CURS 8: Forma canonica Jordanusers.utcluj.ro/~todeacos/curs8.pdfCURS 8: Forma canonica Jordan...

CURS 8: Forma canonica Jordan

Cluj-Napoca

Algoritm pt. det. matricei Jordan JA si

a matricei de pasaj P

Fie A ∈Mn(C) cu p valori proprii distincte si i , j ∈ {1, . . . , p} doiindici.

Pasul 1 Determinam valorile proprii λ1, . . . , λp ale A ∈Mn(C), (deciSp(A)) rezolvand ecuatia caracteristica

det(A− λIn) = 0,

scriem si multiplicitatile lor algebrice n1, . . . , np;n1 + . . .+ np = n;

Pasul 2 Pt. fiecare valoare proprie λ1, . . . , λp se determina subspatiileproprii Vλ1 , . . . ,Vλp ,obtinute din rezolvarea sistemelor de ec.liniare omogene de forma

(A− λi In) · X = O.

(Solutia generala unui asemenea sistem depinde de un nr dedi parametrii. De fapt d1 = dimC Vλ1 , . . . , dp = dimC Vλp ,care se numesc multiplicitati geometrice.)

Algoritm pt. det. matricei Jordan JA si a matricei de pasaj P

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

Fie A ∈Mn(C) cu p valori proprii distincte

si i , j ∈ {1, . . . , p} doiindici.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

Pasul 1 Determinam valorile proprii λ1, . . . , λp ale A ∈Mn(C),

(deciSp(A)) rezolvand ecuatia caracteristica

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

Pasul 1 Determinam valorile proprii λ1, . . . , λp ale A ∈Mn(C), (deciSp(A))

rezolvand ecuatia caracteristica

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

scriem si multiplicitatile lor algebrice

n1, . . . , np;n1 + . . .+ np = n;

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

Pasul 2 Pt. fiecare valoare proprie λ1, . . . , λp se determina subspatiileproprii

Vλ1 , . . . ,Vλp ,obtinute din rezolvarea sistemelor de ec.liniare omogene de forma

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

Pasul 2 Pt. fiecare valoare proprie λ1, . . . , λp se determina subspatiileproprii Vλ1 , . . . ,Vλp ,

obtinute din rezolvarea sistemelor de ec.liniare omogene de forma

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

(Solutia generala unui asemenea sistem

depinde de un nr dedi parametrii. De fapt d1 = dimC Vλ1 , . . . , dp = dimC Vλp ,care se numesc multiplicitati geometrice.)

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

(Solutia generala unui asemenea sistem depinde de un nr dedi parametrii.

De fapt d1 = dimC Vλ1 , . . . , dp = dimC Vλp ,care se numesc multiplicitati geometrice.)

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

(Solutia generala unui asemenea sistem depinde de un nr dedi parametrii. De fapt d1 = dimC Vλ1 , . . . , dp = dimC Vλp ,care se numesc

multiplicitati geometrice.)

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

det(A− λIn) = 0,

(A− λi In) · X = O.

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

a.ı. sistemul neomogende ec. liniare (A− λj In) · X ′ = Xj sa fie compatibil;-daca nj − dj > 1 se alege o solutie X ′

j (vector asociat lui Xj)pt. care sistemul (A− λj In) · X ′′ = X ′

j este compatibil; etcObs: Daca pt. nici un vector X ′

j sistemul nu e compatibil, sereia constructia vectorilor asociati pornind de la alt vectorpropriu!

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi

pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di

(multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica=

multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti

(care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P)

(Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni

vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti

dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor

ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a

sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare

valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1,

iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);

b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj

pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj

(multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica)

celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti

(ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege)

se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga

nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori,

numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati.

Procedam astfel:- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλj

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:

- se alege un vector propriu Xj ∈ Vλja.ı. sistemul neomogen

de ec. liniare (A− λj In) · X ′ = Xj sa fie compatibil;-daca nj − dj > 1 se alege o solutie X ′

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege

un vector propriu Xj ∈ Vλja.ı. sistemul neomogen

Pasul 3 a). Pt. valoarea proprie λi pt. care ni = di (multiplicitateaalgebrica= multiplicitatea geometrica) se aleg di vectoriproprii liniar independenti (care vor fi coloane ale matricii depasaj P) (Obtinem ni vectori proprii liniar independenti dand,pe rand, parametrilor ce apar ın solutia generala a sistemelorcorespunzatoare valoarea 1, iar la restul 0);b). Pt. valoarea proprie λj pt. care dj < nj (multiplicitateaalgebrica 6= multiplicitatea geometrica) celor dj vectori propriiliniar independenti (ce se pot alege) se mai adauga nj − djvectori, numiti vectori asociati. Procedam astfel:- se alege un vector propriu

Xj ∈ Vλja.ı. sistemul neomogen

a.ı. sistemul neomogende ec. liniare

(A− λj In) · X ′ = Xj sa fie compatibil;-daca nj − dj > 1 se alege o solutie X ′

a.ı. sistemul neomogende ec. liniare (A− λj In) · X ′ = Xj

sa fie compatibil;-daca nj − dj > 1 se alege o solutie X ′

a.ı. sistemul neomogende ec. liniare (A− λj In) · X ′ = Xj sa fie compatibil;

-daca nj − dj > 1 se alege o solutie X ′j (vector asociat lui Xj)

pt. care sistemul (A− λj In) · X ′′ = X ′j este compatibil; etc

Obs: Daca pt. nici un vector X ′j sistemul nu e compatibil, se

reia constructia vectorilor asociati pornind de la alt vectorpropriu!

a.ı. sistemul neomogende ec. liniare (A− λj In) · X ′ = Xj sa fie compatibil;-daca nj − dj > 1

se alege o solutie X ′j (vector asociat lui Xj)

j (vector asociat lui Xj)

j (vector asociat lui Xj)pt. care sistemul

(A− λj In) · X ′′ = X ′j este compatibil; etc

j este compatibil; etc

j este compatibil; etcObs: Daca pt. nici un vector

X ′j sistemul nu e compatibil, se

j sistemul nu e compatibil,

sereia constructia vectorilor asociati pornind de la alt vectorpropriu!

j sistemul nu e compatibil, sereia constructia vectorilor asociati

pornind de la alt vectorpropriu!

Algoritm pt. det. matricei Jordan JA si matricei de pasaj P

Pasul 4 Realizam PASUL 3 pentru toate valorile proprii, apoi scriemmatricea de pasaj ın ordinea parcurgerii algoritmului, vectoriiproprii urmati de vectorii asociati lor;de ex: P = [X1| X ′

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

Pasul 6 Verificare: P · JA = A · P.

Pasul 4 Realizam PASUL 3

pentru toate valorile proprii, apoi scriemmatricea de pasaj ın ordinea parcurgerii algoritmului, vectoriiproprii urmati de vectorii asociati lor;de ex: P = [X1| X ′

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 4 Realizam PASUL 3 pentru toate valorile proprii,

apoi scriemmatricea de pasaj ın ordinea parcurgerii algoritmului, vectoriiproprii urmati de vectorii asociati lor;de ex: P = [X1| X ′

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 4 Realizam PASUL 3 pentru toate valorile proprii, apoi scriemmatricea de pasaj ın ordinea parcurgerii algoritmului, vectoriiproprii

urmati de vectorii asociati lor;de ex: P = [X1| X ′

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 4 Realizam PASUL 3 pentru toate valorile proprii, apoi scriemmatricea de pasaj ın ordinea parcurgerii algoritmului, vectoriiproprii urmati de vectorii asociati lor;

de ex: P = [X1| X ′1|X ′′

1 | X2|X ′2| X3|X4| . . .] .

Pasul 4 Realizam PASUL 3 pentru toate valorile proprii, apoi scriemmatricea de pasaj ın ordinea parcurgerii algoritmului, vectoriiproprii urmati de vectorii asociati lor;de ex: P = [X1|

X ′1|X ′′

1 | X2|X ′2| X3|X4| . . .] .

1|X ′′1 |

X2|X ′2| X3|X4| . . .] .

1|X ′′1 | X2|X ′

X3|X4| . . .] .

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam

matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:

-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala

principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA

punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;

-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0,

daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,

respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui)

daca coloanasimilara din P este vector asociat;-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 5 Completam matricea Jordan JA astfel:-pe diagonala principala din JA punem ın ordinea stabilitavalorile proprii cu multiplicitatile lor algebrice;-coloanele din JA se completeaza deasupra diagonaleiprincipale cu 0, daca coloana similara din P este vectorpropriu,respectiv cu 1 (si 0 deasupra lui) daca coloanasimilara din P este vector asociat;

-ın rest completam cu 0.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Pasul 6 Verificare:

P · JA = A · P.

1|X ′′1 | X2|X ′

2| X3|X4| . . .] .

Problema: Sa se determine

forma canonica Jordan JA si matriceade pasaj P pentru

4 1 1−2 1 −21 1 4

Solutie: La tabla!

Problema: Sa se determine forma canonica Jordan

JA si matriceade pasaj P pentru

4 1 1−2 1 −21 1 4

Solutie: La tabla!

Problema: Sa se determine forma canonica Jordan JA si matriceade pasaj P pentru

4 1 1−2 1 −21 1 4

Solutie: La tabla!

4 1 1−2 1 −21 1 4

Solutie:

La tabla!

4 1 1−2 1 −21 1 4

Solutie: La tabla!

CURS 8: Forma canonica Jordanusers.utcluj.ro/~todeacos/curs8.pdfCURS 8: Forma canonica Jordan...

Documents

Transcript of CURS 8: Forma canonica Jordanusers.utcluj.ro/~todeacos/curs8.pdfCURS 8: Forma canonica Jordan...

Função biológica - Unesp · Monossacarídeos Aldose ou cetose 3 a 7 carbonos Isomeria D e L Solução aquosa Forma cíclica - Anômeros α e β Forma linear - redutor

Fluido reale in movimento. Viscositàscarlass/stam/lucidi/stam12...Nota: il valore critico dipende dalla forma del condotto o, nel caso di moto di un corpo nel fluido, dalla forma

CURS 6: Forma canonica Jordan - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/curs6-Alg-Jordan.pdf · CURS 6: Forma canonica Jordan Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea Cluj-Napoca

EN - European Commissionec.europa.eu/regional_policy/archive/tender/pdf/200957/rules.pdf · Indonesia Iran Iraq Israel Jamaica Japan Jordan Kazakhstan Kenya Kiribati Kuwait ... fHM

GEOMETRÍA DE LA FORMA - CLASE 1

Jordan Springs Gazette May 2016

Enunciado Lexema Forma del texto Párrafos … · KÍNESIS 2 Lexema ἀγορα - Enunciado ἀγορ ά -ᾶς, ἡ Forma del texto ἀγοράν Párrafos #¿Nombr Significado ágora,

Proyecto de estatutos trabajados de forma amplia desde el 2011

Jordan Robert - Ο Τροχός Του Χρόνου 10. Τα Σταυροδρόμια Του Λυκόφωτος, Τόμος β'

Jordan Robert - Ο Τροχός Του Χρόνου 3. Ο Αναγεννημένος Δράκοντας, Τόμος Α'

Forma 2015 Trials Catalog

ï ïnleaders.org/Download/2nd_year/lab_test_files/Jordan-University... · Hyperkalemia HypoKalemia Sodium (Na) 135 – 152 mmol/L Hypernatremia Hyponatremia Glucose (Fasting glucose

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - users.auth.grusers.auth.gr/natreas/Num-Math/Num-Math-3.pdf · Aλγόριθµος Gauss-Jordan Eίναι µία παραλλαγή της µεθόδου του

AMPKIT · Bones (Kid Rock) o Jordan Rudess (Dream Theater). AMPLIFICADORES PARA TECLADO. 6 AMPLIFICADORES PARA BAJO MAX. 8. 10. 16 ...

Jordan Robert - Ο Τροχός Του Χρόνου 7. Κορώνα Από Ξίφη, Τόμος A

5.- CUERPOS REDONDOS Dibuja de forma …iesaricel.org/rafanogal/eso/2eso-14-15/2eso-u12y13-geom espacio-14... · 5.- CUERPOS REDONDOS 1.-Dibuja de forma aproximada los siguientes

Jordan Robert - Ο Τροχός Του Χρόνου 2. Το Μεγάλο Κυνήγι, Τόμος Β'

Jordan Robert - Ο Τροχός Του Χρόνου 1. Ο Οφθαλμός Του Κόσμου, Τόμος Α'

Scattering eN: fattori di forma, funzioni di struttura, scaling ...180 Scattering eN: fattori di forma, funzioni di struttura, scaling, modello a partoni 1. I leptoni I leptoni carichi

On the analyticity of Falconer's subadditive pressure functionhomepages.warwick.ac.uk/~masmas/talk_paris.pdf · 2014. 5. 21. · (Jordan-Pollicott-Simon ‘07, Jordan-Jurga ‘13)