Fizik 103Ders 9

Dönme, Tork Moment, Statik DengeDr. Ali ÖVGÜN

DAÜ Fizik Bölümü

www.aovgun.com

December 26, 2016

Dönme Kinematiği

q θ‘nın birimi radyan (rad)’dır. Bir radyan, yarçapla eşit uzunluktaki bir yay parasının yarıçapa oranı ile elde edilen acıdır. :

rθs

rθ =

rs )2( π=rs=π2

s

!180)( =radπ

3601 57.32

radπ°= = °

( ) ( )180

rad degreesπθ θ=°

!360)(2 =radπ

)(180)(deg radrees θπ

θ!

=

December 26, 2016

Açısal Yer değiştirmehız ve ivme

Örnek 1:

December 26, 2016

Açısal ve Doğrusal Niceliklers rθ=v rω=a rα=

222 )( ωω r

rr

rvar === 2 2 2 2 2 4 2 4

t ra a a r r rα ω α ω= + = + = +

December 27, 2016

Örnek 2:

December 26, 2016

Dönme Kinetik EnerjisiqKi = ½ mivi

2

q vi = ωri

2mrI =

2 2

2 2 2

12

1 12 2

R i i ii i

R i ii

K K m r

K m r I

ω

ω ω

= =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

December 27, 2016

Örnek 3:

December 27, 2016

Torkq Bir F kuvvetinin bir cismi bir eksen etrafında

döndürme etkisine tork τ denir.

rF=τ

θτ sinrF=

Fr!!! ×=τ

December 26, 2016

Net Torkq Στ= τ1 + τ2 = F1d1 – F2d2q Eğer Στ≠0, cisim O

noktası etrafında döner.q Eğer Στ= 0, cismin dönüş

oranı değişmez yaniaçısal ivmesi sıfır olur.

December 26, 2016

Dönen cisimler ve Newton Yasaları

Iτ αΣ =

∑ =maF

Örnek 4:

December 26, 2016

Düşen Cisimlerq Kütlesi M = 2.5 kg ve yarıçapı R = 0.2

m olan katı içi dolu silindir şekildeki gibikuydan su çekmek için kullanılıyor. Kütlesi m = 1.2 kg olan bir kovasilindire bağlanıyor. Buna göre (a) ipteki gerilim kuvveti T ve kovanınivmesi a nedir?

q (b) Eğer cisim serbest halden düşüşebaşlarsa ve 3 saniye sonra suyaulaşırsa, kuyu ne kadar derindir?

Örnek 5:

December 26, 2016

Çözümq SCD çizq Sadece silindir dönüyor

tork uygulaΣ τ = Iα

q Kova dönmeden aşağıyainiyor kuvvet denkleminikullanΣ F = ma

q Unutma a = αr vedenklemleri çöz

r

a

mg

December 26, 2016

kova için SCD :

Silindir için SCD:

r

a

mg

T

mgy

N

MgT

yF ma mg T= = −∑( ) T m g a= − Bilinmeyenler: T, a

212

I Mr=0 Tr Iτ α= + =∑

1 22

( ) Tr m g a rMrI

α −= = Bilinmeyenler: a, α

a rα=

2 1 2 m mgM Mr

α ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 2

2 2 mgr m rMr Mr

αα = − 2 ( 24 / )( / 2)mg rad s

r m Mα = =

+

• m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, r =0.2 m

December 26, 2016

Kütle m içinSCD:

r

a

mg

T

mgy

yF ma mg T= = −∑( ) T m g a= − Unknowns: T, a

2 ( 4.8 m/s )( / 2)

mgam M

= =+

2 ( 24 rad/s )( / 2)mg

r m Mα = =

+

( ) 1.2(9.8 4.8) 6 NT m g a= − = − =

2 2 21 1 0 (4.8 m/s )(3 s) 21.6m 2 2f i ix x v t at− = + = + =

• m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, r =0.2 m

December 26, 2016

Verilen kuvvet ve yer değişimi için torkuhesaplayınız.

mjirNjiF )ˆ5ˆ4( )ˆ3ˆ2( +=+= !!

(Nm) ˆ2ˆ10ˆ120ˆ2ˆ5ˆ3ˆ40

ˆ3ˆ5ˆ2ˆ5ˆ3ˆ4ˆ2ˆ4

)ˆ3ˆ2()ˆ5ˆ4(

kkkijji

jjijjiii

jijiFr

=−=+×+×+=

×+×+×+×=

+×+=×=!!!τÇözüm:

ˆˆ ˆ

4 5 02 3 0

i j kA B× =r r

i

kj

Örnek 6:

12/27/16

Statik ve DengeBir sistemin dengede olmasının sartı

üzerine etki eden kuvvetlerinbileskesinin ve bir noktaya gore

momentinin(torkun) sıfır olmasıdır.

0

0 0

,,

,,

,,

=∑=

=∑==∑=

zextznet

yextynet

xextxnet

FFFF

ττ

December 27, 2016

Örnek 7:

12/26/16

Örnek 8:

December 27, 2016

December 27, 2016

A) Kızın kütlesi m, Babanın kütlesi M vetahtaravallinin kütlesi mp ise. Kız merkeze 2 metre uzağa oturmuştur. Cisim tarafındanuygulanan normal kuvveti bulunuz. B) Sistem dengede ise M kütlesine sahipbabanın nereye oturması gerektiğini bulunuz.

Örnek 9:

12/26/16

gmMgmgngmMgmgnF

pl

plynet

++=

=−−−= 0,

m 00.22

000,

<=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

==++−=

+++=

Mmd

Mmx

MgxmgdMgxmgd

nplfdznet τττττ

0

0 0

,,

,,

,,

=∑=

=∑==∑=

zextznet

yextynet

xextxnet

FFFF

ττ

12/26/16

Mmd

Mmx

MgxmgdMgxmgd

nplfdznet

2

000,

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

==++−=

+++= τττττ

0

0 0

,,

,,

,,

=∑=

=∑==∑=

zextznet

yextynet

xextxnet

FFFF

ττ

Babanın oturması gereken yeri bulunuz.

Mmd

Mmx

MgxmgddgmmgMggdmMgxMgd

ndgdmxdMg

plpl

pl

nplfdznet

2

0)(

0)(0,

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

=

=+++−−−

=+−+−=

+++= τττττ

OP

Dönme noktası olarak O Dönme noktası olarak P

12/27/16

Örnek 10: Dayalı Merdivenq Uzunluğu l olan bir

merdiven denge halindebir duvara dayalı olarakduruyor. Merdivenin kütlesim ve yer ile arasındakistatik sürtünme katsayısıµs = 0.40 ise merdiveninkaymaması içindayamamız gereken θaçısını bulunuz..

0

0 0

,,

,,

,,

=∑=

=∑==∑=

zextznet

yextynet

xextxnet

FFFF

ττ

12/27/16

q Aşağıdaki serbest cisim diagramlarından hangisidoğrudur?

A B C D

12/27/16

q µs = 0.40. Merdiven kaymıyorsa θ açısını bulunuz?

mgnfPmgnfP

mgnFPfF

ssx

x

y

xx

µµ =====

=−=∑=−=∑

max,

00

mg

12/27/16

Dönme noktası nerede seçilirse sorudaha kolay çözülür?

mg mg mg mg

O

O

O

O

A) B) C) D)

12/27/16

q µs = 0.40.

!51])4.0(2

1[tan)21(tan

21

22tan

cossin

0cos2

sin00

11min

minmin

min

minmin

===

====

=−++=

+++=∑

−−

s

ss

PgfnO

mgmg

Pmg

lmgPl

µθ

µµθ

θθ

θθ

τττττ

mg

12/27/16

Örnek 11: Dengedeki Yatay Çubuk

q Uzunluğu l = 8.00 m ve ağırlığı Wb= 200 N olan bir tahta duvaramonte ediliyor. Diğer ucundan isebir iple duvarın üstüne φ = 53°açısı ile dengeleniyor. Tahtanınüzerinde duran işçinin ağırlığı Wp = 600 N ve duvara uzunluğu d = 2.00 ise ipteki gerilme kuvveti T veduvardaki tepki kuvvetini bulunuz?

12/26/16

SCD

12/26/16

0sinsin0coscos

=−−+=∑=−=∑

bpy

x

WWTRFTRF

φθφθ

Nm

mNmNl

lWdWT

lWdWlT

bp

bpz

31353sin)8(

)4)(200()2)(600(sin

)2(

0)2())(sin(

=+=+

=

=−−=∑

!φ

φτ

NNTR

TTWWT

TWWRR

bp

bp

5817.71cos53cos)313(

coscos

7.71sin

sintan

sinsin

tancossin

1

===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

−+==

−

!

!

!

θφ

φφ

θ

φφ

θθθ

December 26, 2016

Dönen Cisimlerin ToplamEnerjisi

22

21

21 ωIMghMvE ++=

212rK Iω=

U Mgh=

212tK Mv=

December 26, 2016

Örnek 12: Eğik DüzlemdekiDönen Top

q Kütlesi M ve yarıçapı R olan bir top hareketsiz bir haldeh yüksekliğinden dönerek aşağıya doğru 30° açılı bireğik düzlemde iniyor. En altta ulaştığındaki hızı nedir?

22

210

2100 ff IMvMgh ω++=++

2222

21

21

21

21

fffiii ImgymvImgymv ωω ++=++

222

222

51

21

52

21

21

fff

f MvMvRv

MRMvMgh +=+=

2

52MRI =

Rv f

f =ω

2/1)710( ghv f =

2

52MRI =

Örnek 13: Dönen Cisimler veEnerjileri

q Hareketsiz bir şekilde A noktasından bir top dönerek B ye doğru harekete başlıyor. Dönmeden giden kutu mu yoksa dönerekgiden topmu daha önce B noktasına ulaşır?

q Dönen Top:

q Kayan Kutu:

2222

21

21

21

21

fffiii ImgymvImgymv ωω ++=++

2 21 12 2f fmgh mv Iω= +

ffii mgymvmgymv +=+ 22

21

21

21sliding: 2 fmgh mv=

2 2 2 21 1 2 7( / )2 2 5 10f f fmv mR v R mv⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

27rolling: 10 fmgh mv=

December 26, 2016

Örnek 14: Makaralı Kutuq Kütleleri m1 ve m2 olan iki kutu birbirlerine

iple yarıçapı R, eylemsizlik(atalet) momenti I olan ve dönen bir makara aracılığıylabağlıdır. Sistem hareketsiz halden serbestbırakılıyor.

q Kutu 2 h kadar aşağıya indiğinde Kutularınöteleme hızı ne olur?

q Makaranın açısal dönme hızı ne olur?

December 26, 2016

ghmghmvRImm f 12

2221 )(

21 −=++

000)()21

21

21( 21

222

21 ++=−+++ ghmghmIvmvm fff ω

, , , ,rot f cm f f rot i cm i iK K U K K U+ + = + +

2/1

221

12

/)(2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=RImmghmmvf

2/1

221

12

/)(21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−==RImmghmm

RRvf

fω

December 26, 2016

December 26, 2016

December 26, 2016

December 26, 2016