Lezione 16 1

Diagrammi di Bode

Lezione 16 2

Funzione di trasferimento daconsiderare

• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento:

• Punti critici:

4

1 2 3

punti critici di zero:punti critici di polo:

0, 5001, 100, 200

ωω ω ω

== = =

( 500)( )( 1)( 100)( 200)

s sH ss s s

+=

+ + +

Lezione 16 3

• Punti critici:

• Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione

Punti critici( 500)( )

( 1)( 100)( 200)s sH s

s s s+

=+ + +

4

1 2 3

punti critici di zero:punti critici di polo:

0, 5001, 100, 200

ωω ω ω

== = =

Lezione 16 4

Maschera a sinistra del puntocritico 1

• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero

00

( 500) (500)( ) ( )( 1)( 100)( 200) (1)(100)(200) 40 as

s

s s s sH s H ss s s≈

≈

+= = = =

+ + +

Lezione 16 5

Maschera a destra del puntocritico 1

• A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +20dB/dec– A destra di 1, per la presenza di un punto critico di

polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto essa è nulla

– Risulta:

Lezione 16 6

Maschera a destra del puntocritico 100

• A sinistra del secondo punto critico non nullo 100 la pendenza della maschera è 0 dB/dec

– A destra di 100, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec

Lezione 16 7

Maschera a destra del puntocritico 200

• A sinistra del terzo punto critico 200 la pendenza della maschera è -20 dB/dec

– A destra di 200, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta – 40 dB/dec

Lezione 16 8

Maschera a destra del puntocritico 500

• A sinistra del punto critico 500 la pendenza della maschera è -40 dB/dec– A destra di 500, per la presenza di un punto critico di

zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec

Lezione 16 9

Quotatura della maschera 1/5

• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimataper valori di s piccoli:

0( ) ( )

40m s

sH s H s≈

= =

Lezione 16 10

Quotatura della maschera 2/5

• Nel punto critico 1 il valore in dB sulla maschera vale:

1( 1) (1/ 40) 6 6 20 3240m dBjH j dB= ⇒ = − − − = −

Lezione 16 11

Quotatura sulla maschera 3/5• Dal punto critico 1 al punto critico 100 la

maschera ha la quota di -32 DB

Lezione 16 12

Quotatura sulla maschera 4/5• Nel punto critico 200 tenendo conto della

pendenza di -20 dB/dec si ha una diminuzione di : 1 200 100 10 10

1

20( ) 20(log 200 log 100) 6| ( 200) | 32 38m

u u dBH j dB∆ = − − = − − = −

= − −∆ = −

Lezione 16 13

Quotatura sulla maschera 5/5

• Nel punto critico 500 tenendo conto della pendenza di -40 dB/dec si ha ulteriore diminuzione di : 2 10

2

50040 log 2( 14 6) 16200

| ( 500) | 38 54m

dB

H j dB

∆ = − = − + = −

= − − ∆ = −

Lezione 16 14

Spettro di ampiezza

• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura

Lezione 16 15

Stima errore massimo maschera1/4

• Il punto critico 1 è relativo ad un polo.L’errore si stima in -3dB:

( ) ( ) 3 32 3 35

( -35.valore 08 dB) esatto

mH j H j dB dB≈ − = − − = −

Lezione 16 16

Stima errore massimo maschera2/4

( 100) ( 100) 3 32 3 3 valore 5 ( -35.85 esatto dB)mH j H j dB dB≈ − = − − = −

• Il punto critico 100 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:

Lezione 16 17

Stima errore massimo maschera3/4

• Il punto critico 200 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:

( 200) ( 200) 3 38 3 4

valore

1

( -41.40 esatto dB)

mH j H j dB dB≈ − = − − = −

Lezione 16 18

Stima errore massimo maschera4/4

( 500) ( 500) 3 54 3 5 valore 1 ( -51.79 esatto dB)mH j H j dB dB≈ + = − + = −

• Il punto critico 500 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in +3dB:

Lezione 16 19

Decibel di zeri o poli realimultipli

• Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli reali multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli reali semplici previa moltiplicazione per m

• L’errore massimo si ha nei punti critici e vale + 3 m dB o – 3 m dB a seconda se si tratta di zero o polo

Lezione 16 20

Punti critici• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di

ampiezza) della funzione di trasferimento:

• Punti critici:

• Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione

4 101 2

punti critici di zero:punti critici di pol

0 ( )10 , 2 10o:doppio

ω ω= = ×

2

4 10( ) 20( 10 )( 2 10 )

sH ss s

= −+ + ×

Lezione 16 21

Maschera a sinistra del puntocritico 104

• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 104) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero

2 2 2

4 10 4 10 1300

( ) ( ) 20 20( 10 )( 2 10 ) 10 2 10 10a s

s

s s sH s H ss s x x x≈

≈

= = − = − = −+ +

Lezione 16 22

Maschera a destra del puntocritico 104

• A sinistra del primo punto critico non nullo 104

la pendenza della maschera è +40dB/dec– A destra di 104, per la presenza di un punto critico di

polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto è +20 dB/dec

Lezione 16 23

Maschera a destra del puntocritico 2x1010

• A sinistra del secondo punto critico 2x1010 la pendenza della maschera è 20 dB/dec– A destra di 2x1010, per la presenza di un punto critico

di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta orizzontale

Lezione 16 24

Quotatura della maschera 1/3

• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 104 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli:

2

130( ) ( )

10m s

sH s H s≈

= = −

Lezione 16 25

Quotatura della maschera 2/3

• Nel punto critico 104 il valore in dB sulla maschera vale: 4 2

4 513

( 10 )( 10 ) 10 10010mjH j dB−= − = ⇒ −

Lezione 16 26

Quotatura della maschera 3/3• Dal punto critico 104 al punto critico 2x1010 la

maschera è una retta con pendenza di 20dB/dec

• Nel punto critico 2x1010 tenendo conto della pendenza di 20 dB/dec si ha:

10 4

10

10 42 10 10

2 1020( ) 20log 6 120 12610x

xu u dB∆ = − = = + =

Lezione 16 27

Spettro di ampiezza• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di

ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura

Lezione 16 28

Stima errore massimo maschera1/2

• Il punto critico 104 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB:

4 4( 10 ) ( 10 ) 3 100 3 103

( -103.01 dB)valore esatto

mdB dBH j H j dB dB≈ − = − − = −

Lezione 16 29

Stima errore massimomaschera 2/2

• Il punto critico 2x1010 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:

10 10( 2 10 ) ( 2 10 ) 3 26 3 23 (valo 23.01 dB)re esattomdB dBH j H j dB dB× ≈ × − = − =

dB100−≈

dB26≈

Lezione 16 30

Diagrammi di Bode

Lezione 16 31

Decibel di coppia di zericomplessi coniugati

• Una coppia di zeri complessi coniugati implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio:

2 220 1

o o

o

smorzamentopulsazi

s

one

s ξ ω ωξ ξω

+ +< ≤

• Una coppia di zeri complessi coniugatiintroduce un punto critico definito dalla pulsazione oω

Lezione 16 32

Maschera coppia zeri complessiconiugati

dBoo

ss 122

++

ω

ξω

2 2

2 1o o o

s s sξω ω ω

+ + ≈

• Per valori di s piccoli:

• Per valori di s grandi:

2

2 1 1o o

s sξω ω

+ + ≈

Lezione 16 33

Spettro ampiezza coppia zericomplessi coniugati

• Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ

Lezione 16 34

Errore massimo• L’errore massimo si ha nel punto critico e

vale:oω

12 dBξ

−

Lezione 16 35

Esempio• Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo

rispetto la maschera può assumere valori elevati• se lo smorzamento vale 0.1 si ha:

1 1 | 5 | 142 2 0.1 dB

dBdB

dBξ

− = − = − ≈ −×

Lezione 16 36

Decibel di coppia di policomplessi coniugati

• Una coppia di poli complessi coniugati implica la presenza al denominatore della funzione di trasferimento del trinomio:

2 220 1

o o

o

smorzamentopulsazi

s

one

s ξ ω ωξ ξω

+ +< ≤

• Una coppia di poli complessi couniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione oω

Lezione 16 37

Maschera coppia poli complessiconiugati

2

2 1 1o o

s sξω ω

+ + ≈

2 2

2 1o o o

s s sξω ω ω

+ + ≈

• Per valori di s piccoli:

• Per valori di s grandi:

dBoo

ss 122

++

−

ωξ

ω

Lezione 16 38

Spettro ampiezza coppia policomplessi coniugati

• Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ

Lezione 16 39

Errore massimo• L’errore massimo si ha nel punto critico e vale:oω

12 dBξ

Lezione 16 40

Esempio• Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo rispetto

la maschera può assumere valori elevati– se lo smorzamento vale 0.1 si ha:

1 1 | 5 | 142 2 0.1 dB

dBdB

dBξ

= = ≈×

Lezione 16 41

Decibel di zeri o poli c.c multipli

• Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli complessi coniugati multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli semplici previa moltiplicazione per m

• L’errore massimo si ha nei punti critici ed a seconda se si tratta di zero o polo vale:

12 dB

mξ

∓

Lezione 16 42

Diagrammi di Bode

Lezione 16 43

Spettro di ampiezza di risuonatoreparallelo 1/2

• Si voglia tracciare lo spettro di ampiezza del risuonatore parallelo C,L,R con funzione di trasferimento:

2 22

1( ) 1 1 1 1 ( 2 )( ) o o

s sH sC s ssC C s s

sL R RC LCξω ω

= = =+ ++ + + +

1 12 2oRC Q

ξω

= =1o LC

ω =– dove:

Lezione 16 44

Spettro di ampiezza di risuonatoreparallelo 2/2

• Per semplicià sarà tracciata la funzione di trasferimento normalizzata definita da:

2

( / )( )( )2 ( / ) 2 ( / ) 1

o

o o

sH sh sR s s

ωξ ω ξ ω

= =+ +

Lezione 16 45

Punti critici

• Punti critici:

punto critico di zero:punto critico di poli c.c.:

0 ( )( )o

semplicesempliceω

2

( / )( )( / ) 2 ( / ) 1

o

o o

sh ss s

ωω ξ ω

=+ +

• Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al

crescere della pulsazione

Lezione 16 46

Maschera a sinistra del puntocritico

• La maschera a sinistra del punto critico si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero

oω

20

( / )( ) ( ) /( / ) 2 ( / ) 1

oa o

o o s

sh s h s ss s

ω ωω ξ ω

≈

= = =+ +

Lezione 16 47

Maschera a destra del puntocritico

• A sinistra del punto critico la pendenza della maschera è +20dB/dec– A destra di , per la presenza di un punto critico di

coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e pertanto diventa di -20 dB/dec

oω

oω

Lezione 16 48

Quotatura della maschera 1/2

( ) ( ) /m a oh s h s s ω= =

• Per pulsazioni a sinistra del punto critico la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli:

Lezione 16 49

Quotatura della maschera 2/2

• Nel punto critico il valore in dB sulla maschera vale 0 dB

( ) 1 0om o

o

jh j dBωωω

= = ⇒

Lezione 16 50

Spettro di ampiezza• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di

ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero (per diversi valori dello smorzamento)

Lezione 16 51

• Il punto critico è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati (semplici). L’errore si stima in

Stima errore massimomaschera

12 dB

dB

Qξ

=

– se lo smorzamento vale 0.1 si ha:

valore esatt5 14

(o ) 13.98o

Q dBh j dBω

= ≈=

oω