat` prin
indicele 0.
2.5 Semiconductor intrinsec. Semiconductor extrinsec
2.5.1 Semiconductor intrinsec. Reprezint` o situa\ie idealizat` a unui semiconductor lipsit
de impurit`\i. La un astfel de semiconductor e- ]i e+ sunt [n num`r egal ]i apar numai prin ruperea
leg`turilor covalente. Ca urmare, la echilibru termic, \in@nd cont de (2.2) se ob\ine urm`toarea
rela\ie [ntre concentra\ii:
(2.5) n p ni0 0= =
Se justific` astfel pentru ni denumirea de concentra\ie intrinsec`. n cazul unui
semiconductor dat, aflat la o temperatur` constant` concentra\ia intrinsec` are o valoare bine
precizat`.
Folosind rela\iile (2.2), (2.3a) ]i (2.3b) se ob\ine pentru ni formula
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
kTE
ATn Gi 2
exp23
, E E EG C= V− (2.6)
8
unde A este o constant` cu temperatura dar dependent` de natura semiconductorului, dependen\`
eviden\iat` prin urm`toarea rela\ie: 21
23
)( VC NNAT = . EG reprezint` l`\imea energetic` a benzii
interzise ]i depinde at@t de tipul semiconductorului c@t ]i de temperatur`.
n tabelul 2.1 sunt date valorile pentru EG ]i ni la 300K [n cazul a trei semiconductori des
folosi\i. Concentra\ia intrinsec` este cu multe ordine de m`rime mai redus` dec@t concentra\ia
atomilor de impuritate din semiconductor (circa1022 cm-3).
Tabelul 2.1
Semiconductorul EG (eV) ni (cm-3)
Si 1,108 1,50 × 1010
Ge 0,670 2,40 × 1013
GaAs 1,430 1,79 × 106
Pozi\ia nivelului Fermi la semiconductorul intrinsec denumit` ]i nivel intrinsec, EF = Ei, se
deduce utiliz@nd (2.3) ]i (2.5).
E E E kT NNi
C V C
V
=+
+2 2
ln (2.7a)
Av@nd [n vedere faptul c` NC ]i NV au valori foarte apropiate, termenul al doilea [n (2.7a)
este neglijabil, deci
E E Ei
C V≅+2
(2.7b)
ceea ce sugereaz` c` nivelul Fermi la semiconductorul intrinsec este plasat aproximativ la mijlocul
benzii interzise.
n fig. 2.7 se prezint` diagrama energetic` a semiconductorului intrinsec la echilibru termic.
9
Fig. 2.7
BC ]i BV s-au reprezentat schematic numai prin nivelele energetice EC, respectiv EV.
Semiconductorul ce con\ine impurit`\i [n re\eaua cristalin` se nume]te semiconductor
extrinsec. Exist` dou` tipuri de semiconductori extrinseci: semiconductorul de tip n, respectiv de tip
p.
2.5.2 Semiconductorul de tip n. Se ob\ine dot@nd (dop@nd) semiconductorul cu impurit`\i
pentavalente, de exemplu: P, Sb sau As. Impurit`\ile, presupuse cu o distribu\ie uniform`, substituie
[n re\eaua cristalin` atomii semiconductorului de baz`. Concentra\ia de impurit`\i ND are valori
uzuale [ntre 5⋅1014 ]i 5⋅1019 cm-3, deci mult mai reduse dec@t concentra\ia atomilor de semiconductor (≈
1022 cm-3). Prin urmare un atom de impuritate este [nconjurat numai de atomii semiconductorului de
baz`. Patru din cei cinci electroni de valen\` ai atomului pentavalent servesc la formarea leg`turilor
covalente cu atomii vecini (ai semiconductorului) (fig. 2.8).
Fig.2.8
10
Al 5-lea electron este slab legat, deci are nevoie de o energie mic` pentru a deveni e- liber (fig.
2.8). n cazul Sb aceast` energie este de 50 meV.
Se spune c` impurit`\ile doneaz` electroni de conduc\ie de aici provenind ]i denumirea de
impurit`\i donoare. Prin urmare atomii de impuritate pentavalen\i reprezint` o surs` suplimentar`
de electroni de conduc\ie fa\` de cristalul pur (intrinsec).
ntr-un semiconductor dopat cu impurit`\i pentavalente e- provin din:
(a) - ionizarea impurit`\ilor; rezult` e- mobili ]i ioni pozitivi imobili, av@nd dispozi\ia
spa\ial` a atomilor de impuritate.
(b) - ruperea de leg`turi covalente; rezult` perechi de e- ]i e+mobili.
Dac` ND < 5⋅1017 cm-3, la temperatura camerei practic toate impurit`\ile sunt ionizate.
Atunci concentra\ia de electroni liberi (la echilibru termic) va fi
(2.8a) n N pD0 = + 0
unde p0 este concentra\ia de goluri rezultat` din ruperea leg`turilor covalente. Ecua\ia (2.8a)
exprim` egalitatea dintre num`rul sarcinilor elementare negative ]i respectiv num`rul sarcinilor
electrice pozitive, [n unitatea de volum sau cu alte cuvinte neutralitatea semiconductorului de tip n
uniform dopat.
Rela\ia (2.8a) [mpreun` cu (2.2) permite determinarea concentra\iilor de e- ]i e+. |in@nd cont
c` ni << ND rezult`
, n N D0 ≅ p nN
i
D0
2
≅ (2.9a)
deci concentra\ia de e- este mult mai mare dec@t concentra\ia de goluri (n0>>p0).
Exemplu: dac` ND = 1016 cm-3, pentru Si la 300K (ni = 1,5⋅1010 cm-3) rezult` n0 ≅ 1016 cm-3 ]i
p0 ≈ 2,25⋅104 cm-3.
Ca urmare e- sunt purt`tori mobili de sarcin` majoritari, e+ purt`tori mobili de sarcin`
minoritari, iar semiconductorul este de tip n.
Fig. 2.9 prezint` diagrama energetic` a unui semiconductor de tip n aflat la echilibru termic.
11
Fig.2.9
Electronul suplimentar al atomului pentavalent ocup` [n banda interzis` un nivel energetic
ED, localizat doar [n vecin`tatea impurit`\ilor; de aceea a fost reprezentat cu linie discontinu`.
Nivelul ED este plasat [n apropierea BC iar distan\a EC - ED, cu valori [ntre 40 ]i 50 meV pentru
impurit`\ile pentavalente uzuale, reprezint` energia necesar` ioniz`rii impurit`\ilor.
n fig.2.9 sunt ilustrate cele dou` modalit`\i de ob\inere a electronilor de conduc\ie:
ionizarea impurit`\ilor (procesul (a)), respectiv ruperea leg`turilor covalente (procesul (b)).
Deoarece EC - ED << EC - EV procesul (a) este mult mai probabil.
La semiconductorul de tip n nivelul Fermi este plasat [n jum`tatea de sus a benzii interzise
(fig. 2.9). ntr-adev`r, deoarece n0 >> p0, \in@nd cont de rela\iile (2.3a) ]i (2.3b) rezult` EC - EF < EF
- EV. De asemenea dac` introducem expresia lui n0 (2.9a) [n rela\ia 2.3a se ob\ine urm`toarea
rela\ie:
2lni
DVVF n
NNkTEE =− (2.8c)
2.5.3 Semiconductorul de tip p. Ob\inerea unui semiconductor de tip p impune folosirea de
impurit`\i trivalente, de exemplu: B, Ga, In. Concentra\ia de impurit`\i NA, considerat` uniform` [n
tot volumul semiconductorului are uzual acela]i domeniu de valori ca ND. Atomul de impuritate
trivalent, cum se arat` [n fig. 2.10 satisface numai 3 din cele 4 leg`turi covalente cu atomii vecini ai
semiconductorului de baz`. Leg`tura covalent` nesatisf`cut` se poate completa cu un electron dintr-o
alt` leg`tur` covalent` (stabilit` [n doi atomi ai semiconductorului), care las` [n urma sa un gol.
Pentru c` accept` un electron, impurit`\ile se numesc acceptoare.
12
Fig. 2.10 Fig. 2.11
ntr-un semiconductor dopat cu impurit`\i acceptoare concentra\ia de goluri este
predominant` (p0>>n0). Golurile provin din:
(a) - ionizarea atomilor trivalen\i; [n urma acestui proces rezult` e+ ]i ioni negativi imobili
(sarcina spa\ial` fix`);
(b) - ruperea de leg`turi covalente din care rezult` perechi de e+ ]i e-.
Condi\ia de neutralitate impune
(2.8b) p n N A0 0= +
dac` se consider` c` ionizarea impurit`\ilor este complet`. Din rela\ia (2.8b), [mpreun` cu condi\ia
de echilibru ]i rela\ia care apare [ntre concentra\ii Ai Nn << se ob\in:
, p N A0 ≅ n nN
i
A0
2
≅ (2.9b)
n acest caz p0 >> n0, deci e+ sunt purt`torii mobili majoritari, e- purt`torii minoritari, iar
semiconductorul este de tip p.
Diagrama de benzi, la echilibru termic, pentru un semiconductor de tip p este dat` [n fig.
2.11. Nivelul asociat impurit`\ilor acceptoare EA este discontinuu (la fel ca ED, fig. 2.9), situat [n
banda interzis` [n vecinatatea BV. Energia EA - EV, cu aceia]i gam` de valori ca EC - ED este energia
necesar` ioniz`rii impurit`\ilor acceptoare.
n fig. 2.11 sunt prezentate cele dou` procese fizice care au ca rezultat apari\ia e+: (a) -
ionizarea impurit`\ilor, acesta fiind mecanismul predominant ]i (b) - ruperea leg`turilor covalente,
proces mai pu\in probabil deoarece EC - EV >> EA - EV.
La semiconductorul de tip p nivelul Fermi, EF este situat [n jum`tatea inferioar` a benzii
interzise. Astfel din rela\iile (2.3a), (2.3b) ]i inegalitatea dintre concentra\ii specific`
13
semiconductorului de tip p (p0>>n0) rezult` EC - EF > EF - EV. De asemenea [nlocuind expresia lui
p0 (2.9b) [n rela\ia 2.3b se ob\ine:
A
VVF N
NkTEE ln=− (2.9c)
2.5.4 Concluzii
1. Semiconductorul intrinsec (lipsit de impurit`\i) reprezint` o idealizare.
2. Semiconductorii utiliza\i [n fabricarea dispozitivelor semiconductoare ]i circuitelor
integrate sunt inten\ionat dota\i (dopa\i) cu impurit`\i donoare ]i/sau acceptoare. n general o bucat`
semiconductoare con\ine ambele tipuri de impurit`\i.
3. n stabilirea concentra\iilor de electroni ]i goluri conteaz` concentra\iile nete de
impurit`\i: dac` NN N ND*
D= − A D
i
D > NA, respectiv c@nd NN N NA*
A= − A > ND. Concentra\iile
nete de donori , respectiv de acceptori substituie NND* NA
*D, respectiv NA [n rela\iile (2.9a ]i 2.9b)
de calcul a m`rimilor n0 ]i p0.
4. Dac` ND = NA semiconductorul se nume]te compensat. n acesta caz n p n0 0= = . Tot
comportare intrinsec` are ]i semiconductorul cu ND ≠ NA la temperaturi mari, pentru care
(se are [n vedere cre]terea exponen\ial` cu temperatura a concentra\iei
intrinseci exprimat` prin rela\ia (2.6)).
( ) [n T max N , Ni >> ]D A
-3
5. Nivele energetice asociate impurit`\ilor donoare sau acceptoare sunt situate [n banda
interzis`, [n imediata vecinatate a BC respectiv BV (la distan\a de 2..3 Eth unde Eth = kT este energia
termic`). Aceste nivele energetice se numesc pu\in ad@nci pentru a le diferen\ia de nivelele ET
asociate trapelor pentru e-. Nivelele ET sunt situate [n preajma mijlocului benzii interzise.
6. Nivelul Fermi EF este situat [n general tot [n banda interzis`. Dac` EF este plasat la
distan\e mai mari de 3Eth de EC, respectiv EV [n interiorul benzii interzise atunci semiconductorul
este nedegenerat. n caz contrar semiconductorul este degenerat. Un semiconductor degenerat este
dopat cu concentra\ii mari de impurit`\i ( ). Astfel din rela\iile (2.8c ]i 2.9c) se
observ` c` pe m`sur` ce N
N N cmA*
D*, > ⋅5 1018
D ]i NA cresc, nivelul Fermi situat ini\ial [n banda interzis` (pentru
semiconductori nedegenera\i) se apropie de EC, respectiv EV iar pentru valori ale lui ND ]i NA
comparabile sau mai mari dec@t NC respectiv NV nivelul Fermi trece [n BC respectiv BV.
2.6 Fenomene de transport
Electronii ]i golurile, a]a cum au fost defini\i [n sec\iunea 2.3, sunt "particule libere" [n
sensul c` mi]carea lor [n semiconductor nu depinde de particularit`\ile re\elei cristaline. Influen\a
for\elor din cristal este [ncorporat` [n masele efective ]i care difer` de mmn* mp
*0 (masa e- liber) ]i
bine[n\eles valorile lor difer` de la un semiconductor la altul. Folosind legile fizicii statistice se
14
demonstreaz` c`, [ntocmai ca particulele libere "clasice", e- ]i e+ din semiconductori au o energie
termic`. n consecin\` aceste particule au, chiar [n condi\ii de echilibru termic, o mi]care haotic` [n
semiconductor. Viteza medie p`tratic` de deplasare a electronilor depinde de temperatur` prin
rela\ia
∗=n
th mkT32ν (2.10)
]i este cunoscut` ]i sub denumirea de vitez` termic`.
Pentru Si la 300K, νth ≅ 107 cm s .
Mi]carea e- ]i e+ este sinuoas`, purt`torii de sarcin` av@nd ciocniri frecvente at@t cu atomii
semiconductorului de baz` c@t ]i cu atomii de impuritate. n urma ciocnirilor e- []i pierd energia
cinetic` ]i []i modific` traiectoria astfel [nc@t, ei vor reveni practic la pozi\ia ini\ial` de mi]care. O
form` simplificat` a traiectoriei e- [n interiorul re\elei cristaline este prezentat` [n continuare:
Timpul mediu [ntre dou` ciocniri consecutive τcn, τcp are valori [ntre 10-12...10-10 s iar distan\a este de
ordinul a 100Å. Sensul deplas`rii e- ]i e+ se modific` [n urma ciocnirilor. Prin urmare, la echilibru
termic mi]carea termic` aleatorie a purt`torilor de sarcin` nu d` na]tere la un curent electric (⎯J=0).
Astfel dac` [ntr-un element de volum dat un grup de purt`tori se deplaseaz` [ntr-un sens, [n acela]i
timp un grup identic de al\i purt`tori se mi]c` [n sens invers.
Curentul electric prin semiconductor apare [n urm`toarele dou` situa\ii:
(a) - semiconductorul este sub inciden\a unui c@mp electric, caz [n care iau na]tere curen\ii
de c@mp;
(b) - semiconductorul este neuniform dopat; prin difuzia purt`torilor din zonele puternic
dopate cu impurit`\i spre zonele mai slab dopate apar curen\ii de difuzie.
Curen\ii de c@mp
Se consider` un semiconductor uniform dopat, plasat [ntr-un c@mp electric uniform rξ .
Acesta se ob\ine aplic@nd la capetele pl`cu\ei semiconductoare o tensiune continu` U. Datorit` lui
erξ - are o mi]care dirijat` [n sens invers de]i aceasta este afectat` de ciocniri.
n intervalele dintre ciocniri e- sunt accelera\i de c@mp cu
15
∗
−=
nn m
qa ξr
r (2.11)
produc@nd o cre]tere a vitezei [ntre coliziuni
∆r rν τn n ca= n (2.12)
dac` se consider` c` timpul mediu dintre ciocniri nu este modificat de prezen\a c@mpului electric.
Cre]terile de vitez` sunt anulate de ciocnirile cu re\eaua cristalin`. Ca urmare viteza medie de
deplasare a electronilor sub ac\iunea c@mpului electric (denumit` vitez` de drift) este
ξτν
νrr
r∗−=
∆=
n
cnn
mq22
(2.13a)
Rela\ia de mai sus indic` propor\ionalitatea dintre viteza e- ]i c@mpul electric
, r rν µ ξn n= −
∗=
n
ncn m
q2
,τµ
p p=
(2.13b)
factorul de propor\ionalitate µn fiind denumit mobilitatea electronilor.
n mod similar pentru goluri se ob\ine
, r rν µ ξ ∗
=p
pcp m
q2
,τµ (2.13c)
unde µp este mobilitatea golurilor.
n deducerea acestor ecua\ii s-au utilizat legile mecanicii clasice.
Fig. 2.12.a indic` mi]carea electronului [n semiconductor sub ac\iunea c@mpului electric [n
conformitate cu descrierea f`cut` [n acest paragraf.
Fig. 2.12
16
n fig 2.12b se prezint` deplasarea e- pe diferite nivele din BC. n prezen\a c@mpului electric
constant ⎯E nivelele energetice din BC ]i BV variaz` liniar (problema ).
Dup` cum se ]tie electronii au tendin\a natural` de deplasare c`tre energii mai reduse. n
urma ciocnirilor, e- pierde toat` energia cinetic` ]i revine pe nivelul EC care corespunde energiei
sale poten\iale. Dac` are valori reduse, energia cinetic` pierdut` de erξ - ]i cedat` re\elei cristaline
este suficient de mic` pentru a nu [nc`lzi apreciabil re\eaua.
Trebuie s` se precizeze c` viteza de drift rνn sau
rν p nu poate fi atribuit` [n nici un moment
unui anumit purt`tor. Purt`torii de sarcin` se deplaseaz` [n direc\ii aleatoare cu viteze termice mult
mai mari dec@t vitezele de drift. Traiectoriile lor dintre ciocniri sunt distorsionate de for\a produs`
de c@mp. Efectul net al acestor distorsiuni, mediat pe mai mul\i purt`tori, poate fi reprezentat ca o
mi]care de agita\ie termic`. Aceasta neproduc@nd nici un curent este suprimat`, prin urmare fiecare
purt`tor se mi]c` cu viteza de drift, a]a cum este ilustrat schematic [n fig. 2.12.
Densitatea curentului de electroni creat de c@mpul electric (num`rul de e-, cu sarcina (-q), ce
se deplaseaz` [n unitatea de timp prin unitatea de suprafa\`) este
(2.14a) ( )r r rJ q n qnn c n n, = − =ν µ ξ
rJn c, are acela]i sens cu
rξ de]i electronii se deplaseaz` [n sens invers. Similar pentru densitatea
curentului de goluri se poate scrie
(2.14b) ξµνrrr
ppcp qpqpJ ==,
Densitatea curentului de c@mp este
r r rJ J Jc n c p c= +, , ( ),
r r rJ q n pc n p= + =µ µ ξ ξ
1ρ
(2.15a)
unde
( )ρµ µ
=+1
q n pn p
(2.15b)
este rezistivitatea semiconductorului.
Rela\ia (2.15a) exprim` legea lui Ohm pentru semiconductori. n cazul semiconductorilor
extrinseci [n expresia (2.15b), la numitor, conteaz` numai unul din termeni din cauza diferen\elor
apreciabile dintre concentra\iile de e- ]i e+ (problema ).
Mobilitatea electronilor ]i golurilor
A]a cum s-a ar`tat la intensit`\i reduse ale c@mpului electric, vitezele de drift cresc
propor\ional cu c@mpul, cu un factor denumit mobilitate (vezi rela\iile (2.13)).
Mobilitatea este un parametru de material deci µn ]i µp depind de natura semiconductorului
prin intermediul maselor efective . n tabelul 2 sunt indicate mobilit`\ile e- ]i e+, la 300K, pentru
17
trei materiale semiconductoare slab dopate (concentra\ia total` de impurit`\i este mai mic` dec@t
1015 cm-3).
Tabelul 2.
Semiconductorul µn cmV s
2
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ µp cm
V s
2
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Si 1250 500
Ge 3900 1900
GaAs 8500 400
Valorile mobilit`\ilor depind, de asemenea, de concentra\ia total` de impurit`\i
( ). ntr-adev`r atomii de impuritate ioniza\i contribuie al`turi de vibra\iile re\elei
cristaline la stabilirea traiectoriilor de mi]care ale purt`torilor mobili. C@nd e
N N NT D= + A
- sau e+ trece pe l`ng`
un ion fix sufer` o deviere a traiectoriei sale, ceea ce perturb` deplasarea ordonat` a purt`torilor de
sarcin` pe direc\ia c@mpului ]i ca urmare, mobilitatea scade. Deci µn ]i µp se mic]oreaz` prin
cre]terea concentra\iei totale de impurit`\i a]a cum se ilustreaz` pentru Si, la 300K [n fig. 2.13.
Fig. 2.13
Trebuie reamintit c`, spre deosebire de mobilit`\i care depind de , concentra\iile de
electroni ]i goluri sunt stabilite de concentra\ia net` de impurit`\i (
N ND + A
N ND A+ ).
Observa\ia este important` pentru semiconductorii compensa\i caracteriza\i prin mobilit`\i
mult mai reduse [n compara\ie cu cei necompensa\i ]i av@nd acelea]i concentra\ii de e- ]i e+.
18
Temperatura este o alt` m`rime ce influenteaz` apreciabil mobilit`\ile. La concentra\ii
reduse de impurit`\i c@nd determinante sunt ciocnirile cu atomii semiconductorului de baz`, µn ]i µp
scad cu temperatura, , unde m ≅ 2,5. Prin cre]terea temperaturii vibra\iile re\elei se
intensific`, probabilitatea ciocnirilor cu re\eaua cristalin` cre]te, τ
µn pm, Tµ ≈ −
c,n ]i τc,p scad ]i conform rela\iilor
(2.13) mobilit`\ile se mi]coreaz`.
C@nd ciocnirile cu atomii de impuritate sunt preponderente (la concentra\ii mari de
impurit`\i), µn ]i µp cresc cu temperatura:
µn pm, Tµ ≈ ′ , m' ≅ 1,5. ntr-adev`r prin m`rirea temperaturii viteza termic` a e- ]i e+ cre]te, timpul
c@t un purt`tor mobil r`m@ne [n vecin`tatea unui atom de impuritate ionizat scade ]i ca urmare
efectul de [mpr`]tiere produs de ion se reduce. n consecin\` prin cre]terea lui T, mobilit`\ile e+ ]i e-
cresc.
n cazul Si, cu o concentra\ie de impurit`\i ce variaz` [ntr-o gam` uzual` (NT = 1014.....1019
cm-3) ]i la temperaturi normale de lucru ([ntre 290 ]i 400K) mobilit`\ile scad cu temperatura.
De observat c` indiferent de natura semiconductorului, concentra\ia de impurit`\i sau
temperatur` electronii sunt mai mobili dec@t golurile (µn>µp). Prin urmare dispozitivele ce lucreaz`
pe baz` de electroni sunt mai rapide dec@t cele care lucreaz` cu goluri.
n [ncheierea acestei sec\iuni trebuie ar`tat c` propor\ionalitatea dintre vitezele de drift ]i
c@mpul electric (rela\iile (2.13)) nu mai este valabil` la c@mpuri intense, c@nd νn ]i νp devin
comparabile cu νth. n aceste condi\ii energia c@]tigat` de purt`torii mobili de c@mp are valori
apropiate de energia termic` ]i nu mai este cedat` integral re\elei [n procesul de ciocnire. Mi]carea
e- ]i e+ sub ac\iunea c@mpului electric nu mai poate fi analizat` separat de mi]carea de agita\ie
termic`, deci modelul propus la [nceputul acestui paragraf []i pierde valabilitatea.
Fig. 2.14 prezint` dependen\a experimental` a vitezelor de drift de c@mpul electric pentru
Si, la 300K. P@n` la valori de 3⋅103 V/cm pentru e-, respectiv 6⋅103 V/cm pentru e+, νn ]i νp cresc
liniar cu ξ respect@nd rela\iile (2.13).
19
Fig. 2.14
La c@mpuri foarte intense (ξ > 3⋅104 V/cm) vitezele de drift tind s` se satureze la valorile
νn,e, respectiv νp,e care sunt comparabile cu viteza termic`. Energia cinetic` a electronilor la c@mpuri
intense devine semnificativ` ceea ce face ca temperatura lor s` dep`]easc` temperatura re\elei. n
acest caz electronii sunt denumi\i electroni fierbin\i.
Rezistivitatea
A]a cum s-a mai remarcat rezistivitatea este una dintre cele mai importante caracteristici ale
materialelor semiconductoare. Valorile ei sunt precis controlabile prin procesul tehnologic de
impurificare. n fig. 2.15 se prezint` dependen\a rezistivit`\ii de concentra\ia de impurit`\i
acceptoare sau donoare pentru Si, la 300K.
20
Fig. 2.15
Reprezentarea la scar` dublu logaritmic` \ine cont de:
a) rela\ia (2.15b) ;
b) dependen\a concentra\iilor de e- ]i/sau e+, precum ]i a mobilit`\ilor µn ]i /sau µp de ND ]i/sau NA
(fig. 2.13).
Rezistivitatea semiconductorilor este puternic dependent` de temperatur` a]a cum se
ilustreaz` (calitativ) [n fig. 2.16.
Fig.2.16
n zona I a curbei rezistivitatea scade cu temperatura datorit` cre]terii concentra\iilor de
purt`tori majoritari prin procesul de ionizare a impurit`\ilor. Pe por\iunea a II-a din curb`, ce
cuprinde ]i temperaturile uzuale de lucru, concentra\iile de majoritari sunt practic constante, dar
conteaz` sc`derea mobilit`\ii ceea ce determin` o cre]tere u]oar` a rezistivit`\ii cu temperatura.
La temperaturi ridicate (por\iunea a III-a) are loc o nou` cre]tere a concentra\iilor de
purt`tori datorit` gener`rii de perechi electron-gol prin ruperea de leg`turi covalente; se explic`
astfel sc`derea apreciabil` a rezistivit`\ii cu temperatura [n aceast` zon`.
Curen\ii de difuzie
n semiconductorii caracteriza\i prin concentra\ii neuniforme de electroni sau goluri apare
tendin\a natural` a uniformiz`rii distribu\iei lor. Acest fenomen de difuzie a e- sau e+ d` na]tere
curen\ilor de difuzie.
21
Pentru exprimarea cantitativ` a curen\ilor de difuzie se consider`, mai [nt@i pentru
simplitate, o bar` semiconductoare caracterizat` de-a lungul ei (pe direc\ia x) de o distribu\ie
neuniform` de electroni ca [n fig. 2.17.
Fig. 2.17
Temperatura [n bar` este constant` ]i ca urmare electronii au o mi]care de agita\ie termic` cu viteza
νth dat` de (2.10).
Fluxul de electroni (num`rul de electroni ce traverseaz` [n unitatea de timp o suprafa\` egal`
cu unitatea normal` pe direc\ia x) ce difuzeaz` de la st@nga la dreapta planului x = 0 este
( ) thnc Vn ,021 λ− n aceast` rela\ie ncthnc ,, τνλ = reprezint` drumul liber mijlociu al e- [ntre dou`
ciocniri consecutive iar q
kTVth = este tensiunea termic`. Factorul 12
apare [n expresia fluxului
deoarece jum`tate din concentra\ia de electroni de la x c n= −λ , difuzeaz` spre st@nga ]i cealalt`
jum`tate spre dreapta.
Similar fluxul de e- ce traverseaz` planul x = 0 venind dinspre dreapta depinde de
concentra\ia de electroni de la ]i este x c n= λ , ( ) thnc Vn ,021 λ . Fluxul de e- ce difuzeaz` de la st@nga
spre dreapta la planul x = 0 va fi
( ) ([ ncncthn nnF ,0,021 λλν −−= )] (2.16a)
Dac` [n jurul originii ([ntre planele x c n= −λ , ]i ncx ,λ= ) se presupune o varia\ie liniar` a
concentra\iei de electroni de forma
22
( ) ( )n x n dndx
x0 000= + (2.17)
va rezulta din (2.16a) pentru Fn expresia
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
dxdnVF ncthn ,λ (2.16b)
|in@nd cont de leg`tura dintre drumul liber mijlociu ]i timpul mediu dintre ciocniri precum
]i de rela\iile (2.10) ]i (2.13) se ob\ine
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
dxdnD
dxdnVF nnthn µ (2.16c)
unde
nthn VD µ= (2.18a)
este constanta de difuzie pentru electroni.
Densitatea curentului de difuzie de e- va fi
( )J q F qD dndxn d n n, = − = (2.19a)
Generaliz@nd pentru un semiconductor caracterizat de o distribu\ie neuniform` pe toate
direc\iile a concentra\iei de electroni, densitatea curentului de difuzie de electroni va avea expresia
(2.19b) ( )r rJ q F qDn d n n n, = − = ∇
Proced@nd similar pentru densitatea curentului de goluri rezult`
( )r rJ qF qDp d p p p, = = −∇ (2.19c)
unde
pthp VD µ= (2.18b)
este constanta de difuzie pentru goluri iar ∇n ]i ∇p sunt gradien\ii concentra\iilor de e- ]i e+.
Rela\iile (2.18) sunt cunoscute sub denumirea de rela\iile lui Einstein. Ele exprim` leg`tura
dintre constantele de difuzie ]i mobilit`\i, leg`tur` ce subliniaz` faptul c` difuzia ]i driftul sunt
manifest`ri ale mi]c`rii de agita\ie termic` a purt`torilor, deci nu sunt fenomene independente.
Deducerea riguroas` a rela\iilor lui Einstein (mai sus s-a preferat o variant` intuitiv`) se poate face
prin examinarea implica\iilor de ordin statistico-mecanic pe care le are situa\ia de echilibru [ntr-un
semiconductor neuniform dopat.
Trebuie re\inut c` procesul de difuzie nu are nimic de a face cu faptul c` e- ]i e+ sunt
purt`tori de sarcin`. Difuzia are loc pur ]i simplu datorit` faptului c` num`rul de purt`tori care (ca
rezultat al mi]c`rii de agita\ie termic`) au componentele de vitez` dirijate dinspre regiunea de [nalt`
concentra\ie c`tre regiunea de concentra\ie mai mic` este mai mare dec@t num`rul de purt`tori care
au vitezele dirijate [n sens opus.
23
De asemenea este important de re\inut c` fluxul de particule ce rezult` [n urma difuziei
depinde de gradientul concentra\iei de purt`tori ]i nu de concentra\ia propriu-zis`.
Difuzia st` la baza comport`rii fizice a majorit`\ii dispozitivelor semiconductoare. Acest
fenomen nu este prezent [n metale unde nu se pot realiza concentra\ii neuniforme de e- ; orice
tendin\` de neuniformizare a distribu\iei electronilor este anihilat` rapid datorit` rezistivit`\ii foarte
sc`zute a metalelor.
Ecua\iile curen\ilor [n semiconductoare
Densitatea curentului total [ntr-un semiconductor are dou` componente
r r rJ J Jn= + p (2.20a)
datorate celor dou` tipuri de purt`tori mobili: electronii ]i golurile. La r@ndul lor fiecare din
densit`\ile ]i rJn
rJp au c@te dou` componente: de drift datorat` c@mpului electric, respectiv de
difuzie. Conform rela\iilor (2.14) ]i (2.19) rezult`
(2.21a) r r r rJ J J qn qDn n c n d n n= + = + ∇, , µ ξ n
(2.21b) pqDqpJJJ ppdpcpp ∇−=+= ξµrrrr
,,
n cazul [n care c@mpul electric este variabil [n timp, ( )r rξ ξ= t rela\ia (2.20a) va include ]i
termenul corespunz`tor densit`\ii curentului de deplasare
( ) ( ) ( )r r r
r
j t j t j ttn p s= + + ε
δξδ
(2.20b)
unde εs este permitivitatea semiconductorului iarr r rj, j , jp n sunt func\ii de timp.
Expresiile (2.20) ]i (2.21) eviden\iaz` diferen\ele care apar [n procesul de conduc\ie a
curentului electric la semiconductori [n raport cu metalele. La metale conduc\ia se datoreaz` numai
electronilor de conduc\ie (nu exist` curent de goluri). De asemenea curentul de e- la metale con\ine
numai componenta de drift datorat` c@mpului electric ( cnn JJJ ,
rrr== ).
2.7 Generarea ]i recombinarea e- ]i e+
n condi\ii de echilibru, concentra\iile purt`torilor mobili de sarcin` n0 ]i p0 sunt determinate
numai de concentra\iile de impurit`\i ]i de temperatur` (prin ( )n Ti2 , vezi paragraful (2.5)). C@nd
echilibrul este perturbabil, concentra\iile de e- ]i e+ se pot modifica semnificativ fa\` de n0 respectiv
p0. Diferen\ele n - n0 ]i p - p0 pot fi pozitive (concentra\ii [n exces) sau negative (deficit de
purt`tori). Cum aceste diferen\e reprezint` abateri de la starea de echilibru, [n mod natural se nasc
mecanisme fizice care tind s` restabileasc` starea de echilibru.
24
Mai precis, ori de c@te ori exist` un deficit de purt`tori mobili (n-n0 ]i p-p0 sunt negative)
apare fenomenul de generare de perechi (e-, e+) prin ruperea leg`turilor covalente. C@nd n - n0 ]i p -
p0 sunt pozitive corespunz@nd unor concentra\ii de purt`tori mai mari dec@t valorile de echilibru,
purt`torii [n exces au tendin\a de a se recombina, deci de a dispare prin anihilare reciproc`. Astfel e-
de conduc\ie ocup` din nou locurile libere din leg`turile covalente nesatisf`cute ]i prin aceasta
dispar [mpreun` cu un num`r egal de e+.
Ratele de desf`]urare ale mecanismelor de generare/recombinare, [n sensul num`rului de
particule (e- sau e+) care se genereaz`/recombin` [n unitatea de volum ]i [n unitatea de timp se
numesc viteze de generare/recombinare ]i se noteaz` cu . Vitezele nete de recombinare
se definesc prin rela\iile:
g ,g , r , rn p n p
(2.22a) R r gn n= − n
p (2.22b) R r gp p= −
Energetic vorbind procesele de generare/recombinare reprezint` trecerea e- de pe un nivel
energetic pe altul (fig. 2.18).
Fig. 2.18
Generarea unui e- (fig. 2.18a) [nseamn` venirea unui e- [n BC. Electronul poate sosi: (i) -
din BV (generare band`-band` sau direct`) sau (ii) - de pe un nivel de energie Et situat [n banda
interzis` (generare indirect`).
Generarea unui e+ (fig. 2.18b) [nseamn` p`r`sirea de c`tre un e- a BV. Electronul poate
trece: (i) - [n BC (generare direct`) sau (ii) - pe nivelul Et din banda interzis` (generare indirect`).
25
Recombinarea unui e- (fig. 2.18c) este procesul invers gener`rii de e-, deci const` [n
p`r`sirea de c`tre un electron a BC. Electronul poate trece: (i) - [n BV (recombinare band`-band`
sau direct`) sau (ii) - pe nivelul Et (recombinare indirect` prin centrii de recombinare).
Recombinarea unui e+ (fig. 2.18d) const` [n venirea unui e- [n BV. Electronul poate veni:
(i) - din BC (recombinare direct`) sau (ii) - de pe un nivel Et din banda interzis` (recombinare
indirect`).
Cele de mai sus scot [n eviden\` dou` modalit`\i de desf`]urare a proceselor de
generare/recombinare. Cea mai simpl` posibilitate este generarea/recombinarea direct` (band`-
band`) care se desf`]oar` prin trecerea direct` a e- din BV [n BC ]i invers. Acest mecanism este
foarte pu\in probabil [n cazul Si.
Al doilea mecanism, predominant la Si, este generarea/recombinarea indirect` care se
desf`]oar` prin intermediul centrilor de recombinare. Centrii de recombinare provin din
imperfec\iuni ale re\elei cristaline. Este vorba fie de atomi str`ini (de exemplu atomi de Au, ce
ocup` pozi\ii intersti\iale [ntre atomii semiconductorului de baz`) fie defecte ale re\elei de tipul
disloca\iilor, de pild`.
Centrilor de recombinare li se asociaz` nivele energetice ad@nci Et situate [n vecin`tatea
mijlocului benzii interzise. Ei ac\ioneaz` ca trepte intermediare [n tranzi\ia e- [ntre BC ]i BV.
Astfel centrii de recombinare pot emite e- spre BC (fig. 2.18a) sau BV (2.18d) sau pot capta e- veni\i
din BC (fig. 2.18c) sau BV (fig. 2.18b). Trebuie precizat c` at@t centrii de recombinare c@t ]i
impurit`\ile donoare/acceptoare introduc nivele energetice situate [n BI. Diferen\a const` [n faptul
c` nivelele energetice introduse de impurit`\i sunt superficiale deoarece ED ]i EA sunt situate [n
vecin`tatea BC respectiv BV.
Procesul indirect de generare/recombinare prin centrii de recombinare este descris
satisf`c`tor de modelul Schockley-Read-Hall (dup` numele autorilor). Conform acestui model care
presupune un singur nivel Et pentru centrii de recombinare, viteza net` de recombinare este aceia]i
pentru e- respectiv e+ ]i are expresia
( )
U R RN pn n
n n E EkT
p n E EkT
n pp n th t i
n it i
p ii t
= = =−
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥+ +
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥
σ σ ν
σ σ
2
exp exp (2.23a)
unde Nt este concentra\ia centrilor de recombinare, Ei nivelul Fermi intrinsec, iar σn ]i σp sec\iunile
eficace de captur` pentru e-, respectiv e+.
Din analiza rela\iei (2.23a) se desprind o serie de concluzii. Mai [nt@i se observ` c` [n cazul
echilibrului termic ( ), viteza net` de recombinare este nul` U = 0; aceasta [nseamn`
c` g
pn p n n0 0 i2= =
n = rn ]i gp = rp,unde rn(gn) ]i rp(gp) pot avea ]i valori nenule.
26
n al doilea r@nd se constat` c` viteza net` de recombinare este maxim` atunci c@nd nivelul
energetic al centrilor de recombinare este plasat aproximativ la mijlocul benzii interzise (Et = Ei).
Pentru a explica fizic acest lucru se consider`, de exemplu, Et plasat deasupra lui Ei, aproape de BC.
n aceste condi\ii dup` procesul de captur` a unui e- din BC este mult mai probabil` emiterea din
nou [n BC dec@t [n BV deoarece Ec - Et < Et - Ev. Recombinarea e]ueaz` [n aceast` eventualitate.
Similar dac` Et este plasat sub Ei aproape de BV, atunci este pu\in probabil ca s` aib` loc procesul
de captur` a e- din BC, recombinarea f`c@ndu-se [n acest caz doar prin trecerea direct` a e- din BC
[n BV.
n sf`r]it rela\ia (2.22a) se simplific` [n cazul unui semiconductor extrinsec la care abaterile
de la echilibru sunt mici. Se presupune, de exemplu, pentru un semiconductor de tip n la care sunt
[ndeplinite condi\iile
(i) n n (semiconductorul este la un nivel mic de injec\ie) ]i p pn n n n≅ >> >0 0
(ii) n nE E
kTn it i>>−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟exp
expresia (2.22a) devine
Rp p
pn n
p
≅−
0
τ, τ
σ νpp th tN
=1
(2.22b)
unde τp este timpul de via\` al golurilor [n exces (problema ).
n cazul unui semiconductor de tip p, [n condi\ii similare
Rn n
np p
n
=−
0
τ, τ
σ νnn th tN
=1
(2.22c)
[n care τn este timpul de via\` al electronilor [n exces.
Observa\iile desprinse din analiza rela\iilor (2.22) descriu realitatea fizic` conform c`reia un
semiconductor aflat la neechilibru []i dezvolt` mecanisme care tind s`-l readuc` la echilibru. Pe
baza acestor observa\ii se poate da o form` simpl` pentru vitezele nete de recombinare ]i anume
R n nn
n
=− 0
τ (2.23a)
R p pp
p
=− 0
τ (2.23b)
2.8 Ecua\iile de baz` ale dispozitivelor semiconductoare (Schockley)
27
Majoritatea dispozitivelor semiconductoare pot fi descrise de 3 seturi de ecua\ii liniare ]i
diferen\iale, [n care trebuie precizate condi\iile la limit`, condi\iile ini\iale ]i datele tehnologice
(dopare, de exemplu).
Ecua\iile vor fi particularizate pentru cazul unidimensional. Acesta corespunde unei bare
semiconductoare a c`rei lungime este mult mai mare dec@t dimensiunile sec\iunii perpendiculare pe
axa Ox. Se consider` de asemenea c` propriet`\ile fizice punctuale sunt acelea]i, doar valoarea
m`rimilor studiate Jrrr
,,Φξ difer` de la un punct la altul pe direc\ia x.
1. Ecua\iile de curent
Este vorba despre ecua\iile descrise [n paragraful 2.6.2 (]i anume 2.20 a,b ]i 2.21 a,b)
referitoare la densit`\ile de curent de e- ]i e+. Dac` vom particulariza ecua\iile 2.20b ]i 2.21b pentru
cazul unidimensional atunci se ob\in urm`toarele ecua\ii:
)(dxdnDnqJ nnn += ξµ (2.20c)
)(dxdpDpqJ ppp −= ξµ (2.21c)
2. Ecua\iile de continuitate exprim` varia\ia concentra\iei de purt`tori mobili [n unitatea de timp
Ln
n Gnn
dxdJ
qdtdn
−−
+=−τ
01 (2.24a)
Lp
p Gpp
dxdJ
qdxdp
−−
+=−τ
01 (2.24b)
unde GL este viteza de generare.
De asemenea trebuie precizat c` [ntr-o unitate de volum egal` cu 1 cm3 ]i o unitate de timp egal` cu
1 s num`rul de e- respectiv de e+ poate varia datorit`:
i) trecerii unui curent prin volumul considerat (rela\iile 2.24)
ii) fenomenelor de generare/recombinare interne (rela\iile 2.24 prin termenii n
nnτ
0−]i
p
ppτ
0−)
iii) fenomenului de generare extern` de perechi (e-, e+) caracterizat de viteza de generare GL
4.Ecua\ia Poisson
)(2
2
ADs
NnNpqdxd
dxd
−−+==−ε
ξφ
unde φ ]i ξ sunt poten\ialul respectiv c@mpul electric creat [n semiconductor de sarcina electric`.
Aceasta este compus` din:
• sarcina mobil` de concentra\ii p respectiv n
• sarcina fix` datorat` ionilor de impuritate pozitivi (negativi) de concentra\ii ND ( NA)
28
Semnul minus din expresia ecua\iei Poisson se datoreaz` sarcinii negative a ionilor de impuritate
]i/sau a electronilor.
29