133

SISTEMI NON LINEARI

Linearizzazione

),( equilibrio 1 ),( xu)f(x(t),u(t) x(tuxfx =+=&

, ,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ), ( )) ( , ) ....x u x u

x t x t x

u t u t u

f fx t x t f x x t u u t f x u x u

x u

δδ

δ δ δ δ δ

= −= −

∂ ∂ = = + + = + + + ∂ ∂

&

In conclusione:

SISTEMA LINEARIZZATOx A x B uδ δ δ= +

con: , ,

x u x u

f fA B

x u

∂ ∂ = = ∂ ∂

Proprietà 1 Se A è asintoticamente stabile allora è tale x

Proprietà 2 Se almeno un autovalore di A ha parte reale positiva (nel caso continuo) o modulo maggiore di 1 (nel caso discreto) allora x è instabile

Negli altri casi non si può concludere nulla dall’esame della stabilità del sistema linearizzato perché nella linearizzazione si trascurano i termini di ordine superiore al primo. Esistono altri metodi per determinare la stabilità degli equilibri di un sistema non lineare, ma sono basati sull’esistenza di una funzione (di Lyapunov) che abbia determinate caratteristiche, il che è spesso difficile da provare.

Sviluppo in serie Termini di ordine superiore

•xδ

•xδ

134

Sistemi del II ordine: cicli

Pendolo senza attrito

Oscillatore

Importante Per i sistemi del secondo ordine valgono risultati

specifici sull’esistenza e la non esistenza dei cicli

limite (tali risultati non sono estendibili al caso n ≥ 3).

Nell’intorno dell’origine (che è uno stato di equilibrio) si hanno infiniti cicli contigui Questi cicli si chiamano cicli non isolati

Da qualsiasi stato iniziale si parta si tende asintoticamente a Γ (oscillazioni permanenti). Γ si chiama ciclo limite. I cicli limite sono pertanto cicli isolati

135

Sistemi del II ordine � Esistenza e non esistenza di cicli (1)

Teorema di Bendixon o della non esistenza

1 1 1 2 1 21 2

2 2 1 2 1 2

( , , ) ( , , )

( , , )

x f x x u f fB B x x u

x f x x u x x

= ∂ ∂= + = = ∂ ∂

&

&

Se in una regione R del piano (x1,x2) la funzione di Bendixon B non

cambia segno e al più si annulla su delle linee allora non esistono

cicli contenuti in R.

Esempio 1 : asta caricata di punta

1 2

22 1 1 22 2 2

( )

x xH

Bk PL HMLx x sen x x

ML ML ML

= = − = − + −

&

&

La funzione B è costante e ≠ 0: quindi non esistono cicli in tutto lo spazio di stato.

Esempio 2 : circuito elettrico non lineare

y = x2

Anche in questo caso non esistono cicli (l’esponenziale è sempre positivo e quindi il segno non cambia).

2

1 2

2 1

equazionedel diodo

1

2

01

( 1)x

x x

x u e xC

= = − − −

&

&14243

2

0xe

BC

= − ≠

136

Sistemi del II ordine � Esistenza e non esistenza di cicli (2)

Teorema di Poincarè

All’interno di un ciclo limite Γ esistono un numero dispari di stati di

equilibrio (più precisamente 2ns+1 stati di equilibrio dove ns è il

numero di “selle”)

Come si usa il Teorema di Poincarè

Supponiamo di determinare tutti gli stati di equilibrio di un sistema

assegnato e di classificarli (per mezzo dell’analisi del sistema

linearizzato) in fuochi, nodi e selle. Supponiamo che il risultato sia il

seguente:

Allora i possibili cicli sono del seguente tipo:

F = fuoco

N = nodo

S = sella

137

RIASSUNTO:

TIPICI ANDAMENTI DEI SISTEMI LINEARI

a) ingresso costante

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200

tempo

X1

Traiettoria

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 10 20 30

Posizione

Vel

ocità

movimenti di tipo esponenziale

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250

tem po

X1

Traiettoria

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

2,5

0 10 20 30

Posizione

Vel

ocità

movimenti di tipo oscillatorio (composizione di sinusoidi e esponenziali)

b) ingresso di tipo "impulsivo"

Andamento dell'inquinamento

0

50

100

150

200

0 20 40 60 80

Andamento dell'ossigeno disciolto

-2

0

2

4

6

8

10

0 20 40 60 80 movimenti di tipo esponenziale

c) ingressi periodici (es. sinusoidale) → movimenti periodici con lo stesso periodo dell'ingresso.

138

TIPICI ANDAMENTI DEI SISTEMI NON LINEARI

a) ingresso costante

possono esistere movimenti periodici anche con ingresso costante,

possono esistere movimenti non periodici, che si mantengono in una zona limitata dello spazio (movimenti caotici).

b) ingressi periodici (es. sinusoidale) → movimenti periodici con diversi periodi

139

STABILITA’ STRUTTURALE

Può accadere che, variando anche poco il valore di qualche parametro, l’andamento qualitativo (strutturale) delle traiettorie cambi in modo rilevante (cioè le nuove traiettorie non possono essere viste come una deformazione delle precedenti). . Es.

pxx =& p è un parametro Come sappiamo: 0=x

p > 0 → instabilità

p < 0 → stabilità Se p cresce lentamente da un valore negativo a uno positivo, il sistema, anche se perturbato, rimane in 0 (eq. stabile) fino a quando p = 0 (punto di biforcazione) poi in presenza di perturbazioni diverge all’infinito. Nei punti di biforcazione si dice che il sistema non è strutturalmente stabile. Questo tipo di fenomeni può assumere forme molto più complesse nel caso il sistema sia non lineare e quindi abbia più stati di equilibrio. Es.

)( pxxx +−−= 3&

0. 3 =+−→ pxxEq e per 1,0,1:0 321 −==== xxxp

p

x

luogo degli stati di equilibrio stabili luogo degli stati di

equilibrio instabili

p

x

140

Caso di equilibri multipli

Linearizzando: 13 2 +−= xdx

df

e si può vedere che 0 ;0 ; 0321

<><xxx dx

df

dx

df

dx

df

Partendo da p=0, se p decresce, 1x e 2x si avvicinano, poi

collidono e, per un’ulteriore diminuzione di p, spariscono. Ugualmente, se p cresce, 3x e 2x si avvicinano, poi collidono e quindi spariscono. In entrambi i casi, gli equilibri passano da 3 a 1.

Come si comporterà il sistema al variare di p ?

Si manterrà sempre su un equilibrio stabile. Finché ci sarà un equilibrio stabile vicino alla sua condizione corrente, il sistema si sposterà su di esso (movendosi quindi con la velocità di variazione di p). Se non ci saranno equilibri stabili vicini, il sistema si sposterà verso l’equilibrio stabile rimasto con la propria velocità di variazione.

Traiettorie al variare di p.

Le linee verdi vengono percorse alla

velocità di variazione di p. Le linee rosse non vengono mai percorse.

Le linee blu vengono percorse con la velocità propria del sistema.

Questo tipo di comportamento (isteresi) è chiamato “catastrofe a piega ”.

p

x

141

Teoria delle catastrofi

Il caso precedente, studiato con PPLANE.

Ciclo di isteresi nello spazio p,x (catastrofe a piega).

La teoria delle catastrofi, dovuta a R. Thom, classifica tutti le

possibili discontinuità che può avere il luogo degli equilibri stabili di

un sistema non lineare, quando alcune variabili (parametri)

cambiano lentamente rispetto ad altri.

Un aspetto interessante della teoria è che il numero di singolarità del luogo degli stati stabili dipende unicamente dal numero di parametri e NON dal numero di variabili di stato.

Thom ha inoltre dimostrato che, se i parametri sono più di 5, le possibili tipologie di catastrofi sono infinite.

transizione rapida (catastrofe)

Scelta dell’algoritmo di discretezza-zione (qui è importante che sia adattativo perché cambia la velocità)

142

SISTEMI NON LIENARI – CASO DI STUDIO

La crisi delle foreste Vedi: Gatto, Rinaldi; Some models of catastrophic behavior in exploited forests; Vegetatio, 69: 213-222, 1987.

Fenomeno macroscopico e rilevante.

Cause:

• Cambiamento del clima (e delle disponibilità di risorse idriche)

• Sovra sfruttamento

• Inquinamento atmosferico (pioggia acida)

• Gestione non adeguata

In generale queste cause portano ad un declino della foresta. In

alcuni casi esse portano invece ad un vero e proprio collasso

improvviso della foresta e in casi estremi questo collasso è

irreversibile.

→ → →

→→

sostanze resinose incendi

naturali perdita di elasticità rottura

sviluppo di nutrienti parassiti

collassi squilibri domanda - offerta abbattimenti

bassa diversità epidemieartificiali

alterazione terr

→ →

eno tossicità

formazione di Ozono necrosi

143

Sovrasfruttamento

Il più semplice modello:

• T = biomassa legnosa

• G = growth

• H = harvest

• E = exploitation

( ) ( )dT

G T Eh Tdt

= −

144

Effetti congiunti SFRUTTAMENTO – INQUINAMENTO

} } }

{ {

decomposizioneapporto perdite prelievo

abbattimentoproduttività mortalitàprimaria

( )

( )

dNW aN bNT cm N T

dt

dTebN dT m N E T

dt

= − − +

= − − −

64748

14243

Elevata acidità del terreno

(pH < 4 - 5)

�

Mobilizzazione di ioni tossici (per es. Alluminio)

145

[ ]

( ) nutriente

( ) biomassa legnosa

dNW aN bNT cm N T

dtdT

abN cT m N E Tdt

= − − +

= − − −

Analisi degli equilibri

[ ]

10 ( , )

( )

10 0 o ( ) ( , )

N

T

dN W aNT T N W

bdt c N m Nc

dTT T ebN m N E T N E

dt d

−= → = =−

= → = = − − =

Stabilità degli equilibri

Nel punto I

0 ( ) INSTABILITA'

0 ( )x

a bN cm Nf

ebN m N Ex

− − + ∂ = → − −∂

Analogamente si dimostra che S è stabile

146

Fissiamo E e variamo W

147

Fissiamo W e variamo E

148

CONCLUSIONI : catastrofe a cuspide

• La foresta può mantenersi in vita solo nella regione parabolica

( \\\\\\ )

• Per ogni fissato sfruttamento esiste un intervallo ammissibile

per l’apporto esterno di nutriente W

• Tale intervallo si restringe all’ammontare dello sfruttamento

• All’aumentare dell’apporto di nutriente la foresta finisce per

collassare (prima se è più sfruttata)

• All’aumentare dello sfruttamento la foresta collassa se

l’apporto di nutriente è sufficientemente alto, altrimenti la

foresta degrada con continuità.

149

Caos deterministico

Nei sistemi non lineari, al variare di un parametro, può anche accadere che nascano o scompaiano cicli (= movimenti periodici) o si determino zone dello spazio (attrattori) all’interno delle quali il movimento rimane confinato senza però essere periodico. Questo fenomeno viene definito caos deterministico.

Es. il modello di Lorenz (evoluzione della masse d’aria nell’atmosfera)

dx/dt = -c(x-y) dy/dt = ax-y-xz dz/dt = b(xy-z)

traiettoria (attrattore) del sistema di Lorenz (a=28, b=8/3, c=10) nel piano (x,z)

movimenti corrispondenti

Questo tipo di comportamenti può verificarsi in sistemi continui di ordine due con ingressi periodici o di ordine superiore, ma in sistemi discreti anche di ordine 1. Una conseguenza importante di questo tipo di comportamento è la forte dipendenza dalle condizioni iniziali (a una variazione infinitesima delle condizioni iniziali corrispondono alla lunga traiettorie completamente diverse). “Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?” (Lorenz, 1972).

150

Esempi di biforcazioni (altri esempi in linea su http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lab.htm)

Da equilibrio a ciclo, a cicli più complessi, a caos.

x(t+1)=px(t)(1-x(t)) (logistica discreta)

Biforcazione di Hopf (da equilibrio a ciclo in un sistema continuo)

)(

)(22

212212

22

211211

xxxxxx

xxxxxx

++−=

++−=

αα

&

&

p=2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29p=3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

p=3.5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

p=4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29