Metodo k0: um procedimento de ajuste linear nosparametros para o calculo simultaneo de e k0

Maurcio Moralles

6 de maio de 2010

Resumo

Um procedimento baseado no metodo dos mnimos quadrados foi desenvol-vido para ajustar valores de k0 de varios radionucldeos que tiveram suas ativida-des determinadas por irradiacao com e sem blindagem de cadmio. Neste procedi-mento, alem de k0, o valor de tambem e determinado em um ajuste linear nosparametros. Para isso, a expressao que envolve no calculo do k0 foi manipuladaalgebricamente para possibilitar seu calculo atraves de um ajuste linear. Um dostermos, lnQ0(), foi expandido em serie de Taylor e aproximado ate a primeiraordem em torno de = 0. O procedimento foi aplicado na serie de resultadosrecentes do nosso grupo, mostrando bom acordo com os valores da literatura.

1 Introducao

A aplicacao do metodo do k0 na analise por ativacao neutronica exige a determinacaodo parametro de forma do espectro de neutrons , alem dos valores do parametro k0para cada transicao gama utilizada na analise. Ha metodos de determinar o parametro utilizando valores de k0 tabelados e medicoes de amostras irradiadas em blindagemde Cd, e tambem metodos que utilizam combinacoes de resultados de medicoes deamostras irradiadas em Cd com amostras sem Cd [1].

Nosso grupo tem um projeto de medicoes de valores de k0 para diversos elementos.Para isso e necessario o conhecimento do parametro do fluxo de neutrons da posicaode irradiacao. Propoe-se-se aqui um procedimento que utiliza combinacoes de resulta-dos de medicoes de amostras irradiadas em Cd com amostras sem Cd e fornece o valordo parametro assim como os valores de todos os k0 em um unico ajuste pelo metododos mnimos quadrados. Para isso a razao entre a integral de ressonancia e a secaode choque de neutrons termicos, Q0(), e aproximada em primeira ordem proximo dovalor = 0.

2 A determinacao do parametro

Conforme Dias et al. [1], pode ser obtido pela inclinacao da curva

Yi = a+ Xi (1)

1

ondeXi = lnEr,i . (2)

Pelo primeiro metodo, que utiliza valores de k0 tabelados e medicoes de amostras irra-diadas em blindagem de Cd,

Yi = ln(Er,i)

(Asp,i)Cdk0,Au(i) p,i FCd,i Q0,i() Gep,i , (3)

enquanto no metodo que usa combinacao de resultados de amostras irradiadas em Cdcom amostras irradiadas sem Cd

Yi = ln(Er,i)

Gth,i(FCd,i (Asp,i)(Asp,i)Cd 1

)Q0,i() Gep,i

. (4)

Quando se mede tambem uma amostra de Au, pode-se calcular o k0 de cada transicaogama i por

k0,Au(i) =(Asp,i) (Asp,i)CdFCd,i

(Asp,Au) (Asp,Au)CdFCd,Au Gth,Au p,Au

Gth,i p,i . (5)

Nas expressoes 3 e 4, a razao entre a integral de ressonancia e a secao de choque deneutrons termicos, Q0(), e dada por

Q0,i() = (Q0 0, 429) (Er,i) + 0, 429(2 + 1) (0, 55) . (6)

Como na Eq. 2 os termos de ambos os lados da igualdade dependem de , o valor de deve ser determinado de modo iterativo [1].

3 A nova proposta para o ajuste

Propoe-se aqui um metodo alternativo para ser aplicado quando se dispoe de resul-tados de amostras irradiadas em Cd e amostras sem Cd, inclusive da amostra de re-ferencia que neste caso e Au. O procedimento consiste em ajustar simultaneamente osvalores de k0i, dados pela Eq. 5, e o valor de , dado pela Eq. 1, usando os valores de Yidados pela Eq. 3. O ajuste sera realizado pelo metodo dos mnimos quadrados, usandouma matriz de planejamento que vincula os valores de k0i obtidos das medicoes aosvalores de k0i necessarios para o calculo do parametro . Deste modo o ajuste fica in-dependente dos valores de k0i obtidos em tabelas da literatura. Portanto os resultados

2

do ajuste se tornam bastante sensveis a` consistencia entre os dados relativos a cadaisotopo.

Para diminuir a quantidade de ndices, abreviaremos as notacoes das grandezas

Ei = (Er,i),(Ai)Cd = (Asp,i)Cd,(Ai) = (Asp,i),(AAu)Cd = (Asp,Au)Cd,(AAu) = (Asp,Au),k0i = k0,Au(i),i = p,i,Au = p,Au,Fi = FCd,i,FAu = FCd,Au,Gei = Gep,i,Gti = Gth,i,GeAu = Gep,Au,GtAu = Gth,Au .

3.1 A equacao de

Partindo da Eq. 1 e das definicoes dadas por 2 e 3, temos a seguinte equacao:

ln(Ei)

(Ai)Cdk0i i Fi Q0,i() Gei = a+ lnEi

Fazendo uma manipulacao algebrica, temos:

ln(Ai)Cd

k0i i Fi Gei lnEi lnQ0,i() = a+ lnEi ,e portanto

ln(Ai)Cd

k0i i Fi Gei = a+ 2 lnEi + lnQ0,i() . (7)Agora o parametro encontra-se apenas no lado direito da equacao, porem nao elinear devido a` expressao de lnQ0().

Sabemos que 0. Podemos expandir a expressao de lnQ0() nas proximidadesde = 0

lnQ0() ' lnQ0(0) + lnQ0()

|=0 + 2

2

2 lnQ0()

2|=0 + (8)

A primeira derivada

lnQ0()

= (Q00,429) lnEi

Ei+ 0,25647

(2+1)0,55 0,858(2+1)20,55Q00,429

Ei+ 0,429

(2+1)0,55

3

calculada em = 0 fornece:

lnQ0()

|=0 = (Q0 0, 429) lnEi 0, 602

Q0(9)

Como Q0,i( = 0) = Q0,i , da Eq. 7, Eq. 8 aproximada ate primeira ordem, e Eq. 9:

ln(Ai)Cd

k0i i Fi Gei = a+ 2 ln(Ei) + lnQ0,i + [(Q0,i 0, 429) lnEi 0, 602

Q0,i

]

Simplificando, temos:

ln(Ai)Cd

k0i i Fi Gei lnQ0,i = a+

Q0,i[(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602]

ou ainda

ln(Ai)Cd

k0i Q0,i i Fi Gei = a+

Q0,i[(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602] (10)

que e uma equacao linear em .

A Fig.1 mostra a aproximacao de lnQ0( 0) ate primeria ordem, para valorestpicos de Q0 e Er. Neste caso (95Zr, Q0 = 5, 31 e Er = 6260 eV ), para valores negativosde ate 0.05 o erro cometido no valor de lnQ0() e menor que 0, 3%, enquantopara valores positivos de ate +0.05 este erro e menor que 0, 5%.

3.2 A equacao de k0iEstao disponveis resultados de (Ai)Cd, (Ai), (AAu)Cd e (AAu), porem a equacao 10 en-volve apenas os valores de (Ai)Cd e (AAu)Cd. Se usarmos todos os dados, podemosajustar os valores de k0i atraves da Eq.5, lembrando que para o Au por definicao o va-lor de k0 = 1. Estes valores de k0i podem ser usados na Eq.10 em lugar dos valorestabelados.

Como a Eq.10 envolve os valores de ln k0i, partindo da Eq.5 podemos obter estesvalores pelo ajuste da equacao

ln

(Asp,i) (Asp,i)CdFCd,i(Asp,Au) (Asp,Au)CdFCd,Au

Gth,Au p,AuGth,i p,i

= ln k0i . (11)

4

Figura 1: Aproximacao de lnQ0( 0) ate primeria ordem, para valores tpicos de Q0e Er - dados do 95Zr.

3.3 Determinacao de k0i e em um unico ajuste

Se queremos ajustar os valores de k0i usando ambas equacoes (Eq.11 e Eq.10), precisa-mos colocar os valores de k0 do lado direito da Eq.10, como parametro ajustavel:

ln(Ai)Cd

Q0,i i Fi Gei = a+

Q0,i[(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602] + ln k0i (12)

Temos entao duas equacoes: a Eq.12 que tem parametros linares a, e ln k0i, e aEq.11 que tem apenas k0i como parametros lineares tambem. Monta-se entao a equacao

5

matricial do problema pela superposicao das duas equacoes, composta de uma partesuperior e outra inferior. A matriz de planejamento e construda de forma a vincularos parametros comuns, que sao os k0i neste caso.

Dividindo o vetor Y em duas partes,Y =

(Y sup

Y inf

), onde

Y =

Y supY inf

=

ln (Ai)CdQ0,iiFiGei

ln

((Ai) (Ai)CdFi

(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu

Gtii

)

A equacao matricial e:

Y supY inf

= a+ Q0,i [(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602] + ln k0i

ln k0i

(13)

que pode ser escrita comoY = X A .

Se ha n valores de k0 a serem determinados, as matrizes desta equacao sao:

Y =

ln (AAu)CdQ0,AuAuFAuGeAu

ln (A1)CdQ0,11F1Ge1

ln (A2)CdQ0,22F2Ge2

...ln (An)Cd

Q0,nnFnGen

ln

((A1) (A1)CdF1

(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu

Gt11

)

ln

((A2) (A2)CdF2

(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu

Gt22

)...

ln

((An) (An)CdFn

(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu

Gtnn

)

, (14)

6

X =

1 1Q0,Au

[(Q0,Au + 0, 429) lnEAu 0, 602] 0 0 0

1 1Q0,1

[(Q0,1 + 0, 429) lnE1 0, 602] 1 0 0

1 1Q0,2

[(Q0,2 + 0, 429) lnE2 0, 602] 0 1 0...

......

......

...1 1

Q0,n[(Q0,n + 0, 429) lnEn 0, 602] 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0...

......

......

...0 0 0 0 1

e (15)

Observacao: o fato da primeira linha ter apenas zeros a partir da terceira coluna, estaindicando que assumiu-se o valor de k0 do Au como 1, uma vez que ln 1 = 0.

A =

a

ln k01ln k02

...ln k0n

. (16)

A matriz das covariancias, VY , deY contem os termos da diagonal principal, cor-

respondentes a`s variancias dos elementos deY , e tambem termos cruzados, corres-

pondentes a`s covariancias entre os diferentes elementos deY . O grande trabalho

agora e montar esta matriz VY , uma vez que ha varios fatores em comum nos dife-rentes elementos de

Y . Como os elementos de

Y envolvem o logaritmo de produtos,

a propagacao dos erros nao e muito complicada pois as derivadas sao funcoes simples,lembrando que

ln(a/b)

a=

1

a; ln(a/b)

b= 1

b

3.3.1 Os elementos da diagonal principal deVY

Os elementos da diagonal principal deVY sao obtidos pela propagacao das varianciasdos fatores dos elementos de

Y .

A propagacao dos erros para os elementos da parte superior deY (Eq.14), referen-

tes aos dados do Au:

2Y supAu=2(AAu)Cd(AAu)2Cd

+2Q0,AuQ20,Au

+2Au2Au

+2FAuF 2Au

+2GeAuG2eAu

; (17)

e referentes aos dados do gama i:

7

2Y supi=2(Ai)Cd(Ai)2Cd

+2Q0,iQ20,i

+2i2i

+2FiF 2i

+2GeiG2ei

(18)

Para a parte inferior:

2Y infi

=2Ai

(Ai (Ai)CdFi )2+

2(Ai)Cd(Ai Fi (Ai)Cd)2

+2AAu

(AAu (AAu)CdFAu )2+

2(AAu)Cd(AAu FAu (AAu)Cd)2

+(Ai)

2Cd 2Fi

(Ai F 2i (Ai)Cd Fi)2+

(AAu)2Cd 2FAu(AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)2

+2GeiG2ei

+2i2i

+2GeAuG2eAu

+2Au2Au

(19)

3.3.2 Os elementos covariantes deVY

Abaixo seguem os calculos dos elementos covariantes de VY . Os calculos sao apre-sentados em secoes que classificam as covariancias conforme suas origens: aquelasque envolvem parametros da mesma transicao gama, e portanto necessariamente domesmo isotopo, aquelas que envolvem apenas o mesmo isotopo, e aquelas que en-volvem isotopos diferentes. As eficiencias do detector sao obtidas de uma funcaode calibracao, portanto os valores interpolados sao covariantes. Considera-se queas covariancias cov(i, j) foram calculadas a partir da calibracao. Note que a matrizVY deve ser simetrica e portanto, para cada elemento de covariancia calculado, seusimetrico tambem deve ser incluido.

Uma observacao a fazer nesta parte e que desprezaremos as correlacoes entre asareas corrigidas. As areas calculadas dos espectros multicanal devem ser independen-tes (nao correlacionadas), porem os procedimentos de correcao introduzem correlacoesnas areas corrigidas. Como estas correlacoes nao foram calculadas, nao serao incluidasnos calculos mostrados abaixo.

Covariancias do primeiro elemento Y supAu com os elementos de Yinf

Nos elementos da parte inferior deY estao presentes as areas corrigidas da amostra

de Au. Portanto eles tem (AAu)Cd, Au e FAu em comum com o primeiro elementoY supAu . As covariancias entre o primeiro elemento e os elementos da parte inferior saocalculadas por

Vy(YsupAu , Y

infi ) =

(Y supAu

(AAu)Cd

)(Y infi

(AAu)Cd

)2(AAu)Cd +

+

(Y supAuAu

)(Y infiAu

)2Au +

(Y supAuAu

)(Y infii

)cov(Au, i) ,

8

cujo resultado e

Vy(YsupAu , Y

infi ) =

2(AAu)Cd(AAu)Cd (AAu FAu (AAu)Cd)

2Au2Au

(AAu)Cd 2FAu

FAu (AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)

+cov(Au, i)

Au i . (20)

Observe que dois dos termos tem sinais negativos.

Covariancias entre os elementos de Y sup do mesmo isotopo

Os elementos da parte superior deY que pertencem ao mesmo isotopo tem Q0,i, Fi

e Gei em comum. As covariancias entre os elementos da parte superior pertencentesao mesmo isotopo sao calculadas por

Vy(Ysupi , Y

supj ) =

(Y supiQ0,i

)(Y supjQ0,j

)2Q0,i +

+

(Y supiFi

)(Y supjFj

)2Fi +

(Y supiGei

)(Y supjGej

)2Gei +

+

(Y supii

)(Y supjj

)cov(i, j) ,

Se i e j sao ndices de transicoes gama do mesmo isotopo, o resultado e

Vy(Ysupi , Y

supj ) =

2Q0,iQ20,i

+2FiF 2i

+2GeiG2ei

+cov(i, j)

i j . (21)

Nos casos em que i e j pertencem a isotopos diferentes Vy(Ysupi , Y

supj ) = 0.

Covariancias entre os elementos de Y sup e os elementos de Y inf da mesma transicaogama

Os elementos de Y sup que correspondem a` mesma transicao gama de elementos deY inf tem mesmos valores de (Ai)Cd, Fi. e i. Suas covariancias sao calculadas por

Vy(Ysupi , Y

infj ) =

(Y supi(Ai)Cd

)(Y infj(Aj)Cd

)2(Ai)Cd +

+

(Y supiFi

)(Y infjFj

)2Fi +

(Y supii

)(Y infjj

)2i

9

cujo resultado e

Vy(Ysupi , Y

infj ) =

2(Ai)Cd(Ai)Cd (Ai Fi (Ai)Cd) +

+2Fi

F 2i (Ai Fi (Ai)Cd)+2i2i

. (22)

Atencao para o sinal negativo no primeiro termo.

Covariancias entre os elementos de Y sup e os elementos de Y inf do mesmo isotopo,mas transicoes gama diferentes

Os elementos de Y sup que correspondem ao mesmo isotopo de Y inf , mas de transicoesgama diferentes tem os mesmos valores de Fi. Suas covariancias sao calculadas por

Vy(Ysupi , Y

infj ) =

(Y supiFi

)(Y infjFj

)2Fi +

(Y supii

)(Y infjj

)cov(i, j) ,

cujo resultado e

Vy(Ysupi , Y

infj ) =

2FjF 2j (Aj Fj (Aj)Cd)

+cov(i, j)

i j . (23)

Covariancias entre os elementos de Y inf do mesmo isotopo

Os elementos de Y inf que correspondem ao mesmo isotopo tem os mesmos valoresde (AAu)Cd, AAu, FAu, GtAu, Au, Gti e Fi. Suas covariancias sao calculadas por

Vy(Yinfi , Y

infj ) =

(Y infi

(AAu)Cd

)(Y infj

(AAu)Cd

)2(AAu)Cd +

+

(Y infiAAu

)(Y infjAAu

)2AAu +

(Y infiFAu

)(Y infjFAu

)2FAu +

+

(Y infiGtAu

)(Y infjGtAu

)2GtAu +

(Y infiAu

)(Y infjAu

)2Au +

+

(Y infiGti

)(Y infjGtj

)2Gti +

(Y infiFi

)(Y infjFj

)2Fi +

+

(Y infii

)(Y infjj

)cov(i, j) ,

10

cujo resultado e

Vy(Yinfi , Y

infj ) =

2(AAu)Cd(AAu FAu (AAu)Cd)2 +

2AAu

(AAu (AAu)CdFAu )2+

+(AAu)Cd 2FAu

(AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)2+2GtAuG2tAu

+2Au2Au

+2GtiG2ti

+

+(Ai)Cd (Aj)Cd 2Fi

F 2i (Ai Fi (Ai)Cd)(Aj Fi (Aj)Cd)+

+cov(i, j)

i j , (24)

lembrando que nesta equacao Fi = Fj .

Covariancias entre os elementos de Y inf de isotopos diferentes

Os elementos de Y inf que correspondem a isotopos diferentes tem os mesmos va-lores de (AAu)Cd, AAu, FAu, GtAu e Au. Suas covariancias sao calculadas por

Vy(Yinfi , Y

infj ) =

(Y infi

(AAu)Cd

)(Y infj

(AAu)Cd

)2(AAu)Cd +

+

(Y infiAAu

)(Y infjAAu

)2AAu +

(Y infiFAu

)(Y infjFAu

)2FAu +

+

(Y infiGtAu

)(Y infjGtAu

)2GtAu +

(Y infiAu

)(Y infjAu

)2Au +

+

(Y infii

)(Y infjj

)cov(i, j) +

(Y infii

)(Y infjAu

)cov(i, Au) +

+

(Y infiAu

)(Y infjj

)cov(Au, j) ,

cujo resultado e

Vy(Yinfi , Y

infj ) =

2(AAu)Cd(AAu FAu (AAu)Cd)2 +

2AAu

(AAu (AAu)CdFAu )2+

+(AAu)Cd 2FAu

(AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)2+2GtAuG2tAu

+2Au2Au

+

+cov(i, j)

i j +cov(i, Au)

i Au +cov(Au, j)

Au j . (25)

11

3.3.3 O ajuste pelo metodo dos mnimos quadrados

Uma vez montadas as matrizesY , VY e X, a matriz

A dos parametros e a matriz VA

das covariancias dos parametros podem ser calculadas pelo metodo dos mnimos qua-drados. Usando o formalismo matricial [2], podemos obte-las com duas operacoes:

VA =(Xt V1Y X

)1 (26)e

A = VA Xt V1Y

Y . (27)

Os valores deYaju, obtidos com os parametros ajustados, e calculado por

Yaju = X A , (28)

e podemos calcular as diferencasD entre os valores dos dados de entrada e os ajusta-

dos por

D =

Y Yaju . (29)

O 2 e calculado por

2 =Dt V1Y

D . (30)

Transferencia do erro de X para Y

As grandezas Ei eQ0,i tem erros e estao presentes tambem em X. Na propagacao deerro de X para Y, apos a determinacao do valor de , uma nova matrizVY e calculada.Os termos da diagonal principal da matriz correspondem a` novos valores de varianciasdos Yi, Yi , calculados por

2Yi = 2Yi+

(YiEi

)22Ei +

(YiQ0,i

)22Q0,i .

cujo resultado e

2Yi = 2Yi+

[(Q0,i + 0.429)

Ei Q0,i

]22Ei +

+

[ lnEiQ0,i

(lnEi(Q0,i + 0.429) 0.602)Q20,i

]22Q0,i . (31)

Como Ei e Q0,i tem os mesmos valores para gamas diferentes do mesmo isotopo,e necessario tambem transferir estes erros para os termos covariantes de VY . Os ele-mentos deVY correspondentes a

Y sup do mesmo isotopo devem ser recalculados por

12

2Yi = 2Yi+

(YiEi

)(YjEj

)cov(Ei, Ej) +

+

(YiQ0,i

)(YjQ0,j

)cov(Q0,i, Q0,j) .

Lembrando queEi = Ej , portanto cov(Ei, Ej) = 2Ei eQ0,i = Q0,j , portanto cov(Q0,i, Q0,j) =2Q0,i ,

V y(Ysupi , Y

supj ) = Vy(Y

supi , Y

supj ) +

[(Q0,i + 0.429)

Ei Q0,i

]22Ei +

+

[ lnEiQ0,i

(lnEi(Q0,i + 0.429) 0.602)Q20,i

]22Q0,i . (32)

13

4 Exemplo de aplicacao

O procedimento foi aplicado aos resultados experimentais do nosso grupo. Abaixo umexemplo dos resultados obtidos. O parametro e negativo e compatvel com zero. O2 e alto, principalmente devido aos dados do 46Sc.

a = 25.503424 +- 0.0229462alfa = -0.0025904 +- 0.0031268correlacao(a,alfa) = -0.8555676 Gama k0 sigma(k0) tabela: k0 +- sigma(k0)k0Zr95g1 = 0.0000888 +- 0.0000009 0.0000899 +- 0.0000020k0Zr95g2 = 0.0001102 +- 0.0000011 0.0001111 +- 0.0000024k0Zr97g1 = 0.0000102 +- 0.0000002 0.0000127 +- 0.0000003k0Zn65g1 = 0.0055202 +- 0.0000485 0.00572 +- 0.0000229k0Zn69g1 = 0.0003917 +- 0.0000036 0.000398 +- 0.0000024k0Sc46g1 = 1.2445928 +- 0.0135038 1.22 +- 0.00488k0Sc46g2 = 1.2351129 +- 0.0119980 1.22 +- 0.01342k0La140g1 = 0.0287979 +- 0.0002431 0.0287 +- 0.000287k0La140g2 = 0.0644138 +- 0.0005970 0.0637 +- 0.0005733k0La140g3 = 0.0329286 +- 0.0003354 0.0332 +- 0.0001992k0La140g4 = 0.1381695 +- 0.0019204 0.134 +- 0.001474k0Co60g1 = 1.3383765 +- 0.0157768 1.32 +- 0.00528k0Co60g2 = 1.3259557 +- 0.0165705 1.32 +- 0.0066 Qui-quadrado: 26.531589com 12 graus de liberdade.Qui-quadrado reduzido: 2.2109657Probabilidade do qui-quadrado exceder 26.531589 :0.9019635% Resduos: parte do alfa i istopo Egama Y Yaju diferena dif. ponder. 0 Au198 411.80 25.5344 25.4989 0.0355 1.6918 1 Zr95 724.20 16.1357 16.1504 -0.0147 -0.4139 2 Zr95 756.70 16.3575 16.3658 -0.0083 -0.2368 3 Zr97 743.40 13.9977 13.9996 -0.0019 -0.1033 4 Zn65 1115.50 20.2158 20.2800 -0.0642 -1.2774 5 Zn69m 438.60 17.6034 17.6398 -0.0364 -1.9632 6 Sc46 889.30 25.8405 25.6823 0.1583 3.1648 7 Sc46 1120.50 25.8409 25.6746 0.1663 3.3406 8 La140 328.70 21.8885 21.9423 -0.0538 -0.9841 9 La140 487.00 22.6962 22.7473 -0.0512 -0.9367 10 La140 815.80 22.0299 22.0764 -0.0465 -0.8454 11 La140 1596.20 23.4601 23.5105 -0.0504 -0.9067 12 Co60 1173.20 25.7890 25.7802 0.0088 0.2780 13 Co60 1332.50 25.7920 25.7709 0.0211 0.6629

Resduos: parte do ln(k0) (NO resduo em relao ao k0 tabelado) 14 Zr95 724.20 -9.3308 -9.3289 -0.0020 -0.1892 15 Zr95 756.70 -9.1167 -9.1134 -0.0033 -0.3189 16 Zr97 743.40 -11.4385 -11.4888 0.0503 0.2890 17 Zn65 1115.50 -5.2011 -5.1993 -0.0017 -0.1947 18 Zn69m 438.60 -7.8415 -7.8449 0.0035 0.3659 19 Sc46 889.30 0.2128 0.2188 -0.0061 -0.5441 20 Sc46 1120.50 0.2007 0.2112 -0.0105 -1.0454 21 La140 328.70 -3.5474 -3.5475 0.0000 0.0032 22 La140 487.00 -2.7444 -2.7424 -0.0020 -0.2130 23 La140 815.80 -3.4171 -3.4134 -0.0036 -0.3514 24 La140 1596.20 -1.9818 -1.9793 -0.0025 -0.1782 25 Co60 1173.20 0.2922 0.2915 0.0007 0.0565 26 Co60 1332.50 0.2710 0.2821 -0.0111 -0.7987

Figura 2: Resultados preliminares.

14

A figura 3 mostra os resduos poderados pela incerteza.

Figura 3: Resduos ponderados; resultados preliminares.

A figura 4 mostra a razao entre os k0 ajustados e os tabelados.

Figura 4: Razao entre k0; resultados preliminares.

Notam-se na Fig. 3 resduos grandes (maiores que 3 desvios padrao) para os dadosdo 46Sc na parte do ajuste do parametro , e na Fig. 4 o valor de k0 ajustado para o 97Zrbem menor que o tabelado.

15

Tabe

la d

e D

ados

Expe

rimen

tais

Isot

opo

sigm

asi

gma

sigm

asi

gma

sigm

asi

gma

Au19

841

1,8

1,27

00E-03

7,13

00E-06

2,39

97E+

096,25

00E+

061,01

21E+

103,22

00E+

074,22

0,02

0,98

080,00

391,00

000,00

00Zr

9572

4,2

7,21

00E-04

4,94

00E-06

3,88

98E+

043,79

00E+

024,27

24E+

051,11

00E+

0310

,98

0,11

0,99

900,00

041,00

000,00

00Zr

9575

6,7

6,93

00E-04

4,79

00E-06

4,66

71E+

043,81

00E+

025,09

04E+

051,19

00E+

0310

,91

0,09

0,99

900,00

041,00

000,00

00Zr

9774

3,4

7,04

00E-04

4,85

00E-06

2,12

26E+

052,82

00E+

032,58

34E+

057,41

00E+

031,22

0,04

0,99

880,00

101,00

000,00

00Zn

6511

15,5

4,90

00E-04

2,14

00E-06

5,41

14E+

057,31

00E+

021,68

23E+

073,91

00E+

0431

,09

0,08

0,96

050,00

870,99

240,00

15Zn

69m

438,

61,19

00E-03

6,70

00E-06

1,28

85E+

058,60

00E+

012,96

91E+

066,76

00E+

0323

,04

0,05

0,95

640,00

910,99

930,00

02Sc

4688

9,3

6,01

00E-04

3,90

00E-06

4,51

42E+

072,23

00E+

054,46

76E+

091,46

00E+

0798

,97

0,59

0,98

580,00

290,97

920,00

43Sc

4611

20,5

4,90

00E-04

2,12

00E-06

3,68

18E+

071,82

00E+

053,59

92E+

091,18

00E+

0797

,76

0,58

0,98

580,00

290,97

920,00

43La

140

328,

71,61

00E-03

8,84

00E-06

6,92

23E+

063,11

00E+

042,88

61E+

086,45

00E+

0541

,69

0,21

0,99

810,00

041,00

000,00

00La

140

487,

01,06

00E-03

6,08

00E-06

1,02

21E+

073,00

00E+

044,24

20E+

087,82

00E+

0541

,50

0,14

0,99

810,00

041,00

000,00

00La

140

815,

86,48

00E-04

4,44

00E-06

3,20

91E+

061,97

00E+

041,32

37E+

083,70

00E+

0541

,25

0,28

0,99

810,00

041,00

000,00

00La

140

1596

,23,34

00E-04

3,95

00E-06

6,91

35E+

062,44

00E+

042,86

58E+

085,57

00E+

0541

,45

0,17

0,99

810,00

041,00

000,00

00C

o60

1173

,24,67

00E-04

1,92

00E-06

1,44

51E+

081,55

00E+

063,94

73E+

093,87

00E+

0727

,32

0,40

0,99

710,00

061,00

000,00

00C

o60

1332

,54,11

00E-04

2,28

00E-06

1,27

56E+

081,36

00E+

063,40

42E+

093,45

00E+

0726

,69

0,39

0,99

710,00

061,00

000,00

00

Tabe

lado

sIs

otop

oEr

esk0

I0si

gma0

Q0

sigm

aAu

198

411,

85,65

0,4

1,00

0E+0

0,0

0,99

80,00

515

5000

01,9

9870

00,1

15,710

0,29

8Zr

9572

4,2

6260

4,0

8,99

0E-5

2,2

1,00

00,00

527

13,9

512,0

5,30

60,17

5Zr

9575

6,7

6260

4,0

1,11

0E-4

2,2

1,00

00,00

527

13,9

512,0

5,30

60,17

5Zr

9774

3,4

338

2,1

1,27

0E-5

2,3

1,00

00,00

549

603,4

203,2

251,60

02,44

1Zn

6511

15,5

2560

10,0

5,72

0E-3

0,4

1,00

00,00

513

904,2

728

1,4

1,91

00,09

4Zn

69m

438,

659

010

,03,98

0E-4

0,6

1,00

00,00

518

03,1

702,8

2,56

30,03

6Sc

4688

9,3

5130

5,0

1,22

0E+0

0,4

1,02

60,00

512

000

4,2

2720

00,7

0,44

50,02

2Sc

4611

20,5

5130

5,0

1,22

0E+0

1,1

1,02

60,00

512

000

4,2

2720

00,7

0,44

50,02

2La

140

328,

776

3,9

2,87

0E-2

1,0

1,00

40,00

512

100

5,0

9040

0,4

1,33

80,07

2La

140

487

763,9

6,37

0E-2

0,9

1,00

40,00

512

100

5,0

9040

0,4

1,33

80,07

2La

140

815,

876

3,9

3,32

0E-2

0,6

1,00

40,00

512

100

5,0

9040

0,4

1,33

80,07

2La

140

1596

,276

3,9

1,34

0E-1

1,1

1,00

40,00

512

100

5,0

9040

0,4

1,33

80,07

2C

o60

1173

,213

65,1

1,32

0E+0

0,4

0,98

40,00

573

900

2,9

3710

00,4

1,99

00,05

8C

o60

1332

,513

65,1

1,32

0E+0

0,5

0,98

40,00

573

900

2,9

3710

00,4

1,99

00,05

8

Egam

aEf

icAs

p_C

dAs

pR

cdG

epi

Gth

Egam

asi

g%si

g%Fc

dsi

gsi

g%si

g%

16

Referencias

[1] M.S. Dias, V. Cardoso, M.F. Koskinas, I.M. Yamazaki, Determination of the neutronspectrum shape parameter in k0 NAA methodology using covariance analysis. AppliedRadiation and Isotopes 68 (2010) 592-595.

[2] O. Helene, O Metodo dos Mnimos Quadrados com Formalismo Matricial, Ed. Livrariada Fsica, 2006.

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