Geometria dei Modelli Sigma Non Lineari - Geometry of Nonlinear Sigma Models

Prova

Universita degli Studi di Milano – BicoccaFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Magistrale in Fisica

Geometriadei modelli σ non lineari

Candidato

Matteo CASATIMatr. 074789

Relatore

Prof. Franco MAGRICorrelatore

Prof. Gregorio FALQUI

Seduta di laurea del

31 marzo 2011a.a 2009–2010

Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ

Geometria dei Modelli σ Non LineariMotivazioni della Tesi

L’argomento della tesi e lo studio della formulazione di Batalin eVilkovisky (BV) del Modello σ Nonlineare di Poisson (PSM)

I NLSMs sono teorie di campo di natura geometrica in cui i campisono mappe tra varieta e l’azione e costruita con la strutturageometrica di queste.I NSLMs sono teorie di gauge e dunque devono soddisfare vincoliche ne ostacolano la quantizzazione. La formulazione BV e unostrumento matematico per superare questa difficolta.

M. Casati Universita degli Studi di Milano – Bicocca


Modelli σ Non LineariStoria dei Modelli σ Non Lineari

Gell-Mann e Levy 1960 Interazione di pioni e nucleoni a bassaenergia

Coleman 1969 Geometria delle lagrangiane fenomenologiche

Gates 1983 NLSM supersimmetrico

Witten 1988 Topological Sigma Model

Schaller and Strobl 1994 Poisson Sigma Model

1 Introdotto nel 1994 come generalizzazione sistemidi Yang-Mills gravitazionali

2 Generalizzazione di diversi modelli σ: BackgroundField, Witten A e B, Yang-Mills 2D, gravita



Poisson Sigma ModelCampi

TM → T ∗N

M world sheet bidimensionaleN varieta bersaglio, n-dimensionale, di Poisson

Y : M → N

A : TxM → T ∗Y (x)N

n mappe Y i (x) di due variabilin 1-forme Aµi (x)dxµ di duevariabili

xµ coordinate su M, µ = 1, 2X i coordinate su N, i = 1, . . . , n

Sulla N e definito il bivettore di Poisson P. In coordinate, e unamatrice antisimmetrica P lm(X ) tale che

Pal ∂Pbc

∂X l+ Pbl ∂Pca

∂X l+ Pcl ∂Pab

∂X l= 0



Poisson Sigma ModelAzione ed equazioni di campo

Azione PSM

S0[Y ,A] =

∫M

(Aµi (x)

∂Y i

∂xν− Aνi (x)

∂Y i

∂xµ

+ P lm(Y (x))Aµl(x)Aνm(x)

)dxµdxν

Le equazioni di campo ottengono dall’azione con il metodovariazionale

δS0

δY i= 0⇒ ∂µAνi − ∂νAµi +

∂P lm

∂X iAµlAνm = 0 ≡ Ei

δS0

δAiµ= 0⇒ ∂µY i + P imAµm = 0 ≡ F i



Poisson Sigma ModelSimmetrie di gauge

L’azione e invariante rispetto al sistema di simmetrie locali

(δεY )i = −P ij(Y (x))εj(x)

(δεA)µi =∂εi∂xµ

+∂P lm

∂X i(Y (x))Aµl(x)εm(x)

εi (x) sono n funzioni arbitrarie di x , dette parametri di gauge

In presenza di simmetria di gauge, le equazioni di campo devonosoddisfare un sistema differenziale di identita, le identita di Noether

P ljEl +∂P lj

∂X iAl ∧ F i − dF j = 0



Poisson Sigma ModelProblema dei vincoli

Problema

La presenza dei vincoli dati dalle identita di Noether ostacola laformulazione hamiltoniana della teoria

L’azione e degenere per la presenza della simmetria di gaugeQuesti problemi vengono affrontati con una tecnica che si rifa allaformulazione di Dirac per i sistemi dinamici degeneri

Batalin-Vilkovisky e AKSZ

L’obiettivo e riscrivere in forma hamiltoniana il PSM, con unahamiltoniana che soddisfi la cosiddetta equazione master



Batalin-Vilkovisky in bricioleFormulazione hamiltoniana per il PSM

1 I campi ghost2 Gli anticampi

1 Da varieta a varieta gradate2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle varieta gradate3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson4 Gli anticampi

3 L’hamiltoniana e l’equazione master



I campi ghostI generatori delle simmetrie come grandezze dinamiche

I parametri di gauge εi sono delle funzioni su MI parametri vengono sostituiti con campi anticommutanti γi , detticampi ghost

(δY )i = −P ijγj (δA)i = dγi +∂P lm

∂X iAlγm

Campi ghost

Sono detti campi ghost perche non hanno significato fisico (violanoil teorema spin–statistica)



Gli anticampiDai campi alle osservabili

TM ΠTM T ∗N ΠT ∗N

(xµ, ξµ) (xµ, θµ) (X i , pi ) (X i , ui )

θ e u sono numeri di Grassmann (anticommutano)

Multivettori, k-forme e funzioni “ordinarie” sono interpretate inmodo unificato come funzioni polinomiali nelle variabili diGrassmann

I campi della teoria sono riguardati come funzioni polinomiali sullavarieta gradata



Gli anticampiL’antibracket

Lo spazio delle funzioni su ΠT ∗N eredita una versione gradatadella parentesi di Poisson, l’antibracket

Proprieta dell’antibracket

1 {f , g} = −(−1)(|f |−1)(|g |−1){g , f } Antisimmetria in sensogradato

2 {f , {g , h}} = {{f , g}, h}+ (−1)(|f |−1)(|g |−1){g , {f , h}}Identita di Jacobi gradata

3 Prova {f , gh} = {f , g}h + (−1)(|f |−1)|g |g{f , h} Versionegradata della regola di Leibniz

{f , g} =

←−∂ f

∂za{za, zb}

−→∂ g

∂zb



Gli anticampiGli anticampi

Ad ogni campo viene associato un anticampo con regole dicommutazione opposte

Y i Y +i Aµi A+i

µ γa γ+a

Antibracket fondamentali

Y j Aj γj Y +j A+j γ+j

Y i δij 0 0

Ai 0 0 δji 0

γi 0 0 δjiY +i − δji 0 0

A+i 0 − δij 0 0

γ+i 0 0 − δijM. Casati Universita degli Studi di Milano – Bicocca


Formulazione hamiltonianaEquazioni di campo

L’idea e utilizzare l’antibracket per scrivere le equazioni in formahamiltoniana

δS0

δY i= Ei

δS0

δAi= F i

Usando l’antibracket canonica

δS0

δY i= {S0,Y

+i } = Ei

δS0

δAi= −{S0,A

+i} = F i

Poiche S0 non contiene ghost ne anticampi, si ha poi

{S0, γ+a} = 0 {S0,Y

i} = 0

{S0,Ai} = 0 {S0, γa} = 0



Formulazione hamiltonianaTrasformazioni di gauge

L’idea e introdurre un funzionale S1 che generi le trasformazioni digauge e l’azione aggiunta dell’algebra dei generatori

(δY )i = −P ijγj (δA)i = dγi +∂P lm

∂X iAlγm

[γ1, γ2]c = −∂Pab

∂X cγaγb

{S1,Yi} = (δY )i {S1,Ai} = (δA)i {S1, γa} = [γ1, γ2]a

S1 =

∫M− Y +

i P ijγj+A+i ∧(

dγi +∂P lm

∂X iAlγm

)+

1

2γ+i ∂P lm

∂X iγlγm



Formulazione hamiltonianaEquazione master

Equazione master

{S ,S} = 0L’azione deve soddisfare lamaster equation

{S0 + S1, S0 + S1} 6= 0

Introducendo termini quadratici negli anticampi S0 + S1 + S2

soddisfa l’equazione master

S2 = −∫M

1

4A+i ∧ A+j ∂

2Pab

∂X i∂X jγaγb



Equazione masterAlgebra di gauge ed interpretazione di S2

La forma di S2 e data dalla struttura dell’algebra di gauge del PSM

[RY γ1,RY γ

2]i = − P ij

(−∂Pab

∂X jγ1aγ

2b

)[RAγ

1,RAγ2]µi =

∂

∂xµ

(−∂Pab

∂X iγ1aγ

2b

)+∂P lm

∂X iAµl

(−∂Pab

∂Xmγ1aγ

2b

)+

∂2Pab

∂X i∂X s

(∂Y s

∂xµ+ PstAµt

)γ1aγ

2b

[Rφγ1, [Rφγ

2,Rφγ3]]i+p.c. = 0

[Rφγ1, [Rφγ

2,Rφγ3]]µi+p.c. = 0

Nel PSM le identita di Jacobisono automaticamentesoddisfatte



Equazione masterAzione di Batalin–Vilkovisky

SBV =

∫M

Ai ∧ dY i + P lm(Y )Al ∧ Am

− Y +i P ijγj

+ A+i ∧(

dγi +∂P lm

∂X iAlγm

)+

1

2γ+i ∂P lm

∂X iγlγm

− 1

4A+i ∧ A+j ∂

2Pab

∂X i∂X jγaγb

S0 ⇒ Equazioni di campo

S1 ⇒ Trasformazioni digauge e azione aggiunta deigeneratori

S2 ⇒ Struttura dell’algebra

{SBV , SBV } = 0



Teoria AKSZPoisson Sigma Model nella formulazione AKSZ

I campi originari Y e A sono sostituiti con supercampi polinomialiin θ

Y : ΠTM → N A : ΠTM → ΠT ∗N

L’azione del modello formalmente e uguale a S0

S =

∫ΠTM

Ai ∧ DYi + P lm(Y)Al ∧ Am

ma tutti i termini del formalismo BV si ritrovano sviluppando isupercampi rispetto al grado [(x , θ) coord. su ΠTM]

Yi (x , θ) = Y i (x) + θµA+iµ (x) +

1

2θµθνγ+i

µν(x)

Ai (x , θ) = γi (x) + θµAµi (x) +1

2θµθνY +

µνi (x)



Bibliografia minima

P. Schaller e T. StroblPoisson structure induced (topological) field theoriesMod.Phys.Lett. A, 9 (1994)

J. Stasheff et a.Noether’s variational theorem II and the BV formalismRend.Circ.Mat.Pal., Suppl. 71 (2003)

A. Cattaneo e G. FelderOn the AKSZ formulation of Poisson Sigma ModelMath.Phys.Lett 56(2001)


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