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Prova
Universita degli Studi di Milano – BicoccaFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Magistrale in Fisica
Geometriadei modelli σ non lineari
Candidato
Matteo CASATIMatr. 074789
Relatore
Prof. Franco MAGRICorrelatore
Prof. Gregorio FALQUI
Seduta di laurea del
31 marzo 2011a.a 2009–2010
Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Geometria dei Modelli σ Non LineariMotivazioni della Tesi
L’argomento della tesi e lo studio della formulazione di Batalin eVilkovisky (BV) del Modello σ Nonlineare di Poisson (PSM)
I NLSMs sono teorie di campo di natura geometrica in cui i campisono mappe tra varieta e l’azione e costruita con la strutturageometrica di queste.I NSLMs sono teorie di gauge e dunque devono soddisfare vincoliche ne ostacolano la quantizzazione. La formulazione BV e unostrumento matematico per superare questa difficolta.
M. Casati Universita degli Studi di Milano – Bicocca
Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Modelli σ Non LineariStoria dei Modelli σ Non Lineari
Gell-Mann e Levy 1960 Interazione di pioni e nucleoni a bassaenergia
Coleman 1969 Geometria delle lagrangiane fenomenologiche
Gates 1983 NLSM supersimmetrico
Witten 1988 Topological Sigma Model
Schaller and Strobl 1994 Poisson Sigma Model
1 Introdotto nel 1994 come generalizzazione sistemidi Yang-Mills gravitazionali
2 Generalizzazione di diversi modelli σ: BackgroundField, Witten A e B, Yang-Mills 2D, gravita
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Poisson Sigma ModelCampi
TM → T ∗N
M world sheet bidimensionaleN varieta bersaglio, n-dimensionale, di Poisson
Y : M → N
A : TxM → T ∗Y (x)N
n mappe Y i (x) di due variabilin 1-forme Aµi (x)dxµ di duevariabili
xµ coordinate su M, µ = 1, 2X i coordinate su N, i = 1, . . . , n
Sulla N e definito il bivettore di Poisson P. In coordinate, e unamatrice antisimmetrica P lm(X ) tale che
Pal ∂Pbc
∂X l+ Pbl ∂Pca
∂X l+ Pcl ∂Pab
∂X l= 0
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Poisson Sigma ModelAzione ed equazioni di campo
Azione PSM
S0[Y ,A] =
∫M
(Aµi (x)
∂Y i
∂xν− Aνi (x)
∂Y i
∂xµ
+ P lm(Y (x))Aµl(x)Aνm(x)
)dxµdxν
Le equazioni di campo ottengono dall’azione con il metodovariazionale
δS0
δY i= 0⇒ ∂µAνi − ∂νAµi +
∂P lm
∂X iAµlAνm = 0 ≡ Ei
δS0
δAiµ= 0⇒ ∂µY i + P imAµm = 0 ≡ F i
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Poisson Sigma ModelSimmetrie di gauge
L’azione e invariante rispetto al sistema di simmetrie locali
(δεY )i = −P ij(Y (x))εj(x)
(δεA)µi =∂εi∂xµ
+∂P lm
∂X i(Y (x))Aµl(x)εm(x)
εi (x) sono n funzioni arbitrarie di x , dette parametri di gauge
In presenza di simmetria di gauge, le equazioni di campo devonosoddisfare un sistema differenziale di identita, le identita di Noether
P ljEl +∂P lj
∂X iAl ∧ F i − dF j = 0
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Poisson Sigma ModelProblema dei vincoli
Problema
La presenza dei vincoli dati dalle identita di Noether ostacola laformulazione hamiltoniana della teoria
L’azione e degenere per la presenza della simmetria di gaugeQuesti problemi vengono affrontati con una tecnica che si rifa allaformulazione di Dirac per i sistemi dinamici degeneri
Batalin-Vilkovisky e AKSZ
L’obiettivo e riscrivere in forma hamiltoniana il PSM, con unahamiltoniana che soddisfi la cosiddetta equazione master
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Batalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM
1 I campi ghost2 Gli anticampi
1 Da varieta a varieta gradate2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle varieta gradate3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson4 Gli anticampi
3 L’hamiltoniana e l’equazione master
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
I campi ghostI generatori delle simmetrie come grandezze dinamiche
I parametri di gauge εi sono delle funzioni su MI parametri vengono sostituiti con campi anticommutanti γi , detticampi ghost
(δY )i = −P ijγj (δA)i = dγi +∂P lm
∂X iAlγm
Campi ghost
Sono detti campi ghost perche non hanno significato fisico (violanoil teorema spin–statistica)
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Batalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM
1 I campi ghost2 Gli anticampi
1 Da varieta a varieta gradate2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle varieta gradate3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson4 Gli anticampi
3 L’hamiltoniana e l’equazione master
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Gli anticampiDai campi alle osservabili
TM ΠTM T ∗N ΠT ∗N
(xµ, ξµ) (xµ, θµ) (X i , pi ) (X i , ui )
θ e u sono numeri di Grassmann (anticommutano)
Multivettori, k-forme e funzioni “ordinarie” sono interpretate inmodo unificato come funzioni polinomiali nelle variabili diGrassmann
I campi della teoria sono riguardati come funzioni polinomiali sullavarieta gradata
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Gli anticampiL’antibracket
Lo spazio delle funzioni su ΠT ∗N eredita una versione gradatadella parentesi di Poisson, l’antibracket
Proprieta dell’antibracket
1 {f , g} = −(−1)(|f |−1)(|g |−1){g , f } Antisimmetria in sensogradato
2 {f , {g , h}} = {{f , g}, h}+ (−1)(|f |−1)(|g |−1){g , {f , h}}Identita di Jacobi gradata
3 Prova {f , gh} = {f , g}h + (−1)(|f |−1)|g |g{f , h} Versionegradata della regola di Leibniz
{f , g} =
←−∂ f
∂za{za, zb}
−→∂ g
∂zb
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Gli anticampiGli anticampi
Ad ogni campo viene associato un anticampo con regole dicommutazione opposte
Y i Y +i Aµi A+i
µ γa γ+a
Antibracket fondamentali
Y j Aj γj Y +j A+j γ+j
Y i δij 0 0
Ai 0 0 δji 0
γi 0 0 δjiY +i − δji 0 0
A+i 0 − δij 0 0
γ+i 0 0 − δijM. Casati Universita degli Studi di Milano – Bicocca
Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Batalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM
1 I campi ghost2 Gli anticampi
1 Da varieta a varieta gradate2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle varieta gradate3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson4 Gli anticampi
3 L’hamiltoniana e l’equazione master
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Formulazione hamiltonianaEquazioni di campo
L’idea e utilizzare l’antibracket per scrivere le equazioni in formahamiltoniana
δS0
δY i= Ei
δS0
δAi= F i
Usando l’antibracket canonica
δS0
δY i= {S0,Y
+i } = Ei
δS0
δAi= −{S0,A
+i} = F i
Poiche S0 non contiene ghost ne anticampi, si ha poi
{S0, γ+a} = 0 {S0,Y
i} = 0
{S0,Ai} = 0 {S0, γa} = 0
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Formulazione hamiltonianaTrasformazioni di gauge
L’idea e introdurre un funzionale S1 che generi le trasformazioni digauge e l’azione aggiunta dell’algebra dei generatori
(δY )i = −P ijγj (δA)i = dγi +∂P lm
∂X iAlγm
[γ1, γ2]c = −∂Pab
∂X cγaγb
{S1,Yi} = (δY )i {S1,Ai} = (δA)i {S1, γa} = [γ1, γ2]a
S1 =
∫M− Y +
i P ijγj+A+i ∧(
dγi +∂P lm
∂X iAlγm
)+
1
2γ+i ∂P lm
∂X iγlγm
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Formulazione hamiltonianaEquazione master
Equazione master
{S ,S} = 0L’azione deve soddisfare lamaster equation
{S0 + S1, S0 + S1} 6= 0
Introducendo termini quadratici negli anticampi S0 + S1 + S2
soddisfa l’equazione master
S2 = −∫M
1
4A+i ∧ A+j ∂
2Pab
∂X i∂X jγaγb
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Equazione masterAlgebra di gauge ed interpretazione di S2
La forma di S2 e data dalla struttura dell’algebra di gauge del PSM
[RY γ1,RY γ
2]i = − P ij
(−∂Pab
∂X jγ1aγ
2b
)[RAγ
1,RAγ2]µi =
∂
∂xµ
(−∂Pab
∂X iγ1aγ
2b
)+∂P lm
∂X iAµl
(−∂Pab
∂Xmγ1aγ
2b
)+
∂2Pab
∂X i∂X s
(∂Y s
∂xµ+ PstAµt
)γ1aγ
2b
[Rφγ1, [Rφγ
2,Rφγ3]]i+p.c. = 0
[Rφγ1, [Rφγ
2,Rφγ3]]µi+p.c. = 0
Nel PSM le identita di Jacobisono automaticamentesoddisfatte
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Equazione masterAzione di Batalin–Vilkovisky
SBV =
∫M
Ai ∧ dY i + P lm(Y )Al ∧ Am
− Y +i P ijγj
+ A+i ∧(
dγi +∂P lm
∂X iAlγm
)+
1
2γ+i ∂P lm
∂X iγlγm
− 1
4A+i ∧ A+j ∂
2Pab
∂X i∂X jγaγb
S0 ⇒ Equazioni di campo
S1 ⇒ Trasformazioni digauge e azione aggiunta deigeneratori
S2 ⇒ Struttura dell’algebra
{SBV , SBV } = 0
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Teoria AKSZPoisson Sigma Model nella formulazione AKSZ
I campi originari Y e A sono sostituiti con supercampi polinomialiin θ
Y : ΠTM → N A : ΠTM → ΠT ∗N
L’azione del modello formalmente e uguale a S0
S =
∫ΠTM
Ai ∧ DYi + P lm(Y)Al ∧ Am
ma tutti i termini del formalismo BV si ritrovano sviluppando isupercampi rispetto al grado [(x , θ) coord. su ΠTM]
Yi (x , θ) = Y i (x) + θµA+iµ (x) +
1
2θµθνγ+i
µν(x)
Ai (x , θ) = γi (x) + θµAµi (x) +1
2θµθνY +
µνi (x)
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Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ
Bibliografia minima
P. Schaller e T. StroblPoisson structure induced (topological) field theoriesMod.Phys.Lett. A, 9 (1994)
J. Stasheff et a.Noether’s variational theorem II and the BV formalismRend.Circ.Mat.Pal., Suppl. 71 (2003)
A. Cattaneo e G. FelderOn the AKSZ formulation of Poisson Sigma ModelMath.Phys.Lett 56(2001)
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Universita degli Studi di Milano – BicoccaFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
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