ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de...

81
ESTRUCTURAS I F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018 ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

Transcript of ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de...

Page 1: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

ESTRUCTURAS I

F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018

ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

Page 2: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Al analizar estructuras edilicias,

estamos estudiando estructuras que se

encuentran en equilibrio estático

las sumatorias de las

proyecciones de las fuerzas a

que está sometida, sobre dos ejes

perpendiculares son nulas

y

xVerificar el EQUILIBRIO ESTÁTICO implica:

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

desplazamiento

giro

Aseguran la ausencia

de desplazamientos

Asegura la ausencia

de giros

Quedan planteadas 3 ecuaciones

para verificar el

EQULIBRIO ESTÁTICO

la sumatoria de los momentos

que esas acciones producen, con

respecto a cualquier punto del

plano, es nula

Frente a un sistema de fuerzas externas

actuando sobre la estructura, debemos

asegurar que ésta no se desplace y gire

Una estructura esquematizable en el

plano, y considerada como cuerpo rígido

e indeformable, puede experimentar dos

movimientos posibles:

repaso de EQUILIBRIO ESTÁTICO

Permiten resolver 3

incógnitas en un

sistema determinado

Page 3: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Cond. de

equilibrio:Las reacciones en

los apoyos se det.

aplicando:

Estructura hiperestática

Estructura isostática

Estructura hipostática

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

no tienen la posibilidad de

alcanzar el equilibrio para

todos los posibles estados

de carga que se presenten

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas<

Puede ser analizada

mediante los principios

de la Estática

vínculos sobreabundantes

“Grado de Hiperestaticidad”

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Cond. de

equilibrio:

Las reacciones en

los apoyos se det.

aplicando:

Cond. de Deformación

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas>

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas=Sistema

determinado

Sistema

indeterminado

1° Grado

2° Grado

3° Grado ecuaciones

Quedan planteadas 3 ecuaciones

para verificar el

EQULIBRIO ESTÁTICO

Permiten resolver 3

incógnitas en un

sistema determinado

Page 4: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS

Page 5: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Viga continua conformada por 2 tramos -

Estructura HIPERESTÁTICA

Page 6: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS

Viga continua conformada por 2 tramos -

Estructura HIPERESTÁTICA

Diferente

comportamiento

Page 7: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

L

p (daN/m)

L

p (daN/m)

0 0 00

Ventajas de las estructuras

Hiperestáticas:

Desventaja de las

estructuras

Hiperestáticas:

Estructuras más

rígidas y sus

deformaciones son

menores.

Esfuerzos menores

provocados por

Momentos Flectores

Dimensionado con

menores secciones

(ahorro de materiales)

Isostática Hiperestática

Mayor estabilidad

frente a todo tipo de

cargas

(horizontales,

verticales, etc)

Dificultad de análisis y diseño (…debemos recurrir al estudio

de las deformaciones)

Page 8: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Estructuras ISOSTÁTICAS

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0Σ M = 0

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas=1. Reacciones en apoyos

(Equilibrio Global)

2. Solicitaciones

3. Dimensionado

Se deben considerar:

• cargas actuantes

(fuerzas exteriores)

• posición y tipo de

vínculos

ISOSTÁTICA

NO tenemos en cuenta:

• geometría de la estructura

• Caract. elásticas del material

• Geometría de secciones transversales

de c/barra

Page 9: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Se abandona el principio de rigidez relativa de

los cuerpos…

Estructuras HIPERESTÁTICAS

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Las ecuaciones de equilibrio

no son suficiente

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas<El equilibrio de la estructura

está asegurado con vínculos

superabundantes

2. Solicitaciones

3. Dimensionado

¿cómo determino los valores de

las reacciones en los apoyos? hay que recurrir a nuevas ecuaciones que

nos permitan tener un sistema determinado

En general, la forma de los sólidos sometidos

a las acciones exteriores, varía de un modo

insubstancial (deformaciones despreciables).

Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto

permite considerar el sólido como

indeformable y dotado de las mismas

dimensiones geométricas que tenía antes de

la aplicación de las cargas

Si recordamos

de ALGEBRA

VECTORIAL…

Page 10: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Se abandona el principio de rigidez relativa de

los cuerpos…

Estructuras HIPERESTÁTICAS

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Las ecuaciones de equilibrio

no son suficiente

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas<

Se deben considerar:

• cargas actuantes

(fuerzas exteriores)

• posición y tipo de

vínculos

El equilibrio de la estructura

está asegurado con vínculos

superabundantes

2. Solicitaciones

3. Dimensionado

¿cómo determino los valores de

las reacciones en los apoyos? hay que recurrir a nuevas ecuaciones que

nos permitan tener un sistema determinado

HIPER-

ESTÁTICA

ISOSTÁTICA

• geometría de la

estructura

• caract. Elásticas del

material

• geometría de secciones

transversales de

c/barra (predimens.)ecuaciones

En general, la forma de los sólidos sometidos

a las acciones exteriores, varía de un modo

insubstancial (deformaciones despreciables).

Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto

permite considerar el sólido como

indeformable y dotado de las mismas

dimensiones geométricas que tenía antes de

la aplicación de las cargas

… y se recurre a ecuaciones de deformación,

considerando las deformaciones elásticas:

permite plantear, en cualquier punto de una

estructura, la igualdad de las deformaciones

estudiadas de uno y del otro lado de la

sección, lo que nos brinda una fuente

ilimitada de ecuaciones.

Page 11: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

A. Método de las Fuerzas

B. Método de Cross

C. Métodos Matriciales

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Todos los métodos de resolución de

estructuras hiperestáticas recurren

al planteo de ecuaciones de

deformación.

Los distintos métodos han ido buscando

las vías más adecuadas en función de

la tecnología disponible en cada

momento histórico.

Métodos

manuales

(requieren uso de programas

de computación)

Page 12: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

A. Método de las Fuerzas

B. Método de Cross

C. Métodos Matriciales

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Page 13: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

A. Método de las Fuerzas

B. Método de Cross

C. Métodos Matriciales

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Consiste en eliminar vínculos superabundantes hasta que

la estructura quede isostática, y luego, mediante el

Principio de Superposición, restituir las acciones que los

vínculos eliminados ejercían, y hallar qué valores deben

tomar para que se restablezcan las condiciones originales,

para que las deformaciones queden iguales a la situación

original.

Page 14: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Page 15: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

RBhRAh

RAv RBv

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Incógnitas a resolver

Page 16: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

RBhRAh

RAv RBv

P1 P3

P2

R'Ah

R'Av R'Bv

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 17: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

RBhRAh

RAv RBv

P1 P3

P2

R'Ah

R'Av R'Bv

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 18: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

RBhRAh

RAv RBv

P1 P3

P2

R'Ah

R'Av R'Bv

XX

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 19: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

RBhRAh

RAv RBv

P1 P3

P2

R'Ah

R'Av R'Bv

XX

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 20: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

P1 P3

P2

RBhRAh

RAv RBv

P1 P3

P2

R'Ah

R'Av R'Bv

XX

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Se plantean ambas

ecuaciones para ambas

deformaciones, y se

igualan deformaciones: deformación que

producen las

cargas P1, P2 y P3

deformación

que produce

la fuerza “X”

Se despeja el valor de

la fuerza “X” para

igualar ambas

deformaciones

Page 21: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Page 22: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Incógnitas a resolver

Page 23: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 24: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 25: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 26: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Page 27: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

Igualamos flechas:

(deformaciones)

Page 28: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las Fuerzas

Principio de Superposición

1. Se plantean las ecuaciones

de flecha para ambas

situaciones, se igualan.

Igualamos flechas:

(deformaciones)

2. Se despeja fuerza X

3. Las otras dos incógnitas

(reacciones) se pueden

hallar x superposición

Page 29: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Ing. Hardy Cross

1885-1959

Estados Unidos

A. Método de las Fuerzas

B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos)

C. Métodos Matriciales

Page 30: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Ing. Hardy Cross

1885-1959

Estados Unidos

A. Método de las Fuerzas

B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos)

C. Métodos Matriciales

En un sentido opuesto al caso anterior, en lugar

de quitarle vínculos, le agrega más, colocando los

nudos en condición de giro nulo.

Es decir, aumenta el grado de hiperestaticidad,

pero lleva la estructura a una situación ficticia pero

conocida (giro nulo), alcanzando un sistema

determinable.

Luego los vínculos agregados se quitan de a uno

por vez hasta restablecer las condiciones

originales de la estructura. Se genera una ecuación muy

sencilla para resolver la

deformación (giro) del nudo

Page 31: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 32: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 33: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 34: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 35: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 36: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 37: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 38: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 39: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 40: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

B. Método de CROSS

Page 41: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las fuerzas

B. Método de Cross

C. Métodos Matriciales

Page 42: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

A. Método de las fuerzas

B. Método de Cross

C. Métodos Matriciales

Consisten en utilizar el álgebra matricial, que permite un

planteo muy compacto de las ecuaciones, lo que

simplifica el algoritmo para generar un programa

informático práctico y versátil.

(requieren uso de programas de computación)

Page 43: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

ACCIONES en los

extremos de una barra

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

C. Métodos Matriciales

DEFORMACIONES en los

extremos de una barra

Representación vectorial

Representación física

Representación de las

ecuaciones en forma matricial

(ordena en fila y columnas):

DEFORMACIONES

AC

CIO

NE

S

Toma cada tramo de la estructura como un elemento,

y luego, los elementos unidos entre sí.

Ej: Método de Matriz de Rigidez

Busca las relaciones que

existen entre acciones -

deformaciones en los

extremos de cada barra

Page 44: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

A. Método de las Fuerzas

B. Método de Cross

C. Métodos Matriciales

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Page 45: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

producen >>

deformaciones

MÉTODO DE CROSS

Para simplificar la parte

operativa, Cross se centra

solamente en el estudio de

los giros en los nudos de la

estructura

Permite visualizar cómo es el

proceso de resolución de una

estructura hiperestática

(mecanismo de distribución de

los momentos en la estructura)

Método manual

Actualmente: uso de Métodos Matriciales

c/programas en computadora brindan el

resultado final sin ver el proceso

Existen deformaciones

producidas por:

Momento (giros)

Cortante

Axil

Permite estudiar estructuras de alto grado de hiperestaticidad mediante operaciones

sencillas que pueden realizarse con una calculadora común.

Si la estructura lo requiere, en una segunda etapa, también se estudian los

desplazamientos de los nudos, y los giros que en ellos se producen.

Ventajas:

Simplificaciones:

Page 46: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSOBJETIVO del Método

El objetivo del método de Cross es:

conocer el valor de los momentos en

los extremos de las barras (realizado a través del estudio de los giros)

Luego de conocidos éstos, las reacciones y las solicitaciones

pueden ser determinadas mediante los procedimientos ya

conocidos, utilizando las ecuaciones de equilibrio y la ecuación

de la viga recta.

En una estructura se

busca:

• DET. REACCIONES

• DET. SOLICITACIONES

• DIMENSIONAR

Page 47: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

PASOS para aplicar el artificio del Método

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

Se juntan varias barras

en un nudo y ….

¿qué pasa cuando se

suelta un nudo en una

estructura que está

frenada?

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

fijaciónó

Momentos frenosó

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

a) Carga transversal

b) Momento aplicado

en extremo izq.

c) Momento aplicado

en extremo der.

a) Apoyo A: MA aplicado

Apoyo B: “frenado”

c/carga transversal

≠ cond. vínculos

a) frenados

c) articulado-frenado

b) frenado-articulado

MÉTODO DE CROSSSe comienza estudiando una sola barra aislada para determinar

expresiones matemáticas auxiliares que nos permitan conocer

los ángulos de giro en los apoyos de tramos flexionados.

Coeficiente de

transmisión β

que vincula MA

con MB

Page 48: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares

… para determinar en el PASO [1] los ángulos de

giro θ (theta) en extremos de una barra aislada

con carga transversal

a) Carga transversal

Page 49: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL

MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares

REPASO:

Clase de

Flexión

Page 50: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

d

dx

r(x)

Kx

1

r(x)

DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL

MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares

REPASO:

Clase de

Flexión

radio

de giro

Mf = momento flector

E = Módulo de deformación

Ix = Inercia de la sección

(curvatura)

Page 51: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

-p = V`(x)

V(x) = M`(x)

M``(x) = V`(x) = -p

Relación entre p, V y M

Ecuación fundamental

de las vigas rectas

MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares

REPASO:

Clase de

Flexión

Page 52: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Por definición la expresión

de la curvatura es:

Dado que la magnitud de las deformaciones son

muy pequeñas, se admite:

K ≈ z” (x)

O sea que la función de la curvatura equivale a la derivada segunda

de la función de la elástica.

MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares

(flecha o deflexión)(curvatura)

Page 53: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

tg

Según la hipótesis de Bernouilli, las secciones planas y normales al eje del

tramo, se mantienen planas y normales a la elástica, luego de la deforma-

ción.

La derivada de z es el ángulo que forma la tangente a la curva con respec-to al eje de las abscisas (a) o a la horizontal.

Por lo tanto, la perpendicular a la tangente es el giro de la sección, que

abre con la vertical el mismo ángulo que la tangente con la horizontal:

O sea:

Expresiones matemáticas auxiliaresMÉTODO DE CROSS

Conociendo la función de la elástica:

La tg a la curva de

la elástica

z’(x)

ángulo entre la tg

y la horizontal ()

z’(x) = (x)

z’(x) = θ(x)

= θ

Page 54: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

ANALOGÍA DE MÖHR

-p = V`(x)

V(x) = M`(x)

M``(x) = V`(x) = -p

Relación entre p, V y M.

z”(x) = K = Mf/E.I

Z’ = q(x)

z``(x) = q`(x) = K = Mf/E.I

Relación entre K, q y z

MÉTODO DE CROSSExpresiones matemáticas auxiliares

Expresiones de los ángulos de

giro en los extremos de las barras

= θA = θB

Page 55: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

fijaciónó

Momentos frenosó

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

a) Carga transversal

b) Momento aplicado

en extremo izq.

c) Momento aplicado

en extremo der.

MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método

Page 56: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos

Área =

A1

Expresiones de los ángulos de

giro en los extremos de las barras

RIGIDEZ:(kappa)

Concepto de RIGIEZ:

cuánto se oponen las propiedades físicas

del tramo a que el tramo sea deformado

• Inercia

• Módulo de elasticidad

• Luz de la barra

Directamente

inversamente

¿Qué propiedades de una barra hacen

que sea más o menos deformable?

kappa

a)Carga transversal (caso 1)

Page 57: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Ángulo θ = (fórmula

del momento unitario)

X (valor del MA)

MÉTODO DE CROSSPASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos

RIGIDEZ FLEXIONAL:

(gamma

kappa)

(alpha

kappa)

ó

Para

inercia

constante:

b) Momento aplicado en A (caso 2)

Diagrama de M unitario (M=1)

Operativamente trabajamos con:

A2

X´2

Page 58: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos

b) Momento aplicado en B (caso 3)

Page 59: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

fijaciónó

Momentos frenosó

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

Rigidez flexional:

(gamma

kappa)

(alpha

kappa)

ó

a) Carga transversal

b) Momento aplicado

en extremo izq.

Rigidez:

(kappa)

c) Momento aplicado

en extremo der.

a) Apoyo A: MA aplicado

Apoyo B: “frenado”

MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método

Para inercia cte.:

Page 60: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

Para

inercia

constante:

Para inercia

constante:

PASO [2]: coeficiente de transmisión β (beta)

¿cómo repercute

en el extremos

frenado?

(caso 3)(caso 2)

(giro nulo)

Page 61: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

fijaciónó

Momentos frenosó

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

Rigidez flexional:

(gamma

kappa)

(alpha

kappa)

ó

a) Carga transversal

b) Momento aplicado

en extremo izq.

Rigidez:

(kappa)

c) Momento aplicado

en extremo der.

a) Apoyo A: MA aplicado

Apoyo B: “frenado”

c/carga transversal

≠ cond. vínculos

a) frenados

c) articulado-frenado

b) frenado-articulado

MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método

Para inercia cte.: Para inercia cte.:

Page 62: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MOMENTOS NODALES MOMENTOS DE FIJACIÓN

MOMENTOS FRENO

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

PERFECTO (M.E.P.)

signo -

< 0

signo +

> 0

efecto de la barra sobre

el nudo

efecto del nudo sobre la

barra

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Page 63: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Page 64: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Para y carga uniformemente repartida:

entonces

L

p (daN/m)

A B MA MB

Page 65: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Para

y carga uniformemente repartida:

L

p (daN/m)

A B MA

Page 66: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Para

y carga uniformemente repartida:

L

p (daN/m)

A B MB

Page 67: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Expresiones para

hallar las reacciones

de apoyo

Expresiones para la

determinación de los

M.E.P.

Page 68: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [3]: M.E.P.

Expresiones

para hallar las

reacciones de

apoyo

Expresiones

para la

determinación

de los M.E.P.

Page 69: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

Se juntan varias barras

en un nudo y ….

¿qué pasa cuando se

suelta un nudo en una

estructura que está

frenada?

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

fijaciónó

Momentos frenosó

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

Rigidez flexional:

(gamma

kappa)

(alpha

kappa)

ó

a) Carga transversal

b) Momento aplicado

en extremo izq.

Rigidez:

(kappa)

c) Momento aplicado

en extremo der.

a) Apoyo A: MA aplicado

Apoyo B: “frenado”

c/carga transversal

≠ cond. vínculos

a) frenados

c) articulado-frenado

b) frenado-articulado

MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método

Para inercia cte.: Para inercia cte.:

Page 70: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición

¿qué ocurre cuando a un nudo concurren varios tramos?

Concepto de repartición

Artificio del método de Cross (ejemplo)

Supongamos un nudo A, al cual

concurren barras con distintos

vínculos en su otro extremo,

existiendo cargas en la ménsula,

tramo AC y AD

Inmovilizando el nudo A, aparece un

momento freno MA, con el sentido

indicado, que producirá giro nulo en

los extremos de los tramos.

Page 71: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición

MA

0A1 = 0A2 = 0A3

MA1 + MA2 + MA3 = - MA

Si quitamos el freno

en A, el nudo gira,

Por hipótesis

se admite

que todos los

tramos

concurrentes

al nudo

tienen el

mismo giro:

La relación entre deformaciones

(giros) y causas que las

producen (momentos) es:

Por otra parte, el momento en el nudo: − M A ,

se reparte entre los tramos, debiéndose cumplir:

De ambas relaciones obtenemos:

-MA

¿Qué valor de momentos

asume cada tramo en

relación a -MA?

MA3

MA2

MA1

1

2

3

4

produciéndose las

deformaciones que se

indican, provocadas

por −MA .

Page 72: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición

Particularizando al tramo 1:

Generalizando para un tramo cualquiera:

Se define coeficiente de

repartición al valor:

Por lo que:

Esta expresión resuelve el

problema planteado:

Dividiendo numerador y

denominador entre 4

¿Qué valor de momentos

asume cada tramo en

relación a -MA?

Page 73: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [4]: coeficientes de repartición

B. INERCIA RELATIVA: por comodidad

operativa se aconseja tomar como VALOR

UNIDAD

a la menor de las inercias mínimas de

los tramos que intervienen con sus

rigideces

o la inercia del tramo si es de sección

constante

A los efectos prácticos, es conveniente

simplificar la expresión del coeficiente de

repartición:

Los valores de la inercia de

los demás tramos serán

expresados en relación a

la unidad, resultando

valores ≥ 1

A. como generalmente operamos con barras

del mismo material, se simplifica el valor E

en la expresión de κ :

INERCIA

RELATIVA

Page 74: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

Se juntan varias barras

en un nudo y ….

¿qué pasa cuando se

suelta un nudo en una

estructura que está

frenada?

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

fijaciónó

Momentos frenosó

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

Rigidez flexional:

(gamma

kappa)

(alpha

kappa)

ó

a) Carga transversal

b) Momento aplicado

en extremo izq.

Rigidez:

(kappa)

c) Momento aplicado

en extremo der.

a) Apoyo A: MA aplicado

Apoyo B: “frenado”

c/carga transversal

≠ cond. vínculos

a) frenados

c) articulado-frenado

b) frenado-articulado

MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método

Para inercia cte.: Para inercia cte.:

Page 75: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método

Esquema de forma,

cargas y vínculos

Se aíslan las barras y

determinan M.E.P.

Situación de partida:

Nodos frenados Determinación de los momentos de fijación,

o de empotramiento perfecto, provocados

por cargas perpendiculares al eje del tramo,

o por momentos aplicados en el mismo

1

2

3

4

D

C

B

A20

C

A2

30

B

A

1

3

D

A

50

A

470

Page 76: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método

Se vuelve a componer

la estructura

(con los M.E.P. en los

extremos de las barras)

Se plantea:

1

2

3

470

50

20

30

D

C

B

A

1

2

3

4100

D

C

B

A

Se suelta el aparato

fijador y surge:

-MA = -100

Page 77: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método

Repartición de momentos en el nudo

Momentos repartidos: Momentos transmitidos:

-MA = -100 0,50

0,30

0,20

0C

A2

B

A

1

3

D

A

A

4 50

30

0

20

25

10

Se suelta el aparato

fijador y surge:Transmisión de momentos hacia

extremos opuestos (si corresp.)

Page 78: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método

1

2

3

470

50

20

30

D

C

B

A

MOMENTOS FINALES

C

A2

B

A

1

3

D

A

A4 50

30

0

20

25

10

1

2

3

4

70

50

30

D

C

B

A20

50

30

020

25

10

Momentos repartidos

Momentos transmitidosM.E.P.

MOMENTOS FINALES

en los extremos de las

barras

Page 79: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método

MOMENTOS FINALES

1

2

3

4

70

50

30

D

C

B

A20

50

30

020

25

10

MOMENTOS FINALES

en los extremos de las

barras

1

2

3

4

70

20

5

D

C

B

A70

10

20

Page 80: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSSPASO [5]: Artificio del método

Se separan las barras.

Se está en condiciones de hallar

las reacciones en los apoyos y los

diagramas de solicitacionesAplicando:

ecuaciones de equilibrio Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

M``(x) = V`(x) = -p

la ecuación fundamental de las vigas

rectas: relación pVM

70

C

A2

5

B

A

1

3

D

A

20

A470

10

20

Page 81: ESTRUCTURAS I...2018/09/14  · A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior,

MÉTODO DE CROSS

Ejemplo de aplicación:

PASO [5]: Artificio del método

A

620