Post on 13-Jun-2020
Fizik 103Ders 9
Dönme, Tork Moment, Statik DengeDr. Ali ÖVGÜN
DAÜ Fizik Bölümü
www.aovgun.com
December 26, 2016
Dönme Kinematiği
q θ‘nın birimi radyan (rad)’dır. Bir radyan, yarçapla eşit uzunluktaki bir yay parasının yarıçapa oranı ile elde edilen acıdır. :
rθs
rθ =
rs )2( π=rs=π2
s
!180)( =radπ
3601 57.32
radπ°= = °
( ) ( )180
rad degreesπθ θ=°
!360)(2 =radπ
)(180)(deg radrees θπ
θ!
=
December 26, 2016
Açısal Yer değiştirmehız ve ivme
Örnek 1:
December 26, 2016
Açısal ve Doğrusal Niceliklers rθ=v rω=a rα=
222 )( ωω r
rr
rvar === 2 2 2 2 2 4 2 4
t ra a a r r rα ω α ω= + = + = +
December 27, 2016
Örnek 2:
December 26, 2016
Dönme Kinetik EnerjisiqKi = ½ mivi
2
q vi = ωri
2mrI =
2 2
2 2 2
12
1 12 2
R i i ii i
R i ii
K K m r
K m r I
ω
ω ω
= =
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑
December 27, 2016
Örnek 3:
December 27, 2016
Torkq Bir F kuvvetinin bir cismi bir eksen etrafında
döndürme etkisine tork τ denir.
rF=τ
θτ sinrF=
Fr!!! ×=τ
December 26, 2016
Net Torkq Στ= τ1 + τ2 = F1d1 – F2d2q Eğer Στ≠0, cisim O
noktası etrafında döner.q Eğer Στ= 0, cismin dönüş
oranı değişmez yaniaçısal ivmesi sıfır olur.
December 26, 2016
Dönen cisimler ve Newton Yasaları
Iτ αΣ =
∑ =maF
Örnek 4:
December 26, 2016
Düşen Cisimlerq Kütlesi M = 2.5 kg ve yarıçapı R = 0.2
m olan katı içi dolu silindir şekildeki gibikuydan su çekmek için kullanılıyor. Kütlesi m = 1.2 kg olan bir kovasilindire bağlanıyor. Buna göre (a) ipteki gerilim kuvveti T ve kovanınivmesi a nedir?
q (b) Eğer cisim serbest halden düşüşebaşlarsa ve 3 saniye sonra suyaulaşırsa, kuyu ne kadar derindir?
Örnek 5:
December 26, 2016
Çözümq SCD çizq Sadece silindir dönüyor
tork uygulaΣ τ = Iα
q Kova dönmeden aşağıyainiyor kuvvet denkleminikullanΣ F = ma
q Unutma a = αr vedenklemleri çöz
r
a
mg
December 26, 2016
kova için SCD :
Silindir için SCD:
r
a
mg
T
mgy
N
MgT
yF ma mg T= = −∑( ) T m g a= − Bilinmeyenler: T, a
212
I Mr=0 Tr Iτ α= + =∑
1 22
( ) Tr m g a rMrI
α −= = Bilinmeyenler: a, α
a rα=
2 1 2 m mgM Mr
α ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 2
2 2 mgr m rMr Mr
αα = − 2 ( 24 / )( / 2)mg rad s
r m Mα = =
+
• m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, r =0.2 m
December 26, 2016
Kütle m içinSCD:
r
a
mg
T
mgy
yF ma mg T= = −∑( ) T m g a= − Unknowns: T, a
2 ( 4.8 m/s )( / 2)
mgam M
= =+
2 ( 24 rad/s )( / 2)mg
r m Mα = =
+
( ) 1.2(9.8 4.8) 6 NT m g a= − = − =
2 2 21 1 0 (4.8 m/s )(3 s) 21.6m 2 2f i ix x v t at− = + = + =
• m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, r =0.2 m
December 26, 2016
Verilen kuvvet ve yer değişimi için torkuhesaplayınız.
mjirNjiF )ˆ5ˆ4( )ˆ3ˆ2( +=+= !!
(Nm) ˆ2ˆ10ˆ120ˆ2ˆ5ˆ3ˆ40
ˆ3ˆ5ˆ2ˆ5ˆ3ˆ4ˆ2ˆ4
)ˆ3ˆ2()ˆ5ˆ4(
kkkijji
jjijjiii
jijiFr
=−=+×+×+=
×+×+×+×=
+×+=×=!!!τÇözüm:
ˆˆ ˆ
4 5 02 3 0
i j kA B× =r r
i
kj
Örnek 6:
12/27/16
Statik ve DengeBir sistemin dengede olmasının sartı
üzerine etki eden kuvvetlerinbileskesinin ve bir noktaya gore
momentinin(torkun) sıfır olmasıdır.
0
0 0
,,
,,
,,
=∑=
=∑==∑=
zextznet
yextynet
xextxnet
FFFF
ττ
December 27, 2016
Örnek 7:
12/26/16
Örnek 8:
December 27, 2016
December 27, 2016
A) Kızın kütlesi m, Babanın kütlesi M vetahtaravallinin kütlesi mp ise. Kız merkeze 2 metre uzağa oturmuştur. Cisim tarafındanuygulanan normal kuvveti bulunuz. B) Sistem dengede ise M kütlesine sahipbabanın nereye oturması gerektiğini bulunuz.
Örnek 9:
12/26/16
gmMgmgngmMgmgnF
pl
plynet
++=
=−−−= 0,
m 00.22
000,
<=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
==++−=
+++=
Mmd
Mmx
MgxmgdMgxmgd
nplfdznet τττττ
0
0 0
,,
,,
,,
=∑=
=∑==∑=
zextznet
yextynet
xextxnet
FFFF
ττ
12/26/16
Mmd
Mmx
MgxmgdMgxmgd
nplfdznet
2
000,
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
==++−=
+++= τττττ
0
0 0
,,
,,
,,
=∑=
=∑==∑=
zextznet
yextynet
xextxnet
FFFF
ττ
Babanın oturması gereken yeri bulunuz.
Mmd
Mmx
MgxmgddgmmgMggdmMgxMgd
ndgdmxdMg
plpl
pl
nplfdznet
2
0)(
0)(0,
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
=
=+++−−−
=+−+−=
+++= τττττ
OP
Dönme noktası olarak O Dönme noktası olarak P
12/27/16
Örnek 10: Dayalı Merdivenq Uzunluğu l olan bir
merdiven denge halindebir duvara dayalı olarakduruyor. Merdivenin kütlesim ve yer ile arasındakistatik sürtünme katsayısıµs = 0.40 ise merdiveninkaymaması içindayamamız gereken θaçısını bulunuz..
0
0 0
,,
,,
,,
=∑=
=∑==∑=
zextznet
yextynet
xextxnet
FFFF
ττ
12/27/16
q Aşağıdaki serbest cisim diagramlarından hangisidoğrudur?
A B C D
12/27/16
q µs = 0.40. Merdiven kaymıyorsa θ açısını bulunuz?
mgnfPmgnfP
mgnFPfF
ssx
x
y
xx
µµ =====
=−=∑=−=∑
max,
00
mg
12/27/16
Dönme noktası nerede seçilirse sorudaha kolay çözülür?
mg mg mg mg
O
O
O
O
A) B) C) D)
12/27/16
q µs = 0.40.
!51])4.0(2
1[tan)21(tan
21
22tan
cossin
0cos2
sin00
11min
minmin
min
minmin
===
====
=−++=
+++=∑
−−
s
ss
PgfnO
mgmg
Pmg
lmgPl
µθ
µµθ
θθ
θθ
τττττ
mg
12/27/16
Örnek 11: Dengedeki Yatay Çubuk
q Uzunluğu l = 8.00 m ve ağırlığı Wb= 200 N olan bir tahta duvaramonte ediliyor. Diğer ucundan isebir iple duvarın üstüne φ = 53°açısı ile dengeleniyor. Tahtanınüzerinde duran işçinin ağırlığı Wp = 600 N ve duvara uzunluğu d = 2.00 ise ipteki gerilme kuvveti T veduvardaki tepki kuvvetini bulunuz?
12/26/16
SCD
12/26/16
0sinsin0coscos
=−−+=∑=−=∑
bpy
x
WWTRFTRF
φθφθ
Nm
mNmNl
lWdWT
lWdWlT
bp
bpz
31353sin)8(
)4)(200()2)(600(sin
)2(
0)2())(sin(
=+=+
=
=−−=∑
!φ
φτ
NNTR
TTWWT
TWWRR
bp
bp
5817.71cos53cos)313(
coscos
7.71sin
sintan
sinsin
tancossin
1
===
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
−+==
−
!
!
!
θφ
φφ
θ
φφ
θθθ
December 26, 2016
Dönen Cisimlerin ToplamEnerjisi
22
21
21 ωIMghMvE ++=
212rK Iω=
U Mgh=
212tK Mv=
December 26, 2016
Örnek 12: Eğik DüzlemdekiDönen Top
q Kütlesi M ve yarıçapı R olan bir top hareketsiz bir haldeh yüksekliğinden dönerek aşağıya doğru 30° açılı bireğik düzlemde iniyor. En altta ulaştığındaki hızı nedir?
22
210
2100 ff IMvMgh ω++=++
2222
21
21
21
21
fffiii ImgymvImgymv ωω ++=++
222
222
51
21
52
21
21
fff
f MvMvRv
MRMvMgh +=+=
2
52MRI =
Rv f
f =ω
2/1)710( ghv f =
2
52MRI =
Örnek 13: Dönen Cisimler veEnerjileri
q Hareketsiz bir şekilde A noktasından bir top dönerek B ye doğru harekete başlıyor. Dönmeden giden kutu mu yoksa dönerekgiden topmu daha önce B noktasına ulaşır?
q Dönen Top:
q Kayan Kutu:
2222
21
21
21
21
fffiii ImgymvImgymv ωω ++=++
2 21 12 2f fmgh mv Iω= +
ffii mgymvmgymv +=+ 22
21
21
21sliding: 2 fmgh mv=
2 2 2 21 1 2 7( / )2 2 5 10f f fmv mR v R mv⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠
27rolling: 10 fmgh mv=
December 26, 2016
Örnek 14: Makaralı Kutuq Kütleleri m1 ve m2 olan iki kutu birbirlerine
iple yarıçapı R, eylemsizlik(atalet) momenti I olan ve dönen bir makara aracılığıylabağlıdır. Sistem hareketsiz halden serbestbırakılıyor.
q Kutu 2 h kadar aşağıya indiğinde Kutularınöteleme hızı ne olur?
q Makaranın açısal dönme hızı ne olur?
December 26, 2016
ghmghmvRImm f 12
2221 )(
21 −=++
000)()21
21
21( 21
222
21 ++=−+++ ghmghmIvmvm fff ω
, , , ,rot f cm f f rot i cm i iK K U K K U+ + = + +
2/1
221
12
/)(2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−=RImmghmmvf
2/1
221
12
/)(21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−==RImmghmm
RRvf
fω
December 26, 2016
December 26, 2016
December 26, 2016
December 26, 2016