Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΜια σύντομη αναφορά

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

η προϊστορία• Ο άνθρωπος βρίσκεται πάνω στη γη για

περίπου 1.000.000 χρόνια. Για να καταλάβουμε τα μεγέθη που θα αναφέρουμε αρκεί να πούμε ότι ο Όμηρος στην Ιλιαδα αναφέρεται σε γεγονότα που συνέβησαν πριν 3200 χρόνια (το 1200 π.χ) και ο αυτός είναι από τους αρχαιότερους πολιτισμούς που άφησε γραπτά .

η προϊστορία• Χρονικά και ανάλογα με την

χρησιμοποίηση των υλικών από τους ανθρώπους σε σχέση πάντα με το χώρο και τον χρόνο, η προϊστορία της Ευρώπης χωρίζεται σε δυο κύριες εποχές:

• την εποχή του Λίθου με τεράστια χρονική διάρκεια (από το 1.000.000 ως και το 3000 π.Χ.) και την εποχή των Μετάλλων (από το 3000 και κάτω)

Η εξέλιξη των μαθηματικών• Ο Homo sapiens (300.000 χρόνια πριν)

κάνει μια μικρή αρίθμηση με κλαδιά• Ο Homo sapiens sapiens (100.000

χρόνια πριν) χρησιμοποιεί κάποιες αριθμητικές λέξεις.

• Οι κυνηγοί - τροφοσυλλέκτες (70.000-20.000 χρόνια πριν) καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση. Το μοίρασμα της τροφής τους σημαίνει ότι κατανοούσαν τη διαίρεση.

Ο πολιτισμένος άνθρωπος• Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής

βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το 35.000 π.Χ.

Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου.

Ο πολιτισμένος άνθρωπος

• Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήματα είναι το αποκαλούμενο κόκαλο Ισάνγκο, που βρέθηκε στις όχθες της λίμνης Έντουαρντς, ανάμεσα στην Ουγκάντα και το Κονγκό. Έχει χρονολογηθεί το 20.000 π.Χ. και μοιάζει να είναι κάτι παραπάνω από πίνακας θηραμάτων. Μικροσκοπική ανάλυση αποκάλυψε πρόσθετες εγκοπές, οι οποίες μπορούν να συσχετισθούν με τις φάσεις της σελήνης.

Ο πολιτισμένος άνθρωπος

Οι άνθρωποι από πολύ νωρίς ένοιωσαν την ανάγκη να μετρήσουν τον πληθυσμό της κοινότητας, του χωριού , της πόλης τους. Να μετρήσουν τη γη τους, τα προϊόντα, τα εμπορεύματά τους.Γι’ αυτό χρησιμοποίησαν κατ’ αρχήν τα δάχτυλα των χεριών τους (αργότερα τα ψηφία ονομάστηκαν digitαls από το λατινικό digiti= δάχτυλο).Δεν είναι τυχαίο ότι τα ψηφία του δεκαδικού μας συστήματος είναι 10, όσα και τα δάχτυλά μας.

Πότε εμφανίζεται το μηδέν.

Το μηδέν στην αρίθμηση δεν υπήρχε σα σύμβολο πάντα. Όμως οι άνθρωποι έπρεπε κάπως να συμβολίσουν το κενό.Οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν το μηδέν ήταν οι Μάγια, τέσσερις αιώνες πριν αναπτυχθεί το δικό μας σύγχρονο σύστημα, και μια ολόκληρη χιλιετία πριν το ινδοαραβικό σύστημα υιοθετηθεί από την Ευρώπη. Το μηδέν συμβολικά εμφανίζεται για πρώτη φορά σε γραπτό κείμενο των Ινδών το 876 μ.Χ .

2500 π.Χ. Οι Σουμέριοι

Οι Σουμέριοι ζύγιζαν, υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ», μετρούσαν τα υγρά σε «κα», χρησιμοποιούσαν τα κλάσματα , είχαν σύστημα αριθμών με βάση το 60. Η αριθμητική τους βασιζόταν στην αφηρημένη αρίθμηση και φαίνεται ότι γνώριζαν τις τέσσερις βασικές πράξεις της αριθμητικής.

Σουμεριακή σφηνοειδής επιγραφή του 26ου αιίωνα π.χ. με κατάλογο δώρων στην αρχιέρεια Αντάμπ.

2.000-538 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι • Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό

επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας, μεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων.

• Το Πυθαγόρειο θεώρημα το είχαν ανακαλύψει και οι Βαβυλώνιοι τον 16ο π.Χ. αιώνα (1.000 χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα!!!).

2.000-538 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι • Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις

τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου (π=3 αντί π=3,14).

2.000-538 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι • Το αριθμητικό τους σύστημα είχε ως βάση το 60 , χωρίς

υποδιαστολή και χωρίς μηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα.

• Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Διαίρεσαν την ημέρα σε 24 ώρες , την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα . Από το 2000 π. Χ . χρησιμοποιούσαν ημερολόγιο 360 ημερών , διαιρεμένο σε 12 μήνες των 30 ημερών. Επίσης , διαίρεσαν τον κύκλο σε 360 μοίρες , πιθανόν εξαιτίας των 360 ημερών του έτους τους .

Έτσι π.Χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.

5000-332 π.Χ. Οι Αιγύπτιοι Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν

σύστημα αριθμών με βάση το 10. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, επαναληπτικό, μη θεσιακό.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν ένα ημερολόγιο με 12 μήνες των 30 ημερών και ένα κουτσουρεμένο μήνα των 5 ημερών.

5000-332 π.Χ. Οι Αιγύπτιοι Οι Αιγύπτιοι γνώριζαν τους

θετικούς ακέραιους και τα θετικά μοναδιαία κλάσματα

Οι Αιγύπτιοι εκτελούσαν πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις και επίσης υπολόγιζαν εμβαδά κανονικών σχημάτων , όπως τριγώνων και τραπεζίων, καθώς και τους όγκους κυλίνδρων και πυραμίδων.

2852 π.Χ. Οι κινέζοι

• Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το 60. Κάνανε αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Οι κινέζοι γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθμούς και το π.. Τα μαθηματικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων.Το παλαιότερο κινέζικο μαθηματικό κείμενο είναι το Τσόου Πέϊ Σαουντσινγκ, που γράφτηκε μεταξύ του 500 και του 200 π.Χ.

1410-1530 μ.Χ. Οι Ίνκας

• Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους (Μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσμό 6-12.000.000 άτομα). Το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα κουιπού. Τα κουιπού ήταν περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών.

1410-1530 μ.Χ. Οι Ίνκας

• Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους.

• Οι Ίνκας, όπως και οι Μάγια, χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα θέσης-τιμής που συμπεριλάμβανε το μηδέν.

9000 π.Χ.-1000 μ.Χ. Οι Μάγια

Οι παλαιότεροι αριθμοί των Μάγια εμφανίζονται πάνω σε μνημεία γύρω στο 400 μ.Χ.Το σύστημα αρίθμησης των Μάγια είχε ως βάσητο 20, επρόκειτο δηλαδή για εικοσαδικό σύστημαπου οφείλεται ενδεχομένως στη χρήση των δαχτύλων τόσο των χεριών όσο και των ποδιών, για τη στοιχειώδη μέτρηση. Το σύστημά τους περιλάμβανε τόσο τιμές θέσης όσο και το μηδέν. (τέσσερις αιώνες πριν αναπτυχθεί το δικό μας σύγχρονο σύστημα, και μια ολόκληρη χιλιετία πριν το ινδοαραβικό σύστημα υιοθετηθεί από την Ευρώπη.)

Οι Μάγια

Οι Μάγια είχαν δύο ημερολόγια. Το πρώτο, το «Τζόλκιν», ήταν θρησκευτικό και αποτελούταν από 260 μέρες. Περιλάμβανε 13 μήνες των 20 ημερών. Το δεύτερο, το «αστικό» ημερολόγιο, ονομαζόταν «Χάαμπ» και ήταν ένα ηλιακό ημερολόγιο 635 ημερών. Είχε 18 μήνες των 20 ημερών και έναν μικρό μήνα των 5 ημερών (αποφράδες μέρες).

3000 π.Χ.-700 μ.Χ. Οι Ινδοί Σκέφτηκαν η αξία κάθε συμβόλου να καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό (θεσιακό σύστημα). Με τον τρόπο αυτό μπορούσαν να κάνουν περίπλοκες προσθέσεις χωρίς τον άβακα, γράφοντας απλώς τουςαριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλον .Κάτι έπρεπε να υπάρχει όμως για να αντιστοιχεί σε μια κενή στήλη, έτσι οι Ινδοί εφεύραν το μηδέν. Το μηδέν ήταν μια ιδιοφυής ιδέα που άλλαξε τον κόσμο .

3000 π.Χ.-700 μ.Χ. Οι Ινδοί

Οι τεχνικές των αλγεβρικών υπολογισμών ήταν γνωστές στην Ινδία από πολύ παλιά, οι τεχνικές της Άλγεβρας και των Αλγόριθμων, της τετραγωνικής και κυβικής ρίζας, ήταν γνωστές από τότε .Οι Ινδοί έχουν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, το οποίο χρησιμοποιείται παγκοσμίως και το οποίο διέδωσαν οι Άραβες.

600 π.Χ. – 300 μ.Χ. Οι Έλληνες• Τα επιτεύγματα των Ελλήνων, για 1000 χρόνια

επισκιάζουν όλα τα πνευματικά επιτεύγματα των επόμενων 1500 ετών. Οι Έλληνες όμως στηρίχτηκαν στις παλαιότερες αρχαίες κοινωνίες των Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων.

Οι Έλληνες• Χρησιμοποιούσαν το

δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Επίσης δε χρησιμοποιούσαν το μηδέν και τα κλάσματα. Οι Έλληνες θεμελίωσαν τη γεωμετρία ως μια αμιγώς μαθηματική ενασχόληση: διατύπωσαν και απέδειξαν θεωρήματα.

Ο ΘΑΛΗΣ

• Ο Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.Χ.) Οι γραμμές για το Θαλή δεν ήταν κάτι που μπορείς να δεις στην άμμο, αλλά ήταν αντικείμενα σκέψης στη φαντασία μας. Πήρε φυσικά σχήματα και τα έκανε νοητικά σχήματα. Όλα αυτά ήταν επανάσταση για την εποχή του.Επίσης έκανε λογικές απαγωγές, που τον οδήγησαν από τη μία αλήθεια που αφορούσαν τα θεωρητικά σχήματά του στην ανακάλυψη κι άλλων αληθειών, αυτό επηρέασε τη Δυτική σκέψη για 2.000 έτη.

Ευκλείδης - Πυθαγόρας

• Το πρώτο Ελληνικό μαθηματικό βιβλίο (σε παπύρους) είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη (300 π.Χ.)

• Ο Πυθαγόρας (580-500 π.Χ.) υπήρξε ο σπουδαιότερος μαθηματικός όλων των εποχών. Αυτός έπλασε τη λέξη μαθηματικά, δηλαδή εκείνο που έχουμε μάθει. Ο Πυθαγόρας μεταμόρφωσε την επιστήμη των μαθηματικών σε στοιχείο ελεύθερης μόρφωσης.

3000 π.Χ.-700 μ.Χ. Οι Άραβες Οι Άραβες μαθηματικοί οικειοποιήθηκαν τις Ινδικές Μαθηματικές γνώσεις στις οποίες έδωσαν το όνομα ‘Αl Jabr’ που σημαίνει επανένωση των σπασμένων μερών και από εκεί προήλθε και η λέξη Άλγεβρα . Δημιούργησαν την Άλγεβρα, την Συνδυαστική, την Τριγωνομετρία. Οι Άραβες ήταν αυτοί που διατήρησαν τη γνώση των αρχαίων Ελλήνων και την μετέδωσαν στην Ευρώπη που την ανακάλυψε ξανά την εποχή της Αναγέννησης (1200 μ.Χ)

Τα μαθηματικά στην Ευρώπη Ο Φιμπονάτσι, γραπτώς στο Liber Abaci, το 1202 και εκσυγχρονίστηκε το 1254, παρήγαγε τα πρώτα σημαντικά μαθηματικά στην Ευρώπη, δεδομένου την εποχή του Ερατοσθένη, ένα κενό πάνω από χιλιάδες χρόνια. Η έρευνα εισήγαγε τους αριθμούς Hindu-Arabic στην Ευρώπη και συζητήθηκαν αρκετά μαθηματικά προβλήματα.

Τα μαθηματικά στην ΕυρώπηΜε την έναρξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 16ο αιώνα, εμφανίστηκε μια νέα μαθηματική ανάπτυξη, αλληλεπιδρώντας με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις στα υπόλοιπα επιστημονικά πεδία, η οποία ουσιαστικά συνεχίζεται, και μάλιστα επιταχυνόμενη, ως τις μέρες μας.

Τα μαθηματικά στην Ευρώπη• Η ανακάλυψη του ολοκληρωτικού

λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Λάιμπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης.

Τα μαθηματικά στην Ευρώπη• Προκειμένου να αποσαφηνιστούν

τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηματική λογική. Επίσης σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής.

Οι αριθμοί• Η Πρώτη προσπάθεια εισαγωγής των

Ινδοαραβικών αριθμητικών ψηφίων στην Ευρώπη έγινε από τον Φιμπονάτσι (1180-1250 μ.Χ.). Για να τα υιοθετήσουν όμως οι Ευρωπαίοι χρειάστηκαν ακόμα 400 χρόνια.

• Ακόμα και στο τέλος του 16ου αιώνα, η αποδοχή των αρνητικών αριθμών, των ρητών αριθμών (που ανακάλυψε ο Βραγμαγκούπτα τον 70 μ.Χ. αιώνα) και του μηδέν δεν ήταν πλήρης (πολλοί θεωρούσαν το μηδέν δημιούργημα του Διαβόλου).

Χρήση συμβόλων

Όσο αφορά τον συμβολισμό των πρόσημων πλην(-) και συν (+) τον οφείλουμε σε εμπόρους.Χρησιμοποιήθηκαν τον 15ο αιώνα στην Γερμανία σε αποθήκες με εμπορεύματα , όταν τα κοντέινερ της εποχής είχαν περισσότερο ή λιγότερο φορτίο από το προβλεπόμενο.Το = σαν σύμβολο ισότητας το 1557 από τον Robert Record

Οι σπουδαιότεροι Μαθηματικοί όλων των εποχών

• Ο Πυθαγόρας, ο Ευκλείδης, ο Θαλής, ο Αρχιμήδης, ο Γκαλουά, ο Καρτέσιος, Ο Νεύτων, ο Γκάους, ο Φερμά, ο Ντέντεκιντ, ο Κάντορ, ο Νόιμαν, ο Γκέντελ, ο Ράσελ, ο Γαλιλαίος, ο Ώιλερ και ο Ουάϊλς.

• Στην κορυφή της πυραμίδας των Μαθηματικών πρέπει να τοποθετήσουμε

τον Αρχιμήδη, τον Νεύτωνα και τον Γκάους.

Η ετυμολογία των μαθηματικών• Μαθηματικά : Εμφανίζεται για πρώτη φορά ως λέξη

που δηλώνει μια νέα επιστήμη στην αρχαία Ελλάδα. Προέρχεται από την ελληνική λέξη μάθημα.

Άλγεβρα : Προέρχεται από την αραβική λέξη al-jebr που σημαίνει μεταφορά στο άλλο μέλος. Χρωστάει δηλαδή την ονομασία της στην γνωστή διαδικασία της επίλυσης πρωτοβάθμιων εξισώσεων.

Γεωμετρία : Ωφείλει και πάλι την ονομασία της στους Έλληνες. Η μέτρηση της γης κατά κυριολεξία.

Ο αριθμός i

Ο Ιταλός μαθηματικός Ραφαέλο Μπομπέλι μελετώντας τις τετραγωνικές ρίζες αριθμών βρέθηκε αντιμέτωπος με ένα αναπάντητο ερώτημα: Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα της μονάδας -1; Η απάντηση δεν μπορούσε να είναι ούτε το +1 αλλά ούτε και το -1, αφού το τετράγωνο και των δύο είναι το +1. Η λύση από την μεριά του Μπομπέλι ήταν να δημιουργηθεί ένας νέος αριθμός, ο i (imagine). Ονομάστηκε έτσι για τον λόγο ότι είναι φανταστικός αριθμός και απαντάει στο: Ποια η τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας;

Ο αριθμός φ

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, οχρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού. Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκανπολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπωςείναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι •Φ = 1,618

Ο αριθμός π

• Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη που καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

• Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π ≈ 3,14.

Ο αριθμός e

Ο Ελβετός μαθηματικός Λέοναρντ ΄Οιλερ ,όρισε τη χρήση του γράμματος e ,που συμβολίζει μια άλλη θεμελιώδη σχέση των μαθηματικών: e= lim (1+1/v)v

Δηλαδή το e είναι το όριο που παίρνουμε όταν αφήνουμε το ν να γίνεται όλο και μεγαλύτερο αρχίζοντας από το 1.

Ο μαθηματικός Euler

Τελειώνοντας τη σύντομη περιήγηση στον κόσμο των αριθμών, αναφέρουμε τη σχέση που συνδέει τους πέντε σημαντικότερους αριθμούς των μαθηματικών: 1, 0, π, e και i !!!!!!

" αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω μοι την στέγην ".

• Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα Μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Η εμβάθυνση στον κόσμο των νοητικών αναπαραστάσεων, που είναι ο κατεξοχήν κόσμος που ζει ένας μαθηματικός, οδηγεί στον κόσμο των ιδεών του Πλάτωνα. Αυτός ο κόσμος, όχι μόνο είναι « αντικειμενικός » , αλλά είναι ο μόνος που δυνάμεθα να κατανοήσουμε εις βάθος.

TΕΛΟΣ