1. Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali a Corso di Laurea Magistrale in FisicaP Geometria dei modelli non lineariCandidato RelatoreMatteo CASATI Prof. Franco MAGRIMatr. 074789CorrelatoreProf. Gregorio FALQUISeduta di laurea del31 marzo 2011a.a 20092010

2. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZGeometria dei Modelli Non LineariMotivazioni della Tesi Largomento della tesi ` lo studio della formulazione di Batalin ee Vilkovisky (BV) del Modello Nonlineare di Poisson (PSM) I NLSMs sono teorie di campo di natura geometrica in cui i campi sono mappe tra variet` e lazione ` costruita con la struttura a e geometrica di queste. I NSLMs sono teorie di gauge e dunque devono soddisfare vincoli che ne ostacolano la quantizzazione. La formulazione BV ` unoe strumento matematico per superare questa dicolt`.aM. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 3. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZModelli Non LineariStoria dei Modelli Non Lineari Gell-Mann e Lvy 1960 Interazione di pioni e nucleoni a bassae energia Coleman 1969 Geometria delle lagrangiane fenomenologiche Gates 1983 NLSM supersimmetrico Witten 1988 Topological Sigma Model Schaller and Strobl 1994 Poisson Sigma Model 1 Introdotto nel 1994 come generalizzazione sistemi di Yang-Mills gravitazionali 2 Generalizzazione di diversi modelli : Background Field, Witten A e B, Yang-Mills 2D, gravit`aM. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 4. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZPoisson Sigma ModelCampiTM T N M world sheet bidimensionale N variet` bersaglio, n-dimensionale, di Poisson a Y:MNn mappe Y i (x) di due variabili n 1-forme Ai (x)dx di dueA : Tx M TY (x) N variabilix coordinate su M, = 1, 2X i coordinate su N, i = 1, . . . , n Sulla N ` denito il bivettore di Poisson P. In coordinate, ` unaee matrice antisimmetrica P lm (X ) tale che P bcP caP abP al + P bl + P cl =0 X l X l X l M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 5. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZPoisson Sigma ModelAzione ed equazioni di campo Azione PSM Y iY i S0 [Y , A] =Ai (x) Ai (x) Mxx+ P lm (Y (x))Al (x)Am (x) dx dx Le equazioni di campo ottengono dallazione con il metodo variazionaleS0P lm = 0 Ai Ai + Al Am = 0 EiY iX i S0 = 0 Y i + P im Am = 0 F i Ai M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 6. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZPoisson Sigma ModelSimmetrie di gauge Lazione ` invariante rispetto al sistema di simmetrie localie( Y )i = P ij (Y (x)) j (x) iP lm ( A)i =+ (Y (x))Al (x) m (x) x X ii (x) sono n funzioni arbitrarie di x, dette parametri di gauge In presenza di simmetria di gauge, le equazioni di campo devono soddisfare un sistema dierenziale di identit`, le identit` di Noetheraa P lj P lj El + Al F i dF j = 0 X i M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 7. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZPoisson Sigma ModelProblema dei vincoli Problema La presenza dei vincoli dati dalle identit` di Noether ostacola la a formulazione hamiltoniana della teoria Lazione ` degenere per la presenza della simmetria di gaugee Questi problemi vengono arontati con una tecnica che si rif` allaa formulazione di Dirac per i sistemi dinamici degeneri Batalin-Vilkovisky e AKSZ Lobiettivo ` riscrivere in forma hamiltoniana il PSM, con una e hamiltoniana che soddis la cosiddetta equazione masterM. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 8. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZBatalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM1I campi ghost2Gli anticampi 1 Da variet` a variet` gradate aa 2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle variet` gradate a 3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson 4 Gli anticampi3Lhamiltoniana e lequazione master M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 9. Introduzione PSMBatalin-Vilkovisky e AKSZI campi ghostI generatori delle simmetrie come grandezze dinamiche I parametri di gauge i sono delle funzioni su M I parametri vengono sostituiti con campi anticommutanti i , detti campi ghostP lm (Y )i = P ij j (A)i = di +Al mX i Campi ghost Sono detti campi ghost perch non hanno signicato sico (violano e il teorema spinstatistica) M. CasatiUniversit` degli Studi di Milano Bicocca a 10. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZBatalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM1I campi ghost2Gli anticampi 1 Da variet` a variet` gradate aa 2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle variet` gradate a 3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson 4 Gli anticampi3Lhamiltoniana e lequazione master M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 11. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZGli anticampiDai campi alle osservabili TM TMT N T N (x , ) (x , )(X i , pi )(X i , ui ) e u sono numeri di Grassmann (anticommutano) Multivettori, k-forme e funzioni ordinarie sono interpretate in modo unicato come funzioni polinomiali nelle variabili di Grassmann I campi della teoria sono riguardati come funzioni polinomiali sulla variet` gradata a M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 12. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZGli anticampiLantibracket Lo spazio delle funzioni su T N eredita una versione gradata della parentesi di Poisson, lantibracket Propriet` dellantibracket a1{f , g } = (1)(|f |1)(|g |1) {g , f } Antisimmetria in senso gradato2{f , {g , h}} = {{f , g }, h} + (1)(|f |1)(|g |1) {g , {f , h}} Identit` di Jacobi gradataa3Prova {f , gh} = {f , g }h + (1)(|f |1)|g | g {f , h} Versione gradata della regola di Leibniz f a b g {f , g } = a {z , z } b z zM. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 13. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZGli anticampiGli anticampi Ad ogni campo viene associato un anticampo con regole di commutazione opposteYiYi+ AiA+ia +a Antibracket fondamentaliYjAj jYj+ A+j +j Yi ji 00 Ai00 ij0i0 0ij Yi+ ij0 0 A+i 0 ji0 0 +i0 0 jiM. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 14. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZBatalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM1I campi ghost2Gli anticampi 1 Da variet` a variet` gradate aa 2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle variet` gradate a 3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson 4 Gli anticampi3Lhamiltoniana e lequazione master M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 15. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZFormulazione hamiltonianaEquazioni di campo Lidea ` utilizzare lantibracket per scrivere le equazioni in formae hamiltonianaS0S0 = Ei= FiY i Ai Usando lantibracket canonica S0S0= {S0 , Yi+ } = Ei= {S0 , A+i } = F i Y i AiPoich S0 non contiene ghost n anticampi, si ha poi ee {S0 , +a } = 0 {S0 , Y i } = 0 {S0 , Ai } = 0 {S0 , a } = 0M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 16. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZFormulazione hamiltonianaTrasformazioni di gauge Lidea ` introdurre un funzionale S1 che generi le trasformazioni die gauge e lazione aggiunta dellalgebra dei generatori P lm(Y )i = P ij j (A)i = di +Al m X i P ab [1 , 2 ]c = a b X c {S1 , Y i } = (Y )i {S1 , Ai } = (A)i {S1 , a } = [1 , 2 ]aP lm1 P lm S1 = Yi+ P ij j +A+i di + Al m + +i l m MX i 2 X i M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 17. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZFormulazione hamiltonianaEquazione master Equazione masterLazione deve soddisfare la{S, S} = 0master equation {S0 + S1 , S0 + S1 } = 0 Introducendo termini quadratici negli anticampi S0 + S1 + S2 soddisfa lequazione master 1 +i 2 P ab S2 = A A+j a b M 4 X i X j M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 18. Introduzione PSMBatalin-Vilkovisky e AKSZEquazione masterAlgebra di gauge ed interpretazione di S2 La forma di S2 ` data dalla struttura dellalgebra di gauge del PSMeP ab 1 2[RY 1 , RY 2 ]i = P ij X j a b P ab 1 2P lm P ab 1 2 [RA 1 , RA 2 ]i = + i a b Al xXX i X m a b 2 P abY s+ + P st At a b1 2X i X s x Nel PSM le identit` di Jacobia 1 23 i[R , [R , R ]] +p.c. = 0 sono automaticamentesoddisfatte[R 1 , [R 2 , R 3 ]]i +p.c. = 0M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 19. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZEquazione masterAzione di BatalinVilkovisky SBV =Ai dY i + P lm (Y )Al AmM Yi+ P ij jS0 Equazioni di campo P lmS1 Trasformazioni di + A+i di + Al mgauge e azione aggiunta dei X igeneratori1 P lm + +i l m S2 Struttura dellalgebra2 X i1 2 P ab A+i A+ja b4X i X j{SBV , SBV } = 0 M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 20. IntroduzionePSM Batalin-Vilkovisky e AKSZTeoria AKSZPoisson Sigma Model nella formulazione AKSZ I campi originari Y e A sono sostituiti con supercampi polinomiali in Y : TM NA : TM T N Lazione del modello formalmente ` uguale a S0eS= Ai DYi + P lm (Y)Al Am TMma tutti i termini del formalismo BV si ritrovano sviluppando i supercampi rispetto al grado [(x, ) coord. su TM]1 Yi (x, ) = Y i (x) + A+i (x) + (x) +i2 1 + Ai (x, ) = i (x) + Ai (x) + Yi (x) 2M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicocca a 21. Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZBibliograa minima P. Schaller e T. Strobl Poisson structure induced (topological) eld theories Mod.Phys.Lett. A, 9 (1994) J. Stashe et a. Noethers variational theorem II and the BV formalism Rend.Circ.Mat.Pal., Suppl. 71 (2003) A. Cattaneo e G. Felder On the AKSZ formulation of Poisson Sigma Model Math.Phys.Lett 56(2001) M. Casati Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa 22. Universit` degli Studi di Milano Bicoccaa Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali a Corso di Laurea Magistrale in FisicaP Geometria dei modelli non lineariCandidato RelatoreMatteo CASATI Prof. Franco MAGRIMatr. 074789CorrelatoreProf. Gregorio FALQUISeduta di laurea del31 marzo 2011a.a 20092010