Post on 13-Mar-2021
ESTRUCTURAS I
F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018
ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS
Al analizar estructuras edilicias,
estamos estudiando estructuras que se
encuentran en equilibrio estático
las sumatorias de las
proyecciones de las fuerzas a
que está sometida, sobre dos ejes
perpendiculares son nulas
y
xVerificar el EQUILIBRIO ESTÁTICO implica:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
desplazamiento
giro
Aseguran la ausencia
de desplazamientos
Asegura la ausencia
de giros
Quedan planteadas 3 ecuaciones
para verificar el
EQULIBRIO ESTÁTICO
la sumatoria de los momentos
que esas acciones producen, con
respecto a cualquier punto del
plano, es nula
Frente a un sistema de fuerzas externas
actuando sobre la estructura, debemos
asegurar que ésta no se desplace y gire
Una estructura esquematizable en el
plano, y considerada como cuerpo rígido
e indeformable, puede experimentar dos
movimientos posibles:
repaso de EQUILIBRIO ESTÁTICO
Permiten resolver 3
incógnitas en un
sistema determinado
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Cond. de
equilibrio:Las reacciones en
los apoyos se det.
aplicando:
Estructura hiperestática
Estructura isostática
Estructura hipostática
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
no tienen la posibilidad de
alcanzar el equilibrio para
todos los posibles estados
de carga que se presenten
Nº ecuac. de
equilibrioNº
incógnitas<
Puede ser analizada
mediante los principios
de la Estática
vínculos sobreabundantes
“Grado de Hiperestaticidad”
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Cond. de
equilibrio:
Las reacciones en
los apoyos se det.
aplicando:
Cond. de Deformación
Nº ecuac. de
equilibrioNº
incógnitas>
Nº ecuac. de
equilibrioNº
incógnitas=Sistema
determinado
Sistema
indeterminado
1° Grado
2° Grado
3° Grado ecuaciones
Quedan planteadas 3 ecuaciones
para verificar el
EQULIBRIO ESTÁTICO
Permiten resolver 3
incógnitas en un
sistema determinado
Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS
Viga continua conformada por 2 tramos -
Estructura HIPERESTÁTICA
Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS
Viga continua conformada por 2 tramos -
Estructura HIPERESTÁTICA
Diferente
comportamiento
L
p (daN/m)
L
p (daN/m)
0 0 00
Ventajas de las estructuras
Hiperestáticas:
Desventaja de las
estructuras
Hiperestáticas:
Estructuras más
rígidas y sus
deformaciones son
menores.
Esfuerzos menores
provocados por
Momentos Flectores
Dimensionado con
menores secciones
(ahorro de materiales)
Isostática Hiperestática
Mayor estabilidad
frente a todo tipo de
cargas
(horizontales,
verticales, etc)
Dificultad de análisis y diseño (…debemos recurrir al estudio
de las deformaciones)
Estructuras ISOSTÁTICAS
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0Σ M = 0
Nº ecuac. de
equilibrioNº
incógnitas=1. Reacciones en apoyos
(Equilibrio Global)
2. Solicitaciones
3. Dimensionado
Se deben considerar:
• cargas actuantes
(fuerzas exteriores)
• posición y tipo de
vínculos
ISOSTÁTICA
NO tenemos en cuenta:
• geometría de la estructura
• Caract. elásticas del material
• Geometría de secciones transversales
de c/barra
Se abandona el principio de rigidez relativa de
los cuerpos…
Estructuras HIPERESTÁTICAS
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Las ecuaciones de equilibrio
no son suficiente
Nº ecuac. de
equilibrioNº
incógnitas<El equilibrio de la estructura
está asegurado con vínculos
superabundantes
2. Solicitaciones
3. Dimensionado
¿cómo determino los valores de
las reacciones en los apoyos? hay que recurrir a nuevas ecuaciones que
nos permitan tener un sistema determinado
En general, la forma de los sólidos sometidos
a las acciones exteriores, varía de un modo
insubstancial (deformaciones despreciables).
Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto
permite considerar el sólido como
indeformable y dotado de las mismas
dimensiones geométricas que tenía antes de
la aplicación de las cargas
Si recordamos
de ALGEBRA
VECTORIAL…
Se abandona el principio de rigidez relativa de
los cuerpos…
Estructuras HIPERESTÁTICAS
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Las ecuaciones de equilibrio
no son suficiente
Nº ecuac. de
equilibrioNº
incógnitas<
Se deben considerar:
• cargas actuantes
(fuerzas exteriores)
• posición y tipo de
vínculos
El equilibrio de la estructura
está asegurado con vínculos
superabundantes
2. Solicitaciones
3. Dimensionado
¿cómo determino los valores de
las reacciones en los apoyos? hay que recurrir a nuevas ecuaciones que
nos permitan tener un sistema determinado
HIPER-
ESTÁTICA
ISOSTÁTICA
• geometría de la
estructura
• caract. Elásticas del
material
• geometría de secciones
transversales de
c/barra (predimens.)ecuaciones
En general, la forma de los sólidos sometidos
a las acciones exteriores, varía de un modo
insubstancial (deformaciones despreciables).
Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto
permite considerar el sólido como
indeformable y dotado de las mismas
dimensiones geométricas que tenía antes de
la aplicación de las cargas
… y se recurre a ecuaciones de deformación,
considerando las deformaciones elásticas:
permite plantear, en cualquier punto de una
estructura, la igualdad de las deformaciones
estudiadas de uno y del otro lado de la
sección, lo que nos brinda una fuente
ilimitada de ecuaciones.
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Todos los métodos de resolución de
estructuras hiperestáticas recurren
al planteo de ecuaciones de
deformación.
Los distintos métodos han ido buscando
las vías más adecuadas en función de
la tecnología disponible en cada
momento histórico.
Métodos
manuales
(requieren uso de programas
de computación)
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Consiste en eliminar vínculos superabundantes hasta que
la estructura quede isostática, y luego, mediante el
Principio de Superposición, restituir las acciones que los
vínculos eliminados ejercían, y hallar qué valores deben
tomar para que se restablezcan las condiciones originales,
para que las deformaciones queden iguales a la situación
original.
P1 P3
P2
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Incógnitas a resolver
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
XX
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
XX
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
XX
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
Se plantean ambas
ecuaciones para ambas
deformaciones, y se
igualan deformaciones: deformación que
producen las
cargas P1, P2 y P3
deformación
que produce
la fuerza “X”
Se despeja el valor de
la fuerza “X” para
igualar ambas
deformaciones
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Incógnitas a resolver
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
Igualamos flechas:
(deformaciones)
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
1. Se plantean las ecuaciones
de flecha para ambas
situaciones, se igualan.
Igualamos flechas:
(deformaciones)
2. Se despeja fuerza X
3. Las otras dos incógnitas
(reacciones) se pueden
hallar x superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Ing. Hardy Cross
1885-1959
Estados Unidos
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos)
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Ing. Hardy Cross
1885-1959
Estados Unidos
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos)
C. Métodos Matriciales
En un sentido opuesto al caso anterior, en lugar
de quitarle vínculos, le agrega más, colocando los
nudos en condición de giro nulo.
Es decir, aumenta el grado de hiperestaticidad,
pero lleva la estructura a una situación ficticia pero
conocida (giro nulo), alcanzando un sistema
determinable.
Luego los vínculos agregados se quitan de a uno
por vez hasta restablecer las condiciones
originales de la estructura. Se genera una ecuación muy
sencilla para resolver la
deformación (giro) del nudo
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
Consisten en utilizar el álgebra matricial, que permite un
planteo muy compacto de las ecuaciones, lo que
simplifica el algoritmo para generar un programa
informático práctico y versátil.
(requieren uso de programas de computación)
ACCIONES en los
extremos de una barra
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
C. Métodos Matriciales
DEFORMACIONES en los
extremos de una barra
Representación vectorial
Representación física
Representación de las
ecuaciones en forma matricial
(ordena en fila y columnas):
DEFORMACIONES
AC
CIO
NE
S
Toma cada tramo de la estructura como un elemento,
y luego, los elementos unidos entre sí.
Ej: Método de Matriz de Rigidez
Busca las relaciones que
existen entre acciones -
deformaciones en los
extremos de cada barra
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
producen >>
deformaciones
MÉTODO DE CROSS
Para simplificar la parte
operativa, Cross se centra
solamente en el estudio de
los giros en los nudos de la
estructura
Permite visualizar cómo es el
proceso de resolución de una
estructura hiperestática
(mecanismo de distribución de
los momentos en la estructura)
Método manual
Actualmente: uso de Métodos Matriciales
c/programas en computadora brindan el
resultado final sin ver el proceso
Existen deformaciones
producidas por:
Momento (giros)
Cortante
Axil
Permite estudiar estructuras de alto grado de hiperestaticidad mediante operaciones
sencillas que pueden realizarse con una calculadora común.
Si la estructura lo requiere, en una segunda etapa, también se estudian los
desplazamientos de los nudos, y los giros que en ellos se producen.
Ventajas:
Simplificaciones:
MÉTODO DE CROSSOBJETIVO del Método
El objetivo del método de Cross es:
conocer el valor de los momentos en
los extremos de las barras (realizado a través del estudio de los giros)
Luego de conocidos éstos, las reacciones y las solicitaciones
pueden ser determinadas mediante los procedimientos ya
conocidos, utilizando las ecuaciones de equilibrio y la ecuación
de la viga recta.
En una estructura se
busca:
• DET. REACCIONES
• DET. SOLICITACIONES
• DIMENSIONAR
PASOS para aplicar el artificio del Método
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
Se juntan varias barras
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se
suelta un nudo en una
estructura que está
frenada?
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
c) Momento aplicado
en extremo der.
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSSSe comienza estudiando una sola barra aislada para determinar
expresiones matemáticas auxiliares que nos permitan conocer
los ángulos de giro en los apoyos de tramos flexionados.
Coeficiente de
transmisión β
que vincula MA
con MB
MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares
… para determinar en el PASO [1] los ángulos de
giro θ (theta) en extremos de una barra aislada
con carga transversal
a) Carga transversal
DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL
MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares
REPASO:
Clase de
Flexión
d
dx
r(x)
Kx
1
r(x)
DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL
MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares
REPASO:
Clase de
Flexión
radio
de giro
Mf = momento flector
E = Módulo de deformación
Ix = Inercia de la sección
(curvatura)
-p = V`(x)
V(x) = M`(x)
M``(x) = V`(x) = -p
Relación entre p, V y M
Ecuación fundamental
de las vigas rectas
MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares
REPASO:
Clase de
Flexión
Por definición la expresión
de la curvatura es:
Dado que la magnitud de las deformaciones son
muy pequeñas, se admite:
K ≈ z” (x)
O sea que la función de la curvatura equivale a la derivada segunda
de la función de la elástica.
MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares
(flecha o deflexión)(curvatura)
tg
Según la hipótesis de Bernouilli, las secciones planas y normales al eje del
tramo, se mantienen planas y normales a la elástica, luego de la deforma-
ción.
La derivada de z es el ángulo que forma la tangente a la curva con respec-to al eje de las abscisas (a) o a la horizontal.
Por lo tanto, la perpendicular a la tangente es el giro de la sección, que
abre con la vertical el mismo ángulo que la tangente con la horizontal:
O sea:
Expresiones matemáticas auxiliaresMÉTODO DE CROSS
Conociendo la función de la elástica:
La tg a la curva de
la elástica
z’(x)
ángulo entre la tg
y la horizontal ()
z’(x) = (x)
z’(x) = θ(x)
= θ
ANALOGÍA DE MÖHR
-p = V`(x)
V(x) = M`(x)
M``(x) = V`(x) = -p
Relación entre p, V y M.
z”(x) = K = Mf/E.I
Z’ = q(x)
z``(x) = q`(x) = K = Mf/E.I
Relación entre K, q y z
MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares
Expresiones de los ángulos de
giro en los extremos de las barras
= θA = θB
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
c) Momento aplicado
en extremo der.
MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método
MÉTODO DE CROSSPASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos
Área =
A1
Expresiones de los ángulos de
giro en los extremos de las barras
RIGIDEZ:(kappa)
Concepto de RIGIEZ:
cuánto se oponen las propiedades físicas
del tramo a que el tramo sea deformado
• Inercia
• Módulo de elasticidad
• Luz de la barra
Directamente
inversamente
¿Qué propiedades de una barra hacen
que sea más o menos deformable?
kappa
a)Carga transversal (caso 1)
Ángulo θ = (fórmula
del momento unitario)
X (valor del MA)
MÉTODO DE CROSSPASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos
RIGIDEZ FLEXIONAL:
(gamma
kappa)
(alpha
kappa)
ó
Para
inercia
constante:
b) Momento aplicado en A (caso 2)
Diagrama de M unitario (M=1)
Operativamente trabajamos con:
A2
X´2
MÉTODO DE CROSSPASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos
b) Momento aplicado en B (caso 3)
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma
kappa)
(alpha
kappa)
ó
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado
en extremo der.
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.:
Para
inercia
constante:
Para inercia
constante:
PASO [2]: coeficiente de transmisión β (beta)
¿cómo repercute
en el extremos
frenado?
(caso 3)(caso 2)
(giro nulo)
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma
kappa)
(alpha
kappa)
ó
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado
en extremo der.
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:
MOMENTOS NODALES MOMENTOS DE FIJACIÓN
MOMENTOS FRENO
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO (M.E.P.)
signo -
< 0
signo +
> 0
efecto de la barra sobre
el nudo
efecto del nudo sobre la
barra
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
Para y carga uniformemente repartida:
entonces
L
p (daN/m)
A B MA MB
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
Para
y carga uniformemente repartida:
L
p (daN/m)
A B MA
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
Para
y carga uniformemente repartida:
L
p (daN/m)
A B MB
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
Expresiones para
hallar las reacciones
de apoyo
Expresiones para la
determinación de los
M.E.P.
MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.
Expresiones
para hallar las
reacciones de
apoyo
Expresiones
para la
determinación
de los M.E.P.
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
Se juntan varias barras
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se
suelta un nudo en una
estructura que está
frenada?
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma
kappa)
(alpha
kappa)
ó
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado
en extremo der.
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:
MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición
¿qué ocurre cuando a un nudo concurren varios tramos?
Concepto de repartición
Artificio del método de Cross (ejemplo)
Supongamos un nudo A, al cual
concurren barras con distintos
vínculos en su otro extremo,
existiendo cargas en la ménsula,
tramo AC y AD
Inmovilizando el nudo A, aparece un
momento freno MA, con el sentido
indicado, que producirá giro nulo en
los extremos de los tramos.
MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición
MA
0A1 = 0A2 = 0A3
MA1 + MA2 + MA3 = - MA
Si quitamos el freno
en A, el nudo gira,
Por hipótesis
se admite
que todos los
tramos
concurrentes
al nudo
tienen el
mismo giro:
La relación entre deformaciones
(giros) y causas que las
producen (momentos) es:
Por otra parte, el momento en el nudo: − M A ,
se reparte entre los tramos, debiéndose cumplir:
De ambas relaciones obtenemos:
-MA
¿Qué valor de momentos
asume cada tramo en
relación a -MA?
MA3
MA2
MA1
1
2
3
4
produciéndose las
deformaciones que se
indican, provocadas
por −MA .
MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición
Particularizando al tramo 1:
Generalizando para un tramo cualquiera:
Se define coeficiente de
repartición al valor:
Por lo que:
Esta expresión resuelve el
problema planteado:
Dividiendo numerador y
denominador entre 4
¿Qué valor de momentos
asume cada tramo en
relación a -MA?
MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición
B. INERCIA RELATIVA: por comodidad
operativa se aconseja tomar como VALOR
UNIDAD
a la menor de las inercias mínimas de
los tramos que intervienen con sus
rigideces
o la inercia del tramo si es de sección
constante
A los efectos prácticos, es conveniente
simplificar la expresión del coeficiente de
repartición:
Los valores de la inercia de
los demás tramos serán
expresados en relación a
la unidad, resultando
valores ≥ 1
A. como generalmente operamos con barras
del mismo material, se simplifica el valor E
en la expresión de κ :
INERCIA
RELATIVA
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
Se juntan varias barras
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se
suelta un nudo en una
estructura que está
frenada?
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma
kappa)
(alpha
kappa)
ó
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado
en extremo der.
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:
MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método
Esquema de forma,
cargas y vínculos
Se aíslan las barras y
determinan M.E.P.
Situación de partida:
Nodos frenados Determinación de los momentos de fijación,
o de empotramiento perfecto, provocados
por cargas perpendiculares al eje del tramo,
o por momentos aplicados en el mismo
1
2
3
4
D
C
B
A20
C
A2
30
B
A
1
3
D
A
50
A
470
MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método
Se vuelve a componer
la estructura
(con los M.E.P. en los
extremos de las barras)
Se plantea:
1
2
3
470
50
20
30
D
C
B
A
1
2
3
4100
D
C
B
A
Se suelta el aparato
fijador y surge:
-MA = -100
MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método
Repartición de momentos en el nudo
Momentos repartidos: Momentos transmitidos:
-MA = -100 0,50
0,30
0,20
0C
A2
B
A
1
3
D
A
A
4 50
30
0
20
25
10
Se suelta el aparato
fijador y surge:Transmisión de momentos hacia
extremos opuestos (si corresp.)
MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método
1
2
3
470
50
20
30
D
C
B
A
MOMENTOS FINALES
C
A2
B
A
1
3
D
A
A4 50
30
0
20
25
10
1
2
3
4
70
50
30
D
C
B
A20
50
30
020
25
10
Momentos repartidos
Momentos transmitidosM.E.P.
MOMENTOS FINALES
en los extremos de las
barras
MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método
MOMENTOS FINALES
1
2
3
4
70
50
30
D
C
B
A20
50
30
020
25
10
MOMENTOS FINALES
en los extremos de las
barras
1
2
3
4
70
20
5
D
C
B
A70
10
20
MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método
Se separan las barras.
Se está en condiciones de hallar
las reacciones en los apoyos y los
diagramas de solicitacionesAplicando:
ecuaciones de equilibrio Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
M``(x) = V`(x) = -p
la ecuación fundamental de las vigas
rectas: relación pVM
70
C
A2
5
B
A
1
3
D
A
20
A470
10
20
MÉTODO DE CROSS
Ejemplo de aplicación:
PASO [5]: Artificio del método
A
620