Metodo k0: um procedimento de ajuste linear nosparametros para o calculo simultaneo de e k0
Maurcio Moralles
6 de maio de 2010
Resumo
Um procedimento baseado no metodo dos mnimos quadrados foi desenvol-vido para ajustar valores de k0 de varios radionucldeos que tiveram suas ativida-des determinadas por irradiacao com e sem blindagem de cadmio. Neste procedi-mento, alem de k0, o valor de tambem e determinado em um ajuste linear nosparametros. Para isso, a expressao que envolve no calculo do k0 foi manipuladaalgebricamente para possibilitar seu calculo atraves de um ajuste linear. Um dostermos, lnQ0(), foi expandido em serie de Taylor e aproximado ate a primeiraordem em torno de = 0. O procedimento foi aplicado na serie de resultadosrecentes do nosso grupo, mostrando bom acordo com os valores da literatura.
1 Introducao
A aplicacao do metodo do k0 na analise por ativacao neutronica exige a determinacaodo parametro de forma do espectro de neutrons , alem dos valores do parametro k0para cada transicao gama utilizada na analise. Ha metodos de determinar o parametro utilizando valores de k0 tabelados e medicoes de amostras irradiadas em blindagemde Cd, e tambem metodos que utilizam combinacoes de resultados de medicoes deamostras irradiadas em Cd com amostras sem Cd [1].
Nosso grupo tem um projeto de medicoes de valores de k0 para diversos elementos.Para isso e necessario o conhecimento do parametro do fluxo de neutrons da posicaode irradiacao. Propoe-se-se aqui um procedimento que utiliza combinacoes de resulta-dos de medicoes de amostras irradiadas em Cd com amostras sem Cd e fornece o valordo parametro assim como os valores de todos os k0 em um unico ajuste pelo metododos mnimos quadrados. Para isso a razao entre a integral de ressonancia e a secaode choque de neutrons termicos, Q0(), e aproximada em primeira ordem proximo dovalor = 0.
2 A determinacao do parametro
Conforme Dias et al. [1], pode ser obtido pela inclinacao da curva
Yi = a+ Xi (1)
1
ondeXi = lnEr,i . (2)
Pelo primeiro metodo, que utiliza valores de k0 tabelados e medicoes de amostras irra-diadas em blindagem de Cd,
Yi = ln(Er,i)
(Asp,i)Cdk0,Au(i) p,i FCd,i Q0,i() Gep,i , (3)
enquanto no metodo que usa combinacao de resultados de amostras irradiadas em Cdcom amostras irradiadas sem Cd
Yi = ln(Er,i)
Gth,i(FCd,i (Asp,i)(Asp,i)Cd 1
)Q0,i() Gep,i
. (4)
Quando se mede tambem uma amostra de Au, pode-se calcular o k0 de cada transicaogama i por
k0,Au(i) =(Asp,i) (Asp,i)CdFCd,i
(Asp,Au) (Asp,Au)CdFCd,Au Gth,Au p,Au
Gth,i p,i . (5)
Nas expressoes 3 e 4, a razao entre a integral de ressonancia e a secao de choque deneutrons termicos, Q0(), e dada por
Q0,i() = (Q0 0, 429) (Er,i) + 0, 429(2 + 1) (0, 55) . (6)
Como na Eq. 2 os termos de ambos os lados da igualdade dependem de , o valor de deve ser determinado de modo iterativo [1].
3 A nova proposta para o ajuste
Propoe-se aqui um metodo alternativo para ser aplicado quando se dispoe de resul-tados de amostras irradiadas em Cd e amostras sem Cd, inclusive da amostra de re-ferencia que neste caso e Au. O procedimento consiste em ajustar simultaneamente osvalores de k0i, dados pela Eq. 5, e o valor de , dado pela Eq. 1, usando os valores de Yidados pela Eq. 3. O ajuste sera realizado pelo metodo dos mnimos quadrados, usandouma matriz de planejamento que vincula os valores de k0i obtidos das medicoes aosvalores de k0i necessarios para o calculo do parametro . Deste modo o ajuste fica in-dependente dos valores de k0i obtidos em tabelas da literatura. Portanto os resultados
2
do ajuste se tornam bastante sensveis a` consistencia entre os dados relativos a cadaisotopo.
Para diminuir a quantidade de ndices, abreviaremos as notacoes das grandezas
Ei = (Er,i),(Ai)Cd = (Asp,i)Cd,(Ai) = (Asp,i),(AAu)Cd = (Asp,Au)Cd,(AAu) = (Asp,Au),k0i = k0,Au(i),i = p,i,Au = p,Au,Fi = FCd,i,FAu = FCd,Au,Gei = Gep,i,Gti = Gth,i,GeAu = Gep,Au,GtAu = Gth,Au .
3.1 A equacao de
Partindo da Eq. 1 e das definicoes dadas por 2 e 3, temos a seguinte equacao:
ln(Ei)
(Ai)Cdk0i i Fi Q0,i() Gei = a+ lnEi
Fazendo uma manipulacao algebrica, temos:
ln(Ai)Cd
k0i i Fi Gei lnEi lnQ0,i() = a+ lnEi ,e portanto
ln(Ai)Cd
k0i i Fi Gei = a+ 2 lnEi + lnQ0,i() . (7)Agora o parametro encontra-se apenas no lado direito da equacao, porem nao elinear devido a` expressao de lnQ0().
Sabemos que 0. Podemos expandir a expressao de lnQ0() nas proximidadesde = 0
lnQ0() ' lnQ0(0) + lnQ0()
|=0 + 2
2
2 lnQ0()
2|=0 + (8)
A primeira derivada
lnQ0()
= (Q00,429) lnEi
Ei+ 0,25647
(2+1)0,55 0,858(2+1)20,55Q00,429
Ei+ 0,429
(2+1)0,55
3
calculada em = 0 fornece:
lnQ0()
|=0 = (Q0 0, 429) lnEi 0, 602
Q0(9)
Como Q0,i( = 0) = Q0,i , da Eq. 7, Eq. 8 aproximada ate primeira ordem, e Eq. 9:
ln(Ai)Cd
k0i i Fi Gei = a+ 2 ln(Ei) + lnQ0,i + [(Q0,i 0, 429) lnEi 0, 602
Q0,i
]
Simplificando, temos:
ln(Ai)Cd
k0i i Fi Gei lnQ0,i = a+
Q0,i[(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602]
ou ainda
ln(Ai)Cd
k0i Q0,i i Fi Gei = a+
Q0,i[(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602] (10)
que e uma equacao linear em .
A Fig.1 mostra a aproximacao de lnQ0( 0) ate primeria ordem, para valorestpicos de Q0 e Er. Neste caso (95Zr, Q0 = 5, 31 e Er = 6260 eV ), para valores negativosde ate 0.05 o erro cometido no valor de lnQ0() e menor que 0, 3%, enquantopara valores positivos de ate +0.05 este erro e menor que 0, 5%.
3.2 A equacao de k0iEstao disponveis resultados de (Ai)Cd, (Ai), (AAu)Cd e (AAu), porem a equacao 10 en-volve apenas os valores de (Ai)Cd e (AAu)Cd. Se usarmos todos os dados, podemosajustar os valores de k0i atraves da Eq.5, lembrando que para o Au por definicao o va-lor de k0 = 1. Estes valores de k0i podem ser usados na Eq.10 em lugar dos valorestabelados.
Como a Eq.10 envolve os valores de ln k0i, partindo da Eq.5 podemos obter estesvalores pelo ajuste da equacao
ln
(Asp,i) (Asp,i)CdFCd,i(Asp,Au) (Asp,Au)CdFCd,Au
Gth,Au p,AuGth,i p,i
= ln k0i . (11)
4
Figura 1: Aproximacao de lnQ0( 0) ate primeria ordem, para valores tpicos de Q0e Er - dados do 95Zr.
3.3 Determinacao de k0i e em um unico ajuste
Se queremos ajustar os valores de k0i usando ambas equacoes (Eq.11 e Eq.10), precisa-mos colocar os valores de k0 do lado direito da Eq.10, como parametro ajustavel:
ln(Ai)Cd
Q0,i i Fi Gei = a+
Q0,i[(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602] + ln k0i (12)
Temos entao duas equacoes: a Eq.12 que tem parametros linares a, e ln k0i, e aEq.11 que tem apenas k0i como parametros lineares tambem. Monta-se entao a equacao
5
matricial do problema pela superposicao das duas equacoes, composta de uma partesuperior e outra inferior. A matriz de planejamento e construda de forma a vincularos parametros comuns, que sao os k0i neste caso.
Dividindo o vetor Y em duas partes,Y =
(Y sup
Y inf
), onde
Y =
Y supY inf
=
ln (Ai)CdQ0,iiFiGei
ln
((Ai) (Ai)CdFi
(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu
Gtii
)
A equacao matricial e:
Y supY inf
= a+ Q0,i [(Q0,i + 0, 429) lnEi 0, 602] + ln k0i
ln k0i
(13)
que pode ser escrita comoY = X A .
Se ha n valores de k0 a serem determinados, as matrizes desta equacao sao:
Y =
ln (AAu)CdQ0,AuAuFAuGeAu
ln (A1)CdQ0,11F1Ge1
ln (A2)CdQ0,22F2Ge2
...ln (An)Cd
Q0,nnFnGen
ln
((A1) (A1)CdF1
(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu
Gt11
)
ln
((A2) (A2)CdF2
(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu
Gt22
)...
ln
((An) (An)CdFn
(AAu) (AAu)CdFAu GtAuAu
Gtnn
)
, (14)
6
X =
1 1Q0,Au
[(Q0,Au + 0, 429) lnEAu 0, 602] 0 0 0
1 1Q0,1
[(Q0,1 + 0, 429) lnE1 0, 602] 1 0 0
1 1Q0,2
[(Q0,2 + 0, 429) lnE2 0, 602] 0 1 0...
......
......
...1 1
Q0,n[(Q0,n + 0, 429) lnEn 0, 602] 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0...
......
......
...0 0 0 0 1
e (15)
Observacao: o fato da primeira linha ter apenas zeros a partir da terceira coluna, estaindicando que assumiu-se o valor de k0 do Au como 1, uma vez que ln 1 = 0.
A =
a
ln k01ln k02
...ln k0n
. (16)
A matriz das covariancias, VY , deY contem os termos da diagonal principal, cor-
respondentes a`s variancias dos elementos deY , e tambem termos cruzados, corres-
pondentes a`s covariancias entre os diferentes elementos deY . O grande trabalho
agora e montar esta matriz VY , uma vez que ha varios fatores em comum nos dife-rentes elementos de
Y . Como os elementos de
Y envolvem o logaritmo de produtos,
a propagacao dos erros nao e muito complicada pois as derivadas sao funcoes simples,lembrando que
ln(a/b)
a=
1
a; ln(a/b)
b= 1
b
3.3.1 Os elementos da diagonal principal deVY
Os elementos da diagonal principal deVY sao obtidos pela propagacao das varianciasdos fatores dos elementos de
Y .
A propagacao dos erros para os elementos da parte superior deY (Eq.14), referen-
tes aos dados do Au:
2Y supAu=2(AAu)Cd(AAu)2Cd
+2Q0,AuQ20,Au
+2Au2Au
+2FAuF 2Au
+2GeAuG2eAu
; (17)
e referentes aos dados do gama i:
7
2Y supi=2(Ai)Cd(Ai)2Cd
+2Q0,iQ20,i
+2i2i
+2FiF 2i
+2GeiG2ei
(18)
Para a parte inferior:
2Y infi
=2Ai
(Ai (Ai)CdFi )2+
2(Ai)Cd(Ai Fi (Ai)Cd)2
+2AAu
(AAu (AAu)CdFAu )2+
2(AAu)Cd(AAu FAu (AAu)Cd)2
+(Ai)
2Cd 2Fi
(Ai F 2i (Ai)Cd Fi)2+
(AAu)2Cd 2FAu(AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)2
+2GeiG2ei
+2i2i
+2GeAuG2eAu
+2Au2Au
(19)
3.3.2 Os elementos covariantes deVY
Abaixo seguem os calculos dos elementos covariantes de VY . Os calculos sao apre-sentados em secoes que classificam as covariancias conforme suas origens: aquelasque envolvem parametros da mesma transicao gama, e portanto necessariamente domesmo isotopo, aquelas que envolvem apenas o mesmo isotopo, e aquelas que en-volvem isotopos diferentes. As eficiencias do detector sao obtidas de uma funcaode calibracao, portanto os valores interpolados sao covariantes. Considera-se queas covariancias cov(i, j) foram calculadas a partir da calibracao. Note que a matrizVY deve ser simetrica e portanto, para cada elemento de covariancia calculado, seusimetrico tambem deve ser incluido.
Uma observacao a fazer nesta parte e que desprezaremos as correlacoes entre asareas corrigidas. As areas calculadas dos espectros multicanal devem ser independen-tes (nao correlacionadas), porem os procedimentos de correcao introduzem correlacoesnas areas corrigidas. Como estas correlacoes nao foram calculadas, nao serao incluidasnos calculos mostrados abaixo.
Covariancias do primeiro elemento Y supAu com os elementos de Yinf
Nos elementos da parte inferior deY estao presentes as areas corrigidas da amostra
de Au. Portanto eles tem (AAu)Cd, Au e FAu em comum com o primeiro elementoY supAu . As covariancias entre o primeiro elemento e os elementos da parte inferior saocalculadas por
Vy(YsupAu , Y
infi ) =
(Y supAu
(AAu)Cd
)(Y infi
(AAu)Cd
)2(AAu)Cd +
+
(Y supAuAu
)(Y infiAu
)2Au +
(Y supAuAu
)(Y infii
)cov(Au, i) ,
8
cujo resultado e
Vy(YsupAu , Y
infi ) =
2(AAu)Cd(AAu)Cd (AAu FAu (AAu)Cd)
2Au2Au
(AAu)Cd 2FAu
FAu (AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)
+cov(Au, i)
Au i . (20)
Observe que dois dos termos tem sinais negativos.
Covariancias entre os elementos de Y sup do mesmo isotopo
Os elementos da parte superior deY que pertencem ao mesmo isotopo tem Q0,i, Fi
e Gei em comum. As covariancias entre os elementos da parte superior pertencentesao mesmo isotopo sao calculadas por
Vy(Ysupi , Y
supj ) =
(Y supiQ0,i
)(Y supjQ0,j
)2Q0,i +
+
(Y supiFi
)(Y supjFj
)2Fi +
(Y supiGei
)(Y supjGej
)2Gei +
+
(Y supii
)(Y supjj
)cov(i, j) ,
Se i e j sao ndices de transicoes gama do mesmo isotopo, o resultado e
Vy(Ysupi , Y
supj ) =
2Q0,iQ20,i
+2FiF 2i
+2GeiG2ei
+cov(i, j)
i j . (21)
Nos casos em que i e j pertencem a isotopos diferentes Vy(Ysupi , Y
supj ) = 0.
Covariancias entre os elementos de Y sup e os elementos de Y inf da mesma transicaogama
Os elementos de Y sup que correspondem a` mesma transicao gama de elementos deY inf tem mesmos valores de (Ai)Cd, Fi. e i. Suas covariancias sao calculadas por
Vy(Ysupi , Y
infj ) =
(Y supi(Ai)Cd
)(Y infj(Aj)Cd
)2(Ai)Cd +
+
(Y supiFi
)(Y infjFj
)2Fi +
(Y supii
)(Y infjj
)2i
9
cujo resultado e
Vy(Ysupi , Y
infj ) =
2(Ai)Cd(Ai)Cd (Ai Fi (Ai)Cd) +
+2Fi
F 2i (Ai Fi (Ai)Cd)+2i2i
. (22)
Atencao para o sinal negativo no primeiro termo.
Covariancias entre os elementos de Y sup e os elementos de Y inf do mesmo isotopo,mas transicoes gama diferentes
Os elementos de Y sup que correspondem ao mesmo isotopo de Y inf , mas de transicoesgama diferentes tem os mesmos valores de Fi. Suas covariancias sao calculadas por
Vy(Ysupi , Y
infj ) =
(Y supiFi
)(Y infjFj
)2Fi +
(Y supii
)(Y infjj
)cov(i, j) ,
cujo resultado e
Vy(Ysupi , Y
infj ) =
2FjF 2j (Aj Fj (Aj)Cd)
+cov(i, j)
i j . (23)
Covariancias entre os elementos de Y inf do mesmo isotopo
Os elementos de Y inf que correspondem ao mesmo isotopo tem os mesmos valoresde (AAu)Cd, AAu, FAu, GtAu, Au, Gti e Fi. Suas covariancias sao calculadas por
Vy(Yinfi , Y
infj ) =
(Y infi
(AAu)Cd
)(Y infj
(AAu)Cd
)2(AAu)Cd +
+
(Y infiAAu
)(Y infjAAu
)2AAu +
(Y infiFAu
)(Y infjFAu
)2FAu +
+
(Y infiGtAu
)(Y infjGtAu
)2GtAu +
(Y infiAu
)(Y infjAu
)2Au +
+
(Y infiGti
)(Y infjGtj
)2Gti +
(Y infiFi
)(Y infjFj
)2Fi +
+
(Y infii
)(Y infjj
)cov(i, j) ,
10
cujo resultado e
Vy(Yinfi , Y
infj ) =
2(AAu)Cd(AAu FAu (AAu)Cd)2 +
2AAu
(AAu (AAu)CdFAu )2+
+(AAu)Cd 2FAu
(AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)2+2GtAuG2tAu
+2Au2Au
+2GtiG2ti
+
+(Ai)Cd (Aj)Cd 2Fi
F 2i (Ai Fi (Ai)Cd)(Aj Fi (Aj)Cd)+
+cov(i, j)
i j , (24)
lembrando que nesta equacao Fi = Fj .
Covariancias entre os elementos de Y inf de isotopos diferentes
Os elementos de Y inf que correspondem a isotopos diferentes tem os mesmos va-lores de (AAu)Cd, AAu, FAu, GtAu e Au. Suas covariancias sao calculadas por
Vy(Yinfi , Y
infj ) =
(Y infi
(AAu)Cd
)(Y infj
(AAu)Cd
)2(AAu)Cd +
+
(Y infiAAu
)(Y infjAAu
)2AAu +
(Y infiFAu
)(Y infjFAu
)2FAu +
+
(Y infiGtAu
)(Y infjGtAu
)2GtAu +
(Y infiAu
)(Y infjAu
)2Au +
+
(Y infii
)(Y infjj
)cov(i, j) +
(Y infii
)(Y infjAu
)cov(i, Au) +
+
(Y infiAu
)(Y infjj
)cov(Au, j) ,
cujo resultado e
Vy(Yinfi , Y
infj ) =
2(AAu)Cd(AAu FAu (AAu)Cd)2 +
2AAu
(AAu (AAu)CdFAu )2+
+(AAu)Cd 2FAu
(AAu F 2Au (AAu)Cd FAu)2+2GtAuG2tAu
+2Au2Au
+
+cov(i, j)
i j +cov(i, Au)
i Au +cov(Au, j)
Au j . (25)
11
3.3.3 O ajuste pelo metodo dos mnimos quadrados
Uma vez montadas as matrizesY , VY e X, a matriz
A dos parametros e a matriz VA
das covariancias dos parametros podem ser calculadas pelo metodo dos mnimos qua-drados. Usando o formalismo matricial [2], podemos obte-las com duas operacoes:
VA =(Xt V1Y X
)1 (26)e
A = VA Xt V1Y
Y . (27)
Os valores deYaju, obtidos com os parametros ajustados, e calculado por
Yaju = X A , (28)
e podemos calcular as diferencasD entre os valores dos dados de entrada e os ajusta-
dos por
D =
Y Yaju . (29)
O 2 e calculado por
2 =Dt V1Y
D . (30)
Transferencia do erro de X para Y
As grandezas Ei eQ0,i tem erros e estao presentes tambem em X. Na propagacao deerro de X para Y, apos a determinacao do valor de , uma nova matrizVY e calculada.Os termos da diagonal principal da matriz correspondem a` novos valores de varianciasdos Yi, Yi , calculados por
2Yi = 2Yi+
(YiEi
)22Ei +
(YiQ0,i
)22Q0,i .
cujo resultado e
2Yi = 2Yi+
[(Q0,i + 0.429)
Ei Q0,i
]22Ei +
+
[ lnEiQ0,i
(lnEi(Q0,i + 0.429) 0.602)Q20,i
]22Q0,i . (31)
Como Ei e Q0,i tem os mesmos valores para gamas diferentes do mesmo isotopo,e necessario tambem transferir estes erros para os termos covariantes de VY . Os ele-mentos deVY correspondentes a
Y sup do mesmo isotopo devem ser recalculados por
12
2Yi = 2Yi+
(YiEi
)(YjEj
)cov(Ei, Ej) +
+
(YiQ0,i
)(YjQ0,j
)cov(Q0,i, Q0,j) .
Lembrando queEi = Ej , portanto cov(Ei, Ej) = 2Ei eQ0,i = Q0,j , portanto cov(Q0,i, Q0,j) =2Q0,i ,
V y(Ysupi , Y
supj ) = Vy(Y
supi , Y
supj ) +
[(Q0,i + 0.429)
Ei Q0,i
]22Ei +
+
[ lnEiQ0,i
(lnEi(Q0,i + 0.429) 0.602)Q20,i
]22Q0,i . (32)
13
4 Exemplo de aplicacao
O procedimento foi aplicado aos resultados experimentais do nosso grupo. Abaixo umexemplo dos resultados obtidos. O parametro e negativo e compatvel com zero. O2 e alto, principalmente devido aos dados do 46Sc.
a = 25.503424 +- 0.0229462alfa = -0.0025904 +- 0.0031268correlacao(a,alfa) = -0.8555676 Gama k0 sigma(k0) tabela: k0 +- sigma(k0)k0Zr95g1 = 0.0000888 +- 0.0000009 0.0000899 +- 0.0000020k0Zr95g2 = 0.0001102 +- 0.0000011 0.0001111 +- 0.0000024k0Zr97g1 = 0.0000102 +- 0.0000002 0.0000127 +- 0.0000003k0Zn65g1 = 0.0055202 +- 0.0000485 0.00572 +- 0.0000229k0Zn69g1 = 0.0003917 +- 0.0000036 0.000398 +- 0.0000024k0Sc46g1 = 1.2445928 +- 0.0135038 1.22 +- 0.00488k0Sc46g2 = 1.2351129 +- 0.0119980 1.22 +- 0.01342k0La140g1 = 0.0287979 +- 0.0002431 0.0287 +- 0.000287k0La140g2 = 0.0644138 +- 0.0005970 0.0637 +- 0.0005733k0La140g3 = 0.0329286 +- 0.0003354 0.0332 +- 0.0001992k0La140g4 = 0.1381695 +- 0.0019204 0.134 +- 0.001474k0Co60g1 = 1.3383765 +- 0.0157768 1.32 +- 0.00528k0Co60g2 = 1.3259557 +- 0.0165705 1.32 +- 0.0066 Qui-quadrado: 26.531589com 12 graus de liberdade.Qui-quadrado reduzido: 2.2109657Probabilidade do qui-quadrado exceder 26.531589 :0.9019635% Resduos: parte do alfa i istopo Egama Y Yaju diferena dif. ponder. 0 Au198 411.80 25.5344 25.4989 0.0355 1.6918 1 Zr95 724.20 16.1357 16.1504 -0.0147 -0.4139 2 Zr95 756.70 16.3575 16.3658 -0.0083 -0.2368 3 Zr97 743.40 13.9977 13.9996 -0.0019 -0.1033 4 Zn65 1115.50 20.2158 20.2800 -0.0642 -1.2774 5 Zn69m 438.60 17.6034 17.6398 -0.0364 -1.9632 6 Sc46 889.30 25.8405 25.6823 0.1583 3.1648 7 Sc46 1120.50 25.8409 25.6746 0.1663 3.3406 8 La140 328.70 21.8885 21.9423 -0.0538 -0.9841 9 La140 487.00 22.6962 22.7473 -0.0512 -0.9367 10 La140 815.80 22.0299 22.0764 -0.0465 -0.8454 11 La140 1596.20 23.4601 23.5105 -0.0504 -0.9067 12 Co60 1173.20 25.7890 25.7802 0.0088 0.2780 13 Co60 1332.50 25.7920 25.7709 0.0211 0.6629
Resduos: parte do ln(k0) (NO resduo em relao ao k0 tabelado) 14 Zr95 724.20 -9.3308 -9.3289 -0.0020 -0.1892 15 Zr95 756.70 -9.1167 -9.1134 -0.0033 -0.3189 16 Zr97 743.40 -11.4385 -11.4888 0.0503 0.2890 17 Zn65 1115.50 -5.2011 -5.1993 -0.0017 -0.1947 18 Zn69m 438.60 -7.8415 -7.8449 0.0035 0.3659 19 Sc46 889.30 0.2128 0.2188 -0.0061 -0.5441 20 Sc46 1120.50 0.2007 0.2112 -0.0105 -1.0454 21 La140 328.70 -3.5474 -3.5475 0.0000 0.0032 22 La140 487.00 -2.7444 -2.7424 -0.0020 -0.2130 23 La140 815.80 -3.4171 -3.4134 -0.0036 -0.3514 24 La140 1596.20 -1.9818 -1.9793 -0.0025 -0.1782 25 Co60 1173.20 0.2922 0.2915 0.0007 0.0565 26 Co60 1332.50 0.2710 0.2821 -0.0111 -0.7987
Figura 2: Resultados preliminares.
14
A figura 3 mostra os resduos poderados pela incerteza.
Figura 3: Resduos ponderados; resultados preliminares.
A figura 4 mostra a razao entre os k0 ajustados e os tabelados.
Figura 4: Razao entre k0; resultados preliminares.
Notam-se na Fig. 3 resduos grandes (maiores que 3 desvios padrao) para os dadosdo 46Sc na parte do ajuste do parametro , e na Fig. 4 o valor de k0 ajustado para o 97Zrbem menor que o tabelado.
15
Tabe
la d
e D
ados
Expe
rimen
tais
Isot
opo
sigm
asi
gma
sigm
asi
gma
sigm
asi
gma
Au19
841
1,8
1,27
00E-03
7,13
00E-06
2,39
97E+
096,25
00E+
061,01
21E+
103,22
00E+
074,22
0,02
0,98
080,00
391,00
000,00
00Zr
9572
4,2
7,21
00E-04
4,94
00E-06
3,88
98E+
043,79
00E+
024,27
24E+
051,11
00E+
0310
,98
0,11
0,99
900,00
041,00
000,00
00Zr
9575
6,7
6,93
00E-04
4,79
00E-06
4,66
71E+
043,81
00E+
025,09
04E+
051,19
00E+
0310
,91
0,09
0,99
900,00
041,00
000,00
00Zr
9774
3,4
7,04
00E-04
4,85
00E-06
2,12
26E+
052,82
00E+
032,58
34E+
057,41
00E+
031,22
0,04
0,99
880,00
101,00
000,00
00Zn
6511
15,5
4,90
00E-04
2,14
00E-06
5,41
14E+
057,31
00E+
021,68
23E+
073,91
00E+
0431
,09
0,08
0,96
050,00
870,99
240,00
15Zn
69m
438,
61,19
00E-03
6,70
00E-06
1,28
85E+
058,60
00E+
012,96
91E+
066,76
00E+
0323
,04
0,05
0,95
640,00
910,99
930,00
02Sc
4688
9,3
6,01
00E-04
3,90
00E-06
4,51
42E+
072,23
00E+
054,46
76E+
091,46
00E+
0798
,97
0,59
0,98
580,00
290,97
920,00
43Sc
4611
20,5
4,90
00E-04
2,12
00E-06
3,68
18E+
071,82
00E+
053,59
92E+
091,18
00E+
0797
,76
0,58
0,98
580,00
290,97
920,00
43La
140
328,
71,61
00E-03
8,84
00E-06
6,92
23E+
063,11
00E+
042,88
61E+
086,45
00E+
0541
,69
0,21
0,99
810,00
041,00
000,00
00La
140
487,
01,06
00E-03
6,08
00E-06
1,02
21E+
073,00
00E+
044,24
20E+
087,82
00E+
0541
,50
0,14
0,99
810,00
041,00
000,00
00La
140
815,
86,48
00E-04
4,44
00E-06
3,20
91E+
061,97
00E+
041,32
37E+
083,70
00E+
0541
,25
0,28
0,99
810,00
041,00
000,00
00La
140
1596
,23,34
00E-04
3,95
00E-06
6,91
35E+
062,44
00E+
042,86
58E+
085,57
00E+
0541
,45
0,17
0,99
810,00
041,00
000,00
00C
o60
1173
,24,67
00E-04
1,92
00E-06
1,44
51E+
081,55
00E+
063,94
73E+
093,87
00E+
0727
,32
0,40
0,99
710,00
061,00
000,00
00C
o60
1332
,54,11
00E-04
2,28
00E-06
1,27
56E+
081,36
00E+
063,40
42E+
093,45
00E+
0726
,69
0,39
0,99
710,00
061,00
000,00
00
Tabe
lado
sIs
otop
oEr
esk0
I0si
gma0
Q0
sigm
aAu
198
411,
85,65
0,4
1,00
0E+0
0,0
0,99
80,00
515
5000
01,9
9870
00,1
15,710
0,29
8Zr
9572
4,2
6260
4,0
8,99
0E-5
2,2
1,00
00,00
527
13,9
512,0
5,30
60,17
5Zr
9575
6,7
6260
4,0
1,11
0E-4
2,2
1,00
00,00
527
13,9
512,0
5,30
60,17
5Zr
9774
3,4
338
2,1
1,27
0E-5
2,3
1,00
00,00
549
603,4
203,2
251,60
02,44
1Zn
6511
15,5
2560
10,0
5,72
0E-3
0,4
1,00
00,00
513
904,2
728
1,4
1,91
00,09
4Zn
69m
438,
659
010
,03,98
0E-4
0,6
1,00
00,00
518
03,1
702,8
2,56
30,03
6Sc
4688
9,3
5130
5,0
1,22
0E+0
0,4
1,02
60,00
512
000
4,2
2720
00,7
0,44
50,02
2Sc
4611
20,5
5130
5,0
1,22
0E+0
1,1
1,02
60,00
512
000
4,2
2720
00,7
0,44
50,02
2La
140
328,
776
3,9
2,87
0E-2
1,0
1,00
40,00
512
100
5,0
9040
0,4
1,33
80,07
2La
140
487
763,9
6,37
0E-2
0,9
1,00
40,00
512
100
5,0
9040
0,4
1,33
80,07
2La
140
815,
876
3,9
3,32
0E-2
0,6
1,00
40,00
512
100
5,0
9040
0,4
1,33
80,07
2La
140
1596
,276
3,9
1,34
0E-1
1,1
1,00
40,00
512
100
5,0
9040
0,4
1,33
80,07
2C
o60
1173
,213
65,1
1,32
0E+0
0,4
0,98
40,00
573
900
2,9
3710
00,4
1,99
00,05
8C
o60
1332
,513
65,1
1,32
0E+0
0,5
0,98
40,00
573
900
2,9
3710
00,4
1,99
00,05
8
Egam
aEf
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Gth
Egam
asi
g%si
g%Fc
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gsi
g%si
g%
16
Referencias
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