2.1 Clasificarea materialelor solide [n func\ie de rezistivitate

Din experien\a de toate zilele se ]tie c` propriet`\ile electrice ale materialelor sunt foarte

diferite. De exemplu, rezistivitatea ρ, variaz` [ntr-o gam` de valori extrem de larg`, dac` se au [n

vedere numai materialele folosite la fabricarea dispozitivelor ]i circuitelor integrate. Aluminiul,

metalul utilizat pentru realizarea contactelor la semiconductor ]i pentru trasee are rezistivitatea la

temperatura camerei, foarte mic`, de circa 10-6 Ωcm. La cap`tul opus al scalei pentru rezistivitate se

situeaz` izolatorii, de pild` bioxidul de Si (SiO2) folosit ca pelicul` protectoare ]i pasivant, ce se

caracterizeaz` printr-o rezistivitate de circa 1016 Ωcm, sau plasticul capsulelor cu o rezistivitate ]i

mai mare, de 1018 Ωcm. Se poate afirma astfel c` un circuit integrat oarecare include materiale cu o

rezistivitate ce variaz` [ntr-o gam` foarte larg` de valori (circa 24 ordine de m`rime) pentru un

parametru electric uzual.

O clasificare a materialelor solide poate fi f`cut` cu ajutorul rezistivit`\ii. Astfel, cele av@nd

ρ ≤ 10-3 Ωcm se numesc conductori, iar materialele cu ρ ≥ 108 Ωcm, izolatori.

Clasa intermediar` include semiconductorii ce constituie materialele de baz` [n fabricarea

dispozitivelor ]i circuitelor integrate. Semiconductorii s-au impus prin dou` propriet`\i remarcabile:

(i) - rezistivitatea lor poate fi u]or modificat` ]i precis controlat`;

(ii) - conduc\ia curentului este realizat` prin dou` tipuri de purt`tori mobili.

Propriet`\ile amintite ale materialelor semiconductoare se ob\in numai printr-o ordonare

perfect` a atomilor [n tot volumul, ordine ob\inut` [n monocristale. n re\eaua monocristalelor se

accept` numai defecte punctuale (atomi de impuritate) sau liniare (disloca\ii). Pentru a aprecia

densitatea de defecte admise trebuie amintit c` gama concentra\iilor de impurit`\i (num`rul de

impurit`\i [ntr-un cm3) este 1014...1019 cm-3, valori mult mai mici [n raport cu densitatea atomilor

semiconductorului, care este de aproximativ 1022 cm-3.

La fabricarea dispozitivelor ]i circuitelor integrate se folosesc semiconductori simpli, Si [n

majoritatea situa\iilor sau Ge, precum ]i semiconductori compu]i GaAs, InP, etc. Si, [n prezent ]i [n

viitor cel mai utilizat material semiconductor, are o re\ea cristalin` de tip diamant. n aceast` re\ea

fiecare atom se [nvecineaz` cu 4 atomi uniform distribui\i [n spa\iu. O reprezentare schematic`

bidimensional` este dat` [n figura 2.1:

1

Fig. 2.1

Cercul [n care s-a [nscris +4 simbolizeaz` atomul f`r` cei 4 electroni de valen\` (Si ]i Ge

sunt elemente tetravalente). ntre doi atomi vecini se stabile]te o leg`tur` covalent`. Aceast`

leg`tur` se face cu o pereche de electroni, c@te unul de la fiecare atom. Deci un atom []i va [mp`r\i

electronii de valen\`, c@te unul cu fiecare atom vecin, pentru formarea leg`turilor covalente.

Conduc\ia electric` [n semiconductori este realizat` prin mi]carea dirijat` a electronilor de

valen\`. Pentru aceasta semiconductorul trebuie plasat sub ac\iunea unui agent extern, de exemplu

un c@mp electric.

2.2 Benzi de energie [n semiconductori

Comportarea electronilor [n corpul solid, [n general ]i [n semiconductori, [n special a fost

cel mai bine descris` cu ajutorul mecanicii cuantice. Cel mai important rezultat ob\inut eviden\iaz`

faptul c` electronii, respectiv nivelele energetice se grupeaz` [n benzi energetice permise separate

prin benzi interzise, fenomen ilustrat [n fig. 2.2.

Fig. 2.2

2

Fiecare nivel energetic, reprezentat [n figur` printr-o linie continu` poate fi ocupat de cel

mult un electron. Diagrama benzilor energetice (fig.2.2) a fost elaborat` [n raport cu un nivel de

zero al energiei tocmai pentru a indica faptul c` electronii din benzile permise, fiind lega\i de atomi,

au energii negative. Nivelul zero (E = 0) corespunde energiei electronilor ce p`r`sesc

semiconductorul. Num`rul nivelelor energetice dintr-o band` permis` cre]te cu energia. Electronii

de valen\` sunt cei mai slab lega\i de atomi datorit` pozi\iei lor periferice ]i, ca urmare, ocup`

ultimele dou` benzi permise (cele mai apropiate de E = 0) denumite banda de valen\` (BV),

respectiv banda de conduc\ie (BC) (fig.2.2).

Electronii au posibilitatea s` treac` de pe un nivel energetic pe altul [n urm`toarele condi\ii:

i)- dac` electronului i se comunic` o energie el poate trece pe un nivel energetic superior cu

condi\ia ca acest nivel s` fie liber ]i energia comunicat` s` fie suficient` pentru saltul energetic

considerat.

ii)- electronul trece pe un nivel energetic inferior printr-un proces spontan, natural,

condi\ionat numai de existen\a unui nivel inferior neocupat.

Pentru a fi posibile fenomenele de conduc\ie electric` [n semiconductori este necesar ca BV

]i BC s` fie par\ial ocupate de electronii de valen\`. Fenomenele de conduc\ie sunt imposibile dac`

BV ]i BC sunt fie golite, fie complet ocupate cu electroni de valen\` iar aceast` afirma\ie poate fi

u]or [n\eleas` dac` se face o analogie cu mi]carea unui fluid [ntr-un tub [nchis la ambele capete

(fig. 2.3):

Fig. 2.3

3

Tubul (1) este asociat benzii de conduc\ie BC, iar tubul (2) benzii de valen\` BV. Se

consider` mai [nt@i situa\ia [n care tubul (1) este complet gol, iar tubul (2) este umplut de fluid (fig.

2.3a). Prin [nclinarea tuburilor ca [n fig. 2.3b nu se produce nici o deplasare a fluidului. Situa\ia este

asem`n`toare unui semiconductor aflat la 0 K c@nd electronii de valen\` ocup` integral BV (de aici

denumirea de band` de valen\`), iar BC este complet liber`. n consecin\` la zero absolut,

fenomenele de conduc\ie [n semiconductori sunt imposibile.

Dac` se transfer` o mic` cantitate de fluid din tubul (2) [n (1) (fig. 2.3c), prin [nclinarea

tuburilor apare o deplasare net` a fluidului (fig. 2.3d). Mi]c`rii fluidului, aflat [n cantitate mare [n

tubul (2), de la st@nga la dreapta, [i corespunde deplasarea [n sens invers a unei mici zone golite din

tub. Este evident c` mi]carea zonei golite este mult mai u]or de urm`rit. Analogia se face acum cu

un semiconductor aflat la o temperatur` oarecare peste zero absolut. Datorit` vibra\iilor termice ale

re\elei cristaline o parte din electronii de valen\` trec [n BC. n felul acesta BV ]i BC vor fi par\ial

ocupate de electroni.

Fenomenul fizic ce explic` trecerea electronilor din BV [n BC este ruperea de leg`turi

covalente. Dac` un electron p`r`se]te leg`tura covalent` atunci el nu mai este legat de atomul de la

care provine ]i se deplaseaz` liber [n interiorul re\elei cristaline devenind electron de conduc\ie.

Deci acest electron va ocupa un nivel energetic [n BC (de aici ]i denumirea de band` de conduc\ie).

Acest fenomen este eviden\iat [n figura 2.4 prin procesul (a).

Fig. 2.4

Locul l`sat liber poate fi ocupat de un alt electron dintr-o alt` leg`tur` covalent` (procesul

(b), fig. 2.4). Mi]carea electronului de la leg`tura covalent` spre golul existent [ntr-o alt` leg`tur`

covalent` este echivalent` cu mi]carea golului [n sens invers (reprezentat` cu linie punctat` pentru

procesul (b) din fig. 2.4).

4

La aplicarea unui c@mp electric exterior, [n semiconductor apar curen\i electrici datorit` a

dou` mecanisme de conduc\ie diferite, corespunz`toare celor dou` benzi energetice par\ial ocupate

]i anume:

(i) - deplasarea dirijat` a electronilor de conduc\ie, fenomen similar cu mi]carea fluidului [n

tubul (1) (fig. 2.3d);

(ii) - deplasarea dirijat` a electronilor din leg`turile covalente spre locurile libere din alte

leg`turi covalente, evident aceast` deplasare fiind echivalent` cu mi]carea [n sens invers a golurilor.

Fenomenul este echivalent cu deplasarea fluidului spre dreapta, respectiv a zonei golite spre st@nga

[n tubul (2) din figura 2.3d.

2.3 Electroni ]i goluri

Mi]carea electronului ca particul` individual` [n semiconductor este complet descris` cu

ajutorul mecanicii cuantice. Conduc\ia curentului electric [ns`, fiind un fenomen macroscopic,

poate fi analizat` cu legile mecanicii clasice dac` se definesc dou` particule "fictive":

(i) - electronul, e-, particul` mobil` negativ` de sarcin` -q (q = 1,6 ⋅ 1019 cm-3) ]i masa

mn ≠ m0 (m0, masa electronului liber iar mn, masa electronului [n semiconductor) folosit pentru

descrierea mi]c`rii dirijate a electronilor de conduc\ie (din BC);

(ii) - golul, e+, particul` mobil`, pozitiv` de sarcin` +q ]i masa mp ≠ mn (masa golului [n

semiconductor) utilizat pentru descrierea mi]c`rii electronilor din BV, mai precis a deplas`rii

locurilor libere de la o leg`tur` covalent` la alta.

Masele e+ ]i e- depind de natura semiconductorului.

A]a cum au fost defini\i, electronii pot ocupa numai nivelele permise din BC (fig. 2.5).

Definim astfel EC ca fiind energia asociat` margini inferioare a BC ]i corespunde energiei

poten\iale a e-. Dac` un electron are energia E, atunci diferen\a E - EC reprezint` energia sa cinetic`.

5

Golurile ocup` nivelele energetice din BV. Pentru aceste particule fictive definim EV ca

fiind energia asociat` marginii superioare a BV ]i reprezint` energia poten\ial` a golului (fig. 2.5).

Dac` un gol are energia E, atunci diferen\a E-EV reprezint` energia sa cinetic`.

Fig. 2.5

Distan\a energetic` dintre nivelele EC ]i EV corespunde, a]a cum se constat` din fig. 2.5,

l`\imii energetice EG a benzii interzise. La 3000 K, EG este de 1,1 eV la Si, respectiv de 0,67 eV

pentru Ge.

Fenomenele de conduc\ie sunt legate numai de mi]carea electronilor din BC ]i BV. Prin

urmare studiul unui semiconductor pur, aflat la echilibru termic, reprezentat prin diagrama sa

energetic` se poate face numai prin analiza celor dou` benzi permise (fig 2.5).

Probabilitatea ca un e- s` ocupe nivelul de energie E este, conform statisticii Fermi-Dirac

( )f EE E

kT

nF

=+

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

1 exp (2.1a)

iar pentru acela]i nivel probabilitatea de ocupare cu un gol este evident

(2.1b) ( ) ( )f E f Ep = −1 n

n formulele (2.1) T este temperatura absolut`, k constanta lui Boltzman, iar EF este o

energie de referin\`, numit` energie sau nivel Fermi. Mai precis, a]a cum se deduce pornind de la

rela\iile (2.1) energia Fermi corespunde nivelului a c`rui probabilitate de ocupare cu un e- sau e+

este aceia]i:

( ) ( )f E f En F p F= =12

.

LaT=0 K dac` ]i ( )f En = 0 E EF> ( )f En = 1 c@nd E EF< , deci toate nivelele energetice

situate sub nivelul Fermi sunt ocupate, iar cele peste EF sunt libere (fig. 2.6, reprezentate cu linie

punctat`).

La T > 0K func\iile de probabilitate nu mai variaz` abrupt, numai pentru E E kTF> + 3 ,

, respectiv pentru , fn ≅ 0 E E kTF< − 3 fn ≅ 1 unde 3kT reprezint` aproximativ 77 meV. (fig. 2.6,

reprezentate cu linie continu`)

6

Fig. 2.6

Energia Fermi depinde de temperatur` dar ]i de doparea semiconductorului. Ea poate fi

situat` [n:

(i) - banda interzis`, situa\ie uzual` c@nd semiconductorul se nume]te nedegenerat

(ii) - banda de conduc\ie sau de valen\`, caz [n care semiconductorul este degenerat.

2.4 Semiconductorul la echilibru termic

Echilibru termic. Semiconductorul este la echilibru termic dac`: (i) - nu se afl` sub ac\iunea

unui c@mp electric sau magnetic, radia\ii luminoase sau nucleare ]i (ii) - temperatura este uniform`

[n tot volumul s`u. n fapt, echilibrul termic este un echilibru termodinamic [n sensul c` la fiecare

proces ce are loc [n semiconductor [i corespunde un alt proces care evolueaz` [n sens contrar. De

exemplu, dac` un num`r de e- sunt excita\i de la energiea E1 la o energie superioar` E2, un num`r

egal de e- vor trece de pe nivelul energetic E2 pe E1.

La echilibru termic produsul concentra\iilor de electroni ]i goluri este constant.

(2.2) n p n consti0 02= =

unde ni se nume]te concentra\ie intrinsec`. Rela\ia (2.2) este o consecin\` direct` a legii ac\iunii

maselor.

Calcule folosind mecanica cuantic` indic` urm`toarele expresii pentru concentra\iile de e- ]i

e+ la echilibru termic:

n N E EkTc

C F0 = −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

exp , 2

3

2

22 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∗

hkTm

N nC

π (2.3a)

7

p N E EkTV

F V0 = −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

exp ,

23

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∗

hkTm

N pV

π (2.3b)

unde NC ]i NV reprezint` densit`\ile de st`ri energetice din banda de conduc\ie ]i respectiv

din banda de valen\` iar h este constanta lui Planck. NC ]i NV depind de masele efective ale e-,

respectiv e+ deci de natura semiconductorului ]i de temperatur`. Spre exemplu, pentru Si la T=300

K se ob\in pentru densit`\ile de st`ri energetice urm`toarele valori: NC=2.8⋅1019 cm-3 ]i

NV=1.07⋅1019 cm-3.

n condi\ii de neechilibru nici una din formulele anterioare (2.1-2.3) nu mai este valabil`.

Pentru a p`stra formalismul rela\iilor (2.3) se introduc dou` nivele energetice fictive, de calcul

numite cvasinivele Fermi, pentru electroni EFn, respectiv pentru goluri, EFp (EFn≠EFp≠EF) .

Concentra\iile de e- ]i e+ [n condi\ii de neechilibru sunt date de ecua\iile:

n N E EkTC

C Fn= −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

exp (2.4a)

p NE E

kTVFp V= −−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟exp (2.4b)

n formulele prezentate [n acest subcapitol starea de echilibru termic este eviden\iat` prin

indicele 0.

2.5 Semiconductor intrinsec. Semiconductor extrinsec

2.5.1 Semiconductor intrinsec. Reprezint` o situa\ie idealizat` a unui semiconductor lipsit

de impurit`\i. La un astfel de semiconductor e- ]i e+ sunt [n num`r egal ]i apar numai prin ruperea

leg`turilor covalente. Ca urmare, la echilibru termic, \in@nd cont de (2.2) se ob\ine urm`toarea

rela\ie [ntre concentra\ii:

(2.5) n p ni0 0= =

Se justific` astfel pentru ni denumirea de concentra\ie intrinsec`. n cazul unui

semiconductor dat, aflat la o temperatur` constant` concentra\ia intrinsec` are o valoare bine

precizat`.

Folosind rela\iile (2.2), (2.3a) ]i (2.3b) se ob\ine pentru ni formula

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

kTE

ATn Gi 2

exp23

, E E EG C= V− (2.6)

8

unde A este o constant` cu temperatura dar dependent` de natura semiconductorului, dependen\`

eviden\iat` prin urm`toarea rela\ie: 21

23

)( VC NNAT = . EG reprezint` l`\imea energetic` a benzii

interzise ]i depinde at@t de tipul semiconductorului c@t ]i de temperatur`.

n tabelul 2.1 sunt date valorile pentru EG ]i ni la 300K [n cazul a trei semiconductori des

folosi\i. Concentra\ia intrinsec` este cu multe ordine de m`rime mai redus` dec@t concentra\ia

atomilor de impuritate din semiconductor (circa1022 cm-3).

Tabelul 2.1

Semiconductorul EG (eV) ni (cm-3)

Si 1,108 1,50 × 1010

Ge 0,670 2,40 × 1013

GaAs 1,430 1,79 × 106

Pozi\ia nivelului Fermi la semiconductorul intrinsec denumit` ]i nivel intrinsec, EF = Ei, se

deduce utiliz@nd (2.3) ]i (2.5).

E E E kT NNi

C V C

V

=+

+2 2

ln (2.7a)

Av@nd [n vedere faptul c` NC ]i NV au valori foarte apropiate, termenul al doilea [n (2.7a)

este neglijabil, deci

E E Ei

C V≅+2

(2.7b)

ceea ce sugereaz` c` nivelul Fermi la semiconductorul intrinsec este plasat aproximativ la mijlocul

benzii interzise.

n fig. 2.7 se prezint` diagrama energetic` a semiconductorului intrinsec la echilibru termic.

9

Fig. 2.7

BC ]i BV s-au reprezentat schematic numai prin nivelele energetice EC, respectiv EV.

Semiconductorul ce con\ine impurit`\i [n re\eaua cristalin` se nume]te semiconductor

extrinsec. Exist` dou` tipuri de semiconductori extrinseci: semiconductorul de tip n, respectiv de tip

p.

2.5.2 Semiconductorul de tip n. Se ob\ine dot@nd (dop@nd) semiconductorul cu impurit`\i

pentavalente, de exemplu: P, Sb sau As. Impurit`\ile, presupuse cu o distribu\ie uniform`, substituie

[n re\eaua cristalin` atomii semiconductorului de baz`. Concentra\ia de impurit`\i ND are valori

uzuale [ntre 5⋅1014 ]i 5⋅1019 cm-3, deci mult mai reduse dec@t concentra\ia atomilor de semiconductor (≈

1022 cm-3). Prin urmare un atom de impuritate este [nconjurat numai de atomii semiconductorului de

baz`. Patru din cei cinci electroni de valen\` ai atomului pentavalent servesc la formarea leg`turilor

covalente cu atomii vecini (ai semiconductorului) (fig. 2.8).

Fig.2.8

10

Al 5-lea electron este slab legat, deci are nevoie de o energie mic` pentru a deveni e- liber (fig.

2.8). n cazul Sb aceast` energie este de 50 meV.

Se spune c` impurit`\ile doneaz` electroni de conduc\ie de aici provenind ]i denumirea de

impurit`\i donoare. Prin urmare atomii de impuritate pentavalen\i reprezint` o surs` suplimentar`

de electroni de conduc\ie fa\` de cristalul pur (intrinsec).

ntr-un semiconductor dopat cu impurit`\i pentavalente e- provin din:

(a) - ionizarea impurit`\ilor; rezult` e- mobili ]i ioni pozitivi imobili, av@nd dispozi\ia

spa\ial` a atomilor de impuritate.

(b) - ruperea de leg`turi covalente; rezult` perechi de e- ]i e+mobili.

Dac` ND < 5⋅1017 cm-3, la temperatura camerei practic toate impurit`\ile sunt ionizate.

Atunci concentra\ia de electroni liberi (la echilibru termic) va fi

(2.8a) n N pD0 = + 0

unde p0 este concentra\ia de goluri rezultat` din ruperea leg`turilor covalente. Ecua\ia (2.8a)

exprim` egalitatea dintre num`rul sarcinilor elementare negative ]i respectiv num`rul sarcinilor

electrice pozitive, [n unitatea de volum sau cu alte cuvinte neutralitatea semiconductorului de tip n

uniform dopat.

Rela\ia (2.8a) [mpreun` cu (2.2) permite determinarea concentra\iilor de e- ]i e+. |in@nd cont

c` ni << ND rezult`

, n N D0 ≅ p nN

i

D0

2

≅ (2.9a)

deci concentra\ia de e- este mult mai mare dec@t concentra\ia de goluri (n0>>p0).

Exemplu: dac` ND = 1016 cm-3, pentru Si la 300K (ni = 1,5⋅1010 cm-3) rezult` n0 ≅ 1016 cm-3 ]i

p0 ≈ 2,25⋅104 cm-3.

Ca urmare e- sunt purt`tori mobili de sarcin` majoritari, e+ purt`tori mobili de sarcin`

minoritari, iar semiconductorul este de tip n.

Fig. 2.9 prezint` diagrama energetic` a unui semiconductor de tip n aflat la echilibru termic.

11

Fig.2.9

Electronul suplimentar al atomului pentavalent ocup` [n banda interzis` un nivel energetic

ED, localizat doar [n vecin`tatea impurit`\ilor; de aceea a fost reprezentat cu linie discontinu`.

Nivelul ED este plasat [n apropierea BC iar distan\a EC - ED, cu valori [ntre 40 ]i 50 meV pentru

impurit`\ile pentavalente uzuale, reprezint` energia necesar` ioniz`rii impurit`\ilor.

n fig.2.9 sunt ilustrate cele dou` modalit`\i de ob\inere a electronilor de conduc\ie:

ionizarea impurit`\ilor (procesul (a)), respectiv ruperea leg`turilor covalente (procesul (b)).

Deoarece EC - ED << EC - EV procesul (a) este mult mai probabil.

La semiconductorul de tip n nivelul Fermi este plasat [n jum`tatea de sus a benzii interzise

(fig. 2.9). ntr-adev`r, deoarece n0 >> p0, \in@nd cont de rela\iile (2.3a) ]i (2.3b) rezult` EC - EF < EF

- EV. De asemenea dac` introducem expresia lui n0 (2.9a) [n rela\ia 2.3a se ob\ine urm`toarea

rela\ie:

2lni

DVVF n

NNkTEE =− (2.8c)

2.5.3 Semiconductorul de tip p. Ob\inerea unui semiconductor de tip p impune folosirea de

impurit`\i trivalente, de exemplu: B, Ga, In. Concentra\ia de impurit`\i NA, considerat` uniform` [n

tot volumul semiconductorului are uzual acela]i domeniu de valori ca ND. Atomul de impuritate

trivalent, cum se arat` [n fig. 2.10 satisface numai 3 din cele 4 leg`turi covalente cu atomii vecini ai

semiconductorului de baz`. Leg`tura covalent` nesatisf`cut` se poate completa cu un electron dintr-o

alt` leg`tur` covalent` (stabilit` [n doi atomi ai semiconductorului), care las` [n urma sa un gol.

Pentru c` accept` un electron, impurit`\ile se numesc acceptoare.

12

Fig. 2.10 Fig. 2.11

ntr-un semiconductor dopat cu impurit`\i acceptoare concentra\ia de goluri este

predominant` (p0>>n0). Golurile provin din:

(a) - ionizarea atomilor trivalen\i; [n urma acestui proces rezult` e+ ]i ioni negativi imobili

(sarcina spa\ial` fix`);

(b) - ruperea de leg`turi covalente din care rezult` perechi de e+ ]i e-.

Condi\ia de neutralitate impune

(2.8b) p n N A0 0= +

dac` se consider` c` ionizarea impurit`\ilor este complet`. Din rela\ia (2.8b), [mpreun` cu condi\ia

de echilibru ]i rela\ia care apare [ntre concentra\ii Ai Nn << se ob\in:

, p N A0 ≅ n nN

i

A0

2

≅ (2.9b)

n acest caz p0 >> n0, deci e+ sunt purt`torii mobili majoritari, e- purt`torii minoritari, iar

semiconductorul este de tip p.

Diagrama de benzi, la echilibru termic, pentru un semiconductor de tip p este dat` [n fig.

2.11. Nivelul asociat impurit`\ilor acceptoare EA este discontinuu (la fel ca ED, fig. 2.9), situat [n

banda interzis` [n vecinatatea BV. Energia EA - EV, cu aceia]i gam` de valori ca EC - ED este energia

necesar` ioniz`rii impurit`\ilor acceptoare.

n fig. 2.11 sunt prezentate cele dou` procese fizice care au ca rezultat apari\ia e+: (a) -

ionizarea impurit`\ilor, acesta fiind mecanismul predominant ]i (b) - ruperea leg`turilor covalente,

proces mai pu\in probabil deoarece EC - EV >> EA - EV.

La semiconductorul de tip p nivelul Fermi, EF este situat [n jum`tatea inferioar` a benzii

interzise. Astfel din rela\iile (2.3a), (2.3b) ]i inegalitatea dintre concentra\ii specific`

13

semiconductorului de tip p (p0>>n0) rezult` EC - EF > EF - EV. De asemenea [nlocuind expresia lui

p0 (2.9b) [n rela\ia 2.3b se ob\ine:

A

VVF N

NkTEE ln=− (2.9c)

2.5.4 Concluzii

1. Semiconductorul intrinsec (lipsit de impurit`\i) reprezint` o idealizare.

2. Semiconductorii utiliza\i [n fabricarea dispozitivelor semiconductoare ]i circuitelor

integrate sunt inten\ionat dota\i (dopa\i) cu impurit`\i donoare ]i/sau acceptoare. n general o bucat`

semiconductoare con\ine ambele tipuri de impurit`\i.

3. n stabilirea concentra\iilor de electroni ]i goluri conteaz` concentra\iile nete de

impurit`\i: dac` NN N ND*

D= − A D

i

D > NA, respectiv c@nd NN N NA*

A= − A > ND. Concentra\iile

nete de donori , respectiv de acceptori substituie NND* NA

*D, respectiv NA [n rela\iile (2.9a ]i 2.9b)

de calcul a m`rimilor n0 ]i p0.

4. Dac` ND = NA semiconductorul se nume]te compensat. n acesta caz n p n0 0= = . Tot

comportare intrinsec` are ]i semiconductorul cu ND ≠ NA la temperaturi mari, pentru care

(se are [n vedere cre]terea exponen\ial` cu temperatura a concentra\iei

intrinseci exprimat` prin rela\ia (2.6)).

( ) [n T max N , Ni >> ]D A

-3

5. Nivele energetice asociate impurit`\ilor donoare sau acceptoare sunt situate [n banda

interzis`, [n imediata vecinatate a BC respectiv BV (la distan\a de 2..3 Eth unde Eth = kT este energia

termic`). Aceste nivele energetice se numesc pu\in ad@nci pentru a le diferen\ia de nivelele ET

asociate trapelor pentru e-. Nivelele ET sunt situate [n preajma mijlocului benzii interzise.

6. Nivelul Fermi EF este situat [n general tot [n banda interzis`. Dac` EF este plasat la

distan\e mai mari de 3Eth de EC, respectiv EV [n interiorul benzii interzise atunci semiconductorul

este nedegenerat. n caz contrar semiconductorul este degenerat. Un semiconductor degenerat este

dopat cu concentra\ii mari de impurit`\i ( ). Astfel din rela\iile (2.8c ]i 2.9c) se

observ` c` pe m`sur` ce N

N N cmA*

D*, > ⋅5 1018

D ]i NA cresc, nivelul Fermi situat ini\ial [n banda interzis` (pentru

semiconductori nedegenera\i) se apropie de EC, respectiv EV iar pentru valori ale lui ND ]i NA

comparabile sau mai mari dec@t NC respectiv NV nivelul Fermi trece [n BC respectiv BV.

2.6 Fenomene de transport

Electronii ]i golurile, a]a cum au fost defini\i [n sec\iunea 2.3, sunt "particule libere" [n

sensul c` mi]carea lor [n semiconductor nu depinde de particularit`\ile re\elei cristaline. Influen\a

for\elor din cristal este [ncorporat` [n masele efective ]i care difer` de mmn* mp

*0 (masa e- liber) ]i

bine[n\eles valorile lor difer` de la un semiconductor la altul. Folosind legile fizicii statistice se

14

demonstreaz` c`, [ntocmai ca particulele libere "clasice", e- ]i e+ din semiconductori au o energie

termic`. n consecin\` aceste particule au, chiar [n condi\ii de echilibru termic, o mi]care haotic` [n

semiconductor. Viteza medie p`tratic` de deplasare a electronilor depinde de temperatur` prin

rela\ia

∗=n

th mkT32ν (2.10)

]i este cunoscut` ]i sub denumirea de vitez` termic`.

Pentru Si la 300K, νth ≅ 107 cm s .

Mi]carea e- ]i e+ este sinuoas`, purt`torii de sarcin` av@nd ciocniri frecvente at@t cu atomii

semiconductorului de baz` c@t ]i cu atomii de impuritate. n urma ciocnirilor e- []i pierd energia

cinetic` ]i []i modific` traiectoria astfel [nc@t, ei vor reveni practic la pozi\ia ini\ial` de mi]care. O

form` simplificat` a traiectoriei e- [n interiorul re\elei cristaline este prezentat` [n continuare:

Timpul mediu [ntre dou` ciocniri consecutive τcn, τcp are valori [ntre 10-12...10-10 s iar distan\a este de

ordinul a 100Å. Sensul deplas`rii e- ]i e+ se modific` [n urma ciocnirilor. Prin urmare, la echilibru

termic mi]carea termic` aleatorie a purt`torilor de sarcin` nu d` na]tere la un curent electric (⎯J=0).

Astfel dac` [ntr-un element de volum dat un grup de purt`tori se deplaseaz` [ntr-un sens, [n acela]i

timp un grup identic de al\i purt`tori se mi]c` [n sens invers.

Curentul electric prin semiconductor apare [n urm`toarele dou` situa\ii:

(a) - semiconductorul este sub inciden\a unui c@mp electric, caz [n care iau na]tere curen\ii

de c@mp;

(b) - semiconductorul este neuniform dopat; prin difuzia purt`torilor din zonele puternic

dopate cu impurit`\i spre zonele mai slab dopate apar curen\ii de difuzie.

Curen\ii de c@mp

Se consider` un semiconductor uniform dopat, plasat [ntr-un c@mp electric uniform rξ .

Acesta se ob\ine aplic@nd la capetele pl`cu\ei semiconductoare o tensiune continu` U. Datorit` lui

erξ - are o mi]care dirijat` [n sens invers de]i aceasta este afectat` de ciocniri.

n intervalele dintre ciocniri e- sunt accelera\i de c@mp cu

15

∗

−=

nn m

qa ξr

r (2.11)

produc@nd o cre]tere a vitezei [ntre coliziuni

∆r rν τn n ca= n (2.12)

dac` se consider` c` timpul mediu dintre ciocniri nu este modificat de prezen\a c@mpului electric.

Cre]terile de vitez` sunt anulate de ciocnirile cu re\eaua cristalin`. Ca urmare viteza medie de

deplasare a electronilor sub ac\iunea c@mpului electric (denumit` vitez` de drift) este

ξτν

νrr

r∗−=

∆=

n

cnn

mq22

(2.13a)

Rela\ia de mai sus indic` propor\ionalitatea dintre viteza e- ]i c@mpul electric

, r rν µ ξn n= −

∗=

n

ncn m

q2

,τµ

p p=

(2.13b)

factorul de propor\ionalitate µn fiind denumit mobilitatea electronilor.

n mod similar pentru goluri se ob\ine

, r rν µ ξ ∗

=p

pcp m

q2

,τµ (2.13c)

unde µp este mobilitatea golurilor.

n deducerea acestor ecua\ii s-au utilizat legile mecanicii clasice.

Fig. 2.12.a indic` mi]carea electronului [n semiconductor sub ac\iunea c@mpului electric [n

conformitate cu descrierea f`cut` [n acest paragraf.

Fig. 2.12

16

n fig 2.12b se prezint` deplasarea e- pe diferite nivele din BC. n prezen\a c@mpului electric

constant ⎯E nivelele energetice din BC ]i BV variaz` liniar (problema ).

Dup` cum se ]tie electronii au tendin\a natural` de deplasare c`tre energii mai reduse. n

urma ciocnirilor, e- pierde toat` energia cinetic` ]i revine pe nivelul EC care corespunde energiei

sale poten\iale. Dac` are valori reduse, energia cinetic` pierdut` de erξ - ]i cedat` re\elei cristaline

este suficient de mic` pentru a nu [nc`lzi apreciabil re\eaua.

Trebuie s` se precizeze c` viteza de drift rνn sau

rν p nu poate fi atribuit` [n nici un moment

unui anumit purt`tor. Purt`torii de sarcin` se deplaseaz` [n direc\ii aleatoare cu viteze termice mult

mai mari dec@t vitezele de drift. Traiectoriile lor dintre ciocniri sunt distorsionate de for\a produs`

de c@mp. Efectul net al acestor distorsiuni, mediat pe mai mul\i purt`tori, poate fi reprezentat ca o

mi]care de agita\ie termic`. Aceasta neproduc@nd nici un curent este suprimat`, prin urmare fiecare

purt`tor se mi]c` cu viteza de drift, a]a cum este ilustrat schematic [n fig. 2.12.

Densitatea curentului de electroni creat de c@mpul electric (num`rul de e-, cu sarcina (-q), ce

se deplaseaz` [n unitatea de timp prin unitatea de suprafa\`) este

(2.14a) ( )r r rJ q n qnn c n n, = − =ν µ ξ

rJn c, are acela]i sens cu

rξ de]i electronii se deplaseaz` [n sens invers. Similar pentru densitatea

curentului de goluri se poate scrie

(2.14b) ξµνrrr

ppcp qpqpJ ==,

Densitatea curentului de c@mp este

r r rJ J Jc n c p c= +, , ( ),

r r rJ q n pc n p= + =µ µ ξ ξ

1ρ

(2.15a)

unde

( )ρµ µ

=+1

q n pn p

(2.15b)

este rezistivitatea semiconductorului.

Rela\ia (2.15a) exprim` legea lui Ohm pentru semiconductori. n cazul semiconductorilor

extrinseci [n expresia (2.15b), la numitor, conteaz` numai unul din termeni din cauza diferen\elor

apreciabile dintre concentra\iile de e- ]i e+ (problema ).

Mobilitatea electronilor ]i golurilor

A]a cum s-a ar`tat la intensit`\i reduse ale c@mpului electric, vitezele de drift cresc

propor\ional cu c@mpul, cu un factor denumit mobilitate (vezi rela\iile (2.13)).

Mobilitatea este un parametru de material deci µn ]i µp depind de natura semiconductorului

prin intermediul maselor efective . n tabelul 2 sunt indicate mobilit`\ile e- ]i e+, la 300K, pentru

17

trei materiale semiconductoare slab dopate (concentra\ia total` de impurit`\i este mai mic` dec@t

1015 cm-3).

Tabelul 2.

Semiconductorul µn cmV s

2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ µp cm

V s

2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Si 1250 500

Ge 3900 1900

GaAs 8500 400

Valorile mobilit`\ilor depind, de asemenea, de concentra\ia total` de impurit`\i

( ). ntr-adev`r atomii de impuritate ioniza\i contribuie al`turi de vibra\iile re\elei

cristaline la stabilirea traiectoriilor de mi]care ale purt`torilor mobili. C@nd e

N N NT D= + A

- sau e+ trece pe l`ng`

un ion fix sufer` o deviere a traiectoriei sale, ceea ce perturb` deplasarea ordonat` a purt`torilor de

sarcin` pe direc\ia c@mpului ]i ca urmare, mobilitatea scade. Deci µn ]i µp se mic]oreaz` prin

cre]terea concentra\iei totale de impurit`\i a]a cum se ilustreaz` pentru Si, la 300K [n fig. 2.13.

Fig. 2.13

Trebuie reamintit c`, spre deosebire de mobilit`\i care depind de , concentra\iile de

electroni ]i goluri sunt stabilite de concentra\ia net` de impurit`\i (

N ND + A

N ND A+ ).

Observa\ia este important` pentru semiconductorii compensa\i caracteriza\i prin mobilit`\i

mult mai reduse [n compara\ie cu cei necompensa\i ]i av@nd acelea]i concentra\ii de e- ]i e+.

18

Temperatura este o alt` m`rime ce influenteaz` apreciabil mobilit`\ile. La concentra\ii

reduse de impurit`\i c@nd determinante sunt ciocnirile cu atomii semiconductorului de baz`, µn ]i µp

scad cu temperatura, , unde m ≅ 2,5. Prin cre]terea temperaturii vibra\iile re\elei se

intensific`, probabilitatea ciocnirilor cu re\eaua cristalin` cre]te, τ

µn pm, Tµ ≈ −

c,n ]i τc,p scad ]i conform rela\iilor

(2.13) mobilit`\ile se mi]coreaz`.

C@nd ciocnirile cu atomii de impuritate sunt preponderente (la concentra\ii mari de

impurit`\i), µn ]i µp cresc cu temperatura:

µn pm, Tµ ≈ ′ , m' ≅ 1,5. ntr-adev`r prin m`rirea temperaturii viteza termic` a e- ]i e+ cre]te, timpul

c@t un purt`tor mobil r`m@ne [n vecin`tatea unui atom de impuritate ionizat scade ]i ca urmare

efectul de [mpr`]tiere produs de ion se reduce. n consecin\` prin cre]terea lui T, mobilit`\ile e+ ]i e-

cresc.

n cazul Si, cu o concentra\ie de impurit`\i ce variaz` [ntr-o gam` uzual` (NT = 1014.....1019

cm-3) ]i la temperaturi normale de lucru ([ntre 290 ]i 400K) mobilit`\ile scad cu temperatura.

De observat c` indiferent de natura semiconductorului, concentra\ia de impurit`\i sau

temperatur` electronii sunt mai mobili dec@t golurile (µn>µp). Prin urmare dispozitivele ce lucreaz`

pe baz` de electroni sunt mai rapide dec@t cele care lucreaz` cu goluri.

n [ncheierea acestei sec\iuni trebuie ar`tat c` propor\ionalitatea dintre vitezele de drift ]i

c@mpul electric (rela\iile (2.13)) nu mai este valabil` la c@mpuri intense, c@nd νn ]i νp devin

comparabile cu νth. n aceste condi\ii energia c@]tigat` de purt`torii mobili de c@mp are valori

apropiate de energia termic` ]i nu mai este cedat` integral re\elei [n procesul de ciocnire. Mi]carea

e- ]i e+ sub ac\iunea c@mpului electric nu mai poate fi analizat` separat de mi]carea de agita\ie

termic`, deci modelul propus la [nceputul acestui paragraf []i pierde valabilitatea.

Fig. 2.14 prezint` dependen\a experimental` a vitezelor de drift de c@mpul electric pentru

Si, la 300K. P@n` la valori de 3⋅103 V/cm pentru e-, respectiv 6⋅103 V/cm pentru e+, νn ]i νp cresc

liniar cu ξ respect@nd rela\iile (2.13).

19

Fig. 2.14

La c@mpuri foarte intense (ξ > 3⋅104 V/cm) vitezele de drift tind s` se satureze la valorile

νn,e, respectiv νp,e care sunt comparabile cu viteza termic`. Energia cinetic` a electronilor la c@mpuri

intense devine semnificativ` ceea ce face ca temperatura lor s` dep`]easc` temperatura re\elei. n

acest caz electronii sunt denumi\i electroni fierbin\i.

Rezistivitatea

A]a cum s-a mai remarcat rezistivitatea este una dintre cele mai importante caracteristici ale

materialelor semiconductoare. Valorile ei sunt precis controlabile prin procesul tehnologic de

impurificare. n fig. 2.15 se prezint` dependen\a rezistivit`\ii de concentra\ia de impurit`\i

acceptoare sau donoare pentru Si, la 300K.

20

Fig. 2.15

Reprezentarea la scar` dublu logaritmic` \ine cont de:

a) rela\ia (2.15b) ;

b) dependen\a concentra\iilor de e- ]i/sau e+, precum ]i a mobilit`\ilor µn ]i /sau µp de ND ]i/sau NA

(fig. 2.13).

Rezistivitatea semiconductorilor este puternic dependent` de temperatur` a]a cum se

ilustreaz` (calitativ) [n fig. 2.16.

Fig.2.16

n zona I a curbei rezistivitatea scade cu temperatura datorit` cre]terii concentra\iilor de

purt`tori majoritari prin procesul de ionizare a impurit`\ilor. Pe por\iunea a II-a din curb`, ce

cuprinde ]i temperaturile uzuale de lucru, concentra\iile de majoritari sunt practic constante, dar

conteaz` sc`derea mobilit`\ii ceea ce determin` o cre]tere u]oar` a rezistivit`\ii cu temperatura.

La temperaturi ridicate (por\iunea a III-a) are loc o nou` cre]tere a concentra\iilor de

purt`tori datorit` gener`rii de perechi electron-gol prin ruperea de leg`turi covalente; se explic`

astfel sc`derea apreciabil` a rezistivit`\ii cu temperatura [n aceast` zon`.

Curen\ii de difuzie

n semiconductorii caracteriza\i prin concentra\ii neuniforme de electroni sau goluri apare

tendin\a natural` a uniformiz`rii distribu\iei lor. Acest fenomen de difuzie a e- sau e+ d` na]tere

curen\ilor de difuzie.

21

Pentru exprimarea cantitativ` a curen\ilor de difuzie se consider`, mai [nt@i pentru

simplitate, o bar` semiconductoare caracterizat` de-a lungul ei (pe direc\ia x) de o distribu\ie

neuniform` de electroni ca [n fig. 2.17.

Fig. 2.17

Temperatura [n bar` este constant` ]i ca urmare electronii au o mi]care de agita\ie termic` cu viteza

νth dat` de (2.10).

Fluxul de electroni (num`rul de electroni ce traverseaz` [n unitatea de timp o suprafa\` egal`

cu unitatea normal` pe direc\ia x) ce difuzeaz` de la st@nga la dreapta planului x = 0 este

( ) thnc Vn ,021 λ− n aceast` rela\ie ncthnc ,, τνλ = reprezint` drumul liber mijlociu al e- [ntre dou`

ciocniri consecutive iar q

kTVth = este tensiunea termic`. Factorul 12

apare [n expresia fluxului

deoarece jum`tate din concentra\ia de electroni de la x c n= −λ , difuzeaz` spre st@nga ]i cealalt`

jum`tate spre dreapta.

Similar fluxul de e- ce traverseaz` planul x = 0 venind dinspre dreapta depinde de

concentra\ia de electroni de la ]i este x c n= λ , ( ) thnc Vn ,021 λ . Fluxul de e- ce difuzeaz` de la st@nga

spre dreapta la planul x = 0 va fi

( ) ([ ncncthn nnF ,0,021 λλν −−= )] (2.16a)

Dac` [n jurul originii ([ntre planele x c n= −λ , ]i ncx ,λ= ) se presupune o varia\ie liniar` a

concentra\iei de electroni de forma

22

( ) ( )n x n dndx

x0 000= + (2.17)

va rezulta din (2.16a) pentru Fn expresia

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxdnVF ncthn ,λ (2.16b)

|in@nd cont de leg`tura dintre drumul liber mijlociu ]i timpul mediu dintre ciocniri precum

]i de rela\iile (2.10) ]i (2.13) se ob\ine

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxdnD

dxdnVF nnthn µ (2.16c)

unde

nthn VD µ= (2.18a)

este constanta de difuzie pentru electroni.

Densitatea curentului de difuzie de e- va fi

( )J q F qD dndxn d n n, = − = (2.19a)

Generaliz@nd pentru un semiconductor caracterizat de o distribu\ie neuniform` pe toate

direc\iile a concentra\iei de electroni, densitatea curentului de difuzie de electroni va avea expresia

(2.19b) ( )r rJ q F qDn d n n n, = − = ∇

Proced@nd similar pentru densitatea curentului de goluri rezult`

( )r rJ qF qDp d p p p, = = −∇ (2.19c)

unde

pthp VD µ= (2.18b)

este constanta de difuzie pentru goluri iar ∇n ]i ∇p sunt gradien\ii concentra\iilor de e- ]i e+.

Rela\iile (2.18) sunt cunoscute sub denumirea de rela\iile lui Einstein. Ele exprim` leg`tura

dintre constantele de difuzie ]i mobilit`\i, leg`tur` ce subliniaz` faptul c` difuzia ]i driftul sunt

manifest`ri ale mi]c`rii de agita\ie termic` a purt`torilor, deci nu sunt fenomene independente.

Deducerea riguroas` a rela\iilor lui Einstein (mai sus s-a preferat o variant` intuitiv`) se poate face

prin examinarea implica\iilor de ordin statistico-mecanic pe care le are situa\ia de echilibru [ntr-un

semiconductor neuniform dopat.

Trebuie re\inut c` procesul de difuzie nu are nimic de a face cu faptul c` e- ]i e+ sunt

purt`tori de sarcin`. Difuzia are loc pur ]i simplu datorit` faptului c` num`rul de purt`tori care (ca

rezultat al mi]c`rii de agita\ie termic`) au componentele de vitez` dirijate dinspre regiunea de [nalt`

concentra\ie c`tre regiunea de concentra\ie mai mic` este mai mare dec@t num`rul de purt`tori care

au vitezele dirijate [n sens opus.

23

De asemenea este important de re\inut c` fluxul de particule ce rezult` [n urma difuziei

depinde de gradientul concentra\iei de purt`tori ]i nu de concentra\ia propriu-zis`.

Difuzia st` la baza comport`rii fizice a majorit`\ii dispozitivelor semiconductoare. Acest

fenomen nu este prezent [n metale unde nu se pot realiza concentra\ii neuniforme de e- ; orice

tendin\` de neuniformizare a distribu\iei electronilor este anihilat` rapid datorit` rezistivit`\ii foarte

sc`zute a metalelor.

Ecua\iile curen\ilor [n semiconductoare

Densitatea curentului total [ntr-un semiconductor are dou` componente

r r rJ J Jn= + p (2.20a)

datorate celor dou` tipuri de purt`tori mobili: electronii ]i golurile. La r@ndul lor fiecare din

densit`\ile ]i rJn

rJp au c@te dou` componente: de drift datorat` c@mpului electric, respectiv de

difuzie. Conform rela\iilor (2.14) ]i (2.19) rezult`

(2.21a) r r r rJ J J qn qDn n c n d n n= + = + ∇, , µ ξ n

(2.21b) pqDqpJJJ ppdpcpp ∇−=+= ξµrrrr

,,

n cazul [n care c@mpul electric este variabil [n timp, ( )r rξ ξ= t rela\ia (2.20a) va include ]i

termenul corespunz`tor densit`\ii curentului de deplasare

( ) ( ) ( )r r r

r

j t j t j ttn p s= + + ε

δξδ

(2.20b)

unde εs este permitivitatea semiconductorului iarr r rj, j , jp n sunt func\ii de timp.

Expresiile (2.20) ]i (2.21) eviden\iaz` diferen\ele care apar [n procesul de conduc\ie a

curentului electric la semiconductori [n raport cu metalele. La metale conduc\ia se datoreaz` numai

electronilor de conduc\ie (nu exist` curent de goluri). De asemenea curentul de e- la metale con\ine

numai componenta de drift datorat` c@mpului electric ( cnn JJJ ,

rrr== ).

2.7 Generarea ]i recombinarea e- ]i e+

n condi\ii de echilibru, concentra\iile purt`torilor mobili de sarcin` n0 ]i p0 sunt determinate

numai de concentra\iile de impurit`\i ]i de temperatur` (prin ( )n Ti2 , vezi paragraful (2.5)). C@nd

echilibrul este perturbabil, concentra\iile de e- ]i e+ se pot modifica semnificativ fa\` de n0 respectiv

p0. Diferen\ele n - n0 ]i p - p0 pot fi pozitive (concentra\ii [n exces) sau negative (deficit de

purt`tori). Cum aceste diferen\e reprezint` abateri de la starea de echilibru, [n mod natural se nasc

mecanisme fizice care tind s` restabileasc` starea de echilibru.

24

Mai precis, ori de c@te ori exist` un deficit de purt`tori mobili (n-n0 ]i p-p0 sunt negative)

apare fenomenul de generare de perechi (e-, e+) prin ruperea leg`turilor covalente. C@nd n - n0 ]i p -

p0 sunt pozitive corespunz@nd unor concentra\ii de purt`tori mai mari dec@t valorile de echilibru,

purt`torii [n exces au tendin\a de a se recombina, deci de a dispare prin anihilare reciproc`. Astfel e-

de conduc\ie ocup` din nou locurile libere din leg`turile covalente nesatisf`cute ]i prin aceasta

dispar [mpreun` cu un num`r egal de e+.

Ratele de desf`]urare ale mecanismelor de generare/recombinare, [n sensul num`rului de

particule (e- sau e+) care se genereaz`/recombin` [n unitatea de volum ]i [n unitatea de timp se

numesc viteze de generare/recombinare ]i se noteaz` cu . Vitezele nete de recombinare

se definesc prin rela\iile:

g ,g , r , rn p n p

(2.22a) R r gn n= − n

p (2.22b) R r gp p= −

Energetic vorbind procesele de generare/recombinare reprezint` trecerea e- de pe un nivel

energetic pe altul (fig. 2.18).

Fig. 2.18

Generarea unui e- (fig. 2.18a) [nseamn` venirea unui e- [n BC. Electronul poate sosi: (i) -

din BV (generare band`-band` sau direct`) sau (ii) - de pe un nivel de energie Et situat [n banda

interzis` (generare indirect`).

Generarea unui e+ (fig. 2.18b) [nseamn` p`r`sirea de c`tre un e- a BV. Electronul poate

trece: (i) - [n BC (generare direct`) sau (ii) - pe nivelul Et din banda interzis` (generare indirect`).

25

Recombinarea unui e- (fig. 2.18c) este procesul invers gener`rii de e-, deci const` [n

p`r`sirea de c`tre un electron a BC. Electronul poate trece: (i) - [n BV (recombinare band`-band`

sau direct`) sau (ii) - pe nivelul Et (recombinare indirect` prin centrii de recombinare).

Recombinarea unui e+ (fig. 2.18d) const` [n venirea unui e- [n BV. Electronul poate veni:

(i) - din BC (recombinare direct`) sau (ii) - de pe un nivel Et din banda interzis` (recombinare

indirect`).

Cele de mai sus scot [n eviden\` dou` modalit`\i de desf`]urare a proceselor de

generare/recombinare. Cea mai simpl` posibilitate este generarea/recombinarea direct` (band`-

band`) care se desf`]oar` prin trecerea direct` a e- din BV [n BC ]i invers. Acest mecanism este

foarte pu\in probabil [n cazul Si.

Al doilea mecanism, predominant la Si, este generarea/recombinarea indirect` care se

desf`]oar` prin intermediul centrilor de recombinare. Centrii de recombinare provin din

imperfec\iuni ale re\elei cristaline. Este vorba fie de atomi str`ini (de exemplu atomi de Au, ce

ocup` pozi\ii intersti\iale [ntre atomii semiconductorului de baz`) fie defecte ale re\elei de tipul

disloca\iilor, de pild`.

Centrilor de recombinare li se asociaz` nivele energetice ad@nci Et situate [n vecin`tatea

mijlocului benzii interzise. Ei ac\ioneaz` ca trepte intermediare [n tranzi\ia e- [ntre BC ]i BV.

Astfel centrii de recombinare pot emite e- spre BC (fig. 2.18a) sau BV (2.18d) sau pot capta e- veni\i

din BC (fig. 2.18c) sau BV (fig. 2.18b). Trebuie precizat c` at@t centrii de recombinare c@t ]i

impurit`\ile donoare/acceptoare introduc nivele energetice situate [n BI. Diferen\a const` [n faptul

c` nivelele energetice introduse de impurit`\i sunt superficiale deoarece ED ]i EA sunt situate [n

vecin`tatea BC respectiv BV.

Procesul indirect de generare/recombinare prin centrii de recombinare este descris

satisf`c`tor de modelul Schockley-Read-Hall (dup` numele autorilor). Conform acestui model care

presupune un singur nivel Et pentru centrii de recombinare, viteza net` de recombinare este aceia]i

pentru e- respectiv e+ ]i are expresia

( )

U R RN pn n

n n E EkT

p n E EkT

n pp n th t i

n it i

p ii t

= = =−

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

σ σ ν

σ σ

2

exp exp (2.23a)

unde Nt este concentra\ia centrilor de recombinare, Ei nivelul Fermi intrinsec, iar σn ]i σp sec\iunile

eficace de captur` pentru e-, respectiv e+.

Din analiza rela\iei (2.23a) se desprind o serie de concluzii. Mai [nt@i se observ` c` [n cazul

echilibrului termic ( ), viteza net` de recombinare este nul` U = 0; aceasta [nseamn`

c` g

pn p n n0 0 i2= =

n = rn ]i gp = rp,unde rn(gn) ]i rp(gp) pot avea ]i valori nenule.

26

n al doilea r@nd se constat` c` viteza net` de recombinare este maxim` atunci c@nd nivelul

energetic al centrilor de recombinare este plasat aproximativ la mijlocul benzii interzise (Et = Ei).

Pentru a explica fizic acest lucru se consider`, de exemplu, Et plasat deasupra lui Ei, aproape de BC.

n aceste condi\ii dup` procesul de captur` a unui e- din BC este mult mai probabil` emiterea din

nou [n BC dec@t [n BV deoarece Ec - Et < Et - Ev. Recombinarea e]ueaz` [n aceast` eventualitate.

Similar dac` Et este plasat sub Ei aproape de BV, atunci este pu\in probabil ca s` aib` loc procesul

de captur` a e- din BC, recombinarea f`c@ndu-se [n acest caz doar prin trecerea direct` a e- din BC

[n BV.

n sf`r]it rela\ia (2.22a) se simplific` [n cazul unui semiconductor extrinsec la care abaterile

de la echilibru sunt mici. Se presupune, de exemplu, pentru un semiconductor de tip n la care sunt

[ndeplinite condi\iile

(i) n n (semiconductorul este la un nivel mic de injec\ie) ]i p pn n n n≅ >> >0 0

(ii) n nE E

kTn it i>>−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟exp

expresia (2.22a) devine

Rp p

pn n

p

≅−

0

τ, τ

σ νpp th tN

=1

(2.22b)

unde τp este timpul de via\` al golurilor [n exces (problema ).

n cazul unui semiconductor de tip p, [n condi\ii similare

Rn n

np p

n

=−

0

τ, τ

σ νnn th tN

=1

(2.22c)

[n care τn este timpul de via\` al electronilor [n exces.

Observa\iile desprinse din analiza rela\iilor (2.22) descriu realitatea fizic` conform c`reia un

semiconductor aflat la neechilibru []i dezvolt` mecanisme care tind s`-l readuc` la echilibru. Pe

baza acestor observa\ii se poate da o form` simpl` pentru vitezele nete de recombinare ]i anume

R n nn

n

=− 0

τ (2.23a)

R p pp

p

=− 0

τ (2.23b)

2.8 Ecua\iile de baz` ale dispozitivelor semiconductoare (Schockley)

27

Majoritatea dispozitivelor semiconductoare pot fi descrise de 3 seturi de ecua\ii liniare ]i

diferen\iale, [n care trebuie precizate condi\iile la limit`, condi\iile ini\iale ]i datele tehnologice

(dopare, de exemplu).

Ecua\iile vor fi particularizate pentru cazul unidimensional. Acesta corespunde unei bare

semiconductoare a c`rei lungime este mult mai mare dec@t dimensiunile sec\iunii perpendiculare pe

axa Ox. Se consider` de asemenea c` propriet`\ile fizice punctuale sunt acelea]i, doar valoarea

m`rimilor studiate Jrrr

,,Φξ difer` de la un punct la altul pe direc\ia x.

1. Ecua\iile de curent

Este vorba despre ecua\iile descrise [n paragraful 2.6.2 (]i anume 2.20 a,b ]i 2.21 a,b)

referitoare la densit`\ile de curent de e- ]i e+. Dac` vom particulariza ecua\iile 2.20b ]i 2.21b pentru

cazul unidimensional atunci se ob\in urm`toarele ecua\ii:

)(dxdnDnqJ nnn += ξµ (2.20c)

)(dxdpDpqJ ppp −= ξµ (2.21c)

2. Ecua\iile de continuitate exprim` varia\ia concentra\iei de purt`tori mobili [n unitatea de timp

Ln

n Gnn

dxdJ

qdtdn

−−

+=−τ

01 (2.24a)

Lp

p Gpp

dxdJ

qdxdp

−−

+=−τ

01 (2.24b)

unde GL este viteza de generare.

De asemenea trebuie precizat c` [ntr-o unitate de volum egal` cu 1 cm3 ]i o unitate de timp egal` cu

1 s num`rul de e- respectiv de e+ poate varia datorit`:

i) trecerii unui curent prin volumul considerat (rela\iile 2.24)

ii) fenomenelor de generare/recombinare interne (rela\iile 2.24 prin termenii n

nnτ

0−]i

p

ppτ

0−)

iii) fenomenului de generare extern` de perechi (e-, e+) caracterizat de viteza de generare GL

4.Ecua\ia Poisson

)(2

2

ADs

NnNpqdxd

dxd

−−+==−ε

ξφ

unde φ ]i ξ sunt poten\ialul respectiv c@mpul electric creat [n semiconductor de sarcina electric`.

Aceasta este compus` din:

• sarcina mobil` de concentra\ii p respectiv n

• sarcina fix` datorat` ionilor de impuritate pozitivi (negativi) de concentra\ii ND ( NA)

28

Semnul minus din expresia ecua\iei Poisson se datoreaz` sarcinii negative a ionilor de impuritate

]i/sau a electronilor.

29