Post on 15-Jul-2020
ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις
Ταλαντώσεις
Ταλαντώσεις
ΎληΎλη πάνωπάνω στιςστις ταλαντώσειςταλαντώσεις ::• Απλή αρμονική κίνηση (ΑΑΤ – SHO)• F και E της απλής αρμονικής κίνησης• Η δυναμική της ΑΑΚ (αντίστροφο)• Απλό εκκρεμές• Φυσικό εκκρεμές (στροφικό εκκρεμές)• Υπερθέσεις – Συζευγμένες και μη αρμονικός• Ταλαντώσεις με απόσβεση• Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις – συντονισμός• FastFourierTransform(FFT)( εκτός εξεταστέας ύλης)
Απλή αρμονική κίνηση(ΑΑΤ – SHO)
ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις
•• ΠεριοδικήΠεριοδική κίνησηκίνηση ((επανάληψηεπανάληψη σεσε ίσαίσα χρονιχρονι--κάκά διαστήματαδιαστήματα μεμε coscosήή sinsin αρμονικήαρμονικήκίνησηκίνηση (x=f(t)=f(t+T)(x=f(t)=f(t+T)
•• ΠεριοδικήΠεριοδική σεσε ίδιαίδια τροχιάτροχιά ταλάντωσηταλάντωση•• ΤριβέςΤριβές ((κατανάλωσηκατανάλωση ενέργειαςενέργειας)) φθίνουσαφθίνουσα•• ΌχιΌχι μόνομόνο μηχανικάμηχανικά συστήματασυστήματα αλλάαλλά καικαι τοτοφωςφως,,ραδιοκύματαραδιοκύματα ταλάντωσηταλάντωση ηλεκτρικούηλεκτρικούκαικαι μαγνητικούμαγνητικού πεδίουπεδίου
•• ΚοινήΚοινή ηη μαθηματικήμαθηματική τουςτουςπεριγραφήπεριγραφή
Βασικές έννοιες απλής αρμονικής κίνησης
•• x=Acos(x=Acos(ωωtt++φφ))•• φάσηφάση ((ωωtt))καικαι αρχικήαρχική φάσηφάση ((t=0t=0 φφ))•• περίοδοςπερίοδος –– συχνότητασυχνότητα•• μετατόπισημετατόπιση,,πλάτοςπλάτος ((ΑΑ)()(μέγιστομέγιστο ελάχιστοελάχιστο),),θέσηθέση ισορροπίαςισορροπίας
•• αίτιοαίτιο κίνησηςκίνησης:: δύναμηδύναμη επαναφοράςεπαναφοράς καικαιδυναμικήδυναμική ενέργειαενέργεια
•• ενέργειαενέργεια αρμονικούαρμονικού ταλαντωτήταλαντωτή•• ταχύτηταταχύτητα κίνησηςκίνησης καικαι επιτάχυνσηεπιτάχυνση
XX =0=0 ( ) += tAx cos
ΈστωΈστω
A
x(t)x(t)
v(t)v(t)
a(t)a(t)
ΠειραματικέςΠειραματικές μετρήσειςμετρήσεις ( ) += tAx cos
minmin
0 0
maxmax
( )
22
cos
==
+=
T
tAx
02
2
2
=+ xdt
xd
( )
( ) xtAdt
xd
dt
dua
tAdt
dxu
22
2
2
cos
sin
-=+-===
+-==
ΣτηνΣτην AAK:AAK:επιτάχυνσηεπιτάχυνση--μετατόπισημετατόπιση
180180οο9090οο
--9090οο
κλειστήκλειστήF=ma=F=ma=--kx kx
ΚβαντομηχανικήΚβαντομηχανικήΑρμονικόςΑρμονικός ταλαντωτήςταλαντωτήςΕξίσωσηΕξίσωση SchrodingerSchrodinger
Αρμονική Δύναμη F και Ενέργεια Eτης απλής αρμονικής κίνησης
( )
kzjyixkFjFiFF
ύήrrF
zyxˆˆˆˆˆˆ
) (
++-=++=
-=
mkmk
kxxmFamF
==
-=-==
2
2
ΕνέργειαΕνέργεια :: κινητικήκινητική,, δυναμικήδυναμική,, ολικήολική
m
k
kmT
Tά
2
1
22
=
==
ελατήριοελατήριοk k μάζαμάζα
222
002
1
2
1xmkxEkxdE
kxdx
dE
dx
dEF
P
xE
P
pp
P
===
-=--=
( )
( )( ) ( )AxA
xAmtAm
tAmmuEkin
+-
-=+-=
=+==
222222
2222
21cos1
21
sin2
12
1
),(2
1
2
1 222 AkfkAAmEEE Pkinή ===+=
ΗΗ δυναμικήδυναμική τηςτης ΑΑΚΑΑΚ((αντίστροφοαντίστροφο))
ΑνΑν έχωέχω μιαμια ελκτικήελκτική δύναμηδύναμη F F ανάλογηανάλογηπροςπρος τητη μετατόπισημετατόπιση xx
έχωέχω απλήαπλή αρμονικήαρμονική κίνησηκίνηση
xmaF =
( )
+=
=+=
=+-=
tAx
xdt
xd
mk
kxdt
xdmkx
dt
xdm
cos
0
0
2
2
22
2
2
2
2
( )
+=-=
-==
=+-==
2
2
02
0
0
0
00
& tan
sin & cos
0sin
uxA
x
u
AuAx
ttAdt
dxu
ΑπλόΑπλό
εκκρεμές
εκκρεμές
ddθθ
-=
-=
sin
sin
2
2
mgdt
dml
mgFT
( )
g
lTT
tl
g
22&
cos & 0
2
==
+==
ll
ddxx
θθ
0
0sin
2
2
2
2
=+
=+
l
g
dt
d
l
g
dt
d
mgmg
Rs =
RRθθ
ss
sinsinθθ σεσε μοίρεςμοίρες
θθ σεσε rads rads
% % διαφοράδιαφορά4,7%4,7%
3030οο
+
+
+
+= 242
16
112...
2sin
64
9
2sin
4
112
g
l
g
lT
( )
+
+
+
+= .....
2sin
6
5
4
3
2
1
2sin
4
3
2
1
2sin
2
112 6
2
2
2
2
2
24
2
2
2
22
2
2
g
lT
ΦυσικόΦυσικό εκκρεμέςεκκρεμές-- στροφικόστροφικό εκκρεμέςεκκρεμές
C C
OO
θθ
ΖΖ
ΖΖ’’
bb
W=mgW=mg
ΦυσικόΦυσικό εκκρεμέςεκκρεμές
WDDSWDDS
-==
-=
sin
sin
2
2
,
mgbdt
dI
mgb
z
zό
0
22
22
2
2
Kgb
K
gb
dt
d
mKI
=
=+
=
0
0sin
2
2
2
2
=+
=+
I
mgb
dt
d
I
mgb
dt
d
SteinermRII
gb
KTT
C
22
2
2
+=
==
CC
OO
θθ
ΖΖ
ΖΖ’’
bb
W=mgW=mg
ITT
I
όό 22
2
==
=
-==
-=
sin
sin
2
2
ό
ό
dt
dI
0
0sin
2
2
2
2
=+
=+
Idt
d
Idt
dCC
θθ
ΙΙ
cmlRcmlLcmlRcml discrodring 1,333/4 2,372/3 4,122/ 8,24 =======
ΕκκρεμέςΕκκρεμές ΔακτύλιοςΔακτύλιος ΡάβδοςΡάβδος ΔίσκοςΔίσκος
( )
g
l
Tg
l
T
g
l
g
RT
g
lT
discrod
ringpend
34
2 32
2
22
22
2 2
==
===
l ringRrodL
R
?? ,1 lHz
discR
ΆσκησηΆσκησηΥπολογίστεΥπολογίστε
Eολ = Εκ + U(r) Eολ > 0 (αέριο)Eολ ~ 0 (υγρό)Eολ < 0 (στερεό
r0
rΑ
Α΄Τ΄>Τ
<r><r>Εκ(Τ)
Εκ(Τ)
Β
Β΄
Τ΄<Τ
Τ
0
>0
<0
Αέριο
Υγρό
Στερεό
Εολ=U+Εκ
12 6
6 12 0( )U r Ur r
-
= -
http://users.sch.gr/kassetas/applets4.htmhttp://users.sch.gr/kassetas/applets4.htm
Ταλαντώσεις με απόσβεση
kk
F(t)
X(t)
Οι ταλαντώσεις μετά απόκάποιες αιωρήσεις συνεχώςμικραίνουν σε πλάτος και στοτέλος σταματάνε. Η ταλάντω-ση είναι φθίνουσα.
Δυναμικά θα πρέπει πέρα απότην ελαστική δύναμη F=F=--kxkx ναδρα πάνω στο σώμα και μια άλληαντίθετη δύναμη ανάλογη με τηταχύτητά του δηλ. FF’’==--λλuu
ukxma --=
ΤαλάντωσηΤαλάντωσημεμε απόσβεσηαπόσβεση
ΦθίνουσαΦθίνουσα ((μεμε απόσβεσηαπόσβεση) ) ταλάντωσηταλάντωση((μετρήσειςμετρήσεις απόαπό ΑΑ5 5 –– Cavendish)Cavendish)
Y(t)Y(t)
V(t)V(t)
Y=Y(V)Y=Y(V)
σπειροειδήςσπειροειδής μεμεκατάληξηκατάληξη τοτο κέντροκέντρο
dumpeddumped& long& long
ΦθίνουσαΦθίνουσα αρμονικήαρμονική ταλάντωσηταλάντωση ελατηρίουελατηρίου (10 (10 minmin !!) )
xx
u u
a(F) a(F)
xx
tt
xx
u u tt
02
2
=++--== kxdt
dx
dt
xdmukxmaF
( )
( )
( ) ( )
έίΑtAex
όήόm
ήm
kxdt
dx
dt
xd
t
oo
, cos
2 &
. 02 22
2
2
+=
=
==++
-
2
222
4mmk -=-=
Σχόλιο: χρόνος απόσβεσης πλάτους κατά 10%και συχνότητα ταλάντωσης από τον αέρα : F=-6πηRvγ~6,4*10-4s-1 (A.F. 27 min & 9,8 ./. 4*10-7 αμελητέο
OverdampedOverdamped
ΕργαστήριοΕργαστήριοΦΦ33
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις- συντονισμός
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις
tFukxma o .cos+--=
tm
Fx
dt
dx
dt
xd oo .
2
2
2
cos2 =++
k ωm
x
e.g. Tacoma Narrows Bridge, Washington 1942
( ) 22
0
2
0
2 1
4
1
+-
Tacoma Narrows Bridge, Washington 1942
ΗΗ κρεμαστήκρεμαστή γέφυραγέφυρα ήτανήτανσανσαν μιαμια σανίδασανίδα πουπου όμωςόμωςεγκλώβιζεεγκλώβιζε τοντον άνεμοάνεμο αντίαντίνανα τοτο αφήνειαφήνει νανα περνάειπερνάειαπόαπό μέσαμέσα..ΟΟ άνεμοςάνεμος δημιούργησεδημιούργησε μιαμιαδύναμηδύναμη σεσε συντονισμόσυντονισμό μεμετητη φυσικήφυσική συχνότητασυχνότητα τηςτηςγέφυραςγέφυρας ((μεμε uu μικρήμικρή))ΤοΤο πλάτοςπλάτος τηςτης ταλάντωσηςταλάντωσηςαυξήθηκεαυξήθηκε μέχριμέχρι πουπου ηηγέφυραγέφυρα κατέπεσεκατέπεσε (film)(film)
ΥπέρθεσηΥπέρθεση καικαι σύζευξησύζευξη ταλαντώσεωνταλαντώσεων((μημη εξεταστέαεξεταστέα ύληύλη –– χρήσηχρήση))
•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων ίδιαςίδιαςσυχνότηταςσυχνότητας καικαι κατεύθυνσηςκατεύθυνσης ((συμβολήσυμβολή))
•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων διαφοδιαφο--ρετικήςρετικής συχνότηταςσυχνότητας καικαι ίδιαςίδιας κατεύθυνσηςκατεύθυνσης((διακροτήματαδιακροτήματα//κινητήρεςκινητήρες ελικοφόρωνελικοφόρων αεροπλάνωναεροπλάνων))
•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων ίδιαςίδιαςσυχνότηταςσυχνότητας μεμε κάθετεςκάθετες κατευθύνσειςκατευθύνσεις ήή//καικαιδιαφορετικέςδιαφορετικές συχνότητεςσυχνότητες ((εικόνεςεικόνες Lissajous)Lissajous)
•• ΣυζευγμένεςΣυζευγμένες ταλαντώσειςταλαντώσεις ((ενέργειαενέργεια σύζευξηςσύζευξης))•• ΑναρμονικόςΑναρμονικός ταλαντωτήςταλαντωτής ((66--12Lenard12Lenard--JonesJones//ΦΦ22))
διακροτήματαδιακροτήματα
LissajousLissajousff22
ff11
ΘεώρημαΘεώρημα FourierFourierΑνάλυσηΑνάλυση Fourier Fourier
Fast Fourier Transform (FFT) Fast Fourier Transform (FFT)
)()( Ttftf +=
( ) ( )
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn tnbtnaa
tf
( ) ( )
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn tnbtnaa
tf
( )+
=
Tt
t
n dttntfT
a0
0
cos)(2
( )+
=
Tt
t
n dttntfT
b0
0
sin)(2
=
2
+
=
Tt
t
o dttfT
a0
0
)(2
+
-=
Tt
t
tin
n dtetfT
g0
0
)(2 0, 1, 2,...n = ± ±
ff((--tt)=)=ff((tt)) άρτιαάρτια bbnn=0=0 μόνομόνο συνημίτονασυνημίτοναff((--tt)=)=--ff((tt)) περιττήπεριττή aann=0 =0 μόνομόνο ημίτοναημίτονα Φ4
tin
n
negtf
-=
=)(
3 και 9 Hz
3, 9, 15και 21 Hz
Τετραγωνικός παλμός - προσέγγιση
ωω=2=2πνπν=4,54=4,54νν=0,72=0,72
F=F=--kxkx
F(t)
x(t)
v(t)
ΣύνθετηΣύνθετηπεριοδικήπεριοδικήκίνησηκίνηση((πολλέςπολλέςαρμονικέςαρμονικές) )