EL MTODO WKB IV

Al estudiar las aplicaciones de la aproximacin WKB para pozos de potencial con paredes que pueden ser infinitamente altas, se di por hecho que tales paredes son verticales (desapareciendo por completo la funcin de onda (x) volvindose cero justo al tocar una pared vertical cuando sta es infinitamente alta), de modo tal que las condiciones de frontera se vuelven triviales y las aproximaciones WKB se vuelven relativamente sencillas. Sin embargo, an en los casos en los que las paredes que contienen a las partculas dentro de cierta regin no son verticales, la aproximacin WKB se puede seguir utilizando, tal fue el caso del decaimiento de ncleos radioactivos en donde las paredes de la barrera de potencial no son infinitamente altas y una de ellas (la pared que representa la barrera del potencial Coulmbico) ni siquiera es vertical. Seguiremos explorando aqu lo que ocurre cuando haypuntos de volteodebidos a la forma del potencial V(x). A continuacin veremos ms de cerca lo que le ocurre a la funcin de onda (x) en un punto de volteo en el cual la energa E de la partcula es igual a la energa potencial V, cuando la regin situada a un lado del punto de volteo es una regin clsica y la otra regin es una regin no-clsica, precisamente en donde la aproximacin WKB pierde su poder. Para mayor simplicidad, manejaremos el caso del problema de un estado ligado, y para mayor simplicidaddesplazaremosel sistema de coordenadas de forma tal que el punto de volteo que anteriormente estaba situado a un lado del origen del sistema de coordenadas quede ubicado justo en el origen, o sea enx.=.0, como se muestra en la siguiente figura (la lnea recta de color caf representa un potencial linearizado en la regin de juntura en donde se pegan las dos soluciones WKB):

Como puede verse, en tal situacin la aproximacin WKB para las dos regiones d dos soluciones, una para cada regin. Paraxmenor quex.=.0 (suponiendo que V(x) permanece mayor que E para todos los valores posibles dexpositivo, podemos o mejor dicho debemos exclur el exponente positivo en esta regin porque ste explota conformex..) en lo que consideraremos como la regin # 1 (a la izquierda del punto de volteo), se tiene para la funcin de onda la siguiente aproximacin WKB:

mientras que paraxmayor quex.=.0 en lo que consideraremos como la regin # 2 (a la derecha del punto de volteo):

La enorme dificultad en el punto de volteo es la misma que ya hemos visto antes, de que en la aproximacin WKB la funcin de onda (x) crece inconmensurablemente hacia el infinito conformep(x), conforme podemos verlo en las dos expresiones anteriores. En la Naturaleza, la funcin de ondaverdadera(no la que es aproximada por el mtodo WKB) no posee tal comportamiento violento, lo que sucede simplemente es el la aproximacin WKB fracasa en la proximidad de tal punto de volteo. Sin embargo, son precisamente las condiciones de frontera en los puntos de volteo las que determinan las energas permisibles de la partcula. El remedio usual consiste enpegar las soluciones WKB en la proximidad del punto de volteo con una funcin de parchep(x) que no explote en el punto de volteo y que nos permitaparchar y pegar en el punto de volteo las dos soluciones WKB para cada regin. En virtud de que solo necesitamos una funcin de parche en la vecindad de un punto de volteo, que ser comn a ambas regiones, podemos aproximar el potencial V(x) en dicho punto con una funcin linear como la siguiente:

La solucin de la ecuacin de Schrdinger en la cercana de este punto de volteo es entonces:

en donde:

Si hacemos:

entonces las pueden ser absorbidas dentro de la variable independiente, obtenindose entonces la siguiente ecuacin:

Esta es, desde luego, laecuacin diferencial de Airyque ya tratamos en la entrada anterior, y puesto que se trata de una ecuacin diferencial de segundo orden hay dos soluciones linearmente independientes, lasfunciones de AiryAi(z) y Bi(z) cuyas grficas se reproducen a continuacin:

La solucin a la ecuacin de Airy es una combinacin linear de las dos funciones de Airy. La funcin de parche p(x) usada para pegar las dos regiones es por lo tanto:

en dondeaybson constantes numricas apropiadas. Al ser p(x) la funcin de onda aproximada de parche en el origen en donde se lleva a cabo la juntura, nuestra tarea consiste en aparearla a las soluciones WKB que corresponden a cada una de las dos regiones de inters:

Se supone de inicio que las zonas de traslape estn lo suficientemente cercanas al punto de volteo de modo tal que el potencial V linearizado es razonablemente correcto y con ello p(x) es una buena aproximacin a la funcin de onda verdadera, pero al mismo tiempo las zonas de traslape estn lo suficientemente alejadas del punto de volteo como para que la aproximacin WKB sea suficientemente confiable. Siendo la aproximacin linear:

vlida en la zona intermedia del traslape, y considerando que:

podemos escribir para dicha zona lo siguiente:

En la regin # 2 (a la derecha del punto de volteo cuandoxesmayor quex.=.0) se tiene:

y por lo tanto la aproximacin WKB puede ser escrita sobre dicha regin de la siguiente manera:

Podemos usar las siguientes formas asintticas de las funciones de Airy suponiendo valores dezpositivossuficientemente grandes:

con las cuales podemos escribir la funcin linear de parchado en la zona de encuentro con la regin # 2 de la manera siguiente:

Comparando esto con las constantes de la relacin:

podemos ver que ello implica lo siguiente:

Podemos repetir el mismo procedimiento para la regin # 1 (a la izquierda del punto de volteo cuandoxes menorquex.=.0) en dondep(x) sigue dado por la ecuacin:

pero en donde ahora se requiere intercambiar los lmites de la integracin al serxnegativo en la regin que est siendo considerada:

De este modo, la funcin WKB resulta ser:

Por otro lado, recurriendo a la forma asinttica de la funcin Ai(z) suponiendo valores deznegativossuficientemente grandes:

se puede escribir lo siguiente:

De la frmula de Euler sabemos que:

De este modo:

De nueva cuenta, estableciendo comparaciones podemos ver que:

y que:

de modo tal que, substituyendo lo que obtuvimos arriba paraa:

se tiene finalmente:

Relaciones de este tipo son conocidas comofrmulas de conexin, porque nos permitenpegar las soluciones WKB que se obtienen a cada lado de un punto de volteo, y los coeficientes as obtenidos son conocidos comocoeficientes de conexin. Expresando todo en trminos de una sola constante de normalizacinD, y desplazando el punto de volteo del origen del sistema de coordenadas hacia un punto arbitrario que simbolizaremos comox2, la aproximacin WKB que describe ambas regiones queda definida como dos funciones WKB, la primera para cuandoxes menor quex2(o sea, para valores negativos dex, al haber desplazado el origen del sistema de coordenadas para hacerlo coincidir conx2):

y la segunda para cuandoxmayor quex2(o sea, para valores positivos dex):

Supngase que se tiene un pozo de potencial con una pared vertical en el lado izquierdo y del otro lado una pared inclinada en una forma como la que se muestra a continuacin:

En este caso, (0).=.0 (en la pared vertical del lado izquierdo) en virtud de que el potencial es infinitamente grande en dicho lugar y la funcin de onda no puede tener otro valor ms que ese. En cambio, enx2se tiene unpunto de volteoen donde el potencial no se vuelve infinitamente grande. Puesto que suponemos que la partcula no va ms all dex2al llegar al punto de volteo, se deduce que la partcula se encuentra en un movimiento oscilatorio y que su energa est cuantizada. Siendo as, la segunda de las ltimas dos ecuaciones dadas arriba no es aplicable, y en este caso usamos nicamente la primera de ellas yendo desdex.=.0 hastax.=.x2:

Para que esta expresin sea cierta desde el punto de vista matemtico, se requiere que:

lo cual a su vez solo se cumple si:

o bien:

siendon.=.1,2,3,... etc.

Aplicaremos el resultado que acabamos de obtener a un potencial parablico que corresponde a lo que podramos llamar unmedio oscilador armnico definido de la siguiente manera:

Un potencial as tiene el siguiente aspecto (podemos imaginar este oscilador armnico simple como una masa conectada a un resorte que puede ser estirado pero no comprimido):

Claramente, este es precisamente el caso en el cual se tiene una pared slida y rgida en el extremo izquierdo, y un punto de volteo en el extremo derecho, pudindose aplicar de inmediato la relacin que se obtuvo arriba. Para esta situacin se tiene lo siguiente:

siendo:

un punto de volteo. Llevando a cabo los pasos requeridos, se tiene entonces:

Este es un caso en el que la aproximacin WKB nos entrega la solucinexacta, ya que los niveles de energa son:

que resultan ser las soluciones impares para el oscilador armnico simple completo.

Se han considerado hasta este punto ejemplos en los cuales los puntos de volteo tienen todos ellos una pendiente que va cuesta arriba, esto es, en dichos puntos de volteo el potencial V(x) va aumentando conformexva aumentando al movernos de izquierda a derecha, como en el siguiente caso en el cual en la coordenadax2el punto de volteo que est situado en la pendiente de la curva del potencial va cuesta arriba:

Las relaciones generales WKB obtenidas arriba con la ayuda de los coeficientes de conexin nos proporcionan la aproximacin para el caso en el cual el potencial V(x) en el cual est ubicado el punto de volteo enx2tiene una pendiente que siempre va cuesta arriba dentro del rango de valores de inters. Sin embargo, podemos tener tambin el caso que en donde est situado el punto de volteo (que ubicaremos en la coordenada identificada comox1) el potencial V(x) tenga una pendiente que siempre vacuesta abajo, esto es, en dicho punto el potencial va disminuyendo conformexva aumentando como en el siguiente caso en el cual en la coordenadax1el punto de volteo que est situado en la pendiente de la curva del potencial va cuesta abajo:

En el caso de puntos de volteo situados en pendientes que van cuesta abajo como ocurre en la figura de arriba, para la obtencin de los coeficientes de conexin se repite el procedimiento dado arriba que consiste en desplazar el origen del sistema de coordenadas hacia donde se encuentra el punto de volteox1, como lo ilustra el siguiente grfico animado (la regin mostrada en color ciano es la que corresponde a la regin prohibida, esto es, la regin no-clsica, en donde el potencial V(x) es superior a la energa E de la partcula y por lo tanto la partcula clsicamente no puede penetrar en dicha regin):

Efectuado el desplazamiento, se aplica la aproximacin WKB a cada regin con la finalidad eventual de pegar las soluciones WKB en la proximidad del punto de volteo con una funcin de parchep(x) que no explote en el punto de volteo y que nos permitaparchar y pegar en el punto de volteo las dos soluciones WKB para cada regin:

De este modo, desarrollando y finalmente desplazando nuevamente el punto de volteox1regresando al origen del sistema de coordenadas a su posicin inicial, se obtiene la aproximacin WKB que describe la zona ubicada en la regin en dondexes menorquex1y que est dada por (cmparese y obsrvese la simetra entre los dos casos):

mientras que la aproximacin WKB que describe la zona ubicada en la regin en dondexes mayorquex1est dada por:

En este caso, al usar la relacin:

hay que tomar en cuenta que V(0) es ahora negativo y que:

con lo cual:

Las frmulas de conexin que se obtienen resultan ser las mismas, produciendo una simetra en las soluciones obtenidas aqu con las que se obtuvieron arriba.

Un caso ms general es aqul en el cual se tiene algo as como un pozo de potencial condospuntos de volteo, uno a cada lado del pozo, ubicados enx1y enx2:

Las regiones a la izquierda dex1y a la derecha dex2son regiones no-clsicas, mientras que la regininteriorcomprendida entre los dos puntos de volteox1yx2es una regin clsica. La funcin de onda en la regininteriorcomprendida entre ambos puntos de volteo puede ser escrita ya sea como:

cuando se aplica la solucin obtenida arriba considerando una pendiente cuesta arriba en el segundo punto de volteox2del potencial V(x), y por el otro lado usando:

cuando se aplica la solucin que se obtiene cuando se considera una pendientecuesta abajoen el primer punto de volteox1del potencial V(x).

Puesto que los argumentos de las funciones senoidales deben ser iguales, en mdulo, o sea:

se deduce entonces que:

o lo que es lo mismo:

Esto es justo lo que obtuvimos previamente en una entrada anterior. Esta condicin de cuantizacin es vlida para pozos de potencial en los cuales ambos lados del pozo tienen paredes laterales que en vez de ser verticales una de ellas tiene una pendiente que vacuesta abajo y la otra tiene una pendiente que vacuesta arriba. Obsrvese que difiere de las condiciones de cuantizacin obtenidas con aproximaciones WKB para pozos de potencial con dos paredes verticales y con una pared vertical nicamente en el nmero que se le resta an, ya sea 0, 1/2 1/4. Puesto que la aproximacin WKB d sus mejores resultados en el rango semiclsico (valores grandes den) la diferencia es ms en apariencia que en substancia. De cualquier manera, el resultado es extraordinariamente potente porque nos permite calcular las energas aproximadas sin tener que resolver la ecuacin de Schrdinger, con solo tener que evaluar una integral. Inclusive la misma funcin de onda ha terminado desapareciendo del panorama.

La metodologa que se sigue en la aplicacin del mtodo de aproximacin WKB abarrerasde potencial es muy parecida a la que se utiliza en el anlisis de lo que ocurre en lo que tiene que ver con pozos de potencial. Tmese como ejemplo la barrera de potencial V(x) que se muestra en la siguiente figura en la que se muestra el nivel de energa E de cierta partcula (o partculas) que se aproximan desde la derecha a la barrera de potencial:

Al igual que como ocurre en un pozo de potencial, se tienen aqu dos puntos de volteo enx1y enx2. Hay tres regiones, y podemos escribir de inmediato las aproximaciones WKB para cada una de ellas. Estamos interesados en evaluar el coeficiente de transmisin T de las partculas que estn llegando desde la izquierda de la barrera de potencial y que alcanzan a atravesarpor tunelajeal otro lado de la barrera de potencial. Para la primera regin (clsica) que est situada a la izquierda dex1, la aproximacin WKB es la siguiente (emplearemos las mismas convenciones en la notacin de las constantesA,B,C,DyFque se emplean para simbolizar partculas que se estn moviendo hacia la izquierda y hacia la derecha en cada regin que fueron usadas previamente en el anlisis de tunelaje a travs de barreras de potencial con paredes verticales):

Para la regin (no-clsica) que est comprendida entrex1yx2, la aproximacin WKB es la siguiente:

Por ltimo, para la regin (clsica) que est situada a la derecha dex2, la aproximacin WKB es la siguiente (no usaremos el trmino asociado con la constanteEque se usara para las partculas que se estn moviendo de derecha a izquierda en esta regin, en virtud de que para el clculo del coeficiente de transmisin estamos interesados nicamente en la contribucin de las partculas que estn movindose de izquierda a derecha, esto es, partculas que lograron atravesar la barrera de potencial):

Como primer paso para poder establecer los coeficientes de conexin que conectan a la primera regin con la segunda regin, desplazaremos el origen del sistema de coordenadas haciax1:

El siguiente grfico animado nos muestra de manera ms efectiva el desplazamiento que se est llevando a cabo del origen del sistema de coordenadas:

De este modo, para la regin que est a la izquierda del (desplazado) origen del sistema de coordenadas, o sea paraxmenor que 0, la aproximacin WKB viene quedando como (ntese el cambio en los lmites de las integrales):

mientras que para la regin que est a la derecha del (desplazado) origen del sistema de coordenadas, o sea paraxmayor que 0, la aproximacin WKB viene quedando como:

Tenemos pues una zona de traslape en la que se debenpegar las aproximaciones WKB para ambas regiones (la regin que corresponde axmenor que 0, y la regin que corresponde axmayor que 0). Para la segunda regin de traslape, usando la relacin obtenida previamente:

se tiene entonces para la aproximacin WKB en la segunda regin lo siguiente:

mientras que la relacin:

permanece sin cambios. Estableciendo las comparaciones y correspondencias apropiadas, obtenemos para los siguientes coeficientes de conexin lo siguiente:

Por otro lado, para la primera regin de traslape, la aproximacin WKB ser:

y lafuncin de parchep(x) usada para pegar las dos regiones ser:

queda generalizada (conb..0) a:

Recurriendo a la frmula de Euler, esto lo podemos escribir de la siguiente manera:

Estableciendo las comparaciones y correspondencias apropiadas, obtenemos para los coeficientes de conexin lo siguiente:

Metiendo en esto ltimo las expresiones obtenidas previamente para las constantesayb, se tiene por lo tanto:

Hemos obtenido de este modo las frmulas de conexin que nos relacionan aA,B,CyDen el puntox1.

En lo que concierne al punto de volteo situado enx2, ste est situado en una pendiente que vacuesta abajo. Siguiendo la misma metodologa delineada previamente, podemos escribir la expresin de la aproximacin WKB para la regin (no-clsica) que est comprendida entrex1yx2:

de la siguiente manera:

Hgase:

en una forma parecida a como se hizo para definir la cantidad utilizada en la solucin del problema de tunelaje del decaimiento de partculas radioactivas estudiado en las entradas previas. Defnanse asimismo las siguientes cantidades:

Desplazaremos ahora el origen del sistema de coordenadas haciax2. Este desplazamiento se puede visualizar con mayor claridad con el siguiente grfico animado:

Tras haberse llevado a cabo el desplazamiento del origen del sistema de coordenadas, se tienen dos regiones; la regin no-clsica paraxmenor que 0 queda situada a la izquierda y la regin clsica paraxmayor que 0 queda situada a la derecha. Para la regin que est a la izquierda del (desplazado) origen del sistema de coordenadas, o sea paraxmenor que 0, la aproximacin WKB viene quedando como:

mientras que para la regin que est a la derecha del (desplazado) origen del sistema de coordenadas, o sea paraxmayor que 0, la aproximacin WKB viene quedando como:

La funcin de parche p(x) usada para pegar las dos regiones en la zona de traslape sigue siendo dada por la combinacin linear de las funciones de Airy:

en donde, al igual que antes:

Para valores negativos dex, en la primera regin:

Procediendo en forma semejante a como lo hicimos arriba, la aproximacin WKB ser:

mientras que para la funcin de parche p(x) usada para pegar las dos regiones se tiene:

Estableciendo las comparaciones y correspondencias apropiadas, obtenemos para los coeficientes de conexin lo siguiente:

Por otro lado, para valores positivos dex, en la segunda regin:

Procediendo en forma semejante a como lo hicimos arriba, la aproximacin WKB ser:

y lafuncin de parchep(x) usada para pegar las dos regiones ser:

De nueva cuenta, recurriendo a la frmula de Euler, esto lo podemos escribir de la siguiente manera:

Se tiene entonces queia.+.b.=.0 tras establecer las comparaciones y correspondencias apropiadas, con lo cual obtenemos para los coeficientes de conexin lo siguiente:

Del mismo modo:

con lo cual:

Con esto, hemos obtenido todos los coeficientes de conexin que necesitamos, porque para obtener el coeficiente de transmisin T lo nico que se requiere es encontrar la relacin con la cual se pueda comparar la densidad de probabilidad de las partculas que estn llegando desde la izquierda a la barrera de potencial, lo cual depende de la magnitud deA, con la densidad de probabilidad de las partculas que estn saliendo de la barrera de potencial movindose tambin de izquierda a derecha, lo cual depende de la magnitud deF. Esto lo encontramos de la siguiente manera:

De este modo, la aproximacin WKB para el coeficiente de transmisin T de partculas a travs de la barrera de potencial ser:

Obsrvese que para valores de mucho mayores a la unidad, el denominador se aproxima a 1 con lo cual el coeficiente de transmisin T.=.exp[-2]se convierte esencialmente en el mismo que se obtuvo para el problema de decaimiento radioactivo, o sea T.=.exp[-2].

Un ejemplo interesante de aplicacin de la aproximacin WKB que se puede citar es aqul en el cual consideramos potenciales esfricamente simtricos. Podemos aplicar el mtodo WKB a la ecuacin radial suponiendo para mayor simplicidad quel.=.0, en cuyo caso es razonable suponer que la aproximacin WKB toma la forma:

en donde consideramos ar.=.0 como una pared infinitamente alta y tomamos ar0como el punto de volteo. A modo de ejemplo, supondremos que el potencial radial V(r) es un potencial de tipo logartmico que est dado por la siguiente relacin:

siendoRuna constante que nos ayuda a definir al potencial logartmico. Un vistazo a la grfica de este tipo de potencial nos revela que podemos esperar estados ligados con energa discreta

Aplicando la condicin de cuantizacin dada por la aproximacin WKB al potencial V(r), se tiene entonces:

La energa E de la partcula queda definida por lo anterior como:

Trabajaremos sobre la integral del siguiente modo:

En este tipo de integral, como en otras, resulta conveniente hacer una substitucin de variable como la siguiente:

De este modo se tiene:

Por lo tanto:

Antes de tratar de efectuar la integracin, tenemos que establecer la correspondencia entre los lmites de integracin que resultaron como consecuencia del cambio de variable. La correspondencia es la siguiente:

De este modo, se tiene:

La integral, como est dada, tiene una solucin inmediata y directa mediante el uso de lafuncin Gamma:

La funcin Gamma de 3/2 a su vez tiene un valor convencional que nos permite obtener lo siguiente:

Se comprueba con esto que los niveles de energa estn discretizados, y estos tienen que ser:

Calculando la diferencia energtica entre dos niveles de energa contiguos, podemos comprobar que esta diferencia es independiente de la masamde la partcula o del valor de la constanteR:

Habiendo visto la aplicacin del mtodo WKB al anlisis de un problema en el que se tiene un potencial esfricamente simtrico, esta es una buena ocasin para intentar aplicarlo a otro problema de mayor inters, la estimacin de las energas de enlace del electrn al tomo de hidrgeno. Un paso de esta ndole requiere de mucha cautela, ya que la aplicacin del mtodo WKB a la ecuacin radial presenta algunos problemas sutiles como los que tuvo que enfrentar Rudolph E. Langer en su papel clsico tituladoOn the Connection Formulas and the Solutions of the Wave Equation (Sobre las Frmulas de Conexin y las Soluciones a la Ecuacin de Onda) publicado en 1937 en el ejemplar 8 del volumen 51 de la revistaPhysical Review, algunos de los cuales fueron abordados ms recientemente por Tatsuya Koike y Harris J. Silvestone en un trabajo tituladoRereading Langers influential 1937 JWKB paper: the unnecesary Langer transformation; the twos publicado en noviembre de 2009 en elJournal of Physics A: Mathematical and Theoretical. Para resolver la ecuacin de Schrdinger con la aproximacin WKB aplicada al caso del tomo de hidrgeno, Langer propuso la transformacin Langer:

Al hacer esto, Langer encontr que la funcin radial para el hidrgeno en una aproximacin WKB de primer orden actuaba como si el trmino conocido como potencial centrfugo fuese:

en lo que hoy es conocido como lacorreccin Langer, dando con ello cierta justificacin a la substitucin sugerida previamente en 1926 porHendrik Anthony Kramers(precisamente uno de los que desarrollaron el mtodo de aproximacin Wentzel-Kramers-Brillouin) en su trabajo Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung (Mecnica ondulatoria y cuantizacin media-integral) publicado en elZeitschrift fr Physikque proporciona, a un primer orden, el comportamientorl+1correcto en el origen, el desplazamiento correcto de fase, y los niveles correctos de energa. No entraremos en tantos detalles. Para la resolucin de este problema, usaremos la aproximacin WKB:

Trabajando dentro del sistema de unidades MKS-SI, el momentum radialp(r) para el tomo de hidrgeno puede ser escrito de la siguiente manera:

Con la finalidad de no estar arrastando innecesariamente demasiada notacin engorrosa, efectuaremos las siguientes substituciones:

De este modo, usando la aproximacin WKB tal y como ha sido prescrita arriba, se tiene:

En el integrando tenemos una expresin cuadrtica que sabemos de sobra que tiene que poseer dos racesr1yr2:

De este modo, se tiene lo siguiente para simplificar:

En este punto resuta til recurrir a las tablas de integrales, dentro de las cuales podemos encontrar la siguiente forma convencional:

Por lo tanto:

Recurriendo a un conocido teorema del lgebra, se puede afirmar que:

Teniendo en cuenta:

Por lo tanto:

Este es el punto adecuado para restablecer las variables y a sus valores originales:

Simplificando:

Simplificando un poco ms:

De este modo, obtenemos finalmente para los niveles de energa que resultan estar discretizados:

Usando valores numricos para las constantes fsicas que obran en en numerador, encontramos que:

Obsrvese que paran..l as comon..1/2, el resultado obtenido nos conduce a los niveles energticos predichos por el model atmico planetario de Bohr.

Habiendo obtenido previamente en esta entrada la solucinexactacon el mtodo WKB para un potencial que corresponde a un medio oscilador armnico, vale la pena repasar la solucin con el mtodo WKB para el potencial que corresponde al verdadero oscilador armnico simple. En este caso, el momentump(x)est dado por la expresin:

habiendodospuntos de volteox1yx2, uno a cada lado de la parbola, los cuales son, desde luego:

La condicin de cuantizacin obtenida con el mtodo WKB para la regin en la cual la partcula se encuentra oscilando entre un punto de volteo enx1y el otro punto de volteo enx2es:

De las tablas de integrales se obtiene la solucin a lo que es una integral convencional:

Por lo tanto, usando esto como paso intermedio en el desarrollo de la solucin WKB para el oscilador armnico simple, se tiene:

Como puede verse, el mtodo WKB proporciona la solucinexactapara los niveles de energa que corresponden al oscilador armnico simple.

Un problema algo ms elaborado que tambin se puede analizar con la aproximacin WKB es el problema del pozo de potencial doble como el siguiente:

Para una partcula que posea una energa E como la que se muestra en la figura, la regin comprendida entre los puntos de volteox1y enx2acta como unabarrera de potencial; una partcula que se encuentre en un pozo de potencial puede pasar al otro pozo por medio detunelaje, y podemos estimar el coeficiente de transmisin de una regin a otra tal y como lo hicimos arriba. Sin embargo, se escogemos los puntos de volteox1yx2que se muestran en la siguiente figura:

lo que tenemos entonces es una situacin en la que la partcula (o las partculas) est rebotando entre ambos puntos de volteo. Si unimos esta visin con la visin anterior, el panorama total resulta indudablemente ms complicado, porque en cada pozo de potencial se pueden tenereigenestadosdiscretos de energa en donde las partculas pueden permanecer semi-atrapadas, aunque puede haber un flujo de partculaspor tunelajedel pozo de potencial izquierdo al pozo de potencial derecho y viceversa. Podemos obtener una mejor perspectiva sobre el mtodo de solucin requerido para el anlisis de un problema de esta ndole considerando un pozo de potencial doblesimtricoconstrudo a partir de pozos de potencial (parablicos) que corresponden a los de un oscilador armnico simple:

Puesto que el potencial parablico V(x) para un oscilador armnico simple sencillo centrado en el origen est dado por la expresin:

entonces la frmula para el pozo de potencial situado a la izquierda del origen del sistema de coordenadas ser (esta es esencialmente la ecuacin de una parbola desplazada hacia la izquierda enaunidades):

mientras que la frmula para el pozo de potencial situado a la derecha del origen del sistema de coordenadas ser (esta es esencialmente la ecuacin de una parbola desplazada hacia la derecha enaunidades):

En la figura mostrada arriba, se han destacado dos puntos de volteox1yx2en el pozo de potencial que est situado a la derecha del origen del sistema de coordenadas, los cuales corresponden a los de una partcula de energa E que se encuentra en un estado ligado.

La solucin general WKB para un pozo de potencial doble (no limitada al ejemplo que se acaba de dar en el cual se construye un pozo de potencial doble con dos pozos de potencial parablicos) puede comenzar considerando dos puntos de volteox1yx2como los que se muestran en la figura de arriba, los cuales subdividen en tres regiones al pozo de potencial situado al lado derecho del origen del sistema de coordenadas. Empleando los mismos procedimientos utilizados en los ejemplos anteriores, se encuentra que la aproximacin WKB para la regin situada entre el origen del sistema de coordenadas (x.=.0) yx1es (entraremos en mayor detalle ms abajo sobre la manera en la que se obtiene este resultado):

en donde se ha hecho la simplificacin:

mientras que la aproximacin WKB para la regin situada entrex1yx2es:

entanto que la aproximacin WKB para la regin situada a la derecha dex2es:

Para efectuar el parchado enx1, podemos escribir de la siguiente manera la aproximacin WKB para la regin situada entre el origen del sistema de coordenadas (x.=.0) yx1usando como medida simplificadora la definicin que se di arriba de :

A continuacin, podemos desplazar el origen del sistema de coordenadas del pozo de potencial doble para hacerlo coincidir conx1:

con lo cual la aproximacin WKB para valores de negativos dex(la regin a la izquierda del origen del sistema de coordenadas puesto enx1) toma la siguiente forma:

mientras que la aproximacin WKB para valores de positivos dex(la regin a la derecha del origen del sistema de coordenadas puesto enx1) toma la siguiente forma:

Repitiendo los pasos dados en los ejemplos anteriores, se encuentra que los coeficientes de conexin para la zona de traslape situada en la regin con valores negativos dexestn especificados por:

mientras que los coeficientes de conexin para la zona de traslape situada en la regin con valores positivos dexestn especificados por:

De esto ltimo se obtiene:

Combinando ambos resultados de las zonas de traslape se tiene entonces:

De esta manera es como se puede obtener entonces la aproximacin WKB para la regin situada entre el origen del sistema de coordenadas (x.=.0) yx1:

Ahora bien, al considerar la funcin de ondacompleta(x) del pozo de potencial doble, si suponemos como medida simplificadora que la funcin de potencial V(x) para toda la regin de inters es simtrica con respecto al origen del sistema de coordenadas (el que est puesto entre ambos pozos de potencial), entonces solo necesitamos considerar dos tipos de funciones de onda, las funciones de ondaparesy las funciones de ondaimpares. Las funciones de onda impares necesariamente deben ser iguales a cero en el origen del sistema de coordenadas, o sea que (0).=.0, mientras que para las funciones de onda pares si bien es cierto que no son iguales a cero al cruzar el puntox.=.0 la pendiente de las mismas debe ser igual a cero, o sead(0)/dx.=.0. Trabajando sobre el caso de las funciones de onda impares, usando la condicin para tales funciones de onda se tiene de la relacin anterior que:

Si definimos una cantidad de la siguiente manera:

entonces se tiene lo siguiente:

Por otro lado, para las funciones de onda pares, usando la condicin:

se obtiene lo siguiente (omitiremos los detalles, los cuales son algo engorrosos):

Podemos combinar ambos resultados en uno solo:

Este es un resultado completamente general, y solo requiere que el pozo de potencial doble sea simtrico. Supngase que estamos interesados en lo que ocurre cuando la barrera de potencial central situada entre ambos pozos de potencial es relativamente alta o relativamente ancha (o ambos). En tal caso, toma un valor grande, y con mayor razn exp[]toma un valor mucho ms grande an. Entonces la condicin obtenida nos indica que debe tener un valor muy cercano a un mltiplo medio integral de. En base a esto, podemos escribir lo siguiente:

teniendo un valor mucho menor que la unidad. Tomando la tangente de ambos lados de esta relacin y desarrollando:

Puesto que estamos suponiendo que tiene un valor mucho menor que la unidad, entonces:

Igualando esto con la condicin obtenida arriba para el pozo de potencial doble:

De este modo:

En este punto, podemos percibir que cuando los dos pozos de potencial estn intercomunicados a causa de una barrera central de potencial que no sea infinitamente alta e impenetrable, entonces laeigenenergaEnde una partcula en cualquiera de los dos pozos que de otro modo sera la misma que la que corresponde a una partcula de un oscilador armnico simple sedesdoblaren dos niveles contiguos de energa que podemos simbolizar comoEn+yEn-. En efecto, si a la expresin que acabamos de obtener arriba la multiplicamos en ambos lados por la energa cuntica, el primer trmino del lado derecho de la expresin es el mismo que el que corresponde a la cuantizacin de energa de un oscilador armnico simple, mientras que el segundo trmino del lado derecho de la expresin es el que se encarga de desdoblar la energaEnen dos valores contiguos pero distintos. De este modo, a la pregunta: qu tipo de comportamiento podemos esperar para una partcula que se encuentre atrapada en un pozo de potencial doble simtrico?, podemos responder que todo depende de la energaEde la partcula y del tipo que tenga la barrera central que separa ambos pozos. Si la energa de la partcula es suficientemente grande, mayor que la altura de la barrera central del potencial, entonces podr estarrebotando libremente entre ambas paredes extremas del pozo de potencial doble. Si la energa de la partcula es muy baja, o lo que es lo mismo, si la barrera central es alta e impenetrable, lo cual en los resultados que se acaban de obtener arriba equivale a especificar la condicin .., en tal caso simplemente tendramos dos osciladores armnicos desligados el uno del otro, y sus energas:

serandoblemente degeneradas, puesto que la partcula se puede encontrar tanto en el pozo de potencial izquierdo como en el pozo de potencial derecho. Sin embargo, cuando la barrera central del potencial es finita y relativamente estrecha, los dos pozos de potencial estarninterconectados, con lo cual la degeneracin ser removida. Loseigenestadosde las funciones de onda pares n+(x) tendrn una energa ligeramente menor que aquellos de las funciones de onda impares n-(x). Por otro lado, una partcula que inicialmente se encuentre en el pozo de potencial izquierdo podr escapar hacia el pozo de potencial derecho y regresar posteriormente al pozo de potencial izquierdo, oscilando entre ambas paredes extremas del doble pozo de potencial. Un problema de esta ndole se puede manejar como algo equiparable a dosestados mezclados, de modo tal que la funcin de onda que describe a los estados mezclados ser:

mientras que de lo anterior se obtiene que la densidad de probabilidad ser:

El mtodo de aproximacin WKB, sumado al principio variacional y a las tcnicas de perturbacin, proporcionan alternativas de solucin para problemas en los cuales no hay soluciones analticas exactas a la ecuacin de Schrdinger que se puedan expresar en forma cerrada mediante alguna frmula. Para aquellas situaciones en las cuales estos mtodos no son aplicables, queda como ltimo recurso el recurrir a soluciones numricas llevando cabo simulaciones con la ayuda de una computadora en vez de perder infructuosamente el tiempo buscando soluciones simblicas que posiblemente no existan.