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peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante α.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b, c ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres com-ponentes) demuestre que

(a+ b) + c = a+ (b+ c).

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b, c ∈ Rn. Demuestre que

(a+ b) + c = a+ (b+ c).

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

1A = A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

1A = A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 0 4 1

3 −4 2 −2−3 −1 2 1

, B =

3 1

2 0

4 −42 1

, C =

[−1 −3−2 −2

].

Tarea 1, variante α, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 −5 −51 1 −2

], B =

0 4

−1 2

3 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 5 −1−4 1 3

−2 4 −5

, B =

0 −3 4

−2 −1 5

3 −4 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 −2 1 1

−4 −3 −4 −22 2 −2 −10 −1 1 3

, B =

3 −1 1

−3 −4 −4−1 1 2

0 −2 4

, C =

2 3 −41 −2 0

−1 −2 3

−1 2 −3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

7 1 −6 −5 −4−3 −1 7 −3 −52 −1 3 0 1

, B =

−1 −7 5 −3−4 3 6 6

−1 −5 4 −52 −4 3 1

−6 −2 0 −2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 4A+ 3I, 2) (A− I)(A− 3I), 3) A(A− 4I) + 3I.

A =

−1 1 2

−3 −1 −3−2 1 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 2 3

3 2 3

0 1 1

, B =

1 −1 0

3 −4 3

−3 4 −2

.

Tarea 1, variante α, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

2 −2 −3 −51 7 1 −22 −7 −1 3

, B =

−6 2 6 2

1 −3 1 0

−1 −4 6 −6−5 −2 −4 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−5 1

5 2

−4 −2

=

[2 −6

−9 5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−55

−4

, A

1

2

−2

, A

−47

−6

, A

−1−22

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 1 −2

−2 −4 −3

], b =

−54

−1

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

0 4 −2 −1 −3−7 −5 −5 6 −77 5 1 −2 −4

, B =

2 3 −24 −4 −1

−1 −3 −35 −7 0

−2 1 2

.

Tarea 1, variante α, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

4

−11

0

, a2 =

−32

−21

, b =

2

−33

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

5. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,4(R), sea B ∈M4,3(R) y sea C ∈M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(AB)C = A(BC).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea C ∈Mp,q(R). Demuestre que

(AB)C = A(BC).

Tarea 1, variante α, pagina 4 de 4

Engra

peaq

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No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante β.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

(λ+ µ)a = λa+ µa.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)a = λa+ µa.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B)> = A> + B>.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B)> = A> + B>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[2 4 2 −2

−2 −3 −1 0

], B =

−3 −1 0

2 3 −21 −1 4

4 2 −4

, C =

−3 −4 1

−1 2 −2−2 −3 3

.

Tarea 1, variante β, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−3 1 1

−4 −4 −2

], B =

5 −5−3 1

3 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 −5 1

−2 4 2

−4 3 −1

, B =

−4 2 −5−1 4 1

−3 3 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −1 −3 1 2

1 4 2 −4 −23 −4 −1 2 −1

, B =

4 −4 0 −24 3 −4 1

4 −3 1 3

3 −1 −3 3

2 −3 4 −4

, C =

1 2 3 3

−3 2 −2 3

−1 −4 1 −4−4 −1 −2 −31 4 1 2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 −6 2 1

−1 −4 3 7

3 5 −7 0

, B =

1 −1 −4 3

−6 6 6 4

−4 5 3 1

−5 2 0 5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 3I)(A+ 2I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

−1 −4 1

3 −3 −1−4 3 0

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 4

1 0 2

2 1 3

, B =

−2 1 2

1 −2 0

1 0 −1

.

Tarea 1, variante β, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

−2 −5 1 7 −32 −7 −1 7 −4

−1 2 6 6 −6

, B =

−6 3 6

−5 0 5

2 3 −7−4 −1 2

−7 −5 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 1

−4 −25 −3

=

[8 8

−3 −12

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

−45

, A

1

−2−3

, A

1

−62

, A

3

−6−9

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[2 3 −2 −4

−2 −4 5 4

], b =

3

5

−24

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

2 −1 −5 −2

−4 2 −4 6

3 −2 0 −3−3 1 5 3

, B =

4 −1 −75 7 −33 6 5

7 −5 −7

.

Tarea 1, variante β, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

3

−11

2

, a2 =

2

0

2

3

, b =

2

−2−2−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

2. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 6 a 195. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,4(R) y sea B ∈M4,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(AB)> = B>A>.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,p(R). Demuestre que

(AB)> = B>A>.

Tarea 1, variante β, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 1 AJAS.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[4 4 −20 2 1

], B =

−3 −32 2

0 −4

, C =

[1 3 0 1

−2 −1 4 −3

].

Tarea 1, variante 1 AJAS, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 −1 0

4 −2 4

], B =

−4 −12 −52 −3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 5 1

−2 −1 −32 0 −5

, B =

−4 3 0

−2 4 −12 1 5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 −4 3 −14 1 −4 3

−1 −2 0 2

, B =

2 3 −2 1

3 −1 −1 1

1 2 −1 2

−2 −2 −4 −3

, C =

−3 2 −1 −3−2 4 4 −12 −3 0 −44 −2 −4 1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 2 −6 3

−4 −5 −3 4

5 2 5 −5

, B =

1 4 −7 −45 −6 4 −65 2 1 −26 3 3 −3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

3 −2 4

−2 4 1

0 −3 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 4 2

1 1 1

2 2 3

, B =

−1 8 −21 −5 1

0 −1 1

.

Tarea 1, variante 1 AJAS, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,4.

A =

−3 −2 −1 4

3 5 4 −40 1 −3 2

, B =

−3 5 3 −63 −4 −5 −4

−2 6 1 4

2 7 −6 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 −24 −5

−1 3

=

[−3 4

12 −4

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

1

4

−1

, A

−2−53

, A

−1−12

, A

−6−159

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

1 −1 3 −33 4 −2 −5

−2 5 −1 −3

, b =

1

−2−5−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−3 −4 2 −1 4

6 3 −7 5 −6−3 −7 1 −5 3

, B =

−1 −4 3

−3 3 −66 6 4

1 7 −3−4 0 −5

.

Tarea 1, variante 1 AJAS, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

−1−11

, a2 =

−21

3

0

, b =

2

−13

3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. El primer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,4 = ?, (AB)1,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 1 AJAS, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 2 BTCF.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 −2 4 0

3 −2 −4 2

1 4 2 −1

, B =

−1 −2−4 1

−2 −1−4 −3

, C =

[0 1

−3 2

].

Tarea 1, variante 2 BTCF, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 −5 −33 1 −5

], B =

1 0

−3 −44 −2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−2 −5 −42 1 4

3 0 −1

, B =

−2 4 −51 0 3

5 2 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 −4 −1 3

−3 −1 −1 1

1 3 2 −40 −3 −4 −2

, B =

−1 4 −34 0 −3

−4 2 −21 1 2

, C =

−3 −3 −4−2 1 3

−4 0 1

3 2 2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −4 −1 0

−6 −4 −2 3

−3 −5 −3 −2

, B =

3 4 5 −2

−3 −4 5 4

−3 −6 −5 1

−1 7 7 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A− 4I)(A+ 3I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

3 0 −23 −2 −3

−4 −3 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 4 2

1 1 1

2 2 3

, B =

−1 8 −21 −5 1

0 −2 1

.

Tarea 1, variante 2 BTCF, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,1.

A =

−4 2 −3 5 0

6 2 3 −1 6

−7 −2 7 3 −3

, B =

4 −2 −11 −7 −37 −2 2

2 −7 7

−3 6 5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 3

2 −14 −4

=

[2 9

0 13

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

024

, A

3

−1−4

, A

310

, A

−93

12

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[1 0 −5

−1 2 3

], b =

413

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 0 −2 4

1 2 7 −6−7 4 5 −1−4 2 3 −6

, B =

2 4 3

−3 7 0

−3 −1 −1−2 −2 −7

.

Tarea 1, variante 2 BTCF, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

4

1

1

−1

, a2 =

−31

0

1

, b =

−15

2

1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

4. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 2 BTCF, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 3 CSA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

4 2 −24 1 −3

−1 −4 3

0 3 −2

, B =

0 −1 −12 −3 1

3 −4 −4

, C =

4 −24 1

1 −1

.

Tarea 1, variante 3 CSA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 −3 1

−3 3 3

], B =

−4 4

−4 1

−3 2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

3 0 1

4 −1 −2−5 2 −3

, B =

−4 1 2

3 −1 −24 −5 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

0 −4 −3 4

−1 −2 1 −13 −4 −2 3

4 −4 4 1

, B =

−2 −3 −4−1 −3 2

3 4 −23 2 4

, C =

−1 −2 0

−2 3 2

1 2 1

−4 −1 4

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 6 −4 −66 2 2 −1

−5 7 3 3

−6 −4 −7 −2

, B =

7 −5 1

5 −4 4

−7 3 3

5 −5 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A− 4I)(A+ 3I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

4 −4 −32 −2 0

2 4 3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

0 1 2

2 1 −11 2 3

, B =

−5 −1 3

7 2 −5−3 −1 2

.

Tarea 1, variante 3 CSA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

−7 3 1 −2−1 0 −3 1

−3 −5 −5 3

, B =

0 1 3 −2

−1 −4 −6 4

−3 5 −4 −61 4 −2 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−4 1

−1 0

3 −2

=

[7 −714 −6

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−4−13

, A

1

0

−2

, A

−3−11

, A

2

0

−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[1 −1 0 −4

−3 −1 3 5

], b =

−13

2

−5

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 −4 2 0 −15 4 4 −4 −57 3 6 −7 −5

, B =

−3 5 5

1 7 0

3 −7 −1−6 −7 4

2 7 6

.

Tarea 1, variante 3 CSA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

0

1

1

, a2 =

−31

−21

, b =

−3−1−1−4

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 9 a 165. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

3. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 3 CSA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 4 CNKM.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 1 2 −14 0 −2 2

4 −4 −3 3

, B =

0 −34 2

−1 −43 1

, C =

[0 −42 −1

].

Tarea 1, variante 4 CNKM, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−3 4 −5−2 1 2

], B =

1 1

5 3

−1 4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 −2 −34 1 −10 2 3

, B =

−3 3 0

1 4 −4−1 −5 −2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

0 3 3 2 −41 2 −1 1 2

3 4 −3 −1 1

, B =

−2 −2 1

2 −1 2

3 3 −2−3 1 −1−4 2 3

, C =

1 4 −3

−3 1 3

−1 1 −24 0 3

−2 3 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

2 −6 −7 −4

−2 0 4 3

2 6 1 −41 7 3 5

, B =

−2 −4 2

1 0 2

−1 −4 5

−1 6 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 4A+ 3I, 2) (A− 3I)(A− I), 3) A(A− 4I) + 3I.

A =

−4 2 −1−2 3 −4−3 −1 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 2 1

4 1 2

2 0 1

, B =

1 −2 3

0 1 −2−2 4 −4

.

Tarea 1, variante 4 CNKM, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

−2 3 −3 2 6

4 −5 −3 −2 −40 −4 −5 −7 5

, B =

4 2 5

−3 −7 7

−4 3 −30 4 −71 3 −6

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 1

3 −15 2

=

[4 −3

−2 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

435

, A

1

−12

, A

527

, A

−22

−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

1 4 −3 −10 −5 4 1

5 5 −1 −5

, b =

−32

1

−4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

4 −1 −7 −27 −5 −4 −4

−6 3 2 0

6 −3 3 4

, B =

−2 0 −1−7 −6 −47 3 6

−7 −1 −5

.

Tarea 1, variante 4 CNKM, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

1

−10

, a2 =

2

−2−11

, b =

−2−41

1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

2. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 9 a 100. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 4 CNKM, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 5 CNLE.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[2 1 −1 −44 4 3 1

], B =

4 −3 0

−4 2 −1−2 1 3

−1 −4 2

, C =

−1 −1−4 3

−3 3

.

Tarea 1, variante 5 CNLE, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[5 −2 0

−5 −4 −4

], B =

−5 −4−1 3

4 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 3 4

2 −3 −2−4 −5 5

, B =

5 3 −1−3 2 0

1 4 −5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

4 3 3 −30 −3 1 −41 −1 −4 1

−1 −2 −2 −1

, B =

−2 −4 −11 3 4

−3 −2 0

1 −3 2

, C =

−3 1 3

2 2 −4−4 −2 1

−3 0 4

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

2 5 4 3

−2 −3 −1 1

−1 −3 4 0

, B =

−3 −5 4 5

−1 2 5 4

2 6 −4 1

−7 −7 7 −4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 7x + 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 7A+ 12I, 2) (A− 4I)(A− 3I), 3) A(A− 7I) + 12I.

A =

3 4 4

−4 −2 1

−4 3 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 4

1 1 1

1 1 2

, B =

−1 0 1

1 2 −30 −1 1

.

Tarea 1, variante 5 CNLE, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

7 −4 −2 4

0 5 6 4

2 −3 −7 −4

, B =

−4 1 2 0

−5 −2 −3 7

4 −4 5 −7−1 4 −2 7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 5

3 0

−2 2

=

[−1 5

13 10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−33

−2

, A

502

, A

230

, A

1004

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 −1 −3

−2 −3 2

], b =

1

−43

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−3 0 1 4 2

4 7 −5 −6 6

−4 −2 1 7 −3

, B =

−2 −4 −1−6 −7 4

−5 −2 7

1 −6 −46 −3 4

.

Tarea 1, variante 5 CNLE, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

4

1

0

, a2 =

1

2

1

1

, b =

−12

−1−3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)3,4 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 5 CNLE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 6 DPE.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

2 −43 −12 4

−4 0

, B =

[−1 1 2

−2 4 2

], C =

3 0

−1 3

4 −2

.

Tarea 1, variante 6 DPE, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−5 −3 0

2 3 2

], B =

−3 1

−2 −25 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

3 −3 −1−4 1 0

5 2 −2

, B =

0 −1 1

3 −2 −35 −4 −5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 1 1 4 −4

−4 −4 −2 −3 3

−1 4 1 4 4

−1 0 −1 2 2

, B =

4 1 −2

−2 2 4

1 −3 3

0 2 −34 3 3

, C =

−3 4 0

−2 1 2

4 −4 4

−2 −1 1

−4 −1 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 6 1 4 1

−2 −2 −5 −3 −37 −5 −7 −4 5

−6 −1 3 5 −1

, B =

3 6 1

2 −4 5

3 −3 −72 5 4

−3 −6 −6

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 8I, 2) (A− 2I)(A+ 4I), 3) A(A+ 2I) − 8I.

A =

−3 −1 −12 −2 −34 0 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 −1 2

1 0 1

4 1 2

, B =

0 −4 1

−2 6 −1−1 5 −1

.

Tarea 1, variante 6 DPE, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

6 −6 −1 −3 4

0 −2 −5 3 7

6 −1 2 1 −2

, B =

−2 −7 2

0 −4 7

−5 5 −5−6 −2 −6−1 4 −3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 −35 3

4 2

=

[3 12

−8 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−25

4

, A

−33

2

, A

−58

6

, A

−66

4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 1 −2 3

5 5 3 −5

], b =

−1−42

−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−2 −6 7 1

2 −3 3 5

−5 4 7 −74 6 −5 −1

, B =

−7 1 −7−1 −6 −3−6 −4 −22 −3 4

.

Tarea 1, variante 6 DPE, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

−10

2

, a2 =

−41

1

−1

, b =

−1−21

5

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 7 a 110. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

4. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)4,3 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 6 DPE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 7 DEER.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−3 −3 2 3

2 −4 0 3

], B =

0 −22 −44 −42 −3

, C =

[2 3 4

−3 −1 −1

].

Tarea 1, variante 7 DEER, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−2 −1 3

−1 −2 2

], B =

1 2

−4 1

−5 −4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 1 0

−4 −1 4

3 −3 2

, B =

−3 −1 −4−2 0 1

2 −5 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 2 −1 4

−1 −3 2 3

−2 1 3 −4

, B =

−4 −4 3 3

−2 −3 4 −3−2 −2 −3 2

0 −4 1 4

, C =

2 3 2 0

−2 2 1 −23 3 4 −3

−4 1 −4 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−5 −3 −5 1 1

2 4 −2 −7 −64 −3 6 5 5

, B =

6 1 4

−7 −2 2

−3 −1 −63 −6 2

−2 4 5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 3I)(A+ 2I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

−4 −4 3

1 3 −14 −2 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 1 3

2 1 3

0 1 2

, B =

1 −1 1

4 −6 3

−2 3 −1

.

Tarea 1, variante 7 DEER, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

2 −5 5 1

−3 −2 −1 −54 −2 −4 6

, B =

−7 −4 2 5

−4 −7 0 1

3 −1 −3 3

2 1 −2 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 1

−1 −2−4 −3

=

[−2 1

−12 −9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

3

−1−4

, A

1

−2−3

, A

4

−3−7

, A

3

−6−9

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

5 4 −4 1

−2 −3 −1 3

2 −3 −4 −2

, b =

4

−51

2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 −7 2 −6 −4−2 −4 5 6 4

−1 0 2 1 7

, B =

−2 5 −36 4 −52 −1 −7

−4 0 2

1 1 3

.

Tarea 1, variante 7 DEER, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

3

−12

−1

, a2 =

2

0

1

1

, b =

3

1

1

4

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los cubos de los numeros enteros de 7 a 126. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 7 DEER, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 8 DLRTH.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[0 −2 1

2 2 −1

], B =

0 1 2 −1−3 3 −4 −2−3 −2 4 −1

, C =

3 −1 2

−4 0 1

−3 −3 1

−2 4 −1

.

Tarea 1, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[0 −4 −53 1 5

], B =

2 3

2 −14 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

3 4 −40 −2 1

−5 −1 2

, B =

−5 3 2

5 −1 4

−3 −4 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 −2 2 1 3

1 −4 −1 2 1

−2 −1 0 −1 4

, B =

4 2 −2 −4

−1 1 4 −43 −4 −4 −2

−3 1 −1 −13 4 −3 0

, C =

3 3 −1 −4

−4 −1 −1 3

−4 −3 3 1

0 4 2 −3−1 −2 −3 1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 4 2 3 0

−5 4 1 1 −35 −7 −4 −3 −2

, B =

−1 −2 4 −6−3 −5 5 −1−7 6 −7 −60 −4 −4 −23 −5 4 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 4A+ 3I, 2) (A+ I)(A+ 3I), 3) A(A+ 4I) + 3I.

A =

2 −1 −2−1 0 4

−3 −2 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 3

0 1 2

1 2 2

, B =

2 −2 −1−2 1 2

1 0 −1

.

Tarea 1, variante 8 DLRTH, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

5 −6 6 6 2

4 −4 0 7 3

3 4 −1 2 7

, B =

1 −6 −73 2 −36 −7 4

2 7 1

−4 3 0

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 −42 −10 4

=

[1 12

−2 9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

320

, A

−4−14

, A

−11

4

, A

−8−28

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 5 3

4 −3 4

], b =

4

1

−5

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

7 2 −7 4

2 6 −7 −3−3 0 −1 5

−1 −2 −4 7

, B =

7 2 2

5 −6 −66 −1 −41 −4 −2

.

Tarea 1, variante 8 DLRTH, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

3

−20

, a2 =

−2−23

1

, b =

−22

2

2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)4,1 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 8 DLRTH, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 9 DGGI.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 4

−1 −2

], B =

[−2 −1 −13 0 1

], C =

1 2 −4 −3−2 4 0 −1−3 2 3 −2

.

Tarea 1, variante 9 DGGI, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 −3 3

−2 0 1

], B =

−4 −35 −34 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−1 5 −2−4 2 4

3 1 0

, B =

1 3 −3−1 0 −4−5 2 5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

4 3 −2 0

1 2 −3 −42 4 −1 2

−1 −2 −1 −2

, B =

1 3 4

1 −3 −1−2 −2 2

2 3 0

, C =

−1 1 1

3 −1 −2−2 0 −4−3 2 3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −3 −5 −32 0 5 −5

−2 −6 −2 3

5 4 −7 6

, B =

5 −6 −2

−4 6 −21 3 1

5 3 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 4I)(A− 2I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

−2 3 2

−1 −1 −44 2 3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 3 2

2 1 1

1 −2 −1

, B =

1 −1 1

3 −4 2

−5 7 −5

.

Tarea 1, variante 9 DGGI, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

−1 −2 5 −7−5 −1 −3 2

0 2 3 −3

, B =

−4 4 −4 −36 −2 3 −75 1 −2 −35 2 4 3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 0

5 1

3 −3

=

[−12 4

15 −14

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−15

3

, A

0

1

−3

, A

−16

0

, A

0

−26

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 −3 2 −45 −4 −1 0

], b =

3

2

−4−1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−5 1 3 −3 2

−1 −6 0 5 6

3 −4 1 7 4

, B =

2 5 −6

−1 1 1

3 −3 2

0 −1 6

−3 4 −6

.

Tarea 1, variante 9 DGGI, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

−3−21

, a2 =

−11

3

0

, b =

2

−42

2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

3. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)2,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 9 DGGI, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 10 DJRA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 2

0 1

], B =

[1 0 −3 −12 2 −4 −1

], C =

−3 −1 4

−2 0 1

2 −4 −11 −3 3

.

Tarea 1, variante 10 DJRA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 5 2

−3 3 5

], B =

1 1

3 −4−5 2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

4 −3 0

1 3 −22 −1 −4

, B =

−2 −4 4

3 1 0

2 −5 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 −2 −3 −3 −22 3 2 1 4

1 −1 2 −2 −4−1 0 −4 1 1

, B =

2 −4 −4

−1 −2 4

−2 3 −34 1 −2

−4 −3 4

, C =

−3 −3 1

2 −2 3

−3 −2 4

1 4 0

2 2 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

2 4 1 −3 4

−7 2 0 −4 −2−7 −2 1 3 3

, B =

−4 4 −14 −4 3

−5 7 −6−3 −3 0

5 1 −5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 6I, 2) (A− 2I)(A− 3I), 3) A(A− 5I) + 6I.

A =

3 −3 −10 −1 3

−2 −3 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 −1 2

2 1 3

1 2 2

, B =

4 −6 5

1 −2 2

−3 5 −4

.

Tarea 1, variante 10 DJRA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

5 4 1 −1 2

−2 −7 −1 4 7

−4 −3 −6 −3 5

, B =

5 2 6

−2 −4 0

−5 7 −34 1 4

1 2 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 −5−4 1

−1 4

=

[−1 −6−1 4

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

−4−1

, A

−51

4

, A

−5−33

, A

5

−1−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−3 5 −2 0

−4 1 −2 2

1 −1 −3 −1

, b =

3

5

−42

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 −7 −6 −77 −5 2 −2

−6 −1 0 4

−3 −2 −3 7

, B =

1 −2 5

2 −5 5

6 7 −5−2 0 4

.

Tarea 1, variante 10 DJRA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

2

−11

, a2 =

2

1

1

0

, b =

4

1

4

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 122. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,4 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 10 DJRA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 11 FMFD.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 −1 −2 2

2 −1 −4 3

], B =

1 −2

−3 −12 −2

−4 3

, C =

[4 2 2

3 0 4

].

Tarea 1, variante 11 FMFD, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 2 −3

−3 1 2

], B =

4 0

−5 −22 2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 −1 −52 −3 0

3 −4 4

, B =

−3 5 0

2 −4 −14 −2 1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

0 1 −2 −4 −1

−1 −2 1 3 −4−3 −4 3 −1 −44 −1 2 3 3

, B =

3 −2 2

−2 −4 3

2 −3 4

−4 3 1

4 −3 1

, C =

1 3 2

4 2 −13 2 −4

−3 −1 3

−3 −1 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−3 2 −1 0 −15 −2 −2 7 3

−3 −6 5 7 1

, B =

2 −2 −6

−2 −1 7

−4 −5 4

−3 4 5

−4 1 2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 2I)(A− 4I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

2 2 −41 −1 −14 3 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 1

1 1 1

3 1 2

, B =

1 −3 1

1 −1 0

−2 5 −1

.

Tarea 1, variante 11 FMFD, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

3 −3 4 3

−4 4 6 −6−2 7 −4 −6

, B =

−4 4 6 −55 2 6 −7

−5 3 4 −15 1 2 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 4

−4 2

−3 1

=

[−8 15

6 2

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−1−4−3

, A

421

, A

3

−2−2

, A

−12−6−3

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−4 −5 −15 5 −1

], b =

−15

2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

3 6 −4 −1 −34 −4 1 4 1

−2 0 −2 −1 7

, B =

−7 −4 −35 1 −21 6 −13 −6 −43 −1 −5

.

Tarea 1, variante 11 FMFD, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

3

−21

, a2 =

1

−21

−2

, b =

−2−22

2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

2. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 11 FMFD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 12 GDLD.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−2 −3 0 −4−1 4 3 2

2 −3 1 −1

, B =

0 −4

−3 −42 4

1 3

, C =

[1 −22 −1

].

Tarea 1, variante 12 GDLD, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 0 3

1 −2 −4

], B =

1 2

−1 4

2 −3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 −3 −53 4 1

−1 2 5

, B =

−5 1 −32 0 3

−1 −4 4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−1 3 −3 4 3

2 1 3 −4 −1−2 3 −4 −1 1

0 −4 −2 −1 −4

, B =

1 −2 4

−1 −3 −3−1 1 1

−1 −4 −2−4 0 −2

, C =

1 −2 −32 1 2

3 −1 4

4 0 3

−4 2 1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −3 −5 5

−7 −2 1 2

−5 −6 −2 5

2 −6 −3 7

, B =

2 −2 −13 −4 −5

−3 7 5

5 3 −4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− 4I)(A− I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

−4 −3 2

1 −3 3

2 −4 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 3

1 2 4

0 1 2

, B =

0 1 −22 −2 1

−1 1 0

.

Tarea 1, variante 12 GDLD, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

3 −3 −1 1 −7−2 4 −4 7 2

2 −5 −3 −1 −5

, B =

−7 −5 4

2 3 −7−3 4 −2−4 −4 7

0 −3 7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 2

0 −44 3

=

[−2 1

−15 −14

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

104

, A

2

−43

, A

3

−47

, A

−612

−9

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 −3 −4 −12 −1 0 −2

], b =

−24

−51

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−2 0 7 −66 −7 5 −31 1 −4 −4

−1 −2 7 5

, B =

−4 6 −7−3 6 −5−1 5 1

2 1 −3

.

Tarea 1, variante 12 GDLD, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

1

0

−2

, a2 =

2

−11

−3

, b =

1

4

−1−3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

3. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 5 a 149. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,4 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 12 GDLD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 13 GLMA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[0 1

−3 2

], B =

[3 1 1

−2 0 −4

], C =

0 −3 3 2

1 4 −4 −1−2 2 −1 1

.

Tarea 1, variante 13 GLMA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 1 −4

−2 −5 3

], B =

2 −34 −22 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 2 −10 4 1

−2 3 5

, B =

−5 −3 5

−2 3 2

4 −4 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 4 0 1 −1

−3 −2 2 −1 4

1 3 1 −4 3

3 2 −2 −1 −1

, B =

2 −4 3

2 4 3

−3 −1 1

−3 −4 1

4 −4 4

, C =

1 −3 −33 −1 2

−4 4 3

4 2 4

2 1 0

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−2 3 −4 −72 −4 −1 4

3 0 −5 −7

, B =

6 2 3 −3

−4 1 −4 1

4 7 −5 6

−6 −3 3 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A− 4I)(A+ 3I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

2 0 4

−3 −1 2

−2 −2 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 1 −13 1 0

1 1 1

, B =

−1 2 −13 −5 3

−2 3 −1

.

Tarea 1, variante 13 GLMA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,1.

A =

5 4 −4 −12 −3 1 0

−5 −3 4 −4

, B =

−4 −4 4 −22 −1 −5 −3

−7 −6 −3 −7−1 −2 3 3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 5

2 −3−5 3

=

[7 14

−14 12

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

2

−5

, A

5

−33

, A

5

−1−2

, A

10

−66

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−3 −1 2 −1−4 5 3 4

−2 5 −2 −5

, b =

−3−4−1−2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

3 1 4 −5 2

0 2 −2 −7 1

6 6 −2 4 3

, B =

5 6 −71 4 4

7 1 7

0 −3 2

−7 −2 −3

.

Tarea 1, variante 13 GLMA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

2

−12

, a2 =

1

2

−22

, b =

1

−41

−4

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 8 a 139. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 13 GLMA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 14 GSLE.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

2 4

−4 −3−4 −2

, B =

[1 −2 0 −4

−3 1 3 3

], C =

−1 4

2 1

−1 1

−2 2

.

Tarea 1, variante 14 GSLE, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 −2 2

3 −2 4

], B =

−1 1

2 −55 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 2 −10 5 −31 −2 −5

, B =

3 −2 −4−5 2 4

−1 1 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−1 −2 1 3 3

−4 2 −3 1 −44 0 3 −1 3

4 −1 −4 4 1

, B =

−3 1 3

−4 2 3

−2 −1 −4−4 3 −1−1 4 4

, C =

4 0 −3

−1 1 2

1 4 −22 1 2

−3 −2 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 3 −5 6 5

−1 −2 1 0 6

−7 7 1 −4 5

−3 −6 −6 3 −1

, B =

−4 −6 −12 −7 3

3 4 −57 1 −4

−7 1 −5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 4A+ 3I, 2) (A− 3I)(A− I), 3) A(A− 4I) + 3I.

A =

−3 0 −14 3 2

1 −2 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 2

1 1 1

1 2 −1

, B =

−3 5 −12 −3 1

1 −1 0

.

Tarea 1, variante 14 GSLE, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−1 0 4 3 1

−1 −5 −4 −4 1

−6 −5 −2 6 3

, B =

−5 5 −1−2 4 7

6 −6 −51 3 1

2 −1 −7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 1

0 −2−1 −3

=

[−3 −18 4

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

3

0

−1

, A

1

−2−3

, A

4

−2−4

, A

2

−4−6

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−1 3 3

−2 −1 5

], b =

5

−34

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

7 −2 −2 −65 −3 −1 1

3 1 −5 −3−4 −5 6 7

, B =

−5 −2 6

−4 −7 0

−6 −1 −3−2 −1 3

.

Tarea 1, variante 14 GSLE, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

−11

4

, a2 =

1

1

−2−2

, b =

3

1

−42

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 8 a 188. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)2,4 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 14 GSLE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 15 KSJG.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 −4 2 −11 −2 0 −4

], B =

0 −1 −34 1 −42 1 −13 3 −2

, C =

−4 −14 4

−3 1

.

Tarea 1, variante 15 KSJG, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 5 0

−1 −2 −2

], B =

−1 3

−3 −31 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

2 1 −5−2 −3 5

4 −4 0

, B =

−4 −1 5

3 4 0

−2 2 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −4 4 −4 1

2 1 −4 −2 3

−4 2 3 −2 −32 −1 −3 0 −3

, B =

−3 −2 −1−4 3 0

−3 4 4

2 4 2

−2 2 3

, C =

−3 3 −41 2 2

1 1 −1−3 −2 3

−2 −4 0

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

4 −3 −1 2 −3−6 6 −1 −6 0

5 1 7 −5 −5

, B =

−3 2 −22 −1 −67 −4 1

3 −4 0

−1 7 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A+ 2I)(A− 4I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

2 −2 −10 −3 3

−1 −3 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 1 1

3 1 1

1 0 1

, B =

1 −1 0

−2 3 −1−1 1 1

.

Tarea 1, variante 15 KSJG, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−3 0 3 2

3 −3 5 2

−1 −2 5 6

, B =

5 5 0 −2

−6 7 7 6

−3 1 6 1

−4 −4 4 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 4

−1 1

−5 0

=

[−6 9

7 −3

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−3−1−5

, A

410

, A

1

0

−5

, A

1230

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[3 5 1 −13 0 −2 −4

], b =

3

−5−4−2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−2 1 −1 −3 6

4 1 5 5 −3−1 7 4 7 3

, B =

4 −4 1

3 1 −53 −6 −3

−1 7 4

5 −4 −2

.

Tarea 1, variante 15 KSJG, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

0

3

2

, a2 =

1

−14

1

, b =

2

2

−22

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

3. La suma de los cubos de los numeros enteros de 9 a 175. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

4. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 15 KSJG, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 16 LSS.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

0 −3 −1 1

2 1 −4 3

4 4 −4 −2

, B =

−3 1

−2 −1−3 0

−4 2

, C =

[1 −34 0

].

Tarea 1, variante 16 LSS, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 −3 1

−5 −2 −1

], B =

0 −42 3

−1 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

2 0 5

−2 −5 −33 −4 −1

, B =

1 −4 5

2 −1 −3−2 4 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

0 2 3 −34 −1 1 −23 2 1 −31 −2 2 3

, B =

2 1 −40 −3 −24 −4 −1

−3 −2 1

, C =

1 2 0

−1 4 −3−2 3 2

−2 −1 −4

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−2 −1 −4 2

−7 −1 0 4

4 −3 −7 5

, B =

3 −3 6 2

−3 7 0 −66 4 1 3

2 5 4 −6

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A+ 3I)(A− 4I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

2 4 −4−1 4 3

3 0 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

3 4 2

1 2 1

, B =

0 1 −2−1 1 1

2 −1 1

.

Tarea 1, variante 16 LSS, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

1 5 4 −7 6

−2 2 −2 −4 −11 −5 −1 7 −6

, B =

5 −2 −5

−6 −7 7

−1 −4 1

2 −5 0

7 6 −7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 −55 3

4 2

=

[9 7

−10 −10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

154

, A

−53

2

, A

−48

6

, A

10

−6−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

1 −2 5 3

−2 −3 −4 2

−1 −1 1 −3

, b =

−43

−1−2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

0 −2 2 −5

−3 −5 −6 −36 −4 4 −76 3 5 2

, B =

−2 2 1

−3 −5 4

5 0 3

6 1 −1

.

Tarea 1, variante 16 LSS, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

0

2

1

, a2 =

2

1

2

−1

, b =

1

2

−2−5

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

2. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 16 LSS, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 17 LPS.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−1 3 2 −3−4 −2 3 1

0 4 2 −2

, B =

1 4

−1 −32 3

−3 −2

, C =

[−2 −3 2

0 1 4

].

Tarea 1, variante 17 LPS, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 −5 −12 1 −3

], B =

5 5

−2 −5−3 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 −1 4

1 −4 2

3 −5 −2

, B =

−3 −4 4

2 −2 5

−1 0 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −3 −1 2 4

3 −4 0 4 −2−4 −2 −2 −3 2

, B =

3 1 −4 −12 4 2 1

−4 −3 0 4

−3 3 −3 −2−3 −2 −1 2

, C =

4 0 3 3

2 4 4 −3−3 −4 −1 −42 2 4 −1

−1 1 3 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

3 2 0 −1 −33 −2 −6 2 1

4 −5 6 −5 1

, B =

6 6 4

5 −1 5

2 3 −10 2 −3

−2 −5 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 4I)(A− 2I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

3 −1 3

4 −1 −4−3 −2 0

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 −2 2

1 3 0

1 1 1

, B =

3 4 −6−1 −1 2

−2 −3 5

.

Tarea 1, variante 17 LPS, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,4.

A =

3 −3 5 4

5 1 1 2

−3 2 6 0

, B =

−7 6 1 2

−1 0 6 3

2 −2 −3 1

4 −7 4 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 2

−3 −20 3

=

[11 13

−10 −15

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

4

−30

, A

2

−23

, A

6

−53

, A

6

−69

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[5 1 −5

−5 −1 2

], b =

2

−53

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−5 −3 −4 3 1

−7 −2 4 2 0

3 2 4 1 −6

, B =

−4 −7 −26 7 −20 3 3

−4 −5 −71 2 −5

.

Tarea 1, variante 17 LPS, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

4

−10

1

, a2 =

2

−1−11

, b =

2

1

3

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 146. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)3,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 17 LPS, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 18 MPDD.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 1 4 1

−2 4 0 2

], B =

−3 −4 −13 0 −2

−1 2 1

1 4 −2

, C =

−1 0

1 4

−1 4

.

Tarea 1, variante 18 MPDD, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 −5 −44 0 1

], B =

4 3

−1 2

−2 −4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 2 −4−1 3 4

1 −2 0

, B =

1 3 5

4 0 −1−3 2 −2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

0 2 4 −41 −1 1 4

3 −3 −2 −3

, B =

2 −3 4 2

4 3 −1 4

1 −4 1 −1−3 1 3 0

, C =

3 −2 3 4

−4 3 4 −10 −2 −4 −3

−1 −2 1 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

3 6 2 6

0 3 −1 5

1 2 −6 −1

, B =

−2 0 3 4

2 1 −6 −1−4 5 −2 4

−1 −7 1 3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A+ I)(A− 3I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

−2 1 −12 −3 2

−2 1 3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 0

3 4 1

3 3 1

, B =

1 −3 3

0 0 −1−3 6 −5

.

Tarea 1, variante 18 MPDD, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,1.

A =

3 −1 3 −6 −16 −7 −3 −2 −74 7 1 −3 −2

, B =

−3 −6 4

−1 6 −4−2 −5 −6−7 −3 2

4 −5 5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

5 4

−3 −12 3

=

[−6 −9−10 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

5

−32

, A

4

−13

, A

9

−45

, A

8

−26

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 5 3 0

1 3 −1 −3

], b =

−54

3

2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−6 −3 −6 5

2 1 7 0

−3 −2 −1 3

−4 4 6 4

, B =

7 −6 3

6 −5 −4−5 −1 5

3 −7 5

.

Tarea 1, variante 18 MPDD, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

0

2

1

, a2 =

2

1

2

1

, b =

2

3

2

1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 7 a 109. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 18 MPDD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 19 MHF.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 1

2 0

], B =

[4 4 3 −2

−3 −2 −1 2

], C =

−3 −4 1

−2 2 −33 3 −11 4 0

.

Tarea 1, variante 19 MHF, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[5 −3 −31 −1 −2

], B =

−3 −1−3 5

2 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 −1 5

−2 −3 −42 0 4

, B =

−3 −5 −1−2 2 3

5 0 1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

4 1 3 2

3 4 3 1

−1 −2 2 4

1 −1 −4 −2

, B =

−1 1 −3−4 4 −24 −4 −2

−3 3 1

, C =

−4 −4 −31 −3 3

0 2 4

2 4 −2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

4 −2 −1 5

−5 0 −4 4

1 5 7 −3

, B =

3 4 −6 −51 −4 −5 −25 1 3 6

2 −1 4 7

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 6I, 2) (A+ 3I)(A− 2I), 3) A(A+ I) − 6I.

A =

0 4 1

4 −2 −1−4 2 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 4

1 0 2

1 2 3

, B =

4 −6 −21 −2 0

−2 3 1

.

Tarea 1, variante 19 MHF, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

−2 −3 6 1

−6 −4 −2 1

7 6 5 5

, B =

−4 −3 −4 −37 4 6 4

0 −1 −2 5

1 5 7 −6

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

2 −2−5 1

0 3

=

[13 5

0 2

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

2

−50

, A

−21

3

, A

0

−43

, A

−42

6

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

2 −1 1 −24 −5 3 4

−4 −1 −5 3

, b =

−5−3−1−4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−7 −2 −1 −5 3

1 5 −4 −3 7

2 7 −1 −2 4

, B =

−1 0 4

−2 5 −51 −7 2

6 −7 −35 −6 3

.

Tarea 1, variante 19 MHF, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−4−11

1

, a2 =

3

1

−10

, b =

−5−11

2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

3. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 7 a 181. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

5. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 19 MHF, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 20 MME.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−4 −1 0

3 1 2

], B =

2 0 4 −3−2 −4 −4 1

−1 3 1 −1

, C =

3 −2

−2 −4−1 2

1 1

.

Tarea 1, variante 20 MME, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−5 4 −21 −4 0

], B =

−2 0

4 −15 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 −3 2

4 5 1

−1 −5 −2

, B =

−3 5 3

4 1 −4−5 −2 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−1 3 1 3

−4 −2 2 1

2 0 2 −3−4 −1 1 3

, B =

3 4 −3

−4 −2 1

0 3 −41 4 −1

, C =

−1 4 −11 −3 3

4 −4 −22 3 1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

0 2 3 −41 −2 −6 1

−5 −5 7 −3−2 −3 6 5

, B =

6 −2 6

−3 −5 0

7 −5 4

−1 −1 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 6I, 2) (A+ 2I)(A− 3I), 3) A(A− I) − 6I.

A =

3 3 −24 −4 2

1 −3 2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 0 −11 1 2

2 2 3

, B =

1 2 −1−1 −4 3

0 2 −1

.

Tarea 1, variante 20 MME, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

4 −4 7 1 −2−5 0 −1 7 2

6 −2 −5 1 3

, B =

−2 4 −37 6 0

3 −1 −4−6 1 −25 5 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 3

2 −44 −1

=

[3 4

−2 11

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−32

4

, A

3

−4−1

, A

0

−23

, A

9

−12−3

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[3 −4 −2

−5 −5 −1

], b =

4

−25

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−3 3 −3 −12 6 1 7

2 −5 −7 −61 0 −7 −2

, B =

3 7 4

2 −5 7

1 −2 3

−3 5 −3

.

Tarea 1, variante 20 MME, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

2

−2−1

, a2 =

0

−12

1

, b =

−11

−4−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

5. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 5 a 114. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)3,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 20 MME, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 21 MRCK.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

1 4

−3 2

−4 −32 0

, B =

[3 1 2

2 3 4

], C =

0 −33 3

−1 −1

.

Tarea 1, variante 21 MRCK, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 5 −22 2 4

], B =

0 −41 −11 2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

2 1 −4−2 0 3

−3 5 −1

, B =

2 −5 4

−4 0 3

1 −3 5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −1 2 −4 1

4 4 4 3 −21 −4 −1 0 2

, B =

−4 4 −13 3 4

−1 −2 2

−2 −4 3

−2 1 4

, C =

2 1 −12 −4 −3

−4 4 −2−3 2 1

−4 3 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 −3 2 1

−7 3 0 1

−6 −2 4 5

, B =

−2 4 1 −36 −1 5 −7

−6 7 6 −63 −3 3 1

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− 4I)(A− I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

4 4 2

−2 −3 1

0 1 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 4 3

1 2 2

1 3 3

, B =

0 3 −21 0 −1

−1 −1 2

.

Tarea 1, variante 21 MRCK, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−4 7 4 −2−2 7 −1 −4−3 4 1 0

, B =

6 −7 3 3

4 −4 −1 7

1 5 5 0

−3 −4 1 2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 3

−5 −3−1 5

=

[11 7

15 0

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

−5−1

, A

3

−35

, A

3

−84

, A

−99

−15

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[1 3 −4 4

−4 3 4 5

], b =

1

4

5

−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

5 7 −1 3 6

−5 −7 −3 −2 1

4 −7 3 7 0

, B =

1 3 −2

−2 1 2

−1 −5 7

0 2 −17 −6 6

.

Tarea 1, variante 21 MRCK, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

3

−1−2

, a2 =

0

1

1

−2

, b =

−1−13

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

2. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 21 MRCK, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 22 PHJL.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−2 −4 −1−1 1 −4

], B =

−4 0 −3 −13 2 1 −3

−1 1 4 −2

, C =

3 −3

−3 −11 −1

−2 0

.

Tarea 1, variante 22 PHJL, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[5 0 −21 −5 −3

], B =

4 −40 3

−2 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−1 1 −4−5 2 4

0 −2 −3

, B =

−2 2 1

−3 −5 −43 5 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 4 −2 −2

−4 3 −2 3

0 1 −3 −3−1 1 2 3

, B =

4 −1 0

3 −4 −3−1 −4 −22 −3 −2

, C =

2 1 −2

−2 1 −44 0 −43 2 3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 −4 −1 2

5 1 −1 2

0 −5 −3 3

, B =

−3 3 −2 −51 −3 0 4

3 −2 −1 1

−5 −6 4 5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 2I)(A− 4I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

2 −1 2

1 4 4

−2 0 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

1 −2 0

2 3 2

, B =

−4 1 2

−2 0 0

7 −1 −3

.

Tarea 1, variante 22 PHJL, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,1.

A =

2 −2 −5 6 −15 4 0 5 3

6 4 −3 −1 2

, B =

−4 6 7

2 −1 −64 0 6

3 2 −3−3 −4 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 0

−1 5

3 −5

=

[−2 10

−9 5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−2−13

, A

0

5

−5

, A

−24

−2

, A

0

−1010

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

3 −2 −1 0

2 3 1 −31 −4 2 −4

, b =

−23

4

−1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 −5 1 −41 0 −2 −3

−2 −1 3 7

−1 −7 −3 −6

, B =

−4 3 3

−3 4 0

4 1 5

1 −1 2

.

Tarea 1, variante 22 PHJL, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−22

−31

, a2 =

1

0

2

−1

, b =

1

2

3

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)4,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 22 PHJL, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 23 RAJA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 0

−3 −1

], B =

[4 1 −2

−3 −4 3

], C =

1 −2 −3 2

3 −4 4 −44 −1 0 1

.

Tarea 1, variante 23 RAJA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 2 −31 −4 0

], B =

−2 5

2 2

−5 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 −4 −31 5 −24 3 0

, B =

−2 −5 −32 5 −11 −4 4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 0 −1 2

1 −4 −4 4

−1 4 2 3

, B =

2 3 −3 2

−4 −4 4 3

2 4 −1 −1−4 0 −2 −2

, C =

3 1 −1 −43 1 −3 −4

−4 0 3 4

2 2 4 −2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−2 1 −1 6

−4 2 −2 6

5 5 2 1

0 −1 4 3

, B =

6 −1 5

2 1 1

−7 −6 5

6 −3 −1

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 3x + 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 3A+ 2I, 2) (A− I)(A− 2I), 3) A(A− 3I) + 2I.

A =

0 −3 −41 −2 3

−2 4 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 1 4

3 1 3

1 0 1

, B =

−1 1 0

0 1 −31 −1 0

.

Tarea 1, variante 23 RAJA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

2 −2 6 1

−1 −7 4 7

−4 7 −6 2

, B =

1 3 −5 −6

−7 −3 6 −2−5 −2 7 7

1 −1 −3 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−5 −25 −12 0

=

[−13 −6−7 6

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−55

2

, A

−2−10

, A

−74

2

, A

210

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[5 4 −2

−4 0 2

], b =

−12

−5

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

1 −5 5 −7 −2−6 5 2 7 2

−4 4 4 −2 0

, B =

−4 −1 −1−4 3 7

2 −5 −21 0 −7

−3 −3 −5

.

Tarea 1, variante 23 RAJA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

−11

0

, a2 =

−11

−41

, b =

−52

1

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

4. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)4,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 23 RAJA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 24 RCE.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

4 −3 3 1

4 −4 3 2

−2 0 −4 −1

, B =

−3 3

−4 1

1 −2−3 4

, C =

[2 −3 −4

−2 −3 1

].

Tarea 1, variante 24 RCE, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[5 −3 2

1 0 2

], B =

2 1

−1 −4−1 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 0 −43 4 −32 −1 −5

, B =

1 −2 −34 0 −5

−1 2 −4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

0 −3 −3 4

4 4 −2 1

−2 3 −1 1

−3 −4 −2 −4

, B =

1 1 4

−1 3 2

−4 2 4

−4 −1 0

, C =

4 −4 −3

−1 1 −21 4 −1

−3 3 2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−6 2 7 4

3 1 1 −2−3 5 0 4

, B =

4 1 2 −63 −1 −4 −1

−5 2 6 1

6 −3 4 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A+ I)(A− 3I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

−2 −1 2

4 −4 −23 0 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

2 1 −14 2 −1

, B =

0 −3 2

2 5 −30 −2 1

.

Tarea 1, variante 24 RCE, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−4 −7 4 −5 5

−4 −2 3 7 6

4 −3 −6 −1 1

, B =

−7 1 2

0 3 −3−5 4 −11 −1 5

−7 2 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 −4−5 1

5 2

=

[9 −5

−12 −3

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

4

−55

, A

−41

2

, A

0

−47

, A

−82

4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 −4 −3 −31 3 −1 4

], b =

3

−2−5−1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

2 −7 −5 5

1 −2 1 3

3 4 5 −64 6 −1 −4

, B =

−4 0 7

−4 5 −2−5 −7 −1−6 2 1

.

Tarea 1, variante 24 RCE, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−14

0

1

, a2 =

−23

2

1

, b =

3

−2−4−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de los cubos de los numeros enteros de 7 a 158. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

4. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 24 RCE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 25 RDIDJ.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[0 2

−2 −1

], B =

[0 2 1 −4

−2 3 −3 4

], C =

2 −4 −31 −3 3

1 −1 4

0 −2 −1

.

Tarea 1, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[0 −3 5

4 −2 4

], B =

0 −1−2 −53 −2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−2 5 0

−4 2 3

1 −5 −3

, B =

−2 2 −10 −3 −4

−5 5 1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −2 −2 −1

−1 2 3 0

−3 −2 −3 −3−4 1 3 4

, B =

3 −4 −12 −4 0

−2 4 1

−1 −3 3

, C =

2 3 1

2 −4 −2−3 0 −44 −3 −2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

5 −2 −6 −1 4

1 −4 −3 2 6

−1 7 −5 5 6

, B =

3 −1 −7 −7

−2 −4 0 −16 −3 −2 2

7 7 −6 5

5 −4 1 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 2I, 2) (A+ 2I)(A− I), 3) A(A+ I) − 2I.

A =

−1 1 2

−2 1 −32 −3 3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 −23 2 1

1 1 −1

, B =

3 1 −5−4 −1 7

−1 0 1

.

Tarea 1, variante 25 RDIDJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

3 6 4 −52 −2 −4 1

−4 −2 1 −1

, B =

−6 0 −5 7

7 −3 4 −14 1 5 −26 −2 2 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 −4−1 −52 1

=

[1 8

4 14

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−2−12

, A

−4−51

, A

−6−63

, A

−12−153

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

2 −3 1 3

2 −5 −1 0

−4 −5 5 4

, b =

1

−53

−4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−2 5 −6 2 3

7 7 −1 −4 5

1 3 0 −3 1

, B =

−5 −3 6

2 5 −65 −1 −4

−5 −2 −1−4 −2 −3

.

Tarea 1, variante 25 RDIDJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−22

1

0

, a2 =

−21

1

1

, b =

−24

1

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 25 RDIDJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 26 SRGA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[0 −4

−2 2

], B =

[4 2 −4

−3 −3 4

], C =

2 1 2 4

−3 −1 −4 3

1 0 −2 4

.

Tarea 1, variante 26 SRGA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 4 −13 2 3

], B =

1 5

3 −2−5 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−2 4 −5−3 0 1

−1 3 2

, B =

−2 −3 1

4 0 −42 5 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−4 −1 −3 0

2 4 1 −14 3 1 −3

, B =

−1 0 1 −1−2 4 2 −13 2 4 4

1 2 −4 3

, C =

2 1 −4 −2

−1 −2 −4 −41 3 3 4

4 −1 −2 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

2 4 −1 7 5

3 4 6 −7 −72 −3 3 6 −3

, B =

−7 3 4

5 6 1

−1 −6 −42 2 −2

−5 −5 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 4I, 2) (A+ 4I)(A+ I), 3) A(A+ 5I) + 4I.

A =

4 −2 1

0 3 −13 −1 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 −2 2

1 0 1

2 1 2

, B =

−1 5 −20 −2 1

1 −5 2

.

Tarea 1, variante 26 SRGA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−7 6 −2 4 1

−5 5 3 −3 −4−3 2 −7 7 6

, B =

−3 −6 −3−5 −4 −12 4 2

1 5 −21 −5 4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 −32 −41 4

=

[8 −3

−15 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−12

1

, A

−3−44

, A

−4−25

, A

3

4

−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−1 2 1

−2 3 4

], b =

−41

2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−4 −1 −5 −3−1 6 0 −21 −2 7 4

−3 3 4 7

, B =

4 3 −71 −4 1

−1 2 3

−2 −2 −1

.

Tarea 1, variante 26 SRGA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−11

3

−2

, a2 =

0

1

−32

, b =

1

−33

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 158. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)3,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 26 SRGA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 27 TMMA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−1 1 −3 4

3 2 −2 4

−2 −3 0 −4

, B =

3 4

−4 1

−4 −31 −1

, C =

[−2 −13 0

].

Tarea 1, variante 27 TMMA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−2 1 −23 −4 1

], B =

−2 −55 −20 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 −4 −23 2 1

−1 −3 4

, B =

1 4 −10 5 −43 −2 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −2 −2 3 −1

−2 −3 4 4 4

2 3 −4 2 1

4 −1 −3 3 1

, B =

1 2 −33 3 −21 4 −1

−1 −2 −44 4 0

, C =

4 −4 4

3 −4 1

0 −1 −3−3 −2 −11 −1 4

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

1 6 −3 −66 −1 5 5

−1 3 −4 −2−2 −3 3 0

, B =

0 −5 −64 7 7

−6 6 2

1 −1 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A+ 2I)(A− 4I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

3 1 −42 4 0

4 3 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 0 1

2 1 2

3 1 2

, B =

0 −1 1

−3 −1 2

1 2 −2

.

Tarea 1, variante 27 TMMA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

−1 2 6 5

5 2 1 3

−4 −1 −3 −7

, B =

3 −3 −4 4

−2 −7 −7 6

2 −5 3 −20 7 2 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 4

3 1

2 −3

=

[2 4

9 −2

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

032

, A

4

1

−3

, A

4

4

−1

, A

8

2

−6

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[2 1 3 0

−3 5 4 −1

], b =

−5−23

4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

1 −2 −7 7 0

−3 3 −7 7 −1−3 1 4 4 2

, B =

2 5 −54 0 3

3 5 −37 6 −2

−4 −7 −5

.

Tarea 1, variante 27 TMMA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

4

−11

, a2 =

0

2

1

1

, b =

1

−2−4−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

2. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 27 TMMA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 28 TELD.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 1

0 −4

], B =

[−2 −3 3 −21 2 1 0

], C =

4 0 2

−2 −3 2

−4 −1 −21 3 −1

.

Tarea 1, variante 28 TELD, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 4 −41 −3 −1

], B =

3 2

2 −33 4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 −5 −20 1 2

3 −4 −3

, B =

3 −4 1

4 −2 0

−3 −1 5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −1 −2 3

1 2 0 −3−2 −4 −4 −3

, B =

−1 −2 4 4

4 3 −1 −4−2 1 −4 1

2 −4 −2 −1

, C =

−3 3 1 4

2 −1 0 −4−1 4 1 2

2 −1 −3 −2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −3 1 5

4 4 −4 −23 −2 −1 −53 −7 −3 5

, B =

−4 −5 −11 −4 7

2 4 −1−3 −7 3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 3x + 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 3A+ 2I, 2) (A− 2I)(A− I), 3) A(A− 3I) + 2I.

A =

2 3 2

1 −1 −14 −3 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 2

0 2 1

2 3 2

, B =

−1 0 1

−2 2 1

4 −3 −2

.

Tarea 1, variante 28 TELD, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−5 1 0 7 −3−2 −1 6 5 −4−6 2 −6 5 3

, B =

−7 4 5

−5 −6 3

−2 0 −3−2 4 −1−3 −4 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−4 2

−1 −30 4

=

[14 −48 8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−4−10

, A

2

−34

, A

−2−44

, A

−23

−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

1 1 −3 5

4 −2 −4 −32 −5 4 3

, b =

3

−12

−4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−7 −5 3 −75 4 −1 2

3 1 −4 2

−5 4 1 5

, B =

−4 2 1

3 −7 −5−3 −4 −6−2 3 0

.

Tarea 1, variante 28 TELD, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

3

−2−1

, a2 =

1

−22

0

, b =

−3−42

2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 5 a 156. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)4,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 28 TELD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 29 UTAV.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−3 2 3

1 2 3

], B =

0 −31 −1

−1 −4

, C =

[−3 −2 1 −11 0 −1 2

].

Tarea 1, variante 29 UTAV, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−5 −4 4

−2 1 0

], B =

−1 −4−3 2

−3 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−1 1 4

−4 3 −32 0 5

, B =

−1 −3 5

−5 −2 3

−4 2 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 1 3 1

2 −2 3 4

4 −1 −3 −4−4 2 −2 0

, B =

4 2 −1

−4 −4 1

3 −1 2

−2 1 −2

, C =

−3 −4 4

4 −2 −42 −1 0

1 2 3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−5 4 1 6

−3 3 3 2

−7 −7 7 −6

, B =

3 6 −3 −21 −7 −1 1

2 3 −6 −6−1 5 4 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 12I, 2) (A+ 4I)(A− 3I), 3) A(A+ I) − 12I.

A =

3 −2 0

−4 −3 −14 4 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 3

1 2 4

0 1 2

, B =

0 2 −22 −2 1

−1 1 0

.

Tarea 1, variante 29 UTAV, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

3 −4 4 5

3 1 −1 1

0 −1 6 2

, B =

1 −1 −7 −42 −3 6 1

−5 −2 −3 −6−2 7 5 5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 −2−1 4

2 1

=

[13 −14−2 9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−3−12

, A

−24

1

, A

−53

3

, A

2

−4−1

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−3 2 −33 0 −4

], b =

4

3

−1

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

2 −1 6 −3 −64 −6 5 −1 −43 −3 −4 1 0

, B =

−6 4 −4−2 5 −44 1 5

−1 −5 −33 6 3

.

Tarea 1, variante 29 UTAV, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

−30

1

, a2 =

−32

1

2

, b =

1

4

−1−4

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 7 a 107. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 29 UTAV, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 30 VNDI.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

2 −2 2 −3−4 3 −1 0

3 4 −1 1

, B =

1 −1

−3 0

1 −34 −4

, C =

[1 −10 2

].

Tarea 1, variante 30 VNDI, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−5 1 −44 4 0

], B =

−1 3

4 −1−4 −2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 3 −5−3 5 2

−1 −2 4

, B =

−3 −1 4

0 3 −41 −2 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−4 −1 −2 0

3 2 4 −44 −1 4 −3

−4 2 −2 2

, B =

−2 −3 −20 4 2

−3 −4 3

−1 −4 2

, C =

−4 2 −34 4 −1

−1 1 0

−4 1 3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 5 −5 −2 6

1 4 3 −1 −12 −4 0 3 −2

, B =

3 5 −6 2

5 −1 −7 −2−4 7 2 −3−3 1 −2 −4−1 6 4 0

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 7x + 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 7A+ 12I, 2) (A− 3I)(A− 4I), 3) A(A− 7I) + 12I.

A =

−1 2 1

−3 −2 4

−1 0 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

1 0 1

2 4 3

, B =

4 −1 −11 −1 0

−4 2 1

.

Tarea 1, variante 30 VNDI, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

5 1 −4 2 4

−3 −1 −1 −4 4

−2 −5 6 −3 1

, B =

−4 6 5

4 −1 −65 4 1

6 −2 2

−3 −6 3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 −3−2 4

0 1

=

[−3 0

3 5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

3

−20

, A

−34

1

, A

021

, A

3

−4−1

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−3 5 −1 5

−5 0 3 −4

], b =

−3−5−4−2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

0 −7 −6 7

4 7 1 2

6 −2 −7 −33 −5 −3 6

, B =

−2 −3 2

0 1 −4−2 2 5

−6 −1 3

.

Tarea 1, variante 30 VNDI, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

3

−1−3

, a2 =

0

−31

1

, b =

−23

−13

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 5 a 180. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)4,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 30 VNDI, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 31 VHA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−4 −2 1 2

4 −1 −2 −30 3 3 1

, B =

−1 2

−2 −10 1

2 3

, C =

[2 −23 4

].

Tarea 1, variante 31 VHA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 −2 −5

−2 −3 2

], B =

−3 2

−4 0

−1 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 0 −4−5 −3 2

−2 4 −1

, B =

−3 1 5

−1 −4 −53 4 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 −1 3 1

2 −1 4 −32 −3 1 −2

, B =

−3 4 3 −13 −2 −4 −1

−2 0 2 −34 −2 1 3

, C =

2 −1 −1 −3

−3 −2 −4 4

−1 4 3 1

1 3 2 −4

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 5 1 1 −46 −7 7 5 −3

−5 0 −1 −1 6

, B =

0 −1 −6 −7

−2 3 1 −3−4 2 3 −17 2 6 5

4 5 1 −3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A+ 3I)(A− 4I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

−2 4 3

−2 3 −4−4 2 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

0 2 1

1 4 2

2 1 1

, B =

−2 1 0

−3 2 −17 −4 2

.

Tarea 1, variante 31 VHA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−1 1 −5 0

1 6 −3 −53 −2 6 −2

, B =

−4 1 7 −74 1 2 3

7 −3 −3 5

−6 4 6 3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 1

−3 0

−5 5

=

[−2 10

15 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−2−3−5

, A

105

, A

−1−30

, A

−30

−15

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

4 −1 −1 3

3 2 −5 1

0 5 1 2

, b =

1

−23

5

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

4 1 2 −1 1

−7 −3 5 7 −1−5 −3 5 7 0

, B =

−2 0 −36 −1 5

3 4 1

1 2 4

−3 2 7

.

Tarea 1, variante 31 VHA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

1

1

−3

, a2 =

2

1

2

0

, b =

−2−1−3−3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 6 a 192. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 31 VHA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 32 VMJJ.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−4 0

3 2

−4 −3−2 1

, B =

[−2 −2 0

−3 2 −3

], C =

−2 0

4 4

3 −3

.

Tarea 1, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 0 −22 1 −4

], B =

−1 2

−1 4

−5 −3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 −4 5

−1 1 −20 2 3

, B =

3 −1 −40 5 4

−3 −2 1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −4 −3 2

3 −4 2 −1−1 4 0 1

, B =

2 −4 −1 −1

−3 4 −1 1

3 3 0 −3−4 1 −2 2

, C =

3 −3 −4 −21 −2 0 2

−3 1 −1 4

−2 3 3 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

6 4 −1 5 4

−2 2 0 3 −33 7 −1 7 −6

, B =

−6 −2 −12 7 −62 3 −13 −3 5

7 −3 0

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 8I, 2) (A+ 4I)(A− 2I), 3) A(A+ 2I) − 8I.

A =

−4 1 3

1 −3 −2−2 2 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 1

2 3 4

3 3 4

, B =

0 −1 1

4 5 −5−3 −3 4

.

Tarea 1, variante 32 VMJJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

7 2 0 −6 −53 −5 4 −4 1

−1 1 −7 −1 −4

, B =

4 −3 6

3 0 −5−5 −6 −6−2 −4 −17 7 4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 −21 3

2 0

=

[3 11

14 −4

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−31

2

, A

−23

0

, A

−54

2

, A

−46

0

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−5 −1 4

5 5 3

], b =

2

−3−1

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−4 −4 3 −3−2 −6 6 −73 1 4 −5

−3 4 −2 6

, B =

−5 −6 7

6 5 −15 −2 −2

−1 −5 1

.

Tarea 1, variante 32 VMJJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

1

2

2

, a2 =

2

1

0

1

, b =

−5−22

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los cubos de los numeros enteros de 7 a 137. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)3,4 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 32 VMJJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 33 GMOA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

2 −1 1

−1 3 1

−4 −3 4

0 2 −2

, B =

−2 −4−4 −3−1 −2

, C =

[−2 −12 2

].

Tarea 1, variante 33 GMOA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 −2 −22 −1 −3

], B =

−3 −41 0

2 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 1 2

3 −2 −1−5 −3 0

, B =

3 −3 −51 4 0

5 −1 −2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 −1 3 −3 2

0 −2 2 2 −4−3 3 −4 1 4

, B =

−2 1 4 3

−1 4 2 −32 1 −3 2

−4 −2 4 4

−3 −2 0 −2

, C =

−3 1 4 4

4 −1 −2 4

2 −2 −4 −3−3 −3 −1 3

−4 −4 −2 0

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −4 1 −5−2 −1 1 7

−2 0 3 2

, B =

3 2 −6 1

−6 6 5 1

−4 4 −7 −43 −2 −2 −1

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 6I, 2) (A− 3I)(A− 2I), 3) A(A− 5I) + 6I.

A =

−3 −4 −2−1 0 2

2 −1 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 0 −11 2 1

3 3 1

, B =

−1 −3 2

2 5 −3−3 −6 4

.

Tarea 1, variante 33 GMOA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

3 −7 6 4

4 −2 7 2

−1 3 −6 5

, B =

−1 −2 6 2

3 1 −5 4

2 5 −5 −16 −3 4 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 3

−5 2

5 −4

=

[−8 6

10 −15

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−3−55

, A

3

2

−4

, A

0

−31

, A

−9−612

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[5 4 3 −41 2 −1 1

], b =

4

−3−15

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

2 −2 −5 −4 1

−6 5 6 −2 −4−3 −1 0 4 2

, B =

2 7 −74 −3 −6

−3 6 −53 −2 −4

−6 −4 1

.

Tarea 1, variante 33 GMOA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

1

−1−2

, a2 =

0

−12

1

, b =

−41

−41

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 5 a 135. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

3. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 33 GMOA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 34 VALA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 4 3

3 −1 −22 0 −3

−4 1 2

, B =

−1 −2−1 1

0 −3

, C =

[3 2

−2 −1

].

Tarea 1, variante 34 VALA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−3 −2 −12 −2 1

], B =

−4 2

4 5

5 −3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 4 −21 −5 3

5 0 −1

, B =

0 −4 −52 −3 4

−1 1 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 −3 4 −1 3

−1 −4 1 1 0

−4 1 2 −2 −3

, B =

−3 1 −3 −33 −1 −2 3

−2 3 −1 −12 −4 −4 1

1 −4 2 0

, C =

−2 2 2 −14 −3 −3 3

3 −4 −4 −23 0 2 −1

−2 −4 −4 −3

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 −1 1 −76 −6 −2 −56 2 −6 3

7 −3 −2 1

, B =

−1 3 0

−3 5 −25 4 −66 −6 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

4 1 1

3 3 −42 −1 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 2 1

4 1 2

2 0 1

, B =

1 −2 3

0 1 −2−2 4 −5

.

Tarea 1, variante 34 VALA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−2 0 6 −2 5

−6 1 3 2 −43 −1 −5 1 −5

, B =

−4 2 1

5 0 −6−6 −1 4

6 −3 7

1 3 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 −12 −20 −5

=

[2 11

10 11

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

420

, A

−1−2−5

, A

3

0

−5

, A

2

4

10

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

2 −3 5 0

4 −4 −1 −5−2 4 1 5

, b =

4

2

−13

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−6 −5 −4 −1−3 4 5 5

−7 7 2 3

3 −7 −6 0

, B =

−4 0 −1−2 1 −57 −3 3

−2 −5 −6

.

Tarea 1, variante 34 VALA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−11

2

0

, a2 =

3

−2−11

, b =

3

−14

2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 34 VALA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 35 ZPJ.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 −4 −4 −13 −2 4 4

3 1 0 2

, B =

−4 −2 3

1 2 −32 0 −31 4 −1

, C =

0 1

2 4

1 3

.

Tarea 1, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 3 1

−3 −2 −2

], B =

−4 −12 1

3 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

3 −2 4

−4 −3 1

0 −1 2

, B =

−3 0 4

5 3 1

−2 2 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 −1 −1 1 1

−3 2 −2 1 −22 4 3 2 4

, B =

−3 1 −4 4

3 −2 −2 −4−3 1 3 4

−1 −4 −2 2

−2 −3 2 −4

, C =

4 −2 −4 −21 4 −4 3

−2 −3 1 1

−2 2 2 −1−4 −1 3 2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

4 2 −3 4

0 2 3 1

−3 −1 −4 −1

, B =

5 −5 −3 7

−2 1 1 5

2 0 3 4

−5 4 −3 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 6I, 2) (A− 3I)(A+ 2I), 3) A(A− I) − 6I.

A =

2 1 2

−3 1 3

0 3 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 0 3

1 2 2

1 −1 3

, B =

−8 3 6

1 0 −13 −1 −2

.

Tarea 1, variante 35 ZPJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

0 −7 −4 −2−1 5 5 −4−6 7 4 −1

, B =

2 3 2 −1

−3 4 −3 5

1 −6 3 −4−4 4 −1 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−5 5

−2 0

1 −1

=

[8 0

−6 4

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−5−21

, A

5

0

−1

, A

0

−20

, A

10

0

−2

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 2 −45 −4 −2

], b =

−15

−2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−2 6 3 1 0

−1 −6 5 2 −4−3 −2 7 −4 2

, B =

−4 0 −3−1 1 −4−3 2 3

5 −6 5

−6 1 3

.

Tarea 1, variante 35 ZPJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

1

1

2

, a2 =

1

0

1

3

, b =

1

2

1

1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)4,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 35 ZPJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 36 BRMF.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[0 3 −24 −1 1

], B =

0 2

1 −42 −1

, C =

[4 −4 −1 2

2 −1 3 −3

].

Tarea 1, variante 36 BRMF, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 −3 4

−4 2 −5

], B =

2 5

1 −34 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 4 3

5 −1 −2−5 2 −3

, B =

−3 2 −4−1 −5 0

4 1 −2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −2 2 1 −24 3 −1 1 −1

−3 0 −3 3 3

, B =

3 −1 −1 −2

−3 1 4 4

−2 −2 3 4

0 4 2 −32 −1 3 3

, C =

2 2 3 3

−1 −4 −1 −1−4 1 2 1

−3 −1 2 1

4 −4 3 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 2 −6 −7 3

−7 −5 −5 7 −67 −1 1 5 6

, B =

6 −4 7

−6 3 7

−2 2 −7−1 1 3

−3 4 −4

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 4I)(A− 2I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

−4 −1 −33 0 4

2 −3 2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 0

1 3 1

1 4 −1

, B =

7 −3 −3−2 1 1

−1 0 0

.

Tarea 1, variante 36 BRMF, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

1 4 −6 6 3

−6 6 −5 1 5

−4 −1 2 4 −2

, B =

−1 1 4

−7 4 −6−6 5 −4−1 3 −2−2 −5 3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−4 −24 3

−5 −1

=

[−10 −513 −3

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−44

−5

, A

−23

−1

, A

−67

−6

, A

4

−62

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 −1 0 1

5 −1 3 −3

], b =

5

4

1

3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

6 −5 6 2

1 5 −6 5

−5 7 −4 −32 −4 1 3

, B =

7 −5 6

3 −4 1

0 5 −1−5 3 2

.

Tarea 1, variante 36 BRMF, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

−1−13

, a2 =

0

−21

2

, b =

−2−24

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 8 a 150. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 36 BRMF, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 37 RMIA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 −1 4 3

−4 2 1 −1

], B =

0 2

−3 −21 −3

−4 2

, C =

[−3 −4 3

2 −1 −2

].

Tarea 1, variante 37 RMIA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−5 4 −4−1 5 3

], B =

4 −11 1

0 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 4 2

−2 −4 3

−5 −1 −3

, B =

−4 2 −11 −5 −3

−2 0 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 3 0 −1

−3 1 −1 4

−1 1 −2 −3−2 4 −4 4

, B =

2 −2 2

1 0 1

3 −2 −14 4 3

, C =

−1 −1 −3−4 −4 4

−2 1 3

3 1 0

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 −5 −2 −40 6 −1 1

3 −2 −1 −43 2 2 6

, B =

−5 3 4

3 −1 −31 −6 7

−4 −2 −5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 4I, 2) (A+ 4I)(A+ I), 3) A(A+ 5I) + 4I.

A =

−2 −4 4

0 −3 −23 −1 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 0

2 1 1

2 2 1

, B =

1 1 −10 −1 1

−2 0 1

.

Tarea 1, variante 37 RMIA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,1.

A =

6 6 −6 4

3 −6 7 −2−7 4 −4 1

, B =

1 3 0 1

6 −1 2 −25 −6 7 −43 −4 2 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 −1−5 3

−2 4

=

[4 8

3 −13

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

1

−5−2

, A

−13

4

, A

0

−22

, A

2

−6−8

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

1 0 −1 −42 5 −3 3

2 −3 4 3

, b =

3

2

1

4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−7 1 −4 2 −52 3 −5 −1 1

−6 −1 7 0 −6

, B =

5 3 2

−7 4 1

3 −5 −26 7 −1

−5 −4 −4

.

Tarea 1, variante 37 RMIA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

−21

2

, a2 =

1

1

−2−2

, b =

−24

1

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

2. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)4,2 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 37 RMIA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 38 MRHA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 −1 0

1 4 1

], B =

−3 4

2 1

1 −2

, C =

[2 −2 −2 0

1 3 −3 3

].

Tarea 1, variante 38 MRHA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−4 3 1

2 3 1

], B =

−1 2

−2 −31 2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 2 −31 4 −10 3 5

, B =

−5 −2 2

3 −3 −14 1 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 0 2 3

−2 4 1 2

3 −4 2 −13 1 −1 4

, B =

2 4 −30 4 −4

−3 3 −12 −2 −1

, C =

1 −2 3

−3 −3 −1−2 4 4

−1 1 0

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −4 −5 −7 −13 −5 2 −4 0

−6 3 −6 −3 2

, B =

−3 −5 4 0

3 5 1 −57 2 2 −7

−1 −4 1 6

−7 −3 5 −1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A+ I)(A− 3I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

−2 −4 4

3 0 −41 2 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 2 1

3 3 1

2 1 0

, B =

0 −1 1

−2 2 −13 −2 0

.

Tarea 1, variante 38 MRHA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−2 4 −2 −6 −12 3 6 −5 −52 3 −3 5 4

, B =

1 −6 5

1 −2 −2−6 7 −12 4 3

−5 6 0

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−4 −10 −33 1

=

[7 7

−6 1

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−40

3

, A

−1−31

, A

−5−34

, A

2

6

−2

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[5 1 5

−1 −3 2

], b =

−51

4

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 −4 2 6

−3 0 4 5

−4 −5 7 5

−1 −6 3 −1

, B =

2 4 −3

−4 3 7

3 6 7

−1 −2 0

.

Tarea 1, variante 38 MRHA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

2

0

−3

, a2 =

−1−31

2

, b =

−22

−22

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 7 a 133. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

4. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)1,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 38 MRHA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 39 AVMA.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[1 3 −2

−3 −2 4

], B =

−2 3 2 −21 −4 −3 2

−4 0 4 −1

, C =

2 −13 4

1 0

2 3

.

Tarea 1, variante 39 AVMA, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−2 0 −4−2 −5 1

], B =

−4 2

−3 −30 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 −2 −1−3 0 3

4 2 −5

, B =

−3 2 5

−1 −4 0

1 3 4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−4 −2 −4 1

1 −1 3 3

−1 −1 −2 4

3 2 1 −4

, B =

−4 0 −1−2 4 −43 −1 −33 −3 1

, C =

1 4 1

−4 2 3

3 −2 −20 2 −3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−5 −4 −1 1

−2 2 1 −1−2 −7 −5 2

, B =

−7 −5 −7 1

5 3 −1 −2−2 5 0 −4−5 3 −3 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

3 −2 −4−3 −1 3

−1 −4 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 −1 −21 2 1

1 3 2

, B =

0 −4 3

−1 6 −41 −7 5

.

Tarea 1, variante 39 AVMA, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

−7 4 4 5

7 −2 −4 2

−1 0 5 −7

, B =

3 0 −2 5

7 −5 −2 5

−7 −5 −1 −1−3 2 −6 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

5 2

−2 −1−3 0

=

[−12 1

−1 5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

5

−2−3

, A

2

−10

, A

7

−3−3

, A

4

−20

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 0 −4 2

−3 1 2 −1

], b =

2

−35

1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

0 −1 6 −6 −6−7 −1 −2 5 1

5 −5 2 −3 3

, B =

−2 −7 −1−3 −1 3

5 2 −56 −3 −23 1 0

.

Tarea 1, variante 39 AVMA, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

2

−10

, a2 =

2

2

−13

, b =

−1−42

3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 39 AVMA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 40 MCCO.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 4

2 −2

], B =

[1 3 0

−2 1 −3

], C =

−1 1 3 −2−3 3 2 4

−1 0 −4 1

.

Tarea 1, variante 40 MCCO, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−2 −2 4

0 1 4

], B =

2 2

−3 1

−1 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 −5 −10 3 −22 5 −4

, B =

1 5 4

3 2 −2−1 0 −4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 −4 −4 1

4 −1 3 0

2 2 1 −1

, B =

3 −2 −4 1

2 4 −2 2

−1 3 −2 −13 −3 4 −3

, C =

1 −1 3 −42 2 0 4

−4 −4 1 3

2 4 −1 1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 4 3 5 1

−5 3 4 5 7

−1 −3 −2 0 −6

, B =

−3 −5 −2 −1−6 −5 3 −31 −2 2 −1

−7 4 −4 −43 2 1 6

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 6A+ 8I, 2) (A+ 2I)(A+ 4I), 3) A(A+ 6I) + 8I.

A =

−4 4 4

−4 1 0

3 1 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 2 1

2 −1 1

1 1 0

, B =

−1 1 3

1 −1 −23 −2 −8

.

Tarea 1, variante 40 MCCO, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

3 7 −7 −2 1

−2 7 −1 −3 1

6 2 −7 4 2

, B =

−7 −5 −42 −5 −1

−4 −6 −21 0 −2

−3 4 3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 4

−3 2

−5 1

=

[−3 −610 −13

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

−3−5

, A

421

, A

4

−1−4

, A

842

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

4 4 −1 5

−4 2 −2 3

−2 2 −4 −5

, b =

2

−3−41

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

1 7 2 −13 2 6 4

3 4 6 −17 −6 −3 −7

, B =

−4 2 1

−3 −3 2

1 6 −5−6 0 −4

.

Tarea 1, variante 40 MCCO, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−2−12

1

, a2 =

3

−10

1

, b =

−1−34

3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 9 a 193. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)4,3 = ?, (AB)2,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 40 MCCO, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 41.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−2 2

−1 2

], B =

[−3 0 −2 −21 1 4 2

], C =

3 4 2

−2 2 −1−4 −3 −11 4 0

.

Tarea 1, variante 41, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[1 3 −3

−2 −2 0

], B =

3 −34 2

−3 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 −4 −15 3 1

−2 4 −5

, B =

−2 −1 −45 2 −30 3 4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −2 −3 4 −3

−4 2 −2 −3 3

−4 3 4 −3 −4−2 1 0 3 2

, B =

4 3 3

1 −2 −1−1 0 −4−3 −4 −21 −1 1

, C =

2 1 −4

−1 −2 −30 3 2

−2 3 −22 4 1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

2 4 1 3 −31 2 5 −5 −24 0 3 7 −2

, B =

6 −6 −21 −4 0

−2 −4 1

−3 2 −37 −6 −7

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 2I)(A+ 3I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

−3 3 0

−1 4 −4−4 −2 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 0

−1 1 2

3 2 1

, B =

−3 −1 2

8 2 −4−5 −1 3

.

Tarea 1, variante 41, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−3 6 1 5

6 −6 3 −13 −4 −2 2

, B =

0 −7 4 7

−1 −3 5 2

−6 1 2 −14 6 −7 7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 2

−2 0

−4 −1

=

[−7 2

−5 8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

1

−2−4

, A

2

0

−1

, A

3

−2−5

, A

−40

2

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−5 1 3

5 −1 −1

], b =

3

−5−1

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

6 −2 −5 3 1

−4 −2 3 −6 6

−1 5 0 −1 −7

, B =

−4 5 7

3 −5 4

2 −2 −35 −4 −66 −2 1

.

Tarea 1, variante 41, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

0

3

−2

, a2 =

3

1

2

−1

, b =

4

2

−22

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 9 a 158. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

4. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,4 = ?, (AB)3,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 41, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 42.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 2 −4 1

−2 4 0 3

−1 1 4 2

, B =

−1 2

−2 −2−1 −40 2

, C =

[1 −41 0

].

Tarea 1, variante 42, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[0 −5 5

1 −3 −4

], B =

1 0

−2 4

−2 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

1 −5 3

−4 2 −14 0 5

, B =

−1 −4 −5−3 5 2

1 4 −2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 −1 2 −3−2 1 1 4

−2 −4 2 0

, B =

4 −4 2 0

1 3 −2 −24 −2 1 −3

−1 −1 2 −1

, C =

−4 1 2 −43 1 −3 1

−1 4 −2 0

4 4 −3 −3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 −4 −3 −6 −44 7 −5 −3 1

4 −7 3 3 0

, B =

−1 2 5

1 3 −1−4 2 6

7 −5 −2−6 6 −2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− I)(A− 4I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

−2 −4 −3−2 0 2

−3 3 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 2

2 2 1

1 0 2

, B =

4 −2 −3−3 2 2

−2 1 2

.

Tarea 1, variante 42, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

−3 −2 5 1 6

−2 −1 4 −4 −30 1 −6 2 −1

, B =

1 5 5

7 −7 −42 1 6

−3 −6 7

−4 −5 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 3

−4 5

0 −2

=

[−2 2

−3 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−1−40

, A

3

5

−2

, A

2

1

−2

, A

6

10

−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−3 5 0 −5−5 −3 2 −2

], b =

−43

−21

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

1 0 3 −5

−4 −4 7 3

−2 4 −1 2

−6 −5 2 4

, B =

6 3 −62 7 2

4 6 3

0 4 −2

.

Tarea 1, variante 42, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−21

2

1

, a2 =

−12

2

0

, b =

1

4

2

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de los cubos de los numeros enteros de 6 a 147. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 42, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 43.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 −2

−1 3

], B =

[1 −1 2 1

2 −4 −1 −3

], C =

3 2 −20 −4 −3

−1 2 −24 3 1

.

Tarea 1, variante 43, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−2 2 −30 4 5

], B =

5 −20 4

−4 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−2 5 −3−1 −4 4

0 2 1

, B =

−4 −3 −11 3 0

4 −2 −5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 4 −4 −3−3 2 −2 0

1 −4 3 4

, B =

4 −1 −2 0

2 −1 1 4

1 −2 2 −1−4 3 4 2

, C =

1 3 3 −2

−3 4 2 1

3 0 −2 −4−4 2 4 2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−3 4 2 −5 5

0 −1 3 −3 6

1 −7 −5 −6 1

, B =

−1 5 −65 6 −6

−1 −5 4

−5 −2 1

−3 2 4

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 6I, 2) (A− 3I)(A+ 2I), 3) A(A− I) − 6I.

A =

−1 −3 4

3 −1 3

2 −3 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 3 3

1 0 1

3 2 2

, B =

−2 0 3

1 −1 −12 1 −3

.

Tarea 1, variante 43, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,4.

A =

2 −2 1 6

−1 6 3 −3−4 −3 0 −6

, B =

−3 0 2 7

2 4 −1 −2−2 5 −3 −4−1 4 3 −7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 −4−1 −3−2 1

=

[5 14

11 −15

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

3

−1−2

, A

−4−31

, A

−1−4−1

, A

4

3

−1

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−2 −4 2 3

−4 3 4 4

5 −2 2 5

, b =

−21

−53

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−4 6 −1 1 2

−1 3 3 −4 −3−3 6 5 −6 4

, B =

−6 −4 3

−5 2 6

−3 −5 5

−2 −1 6

0 −3 −4

.

Tarea 1, variante 43, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

1

−31

, a2 =

1

0

−31

, b =

1

2

−31

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

5. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 5 a 153. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)4,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 43, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 44.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−2 −1 −34 1 4

], B =

4 4

2 −1−3 0

, C =

[2 3 3 0

1 −1 −2 −1

].

Tarea 1, variante 44, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 3 −42 −5 −3

], B =

4 −23 0

−3 4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 −1 5

−3 −4 1

3 −5 2

, B =

−3 −1 4

1 −4 5

−2 −5 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 −4 −4 0

−2 −3 −1 1

4 2 4 1

, B =

2 −3 3 −2

−1 −4 −2 −4−2 0 4 4

−3 −3 1 −1

, C =

2 1 −2 −3

−4 2 4 −31 3 −4 4

−3 2 0 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

4 5 5 −5 −7

−4 2 2 −1 3

−2 −2 3 6 4

1 −5 −3 −4 −3

, B =

−6 6 5

−4 −2 3

5 0 −1−1 −6 2

1 3 2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 7x + 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 7A+ 12I, 2) (A+ 4I)(A+ 3I), 3) A(A+ 7I) + 12I.

A =

−3 −4 −13 −2 2

−3 −1 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 0 1

2 1 3

2 1 2

, B =

1 −1 1

−2 0 1

0 1 −1

.

Tarea 1, variante 44, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−1 −5 −7 −2 3

−2 −5 −3 −7 6

−1 3 2 5 0

, B =

6 −6 −7

−6 −4 −43 2 4

−3 5 2

−7 3 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 5

1 3

2 −5

=

[8 −12

−7 7

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−11

2

, A

5

3

−5

, A

4

4

−3

, A

−15−915

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[1 5 −22 1 4

], b =

−52

−4

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 5 −6 2

3 4 0 −1−7 −2 −6 6

−1 7 −3 −2

, B =

0 2 4

1 3 1

6 −2 2

3 −4 6

.

Tarea 1, variante 44, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

2

3

−2

, a2 =

0

3

2

−1

, b =

−22

−22

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 7 a 173. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

4. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 44, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 45.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−4 −11 0

1 −1−2 2

, B =

[−4 0 3

4 2 −2

], C =

3 −34 3

4 −1

.

Tarea 1, variante 45, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 3 −51 4 −1

], B =

−4 0

3 4

2 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

2 −4 −1−2 −5 0

4 3 −3

, B =

0 5 −12 −3 −4

−2 4 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 3 −1 −3 1

−4 −1 −1 −2 3

0 2 4 1 1

1 −1 −2 −3 −3

, B =

−3 3 2

4 −2 −2−1 3 −21 −1 −3

−4 2 4

, C =

1 3 −3

−1 −3 1

0 3 −1−4 −3 −42 4 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

4 5 −2 4

3 1 5 7

1 −1 −7 6

−1 −2 6 2

, B =

−2 −1 5

5 4 1

−3 0 −3−1 −5 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A− 4I)(A+ 2I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

1 4 2

1 4 3

−4 −1 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 1

1 1 3

2 1 0

, B =

3 −1 −2−6 2 5

1 0 −1

.

Tarea 1, variante 45, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

2 −6 −5 −2−7 −5 0 −3−3 −1 1 4

, B =

3 −4 5 2

6 3 0 1

2 −3 −4 6

−6 5 1 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 −5−1 −42 −3

=

[5 −511 9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

−12

, A

−5−4−3

, A

−5−5−1

, A

15129

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[3 5 2 2

5 4 1 0

], b =

−41

2

5

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 3 −7 6 7

−7 6 4 −5 −4−6 5 −2 0 7

, B =

−4 5 6

−3 7 4

−7 −7 3

1 −3 2

−5 −6 0

.

Tarea 1, variante 45, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

2

2

1

, a2 =

1

1

2

1

, b =

2

−4−2−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 108. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

4. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,4 = ?, (AB)3,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 45, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 46.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[4 3 −2 −4

−1 −1 1 −2

], B =

−3 1 −23 −4 4

−4 2 −10 −2 1

, C =

0 −21 1

−1 4

.

Tarea 1, variante 46, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 −1 0

2 3 1

], B =

1 −22 3

3 −4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 5 −4−2 −1 −32 4 3

, B =

3 −5 −4−2 1 0

−3 4 5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 3 0 −32 3 4 −21 −1 −1 −3

, B =

2 3 −4 3

−1 −4 4 3

−2 2 1 1

−2 −3 1 2

, C =

4 −4 −3 2

−2 1 0 −1−2 4 3 1

2 4 1 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

3 −4 5 −3 −24 0 5 3 7

−1 −7 −3 −2 7

, B =

−7 7 −6 2

−3 −5 −2 1

3 −1 1 0

6 3 2 5

−6 −5 −2 −3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 4I)(A− 2I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

−3 −1 4

−4 −4 3

−1 1 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

−2 −1 1

1 1 1

2 2 1

, B =

−1 3 −21 −4 3

0 2 −1

.

Tarea 1, variante 46, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−5 2 −5 5 0

7 −4 −7 6 5

−3 −1 6 −7 1

, B =

2 2 5

0 1 6

3 −6 3

1 −2 5

6 −7 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 1

−1 2

−5 4

=

[6 −97 −5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−2−1−5

, A

124

, A

−11

−1

, A

−2−4−8

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−4 −3 −1 −22 2 −3 3

1 0 −4 3

, b =

4

−2−1−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−1 −4 −5 −6−5 −6 −3 1

7 −2 7 3

5 −3 4 1

, B =

1 2 −32 5 −6

−6 −4 6

6 5 1

.

Tarea 1, variante 46, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−12

1

−3

, a2 =

1

−10

3

, b =

1

1

2

3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 9 a 121. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

4. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 46, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 47.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

2 −20 1

1 −4

, B =

[−4 1 1 −1−2 3 2 4

], C =

2 2

−2 3

4 3

−1 −1

.

Tarea 1, variante 47, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−3 −2 −3−2 2 4

], B =

3 −44 3

2 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 2 −14 5 3

−2 −4 1

, B =

−2 3 4

−1 −4 0

1 5 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 2 −4 −22 2 −4 −31 −1 −1 −1

−2 −2 1 −4

, B =

−3 −1 4

−2 1 3

0 −2 2

4 1 −3

, C =

−4 2 −1−2 −2 3

−4 0 3

1 2 1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

1 −6 −5 4

−6 0 3 2

7 6 −1 −1

, B =

−2 −4 7 2

2 6 −4 −6−2 −7 5 1

5 7 −5 −3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 4I)(A− 2I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

4 1 2

1 4 0

3 −1 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 0 3

3 1 3

3 1 4

, B =

1 3 −3−3 −5 6

0 −1 1

.

Tarea 1, variante 47, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

2 −4 −7 5

1 −2 −1 −1−7 −4 −5 1

, B =

2 −4 4 5

3 2 −3 −6−1 −5 6 4

−6 −7 7 1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 3

1 2

0 4

=

[0 3

−3 −8

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−21

0

, A

324

, A

134

, A

−3−2−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−4 −3 1

−1 1 −1

], b =

−51

−4

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

3 0 5 2 −1−4 −6 −3 3 2

7 4 4 −7 1

, B =

5 4 2

6 1 3

−6 −4 −72 7 −13 4 −5

.

Tarea 1, variante 47, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

3

2

1

−2

, a2 =

1

2

0

1

, b =

−12

−14

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)4,1 = ?, (AB)2,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 47, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 48.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

0 4 3

1 2 1

−2 −2 −4−3 −1 3

, B =

2 1

−1 −21 0

, C =

[3 −30 −3

].

Tarea 1, variante 48, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 4 −25 4 1

], B =

4 2

−2 4

2 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

4 −5 0

3 −1 −35 −4 −2

, B =

−3 −1 −2−5 4 2

3 0 −4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−4 1 −3 2 −3−2 3 1 −1 2

−2 −1 −4 −3 2

1 −2 0 1 4

, B =

−2 3 −43 2 4

−1 −1 −3−1 4 3

2 2 4

, C =

4 3 3

0 −4 −34 −2 2

−3 3 4

−4 −3 2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−2 −3 2 4

0 1 −2 3

−3 −1 3 1

, B =

−7 −5 2 −1−7 6 −1 −2−4 7 3 3

−4 −3 5 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A+ 2I)(A− 4I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

1 −4 −33 3 0

4 −1 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

1 2 2

1 −2 −1

, B =

2 −1 1

3 −2 −1−4 3 1

.

Tarea 1, variante 48, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

−2 6 2 −5 7

5 −5 3 7 −70 −1 −2 −1 1

, B =

4 −3 4

3 3 6

−2 2 6

1 7 2

−4 −1 −1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 3

1 5

−1 −3

=

[9 −4

−10 −7

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−21

−1

, A

3

5

−3

, A

1

6

−4

, A

6

10

−6

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[5 1 1 −4

−3 2 4 −1

], b =

5

3

1

4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−2 0 6 −4−1 3 1 4

−3 −6 −5 −42 3 4 5

, B =

3 −4 1

2 7 5

−7 −6 −2−2 2 4

.

Tarea 1, variante 48, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

−21

0

, a2 =

−14

1

1

, b =

2

−24

1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

2. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 6 a 114. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

4. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 48, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 49.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 −2 0

1 4 1

], B =

−2 −1 0 2

−2 4 −3 1

3 1 −4 −4

, C =

−1 −2−3 3

−2 2

4 0

.

Tarea 1, variante 49, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 −5 3

0 2 2

], B =

4 −31 −33 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 −3 5

−5 3 2

−2 1 0

, B =

4 2 −11 −2 −30 −4 −5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 4 3 2

2 4 0 1

−2 −3 −4 −1

, B =

4 1 0 −4

−4 2 1 −3−3 −2 −4 1

−2 −3 −2 3

, C =

3 0 −3 3

1 −4 −1 −21 −1 3 1

−4 −1 −4 4

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

6 −6 −1 1 −2−6 −5 2 5 7

−4 0 1 2 −1

, B =

2 −2 −11 −1 −4

−2 −6 −73 −6 0

1 5 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 7x + 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 7A+ 12I, 2) (A− 3I)(A− 4I), 3) A(A− 7I) + 12I.

A =

−1 2 1

−2 −1 −3−4 1 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

−1 1 1

2 2 1

−2 1 1

, B =

0 0 −1−4 1 3

6 −1 −4

.

Tarea 1, variante 49, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

1 −5 6 3

2 6 −1 −1−3 1 −4 −4

, B =

7 −5 0 4

−2 4 −4 −75 −2 −6 −4

−3 −1 2 2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 −3−1 4

2 −2

=

[−5 −4−10 7

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

−12

, A

−34

−2

, A

−33

0

, A

9

−126

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−4 5 2 −34 −5 1 −55 2 −4 1

, b =

4

1

2

5

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

2 6 −6 4 −1−6 −2 −4 5 4

−2 −5 0 −1 −3

, B =

1 6 3

2 −7 −65 −7 1

6 −2 0

−4 7 −4

.

Tarea 1, variante 49, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

−40

1

, a2 =

−11

2

−1

, b =

−1−24

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

5. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 9 a 195. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)4,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 49, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 50.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−2 −32 0

], B =

[−1 2 −1 −2−2 0 1 4

], C =

−4 3 1

2 3 −2−3 0 −1−3 4 2

.

Tarea 1, variante 50, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−4 4 −30 −5 −1

], B =

2 1

2 3

4 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 −3 2

1 5 3

−4 −5 −2

, B =

0 2 5

3 4 −31 −2 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 −1 −1 4

4 −1 −4 1

3 3 3 2

−2 −4 0 1

, B =

−2 −3 4

−1 1 −3−4 0 4

2 −1 −4

, C =

−1 −2 −33 3 −44 −2 4

1 2 0

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

7 −4 −6 −75 −3 −1 0

−3 1 4 5

−1 1 −6 −5

, B =

−6 2 7

−6 −1 6

−5 4 −77 −3 4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 6I, 2) (A− 2I)(A+ 3I), 3) A(A+ I) − 6I.

A =

−3 4 −1−4 −4 4

−1 2 3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 2

−2 1 1

−1 1 1

, B =

0 −1 1

1 3 −5−1 −4 6

.

Tarea 1, variante 50, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

1 4 6 7 −73 2 −4 −5 7

−6 −2 6 −4 −3

, B =

4 −5 −5

−1 −4 3

5 1 −1−7 4 −41 5 0

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 −22 0

−1 −4

=

[−3 −4−14 2

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−32

−1

, A

−20

−4

, A

−52

−5

, A

6

0

12

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 4 3

−2 −1 4

], b =

3

−45

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

7 −7 5 3

−3 5 −2 −77 −1 −6 −2

−1 2 1 −3

, B =

−6 −3 4

−3 −2 7

1 1 7

−4 0 −2

.

Tarea 1, variante 50, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−22

1

3

, a2 =

1

0

1

−2

, b =

1

2

4

−3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

3. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 5 a 161. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 50, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 51.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

2 −4 −1 0

4 3 1 −2−2 2 −3 3

, B =

−2 1

1 2

−1 −4−1 0

, C =

[4 3

−3 −1

].

Tarea 1, variante 51, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−3 0 1

1 −2 −4

], B =

−4 −14 2

−3 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 1 −24 −1 −32 3 0

, B =

4 1 −1−4 2 −3−2 0 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

4 0 −1 4

2 −4 3 4

−3 −4 2 −32 −2 −3 3

, B =

−2 4 −33 −1 −3

−4 1 3

0 −4 2

, C =

1 −1 1

−3 −2 4

−2 3 4

3 0 −3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−6 −4 −3 −6 0

−1 1 −3 6 5

2 −5 5 −4 3

, B =

1 −7 −62 −2 1

0 6 4

2 4 −13 −6 −2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

3 2 −10 4 3

−1 −4 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 3

1 2 2

1 1 4

, B =

−6 5 2

2 −1 −11 −1 0

.

Tarea 1, variante 51, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

7 −3 6 −12 −5 4 3

−3 0 4 −1

, B =

−5 −6 −4 −6−7 2 −3 0

3 6 5 4

1 3 −2 6

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 0

2 3

−3 −2

=

[10 0

−7 −9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

1

2

−3

, A

0

3

−2

, A

1

5

−5

, A

0

−32

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[2 −1 −3 −1

−3 0 5 1

], b =

−2−1−45

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

2 1 3 2 −51 6 5 6 −67 −3 −4 −2 −7

, B =

6 2 −35 4 3

−7 −4 −65 3 −24 −1 −3

.

Tarea 1, variante 51, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−22

0

1

, a2 =

2

−21

−2

, b =

−44

1

1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 6 a 175. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)4,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 51, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 52.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[0 −1 −1 −21 −2 −3 −3

], B =

−2 −1 −34 −1 1

1 0 −3−4 2 3

, C =

−2 4

4 3

−2 0

.

Tarea 1, variante 52, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−5 −3 −24 1 −4

], B =

1 −5−2 −1−1 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 −4 4

−3 1 5

0 2 −2

, B =

4 2 −2−3 0 −55 1 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 −1 −3 −4 1

3 −1 −2 2 0

4 −3 −2 4 3

, B =

−1 1 1

2 3 −43 3 0

2 −1 −24 −1 −3

, C =

0 4 4

−1 −1 −2−3 1 −43 −4 −1

−3 2 1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

4 0 −1 −2 −22 2 −5 −6 −51 4 −1 −4 5

, B =

4 −5 −1

−6 2 3

3 −2 5

−7 6 −4−3 1 −1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 4I, 2) (A+ 4I)(A+ I), 3) A(A+ 5I) + 4I.

A =

4 2 −4−2 −2 1

−1 2 −1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

0 2 1

1 2 1

, B =

0 −1 1

0 0 1

2 1 −2

.

Tarea 1, variante 52, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

−4 −4 −7 3 3

−6 −3 −7 6 1

6 −6 0 −5 −5

, B =

−3 −5 −3−2 −4 1

6 7 4

4 0 7

2 1 −4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−4 0

5 1

−5 2

=

[10 3

−15 0

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−45

−5

, A

012

, A

−46

−3

, A

024

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

4 3 −2 −1−2 0 1 −15 2 5 3

, b =

−45

2

1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 −2 −1 1

−3 −5 −1 −43 0 −4 5

5 −2 2 −7

, B =

0 4 2

1 6 −2−2 −1 −13 −4 5

.

Tarea 1, variante 52, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

−13

3

, a2 =

−1−13

1

, b =

−3−13

−3

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 114. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

5. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 52, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 53.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−2 −2 1

−4 −3 0

2 3 −3

, B =

2 2 1 −2−3 −1 0 3

−3 3 −4 4

, C =

−2 0

−2 2

−3 4

−1 1

.

Tarea 1, variante 53, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 1 −15 0 2

], B =

1 −2−1 −52 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 2 3

5 −4 1

−1 −5 −2

, B =

3 −1 −41 5 0

−3 −2 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 4 2 1 −11 3 0 3 4

1 2 −4 −4 −3−3 3 −4 −3 −3

, B =

4 −2 0

−2 −3 2

1 −4 −31 3 3

−4 4 −2

, C =

−3 0 2

−3 2 −11 2 −43 −3 4

1 3 1

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

7 3 −2 1 −3

−6 −7 6 4 −47 2 −3 1 −7

−1 0 3 4 6

, B =

−3 −2 2

6 −5 −41 −7 −47 5 2

−2 3 0

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

−2 −1 −41 0 −22 −1 2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 −1 1

1 1 1

−1 4 1

, B =

−3 5 −2−2 3 −16 −7 3

.

Tarea 1, variante 53, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

−7 6 2 2

4 −2 0 5

7 −7 6 −2

, B =

3 −5 6 −50 −3 3 −2

−4 −1 1 6

4 5 2 −3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−5 3

−3 1

2 −1

=

[4 1

12 −10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−5−32

, A

3

1

−1

, A

−2−21

, A

6

2

−2

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[2 −3 −5

−1 2 0

], b =

−2−5−1

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 −1 7 −4 −5−6 −3 1 −1 3

1 5 −5 4 7

, B =

−5 −4 −47 5 7

1 3 3

−1 −3 −5−3 −2 5

.

Tarea 1, variante 53, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−12

1

2

, a2 =

1

1

0

−3

, b =

1

4

1

−4

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 5 a 103. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

5. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)4,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 53, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 54.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−3 0 −2−2 2 2

], B =

−3 0

−3 1

−2 −1

, C =

[1 1 −3 −1

−2 −4 4 4

].

Tarea 1, variante 54, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 −3 5

2 −1 −3

], B =

−4 −2−4 −51 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−2 1 −35 −4 −53 4 −1

, B =

0 2 3

1 −3 −25 −1 4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 3 1 1 −43 −1 2 0 −1

−2 −2 −1 1 4

−3 −1 3 −3 3

, B =

2 −1 1

1 2 −2−4 3 −3−3 4 −4−2 −2 −4

, C =

2 1 −4

−4 −1 4

−3 2 −11 −3 3

0 4 3

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

1 −7 5 −7 2

−6 −4 −6 −5 3

3 7 1 6 −4−1 −1 2 −3 5

, B =

6 −2 2

−2 0 −4−5 −4 5

−1 1 4

1 −3 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

1 −3 −32 3 1

3 4 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 3

1 3 4

0 1 2

, B =

−2 3 −32 −2 1

−1 1 0

.

Tarea 1, variante 54, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,1.

A =

−2 7 0 7 −11 2 −2 6 2

4 3 1 5 −3

, B =

−5 0 −3−4 3 3

7 −6 −25 2 1

6 −2 4

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 −23 2

1 0

=

[11 12

−3 −4

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−13

1

, A

−22

0

, A

−35

1

, A

−66

0

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−4 −2 2 1

3 −1 2 5

], b =

1

4

−53

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

6 −2 7 7

3 −5 −3 4

5 5 4 1

−1 3 −3 −5

, B =

1 3 4

4 1 5

0 −3 −23 2 2

.

Tarea 1, variante 54, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

−20

1

, a2 =

3

−21

2

, b =

3

−4−11

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 9 a 125. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. El primer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 54, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 55.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−4 −13 −2

−1 −32 −3

, B =

[4 4 3

2 0 1

], C =

2 −2−1 0

1 1

.

Tarea 1, variante 55, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−2 −2 −4−4 3 −3

], B =

−1 −55 −1

−2 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 −2 5

3 −3 1

2 −4 −1

, B =

−1 4 5

2 −2 −31 0 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 1 −1 3

−2 4 1 −40 4 −1 −2

, B =

−2 −4 −4 2

4 2 3 1

−4 4 −1 −31 2 0 −2

, C =

−2 0 3 2

−3 −1 3 4

3 −2 1 1

−2 −1 4 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

1 3 −4 −14 −1 5 5

−2 −5 −5 −32 −4 0 7

, B =

−1 7 −65 −2 −5

−5 −7 4

4 1 −4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 3I)(A+ 2I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

2 0 4

3 3 −2−4 −4 1

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 1

1 1 1

1 −1 2

, B =

−3 5 −11 −1 0

2 −3 1

.

Tarea 1, variante 55, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,4.

A =

−5 2 −4 1

−6 1 0 −3−6 3 4 −2

, B =

−3 −3 0 1

−6 −5 3 −21 −1 −4 −7

−4 5 −1 −6

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 −41 −55 −3

=

[−1 1

0 10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

015

, A

−4−5−3

, A

−4−42

, A

8

10

6

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−2 4 5 −1−1 5 2 3

1 3 −3 4

, b =

−32

−5−1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 −7 −6 −1 −21 2 0 −1 7

−2 5 7 4 2

, B =

−6 4 −10 2 −4

−5 7 −3−2 −4 2

4 −6 6

.

Tarea 1, variante 55, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

−1−21

, a2 =

3

0

−21

, b =

−5−22

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 6 a 102. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

5. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)4,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 55, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 56.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

3 −1 −2 0

2 3 −4 2

−2 −3 1 4

, B =

1 −2 −14 3 −32 3 0

2 −1 −4

, C =

2 −41 2

1 −2

.

Tarea 1, variante 56, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[3 2 3

0 −3 −5

], B =

1 1

2 −32 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 3 −55 0 −12 4 1

, B =

3 5 0

1 −2 −54 −3 −1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−1 −3 −1 −2−2 −4 2 0

−2 3 3 1

−3 −4 −3 1

, B =

3 4 −30 −1 −2

−1 −2 4

2 1 −3

, C =

−1 1 −44 4 −13 2 −33 −3 −2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−5 −3 −7 −6 −42 1 4 4 5

6 0 −2 −4 −23 −3 −7 2 −6

, B =

1 5 7

6 2 −2−6 −6 −27 4 2

3 6 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

−1 −4 2

−2 −3 −3−2 1 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

1 2 1

2 4 3

, B =

2 1 −1−1 1 0

0 −2 1

.

Tarea 1, variante 56, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,1.

A =

−1 −4 −1 2 4

5 6 −3 −7 1

7 2 −6 −4 −3

, B =

−3 4 −55 −2 5

7 0 −1−6 4 −21 −7 −5

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 −41 −50 3

=

[4 −89 −9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

410

, A

−4−53

, A

0

−43

, A

−12−159

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[1 5 −20 1 3

], b =

−1−32

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−3 6 0 7

−6 4 7 5

−7 −2 1 −63 −2 −4 −3

, B =

−1 1 −15 −4 4

−5 −3 −4−3 6 −5

.

Tarea 1, variante 56, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−11

2

0

, a2 =

1

2

2

−1

, b =

5

1

−2−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

4. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 148. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)2,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 56, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 57.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[3 4 −2 −10 1 2 −2

], B =

−1 4 −12 −4 −2

−3 1 −42 3 0

, C =

−3 −2−2 −12 0

.

Tarea 1, variante 57, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 1 −1

−4 3 −4

], B =

−3 −31 5

4 4

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 5 −11 −2 −53 2 0

, B =

−2 3 −12 4 5

−5 −4 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 1 2 −23 −2 2 0

2 −3 −3 4

−2 4 1 −4

, B =

−4 1 0

4 −1 −14 1 −22 −3 −2

, C =

3 4 −30 −1 −22 1 −33 −4 1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

7 4 4 −3 5

−2 −5 −1 −1 1

−3 −2 6 1 −6

, B =

3 1 2

1 4 −4−1 −4 3

5 −3 −10 −6 5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

3 4 4

0 2 −12 3 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

−1 2 1

1 2 4

0 1 1

, B =

−2 −1 6

−1 −1 5

1 1 −4

.

Tarea 1, variante 57, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,4.

A =

−4 5 4 −61 0 −3 1

−7 −2 −2 −1

, B =

−4 −3 −2 2

−6 −5 6 3

5 0 −7 4

−1 −7 3 7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

0 −11 −2

−3 −4

=

[−15 −1513 10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

0

1

−3

, A

−1−2−4

, A

−1−1−7

, A

−3−6−12

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 −3 −2 −33 2 −4 −4

], b =

3

−52

4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

0 3 7 1 −51 −4 3 −7 7

2 5 6 −4 −3

, B =

−4 1 4

−5 6 −42 −2 −10 2 3

−7 1 −2

.

Tarea 1, variante 57, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

2

1

−1

, a2 =

2

−2−11

, b =

4

2

1

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 57, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 58.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−2 2 2

0 −2 −1

], B =

2 1 0 3

−3 4 −1 3

−2 −4 −1 2

, C =

−2 1

−3 −14 −12 0

.

Tarea 1, variante 58, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 1 0

−2 −1 4

], B =

−5 −3−5 3

3 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

5 3 −3−4 −1 −2−5 0 4

, B =

−1 −4 −30 4 2

5 −2 1

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 −4 −1 4 4

4 2 1 −1 1

−3 −2 −2 1 1

−3 3 2 −4 −4

, B =

−3 −3 0

3 −4 −14 4 3

−1 −4 1

3 1 −3

, C =

−2 −3 −1−3 −4 2

−1 −2 1

−1 −2 3

0 1 −3

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−6 −1 0 5

5 −3 −4 −32 4 2 −5

, B =

0 6 −7 −31 −2 −2 −1

−5 4 3 3

−4 2 −4 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 2I)(A− 4I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

2 −4 −24 0 1

−1 −2 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 1

2 4 3

1 2 2

, B =

−2 4 −51 −1 1

0 0 2

.

Tarea 1, variante 58, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A3,∗B y AB∗,2.

A =

−4 −2 −3 −1 2

5 2 −5 −1 3

1 −5 −3 5 4

, B =

3 4 7

−5 −3 −46 −2 −1

−4 1 −7−5 2 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

5 −50 2

−1 −3

=

[−7 15

−7 −9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

5

0

−1

, A

−52

−3

, A

0

2

−4

, A

5

−23

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−4 0 3 2

−1 −4 −2 3

5 −5 4 −5

, b =

3

5

−12

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−5 −4 3 2

−6 −6 −3 −1−1 1 3 5

4 −3 1 −2

, B =

−5 −5 4

6 5 −3−7 2 −4−6 −1 −4

.

Tarea 1, variante 58, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−21

1

0

, a2 =

−22

1

1

, b =

2

−3−1−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 58, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 59.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−1 2

−2 0

], B =

[0 2 4 −1

−1 4 −3 −4

], C =

−4 −2 −3−2 4 3

0 1 −12 −1 1

.

Tarea 1, variante 59, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[2 −1 0

3 1 5

], B =

2 −1−2 −22 5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 −1 −3−2 5 2

3 0 −5

, B =

4 −5 −32 −2 −41 3 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −4 0 3

−3 1 2 4

−3 −2 3 −4

, B =

−4 1 1 −2−1 2 2 −23 3 3 −31 2 0 4

, C =

−1 −4 −4 1

2 −3 2 −2−1 2 −4 4

−1 1 3 0

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−3 5 3 −4 −14 5 −2 −7 −12 −3 −5 4 −2

, B =

3 −2 −6

−5 1 4

4 −3 −61 −2 0

−3 −1 2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− 4I)(A− I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

3 3 0

−3 1 −1−4 −3 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 4 3

1 0 1

1 1 1

, B =

−1 −1 4

0 −1 2

1 2 −4

.

Tarea 1, variante 59, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

1 3 −3 −1−1 −6 6 4

3 −6 −3 0

, B =

7 −4 −1 2

−2 −4 −3 2

1 −6 6 6

4 1 −6 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 2

−5 0

−4 −1

=

[−4 9

−14 9

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−2−5−4

, A

2

0

−1

, A

0

−5−5

, A

6

0

−3

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 −5 5

3 1 2

], b =

−4−1−2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−1 0 −2 −1 −2−4 2 −6 1 4

−5 −5 −4 2 3

, B =

−4 5 −30 −7 −66 −2 4

−7 2 6

4 −5 −5

.

Tarea 1, variante 59, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

1

−11

, a2 =

−20

1

2

, b =

2

−1−1−5

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 6 a 189. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

4. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

5. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)2,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 59, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 60.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[2 3 −2

−4 4 4

], B =

2 −41 −12 −3

, C =

[−4 0 −4 2

−1 4 −2 −3

].

Tarea 1, variante 60, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 −3 −21 −5 4

], B =

−4 5

0 2

4 2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 −2 0

−5 5 4

2 −1 −3

, B =

2 4 1

−1 3 5

0 −2 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−3 −2 1 1

3 −1 −3 −3−2 −1 0 −2−1 2 3 1

, B =

−4 −3 1

4 −4 3

3 −1 −3−1 −2 −2

, C =

−3 3 4

3 0 −2−4 −1 1

−4 1 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

0 −2 4 −6−2 2 −3 −16 −4 −5 2

, B =

7 7 −1 2

6 6 −7 0

5 −2 −3 1

1 3 −4 5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 4A+ 3I, 2) (A+ I)(A+ 3I), 3) A(A+ 4I) + 3I.

A =

3 −2 4

−3 2 1

2 −4 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 0 1

1 2 2

3 3 4

, B =

−2 −3 2

−2 −1 1

3 3 −1

.

Tarea 1, variante 60, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

−2 −4 1 5 6

5 6 2 −3 4

3 −5 3 −4 −6

, B =

3 −5 1

2 4 −10 −3 3

6 1 −2−4 −4 7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 −21 −53 2

=

[−6 13

−13 12

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

413

, A

−2−52

, A

2

−45

, A

4

10

−4

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[3 4 −4 −22 5 3 4

], b =

4

−23

−1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−3 −7 5 3

−6 2 −7 −21 −5 6 −13 −5 4 −6

, B =

−2 −7 −63 6 1

1 7 4

−6 −3 −1

.

Tarea 1, variante 60, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

1

−20

, a2 =

1

3

−1−1

, b =

2

−4−22

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

4. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

5. El primer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 60, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 61.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−3 4

4 −2

], B =

[3 0 2

3 −2 1

], C =

3 −2 −1 −4−1 0 4 2

1 1 −3 −2

.

Tarea 1, variante 61, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 2 −44 −2 −2

], B =

−1 1

0 5

−2 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

3 2 −40 5 −21 −3 4

, B =

−4 4 2

−2 3 −5−1 −3 0

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

2 4 −3 −1 −13 −2 3 3 −3

−2 −1 −3 1 2

, B =

−2 2 3 4

1 −3 2 −23 −4 4 1

3 4 1 −1−2 2 4 0

, C =

−1 −4 −3 −32 1 4 −13 2 4 2

−2 3 −4 3

1 0 1 2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

0 −2 −5 2 4

3 6 7 −5 −4−3 −6 7 −2 6

, B =

−3 −4 5

7 −6 1

3 −2 −76 −5 −71 −4 4

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

1 −3 −40 −2 −33 4 3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 1 1

2 1 −10 1 2

, B =

3 −1 −2−4 2 3

2 0 −1

.

Tarea 1, variante 61, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,4.

A =

−2 −5 4 −75 −3 6 −10 −3 1 3

, B =

−5 −1 2 1

−7 5 1 −5−1 3 5 −44 −2 0 6

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−2 −54 0

−4 5

=

[−8 5

−14 10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−24

−4

, A

−50

5

, A

−74

1

, A

−150

15

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−1 4 4 −43 −2 −5 2

2 −3 −3 3

, b =

3

4

1

−2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−3 −5 3 7 −1−3 1 −4 5 7

6 4 1 3 2

, B =

−4 −4 3

5 7 −3−1 −6 1

6 5 1

−3 −6 0

.

Tarea 1, variante 61, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

2

0

1

−2

, a2 =

−21

−11

, b =

−43

−21

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 7 a 144. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)4,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 61, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 62.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[4 4 −2 −12 −1 3 −3

], B =

−1 −24 2

3 2

3 0

, C =

[−4 0 4

−1 −4 1

].

Tarea 1, variante 62, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 1 −11 3 −2

], B =

2 1

5 2

−2 3

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

2 3 −5−4 5 −30 −1 1

, B =

−4 0 3

−3 −1 2

−5 4 −2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 −2 −1 −14 4 −4 −3

−4 1 2 3

, B =

−2 2 4 2

3 −3 −1 −12 3 4 3

0 1 −4 1

, C =

0 2 3 −42 −1 −1 4

3 1 4 4

−4 2 −1 −4

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

2 1 2 −2 5

6 6 7 −3 7

−6 0 −1 −6 −4

, B =

3 −6 −10 3 −37 −2 −22 5 −1

−5 7 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 3x + 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 3A+ 2I, 2) (A+ I)(A+ 2I), 3) A(A+ 3I) + 2I.

A =

−2 1 3

−2 −3 3

0 −3 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 1 3

−2 2 1

3 −1 1

, B =

−3 4 5

−5 7 9

4 −5 −6

.

Tarea 1, variante 62, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

−2 3 −4 6 1

−1 1 −1 −2 −7−3 −5 3 0 7

, B =

0 −1 −2

−5 3 6

−6 2 1

3 6 −6−1 −2 7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

1 4

2 5

3 −2

=

[10 9

−8 10

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

123

, A

4

5

−2

, A

571

, A

−8−104

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−1 0 3

3 −1 4

], b =

−31

2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−4 2 3 7

−3 4 4 −3−2 1 −1 6

−4 −6 0 3

, B =

−6 7 1

−5 −3 3

3 2 −7−7 −1 −1

.

Tarea 1, variante 62, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

0

3

3

−1

, a2 =

1

−3−31

, b =

−2−3−31

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 8 a 175. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 62, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 63.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ 03 = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ 0n = a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)A = λA+ µA.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[−3 −13 −1

], B =

[1 −1 −1

−4 3 −2

], C =

1 −4 1 0

−1 −4 4 2

−1 3 −2 −3

.

Tarea 1, variante 63, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 5 3

−1 −2 −3

], B =

4 −3−2 3

−4 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−4 −3 −15 3 2

−2 1 −5

, B =

−2 −1 1

−5 −4 −32 5 4

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 2 2 −3−1 −2 −3 −2−1 3 3 −4

, B =

3 −3 −1 2

−3 3 4 2

2 1 −4 −21 3 4 −1

, C =

3 −4 −4 −1

−1 1 −3 4

−2 1 2 −4−2 2 0 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−1 −6 −5 2 −41 5 −7 2 0

1 6 −2 −3 4

, B =

5 1 3

−2 2 5

7 4 6

7 −4 3

1 −1 −6

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 6A+ 8I, 2) (A− 2I)(A− 4I), 3) A(A− 6I) + 8I.

A =

3 −3 2

3 0 1

−2 −1 −4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 2 −10 1 1

1 4 2

, B =

−2 −8 3

1 3 −1−1 −2 1

.

Tarea 1, variante 63, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

−6 3 5 −4−2 −1 2 0

7 3 −2 2

, B =

−1 −2 3 1

0 3 4 −4−7 4 1 −5−2 2 −6 −3

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 0

2 4

1 5

=

[−15 12

13 2

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

321

, A

045

, A

366

, A

0

8

10

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 5 4 −5−1 3 −5 3

], b =

−21

3

4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 1 2 −1 −15 1 2 −2 0

−5 3 −3 −2 −6

, B =

6 −4 −6

−3 5 7

−5 0 3

−7 −6 −5−2 7 3

.

Tarea 1, variante 63, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

−30

1

, a2 =

2

−1−21

, b =

3

1

−41

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

2. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 7 a 159. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,4 = ?, (AB)2,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,3(R) y sea B ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).

Tarea 1, variante 63, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 64.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ B = B+A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

1 −3 3 1

−3 2 0 −1−2 4 −4 3

, B =

4 −33 −24 −20 −1

, C =

[−3 3 −2−4 2 3

].

Tarea 1, variante 64, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[5 4 2

1 −1 2

], B =

−3 3

−1 4

1 −2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

4 −4 −2−5 3 −3−1 1 5

, B =

1 −2 2

−1 4 3

5 0 −3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−2 −4 −3 −33 3 2 0

−1 −2 −4 1

−2 3 −1 2

, B =

−4 4 −2−3 3 −10 −3 −44 2 1

, C =

−2 −1 3

0 −4 4

2 2 1

−2 −4 −1

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 4 −1 −16 7 −4 7

2 6 −6 5

−7 0 2 −2

, B =

−3 3 −11 3 −22 −4 5

−2 −3 1

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 3x − 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 3A− 4I, 2) (A+ 4I)(A− I), 3) A(A+ 3I) − 4I.

A =

4 4 2

−2 −4 0

−1 −3 2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 2 −13 2 1

3 3 −1

, B =

5 1 −4−6 −1 5

−3 0 2

.

Tarea 1, variante 64, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A2,∗B y AB∗,3.

A =

3 −6 5 7 5

1 −3 −7 2 4

−6 2 1 −4 −5

, B =

3 4 4

7 −6 3

2 −3 −3−7 −5 −17 −1 1

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 −30 1

5 3

=

[−10 7

−3 −14

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−10

5

, A

−31

3

, A

−41

8

, A

−93

9

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

5 −4 −2 −31 0 −3 3

−5 −4 1 −2

, b =

−23

−54

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

2 −5 2 −13 6 −4 −7

−2 0 −3 5

4 1 −7 3

, B =

6 4 −5

−2 5 6

3 2 1

4 2 −1

.

Tarea 1, variante 64, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

0

−13

, a2 =

−11

−14

, b =

5

−2−11

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 8 a 125. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

3. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

5. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)4,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

AI2 = A y I3A = A.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

AIn = A y ImA = A.

Tarea 1, variante 64, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 65.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

a+ (−a) = 03 .

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

0 4 2 −33 3 −4 −2

−3 1 −1 −1

, B =

0 2

4 −3−2 3

4 −4

, C =

[−1 4

3 2

].

Tarea 1, variante 65, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−3 −1 2

5 −2 1

], B =

1 2

−2 −13 0

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

0 4 −1−4 1 2

5 −2 3

, B =

−4 5 4

0 −1 2

−2 1 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

4 −4 −2 2

−3 1 3 −41 −1 −4 3

3 −2 −1 2

, B =

−1 2 3

−3 −2 1

1 3 0

−3 −4 2

, C =

−3 4 −11 3 −2

−4 2 1

−1 3 2

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−2 −4 3 −5−6 −1 −3 −25 −6 7 −7

, B =

2 −2 −2 4

−1 1 1 7

3 0 −5 −54 −3 −4 −6

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 3x − 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 3A− 4I, 2) (A− I)(A+ 4I), 3) A(A+ 3I) − 4I.

A =

3 −4 1

−1 2 −3−4 0 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

3 4 2

2 2 1

1 1 0

, B =

−1 2 0

1 −2 1

0 2 −2

.

Tarea 1, variante 65, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,4.

A =

−5 −4 5 −34 1 −4 −66 2 −1 0

, B =

−1 1 5 6

6 7 −4 −20 −1 −2 5

1 −4 2 −6

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−3 −12 −25 3

=

[−1 −11−9 1

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−32

5

, A

−1−23

, A

−40

8

, A

2

4

−6

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[3 −1 −3

−1 −5 −2

], b =

−42

−5

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

6 −2 −4 4 −5−7 5 −3 −4 1

−1 3 −6 4 −2

, B =

−3 0 1

1 −6 −24 −1 2

6 2 −2−7 5 5

.

Tarea 1, variante 65, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

3

1

2

−2

, a2 =

3

0

1

−3

, b =

−3−2−31

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

5. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)4,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.

Tarea 1, variante 65, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 66.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µa) = (λµ)a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

A+ (−A) = 0m,n .

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−1 −3 −4−2 2 1

3 3 4

2 0 −3

, B =

4 −32 1

−1 −1

, C =

[−3 3

−1 4

].

Tarea 1, variante 66, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[5 4 −32 3 5

], B =

3 −3−2 1

3 −2

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

4 −2 −5−3 1 2

5 3 −4

, B =

4 −3 −12 −2 −40 1 3

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 −2 −1 2

2 −2 −4 −33 −3 1 3

, B =

1 4 −2 3

3 4 2 0

−4 2 −4 −22 −2 −3 3

, C =

−2 1 4 −1−1 4 4 3

1 −4 −3 −3−4 −1 1 0

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

1 −1 2 5

1 3 4 2

−5 6 4 −3

, B =

7 −6 1 −72 4 6 −27 −2 −1 −3

−4 6 3 −3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− I)(A− 4I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

−2 4 −2−1 2 −1−4 −4 0

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

2 2 −11 2 1

3 3 −1

, B =

−5 −1 4

4 1 −3−3 0 2

.

Tarea 1, variante 66, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

5 −7 4 −3 3

−6 0 −7 3 4

−2 1 6 5 −3

, B =

−2 3 −4−7 2 −22 −1 0

−1 7 −3−4 5 −7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

4 1

3 2

−3 −4

=

[−15 −77 −1

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

4

3

−3

, A

1

2

−4

, A

5

5

−7

, A

−2−48

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−3 0 2 1

4 4 −5 −3

], b =

−35

2

4

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−1 −2 6 −76 7 1 1

−2 −4 2 −3−6 −5 −1 −4

, B =

5 3 5

−4 −1 −42 −2 1

−3 −5 −1

.

Tarea 1, variante 66, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−12

1

−2

, a2 =

1

0

−12

, b =

−2−22

−4

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 9 a 148. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

4. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

5. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,4i,j=1∈M4,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,3i,j=1∈M4,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)4,3 = ?, (AB)1,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R), sea B ∈ M3,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

A(λB) = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

A(λB) = λ(AB).

Tarea 1, variante 66, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 67.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

[2 −2 −2 −1

−1 1 −3 3

], B =

0 3

2 2

−3 3

−2 1

, C =

[−3 0 4

2 −4 −1

].

Tarea 1, variante 67, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 2 0

−2 4 −1

], B =

5 2

−2 2

5 1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−5 −1 −43 5 2

1 0 4

, B =

−3 1 −1−2 5 3

0 −4 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

−4 0 3 −3 3

1 −3 3 2 2

1 −1 4 1 2

, B =

4 −3 4 2

1 2 −4 −1−2 −1 3 −3−4 0 −2 1

3 −4 2 −1

, C =

2 1 −1 −3

−4 −1 1 −10 2 −1 2

3 −3 −2 2

1 −4 1 −3

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−4 −2 3 1 6

−7 0 −2 −6 7

4 5 −5 2 −1

, B =

−4 5 4

6 3 −3−2 3 −21 −6 4

−1 6 7

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A− 3I)(A+ I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

0 1 −22 1 4

2 −4 −2

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 4 −11 2 1

2 1 −2

, B =

6 −7 −6−4 6 5

3 −4 −4

.

Tarea 1, variante 67, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

−4 2 4 6

3 −3 −3 6

−6 −2 2 7

, B =

−3 7 −1 4

−4 −2 1 6

−1 5 −6 −2−6 3 −3 0

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

3 −32 5

−5 −4

=

[−1 −7−12 −5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

3

2

−5

, A

−35

−4

, A

0

7

−9

, A

−610

−8

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

−3 −3 5 −23 3 5 −50 1 −2 2

, b =

−52

−1−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

2 1 5 3 4

4 3 −6 1 −42 −3 −2 −2 −6

, B =

−1 −7 2

−4 4 3

2 −3 4

3 0 −3−6 −1 −4

.

Tarea 1, variante 67, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

−31

1

−1

, a2 =

4

0

1

1

, b =

−22

3

−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

2. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 7 a 188. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,5i,j=1∈M3,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,4i,j=1∈M5,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.

Tarea 1, variante 67, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 68.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

4 4

2 −3−3 −4−4 −1

, B =

[−3 1 −14 −2 −1

], C =

−1 2

0 3

−3 2

.

Tarea 1, variante 68, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[4 −4 −3

−5 −2 3

], B =

−2 2

5 4

0 −1

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 −1 0

4 2 −4−2 1 −5

, B =

−3 4 1

2 −1 0

3 −2 5

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

1 3 1 3 −1

−3 −1 −2 −3 3

−3 0 −4 1 −22 2 3 −3 2

, B =

0 2 −34 −1 1

2 −1 1

1 3 3

4 −1 −2

, C =

−4 −3 −13 2 4

−4 −4 2

0 3 −12 3 −3

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−2 1 3 −1−5 7 6 3

1 5 −5 0

−1 4 −6 −3

, B =

7 2 −4

−1 3 −54 4 −2

−6 0 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A+ 3I)(A− 4I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

3 −3 −12 0 −4

−4 −1 −3

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

1 3 1

0 3 1

1 2 1

, B =

1 −1 0

1 0 −1−3 1 3

.

Tarea 1, variante 68, pagina 2 de 4

Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,3.

A =

2 −1 −3 6 −22 −6 −3 1 −20 −4 4 −4 1

, B =

−4 −7 −5−1 −5 1

−1 −3 7

5 6 −36 1 −7

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−1 5

−2 4

1 3

=

[6 0

9 −11

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−1−21

, A

543

, A

424

, A

1086

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[−2 −1 2

−3 −2 −4

], b =

1

−2−5

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−1 1 −5 −35 3 −2 4

0 −6 2 1

2 −2 −4 5

, B =

−2 1 7

−3 −7 4

−1 −7 5

6 −2 −3

.

Tarea 1, variante 68, pagina 3 de 4

Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

1

0

3

2

, a2 =

−12

2

3

, b =

−32

−4−1

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.

2. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

3. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]4,5i,j=1∈M4,5(R) y sea B =

[Bi,j]5,3i,j=1∈M5,3(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)2,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).

Tarea 1, variante 68, pagina 4 de 4