CONDIZIONI DRENATE CONDIZIONI DRENATE

E NON DRENATEE NON DRENATE

(Riepilogo)(Riepilogo)

UN MODELLO ANALOGICO PER LA UN MODELLO ANALOGICO PER LA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENICONSOLIDAZIONE DEI TERRENI

F’/A, uw

tδ

t

In condizioni non drenate, lo scheletro solido non può ‘caricarsi’, e l’acqua ‘aggiusta’ la sua pressione per sostenere lo sforzo totale

F

acqua

manometro

A

F’

F’/A

uw

Condizioni non drenate

Condizioni drenate

In condizioni drenate, lo scheletro solido si ‘carica’ in modo da sostenere lo sforzo totale e la pressione dell’acqua ripristina il valore iniziale

AZIONI TANGENZIALI AZIONI TANGENZIALI MOBILITATE NEL TERRENOMOBILITATE NEL TERRENO

banda di taglio

τ σ

Problema: determinare la resistenza a taglio mobilitata τ lungo la superficie di scorrimento, in funzione dello sforzo normale σ

CONDIZIONI DRENATECONDIZIONI DRENATE

Banda di taglio

τ σ’

Condizioni drenate: la variazione di stato tensionale avviene molto lentamente rispetto al tempo necessario per la dissipazione delle sovrappressioni interstiziali

Le pressioni interstiziali assumono il valore imposto dalle condizioni al contorno e possono essere determinate studianto il processo di filtrazione. Note le pressioni interstiziali, è possibile calcolare le pressioni efficaci σ’ e correlarle alle azioni tangenziali τ

τ = τ(σ’)

Resistenza a taglio in termini di pressioni efficaci

CONDIZIONI NON DRENATECONDIZIONI NON DRENATECondizioni non drenate: la variazione di stato tensionale avviene molto rapidamente rispetto al tempo necessario affinché l’acqua possa uscire dal terreno e dissipare le sovrappressioni interstiziali

Il volume si mantiene costante (poiché l’acqua non puàò uscire) e le pressioni interstiziali aumentano o diminuiscono di un valore che non può essere noto a priori. Non conoscendo le pressioni interstiziali, non è possibile calcolare le pressioni efficaci σ’ e non è possibile utilizzare la funzione τ=τ(σ’)

Si preferisce correlare la resistenza a taglio τ direttamente alla tensione totale σa condizione di eseguire prove in condizioni non drenate

Banda di taglio

τ σ

τ = τ(σ)

Resistenza a taglio in termini di pressioni totali

RESISTENZA A TAGLIO RESISTENZA A TAGLIO

(Riepilogo)(Riepilogo)

COMPORTAMENTO CONTRAENTE E COMPORTAMENTO CONTRAENTE E DILATANTEDILATANTE

Comportamento contraente Comportamento dilatante

In condizioni non drenate la pressione dell’acqua aumenta (poiché il provino vorrebbe diminuire il suo volume se potesse)

In condizioni drenate l’acqua fuoriesce dal provino ripristinando la pressione origniaria ed il provino diminuisce il suo volume

In condizioni non drenate la pressione dell’acqua diminuisce (poiché il provino vorrebbe aumentare il suo volume se potesse)

In condizioni drenate l’acqua entra nel provino ripristinando la pressione origniaria ed il provino aumenta il suo volume

RISPOSTA DEI TERRENI AD ELEVATA RISPOSTA DEI TERRENI AD ELEVATA POROSITPOROSITÀÀ IN CONDIZIONI IN CONDIZIONI DRENATEDRENATE

τ

δv

δh

Argille normalmente consolidate o sabbie sciolte

La resistenza si incrementa monotonicamente fino al raggiungimento di un valore ultimo

Il volume diminuisce fino a raggiungere un valore costante

δh

RISPOSTA DEI TERRENI A BASSA RISPOSTA DEI TERRENI A BASSA POROSITPOROSITÀÀ IN CONDIZIONI IN CONDIZIONI DRENATEDRENATE

La resistenza si incrementa fino a raggiungere un valore di picco per poi decresecere raggiungere un valore ultimo

Il volume inizialmente diminuisce per poi aumentare fino a raggiungere un valore costante

Argille sovra-consolidate o sabbie dense

τ

δv

δh

δh

INVILUPPI DI ROTTURAINVILUPPI DI ROTTURA

La scelta la resistenza di picco in fase di progetto è un problema delicato.

Frequentemente si utilizza la resistenza ultima e quindi si assume c’=0.

τ

σ’v

resistenza di picco

resistenza ultima

RISPOSTA DEI TERRENI AD ELEVATA RISPOSTA DEI TERRENI AD ELEVATA POROSITPOROSITÀÀ IN C. IN C. NON DRENATENON DRENATE

q

εa

uw

εa

Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe a diminuire. Poiché il volume è forzato a mantenersi costante, l’acqua reagisce quindi incrementando la sua pressione. La pressione efficace e, quindi la resistenza, diminuisce.

RISPOSTA DEI TERRENI A BASSA RISPOSTA DEI TERRENI A BASSA POROSITPOROSITÀÀ IN C. IN C. NON DRENATENON DRENATE

uw

q

εa

εa

Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe ad aumentare. Poiché il volume è forzato a mantenersi costante, l’acqua reagisce diminuendo la sua pressione. La pressione efficace e, quindi la resistenza, aumenta.

INVILUPPI DI ROTTURA IN C. N. D. INVILUPPI DI ROTTURA IN C. N. D.

σ

τ

σ’aσ’r σaσr

cu

Dopo l’aplicazione della pressione di cella, lo stato tensionale efficace non è cambiato. Ne consegue che qualunque sia la pressione di cella σr=σc, il provino si trova sempre nelle stesse condizioni. Lo sforzo deviatorico che determina la rottura è quindi lo stesso qualunque sia la pressione di cella. Questo dà luogo ad un inviluppo costante in termini di pressioni totali

CRITERIO DI RESISTENZA DI MOHRCRITERIO DI RESISTENZA DI MOHR--COULOMBCOULOMB

τ = cu

σ

τ

cu

In condizioni non drenate, si assume che la resistenza sia indipendente dalla pressione totale σ.

MURI DI SOSTEGNOMURI DI SOSTEGNO

VERIFICHE PER I MURI DI SOSTEGNOVERIFICHE PER I MURI DI SOSTEGNO

Traslazione Ribaltamento

Carico limite fondazione Stabilità globale

COEFFICIENTE DI SPINTACOEFFICIENTE DI SPINTA

σ’v

σ’h

Coefficiente di spinta

k =σ’h /σ’v

STATO DI EQUILIBRIO LIMITE ATTIVOSTATO DI EQUILIBRIO LIMITE ATTIVO

σ’v

σ’h

δ

k

δ

ka

La tensione orizzontale e, quindi, il coefficiente di spinta diminuiscono fino a raggiungere uno stao di equiibrio limite definito ‘attivo’.

Il coefficiente di spinta si definisce coefficiente di spinta attiva ka.

STATO DI EQUILIBRIO LIMITE PASSIVOSTATO DI EQUILIBRIO LIMITE PASSIVO

σ’v

σ’h

−δ

k

δ

La tensione orizzontale e, quindi, il coefficiente di spinta diminuiscono fino a raggiungere uno stato di equilibrio limite definito ‘passivo’.

Il coefficiente di spinta si definisce coefficiente di spinta passiva kp.

kp

INTERVALLO DI VARIAZIONE DEL INTERVALLO DI VARIAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SPINTACOEFFICIENTE DI SPINTA

σ’v

σ’h

k

δ

ka

Il coefficiente di spinta, e quindi la tensione orizzontale efficace, possono variare al’interno di un valore minimo (stato attivo) e massimo (stato passivo).

Il valore attuale dipende dal segno e dall’entità dello spostamento.

kp

STATI DI EQUILIBRIO ATTIVO E PASSIVO STATI DI EQUILIBRIO ATTIVO E PASSIVO IN CONDIZIONI DRENATEIN CONDIZIONI DRENATE

τ

σ’

φ’

σ’v σ’pσ’a

I valori limite della pressione orizzontale efficace sono individuati dal criterio di rottura

La tensione orizzontale efficace non può assumere valori nulli o negativi

COEFFICIENTI DI SPINTA ATTIVA E COEFFICIENTI DI SPINTA ATTIVA E PASSIVA IN CONDIZIONI DRENATEPASSIVA IN CONDIZIONI DRENATE

τ

σ’

φ’

σ’v σ’pσ’aO

A

B( )

( )

−=

−°+

−°−

=+−

=

+=

−⇒=

2'45tan

2'90cos1

2'90cos1

'sin1'sin1

''

'sin2

''2

'' 'sin

22

2

φ

φ

φ

φφ

σσ

φσσσσφ

v

a

avavOAAB

−=

2'45tan2 φ

ak

+=

−+

=2'45tan

'sin1'sin1 2 φ

φφ

pk

Coefficiente di spinta attiva Coefficiente di spinta passiva

Per φ’=30°, risulta ka=0.33 e kp=3, ovvero il coefficiente di spinta passiva è9 volte maggiore del coefficiente di spinta passiva

STATI DI EQUILIBRIO ATTIVO E PASSIVO STATI DI EQUILIBRIO ATTIVO E PASSIVO IN CONDIZIONI NON DRENATEIN CONDIZIONI NON DRENATE

τ

σσv σpσa

cu

I valori limite della pressione orizzontale totale sono individuati dal criterio di rottura

La minima tensione orizzontale totale σa può essere anche nulla (o negativa)

SPINTA ATTIVA E PASSIVA IN SPINTA ATTIVA E PASSIVA IN CONDIZIONI NON DRENATECONDIZIONI NON DRENATE

τ

σσv σpσa

cu

uva c2−= σσ

Spinta attiva Spinta passiva

Le tensioni orizzontali totali in condizioni di spinta attiva e passiva differiscono di 4 cu

uvp c2+= σσ

ALTEZZA DI ALTEZZA DI

AUTOSOSTENTAMENTOAUTOSOSTENTAMENTO

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE (c(c’’=0)=0)

u=0(σ=σ’)

τ

σ’

φ’

σ’v=γ z2σ’hO

Qualunque elementino di terreno sul fronte di scavo è soggetto ad uno stato tensionale incompatibile con la condizione di rottura

σ’v=γ z1

z1

z2

Una parete verticale in un terreno secco non può autosostenersi

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (1)(1)

cu≠0

z1

z2

τ

σσh

cu

σv=γ z1 σv=γ z2

γ z2 = 2 cuγ z2 = 2 cu

L’altezza di autosostentamento è pari a z2 = 2 cu/ γ ed è diversa da zero

Una coesione non drenata di 40 kPa dà luogo ad un alteza di autosostentamento di 4 m.

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (2)(2)

cu≠0

z1

z2

τ

σ

cu

σv=γ z2

(γ –γw)z2 = 2 cu

L’altezza di autosostentamento è pari a z2 = 2 cu/ (γ−γw) ed èdoppia di quella osservata in assenza di acqua

Una coesione non drenata di 40 kPa dà luogo ad un altezza di autosostentamento di 8 m.

acqua

σh=γw z2

INTERPRETAZIONE DELLINTERPRETAZIONE DELL’’ALTEZZA DI ALTEZZA DI AUTOSOSTENTAMENTO IN C. N. D.AUTOSOSTENTAMENTO IN C. N. D.

cu≠0z2

τ

σ, σ’σh

cu

σv

φ’

σ’vσ’h

Lo scavo in condizioni non drenate induce l’insorgere di pressioni negative che traslano verso destra il cerchio di Mohr relativo alla pressioni efficaci rendendo possibili altezze di autosostentamento diverse da zero

TERRENO IN C. DRENATE IN TERRENO IN C. DRENATE IN PRESENZA DI RISALITA CAPILLAREPRESENZA DI RISALITA CAPILLARE

u< 0

τ

σ’

φ’

σ’h=ka σ’v

Oσ’h=-γw(z2-Hw)

z2

Una parete verticale in un terreno con risalita capillare può autosostenersi

Ad esempio,per ka=0.33 e hw=10 m risulta z2=2.5 m

uw

z

-

Hw

σ’v=γz2-γw(z2-Hw)

( ) 11

2

−−

=

a

a

w

w

kkHz

γγ

SPINTA SUI MURI DI SOSTEGNO:SPINTA SUI MURI DI SOSTEGNO:

METODO RI RANKINEMETODO RI RANKINE

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE (c(c’’=0, no attrito muro=0, no attrito muro--terreno)terreno)

H

ka(γH)

S

2 21' HkSS aaa γ=≡

σ’v σ’h

γH

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (c(c’’=0, no attrito muro=0, no attrito muro--terreno)terreno)

H

ka(γ−γw)H

S’aS’a Sw

( ) ( )awawwawaa kHHkHHkSSS −+=+−=+= 121

21

21

21' 2222 γγγγγ

γwH

In presenza di acqua, la spinta aumenta considerevolmente (praticamente si raddoppia)

σ’v σ’h

(γ−γw)H

uw

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (1)(1)

H

γH-2cu

S

( )

−−=

γγ u

uacHcHS 2 2

21

-2cu

2cu/γ

Il terreno non può esercitare uno sforzo di trazione sulla parete del muro e la spinta indicata in rosso non deve essere considerata

fessura

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (2)(2)

H

γH-2cu

S

( )2

2212 2

21

−

+

−

−−=w

uw

w

uua

ccHcHSγγ

γγγ

γ

2cu/(γ−γw)

La fessura si approfondisce e occorre tenere conto anche della spinta dell’acqua

fessura piena d’acqua

Sw

γw[2cu/(γ−γw)]

SPINTA PASSIVA A TERGO DI MURI DI SPINTA PASSIVA A TERGO DI MURI DI SOSTEGNOSOSTEGNO

pendio in frana

Il muro non si allontana ma si avvicina al terreno e la spinta agente è quella passiva

Notare che per φ’=30°, σp=9 σa

SPINTA PASSIVA A VALLE UN MURO DI SPINTA PASSIVA A VALLE UN MURO DI SOSTEGNOSOSTEGNO

Hv

fessura

kp γ Hv

La spinta passiva si mobilita per spostamento alla sommità del muro pari al 5-20% dell’altezza del muro stesso, valore che generalmente compromette la funzionalità dell’opera

Per tale ragione si adotta 1 < k < kp/2

SPINTA SULLE PARETI DI UN SPINTA SULLE PARETI DI UN SOTTOPASSOSOTTOPASSO

1) Scavo2) Realizzazione dell’opera3) Messa in opera del reinterro4) Costipamento del terreno di riempimento

Poiché non c’è spostamento relativo, la spinta sarà ben maggiore della spinta attiva

UN CASO ISTRUTTIVOUN CASO ISTRUTTIVO

Il reinterro aveva determinato un cedimento a tergo del muro, la conseguente rotazione verso monte equindi l’instaurarsi di una spinta passiva moltpo maggiore di quella attiva di progetto

Il problema si risolve realizzando il riempimento come indicato in figuraper far scontare i cedimenti e quindi completando il riempimento a tego del muro

DA RICORDAREDA RICORDARE

Il coefficiente di spinta può assumere un intervallo di valore compresi tra il coefficiente di spinta attiva e quello di spinta passiva

Il calcolo del muro utilizzando la spinta attiva è corretto solo se i movimenti del muso sono tali da detrminari l’instaurarsi di condoizioni di equilibrio limite attivo

SPINTA IN PRESENZA DI SOVRACCARICHISPINTA IN PRESENZA DI SOVRACCARICHI

H

ka(γH)

S

qHkHkS aaa += 2 21 γ

q

ka q

LIMITAZIONI DEL METODO DI RANKINELIMITAZIONI DEL METODO DI RANKINE

Il metodo è applicabile quando lo stato tensionale (efficace o totale) a tergo del muro è uniforme

Non può essere utilizzato in presenza di carichi concentrati od un moto di filtrazione bidimensionale

SPINTA SUI MURI DI SOSTEGNO: SPINTA SUI MURI DI SOSTEGNO:

METODO DI COLUOMB METODO DI COLUOMB

(EQUILIBRIO GLOBALE)(EQUILIBRIO GLOBALE)

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE (c(c’’=0, no attrito muro=0, no attrito muro--terreno)terreno)

'tancos

cos

φαααα

NTTsenNSTNsenW

a

=

−=+=Traslazione verticale ⇒

Traslazione orizzontale ⇒

Criterio di rottura ⇒

N cosα

NN senα

α

α

T T cosα

T senα

)tan( 21 αγ HHW =

HW

Sa

T

Nα

W

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONETERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE(2)(2)

αααα

φ

sincoscossin

'tan

TNSTNW

NT

a −=+=

=

αφααφα

φ

sin'tancoscos'tansin

'tan

NNSNNW

NT

a −=+=

=

)sin'tan(cos)cos'tan(sin

'tan

αφααφα

φ

−=+=

=

NSNWNT

a

αφααφα

αφα

φ

cos'tansinsin'tancos

cos'tansin

'tan

+−

=

+=

=

WS

WN

NT

a

=+

−=

+−

=

ααφ

αα

ααφ

αα

αφααφα

coscos'tan

cossin

cossin'tan

coscos

cos'tansinsin'tancos WWSa

)'cot('tantan

tan'tan1 φαφααφ

+=+

−= WW

)'cot(tan 21 2 φααγ += HSa

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE (3)(3)

[ ] ; 0)'cot(tan 21 2 =+= φαα

αγ

α ddH

ddSa

; 0)'(sin

1tan)'cot(cos

122 =

+

−++φα

αφαα

; 0)'(sin

1cossin

)'sin()'cos(

cos1

22 =+

−++

φααα

φαφα

α

; 0)'(sin cos

sincos)'cos()'sin(22 =

+−++

φααααφαφα

[ ] ; 02sin)'(2sin =−+ αφα

; 2)'(2 παφα =++2'-

2φπα =

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONETERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE(4)(4)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90α (°)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

S a /

(0.5

γ H

2 )

φ' = 20°

φ' = 30°

φ' = 40°

)'cot(tan

21

)'cot(tan 21

2

2

φααγ

φααγ

+=

+=

H

S

HS

a

a

TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE TERRENO SECCO PRIVO DI COESIONE (5)(5)

La spinta assume valore massimo per α = 45°-φ’/2 vale:

−−°

−°=

+−°

−°=

2'4590cot

2'45tan

21'

2'45cot

2'45tan

21 22 φφγφφφγ HHSa

H

W

Sa

T

N α

222 21

2'45tan

21 HkHS aa γφγ =

−°=

esattamente il valore ottenuto con il metodo di Rankine

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (c(c’’=0)=0)

)'tan()cot( 21 2 φααγ −= HSa

H

W

S

T

N α

( ) 'tancossinsincos

φαααα

UNTSWTSWN

a

a

−=

−=

+=

U

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (c(c’’=0, no attrito muro=0, no attrito muro--terreno)terreno)

( ) 'tansincos

cossin

φαααα

UNTTNSTNW

a

−=

−=+=Traslazione verticale ⇒

Traslazione orizzontale ⇒

Criterio di rottura ⇒

N cosα

NN senα

α

α

T T cosα

T senα

)tan( 21 αγ HHW =

HW

Sa

T

Nα U

=

αγ

cos

21 HHU W

W

γ wH

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (2)(2)

( )

αααα

φ

sincoscossin'tan

TNSTNW

UNT

a −=+=

−=

( )( )( ) αφα

αφαφ

sin'tancoscos'tansin

'tan

UNNSUNNW

UNT

a −−=−+=

−=

( )

αφαφααφαφα

φ

sin'tan)sin'tan(coscos'tan)cos'tan(sin

'tan

UNSUNW

UNT

a +−=−+=

−=

( ) αφαφααφααφ

αφααφ

φ

sin'tancos'tansinsin'tancoscos'tan

cos'tansincos'tan

'tan

UUWS

UWN

NT

a ++−

+=

++

=

=

( )'sin'sin

cos

21)'cot(tan

21 2

2

φαφ

αγφααγ

+++=

HHS wa

+

+−

++−

= ααφααφααφ

αφααφα sin

cos'tansinsin'tancoscos'tan

cos'tansin'tancos UsenWSa

( )

+

++−+

++=

αφαααφαααφαφ

φα

cos'tansincossin'tansincossin'tancos'tan

'cot22

U

W

( )

+++=

αφφα

φφαcos

'cos'sinsin

1'tan'cot UW

( )

+

++=αφφα

φφφαcos'sin'cossin

'cos'tan'cot UW

( ) ( )

+

++=' sin

'sin 'cotφα

φφα UW

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (3)(3)

( ) ( )( ) ; 0

'sincos'coscos'sinsin'sin

21

)'(sin1tan)'cot(

cos1

21

222

222 =

+

+++−−+

+

−++=φαα

φααφααφγφα

αφαα

γα

HHddS

wa

( ) ( )( ) ; 0

'sincos'coscos'sinsin'sin

21

)'(sincossin

)'sin()'cos(

cos1

21

222

222 =

+

+−++

+

−++

φααφααφααφγ

φααα

φαφα

αγ HH w

[ ] ( ) ( )[ ] ; 0'sinsin'coscos'sin cossin)'cos()'sin( =+−+−−++ φααφααφγααφαφαγ w

( )( )[ ]( ) ( )[ ] ; 0'sincos'cossinsin'sinsin'coscoscos'sin

cossin'sinsin'coscos'sincos'cossin=+−−−

+−−+φαφααφαφααφγ

ααφαφαφαφαγ

w

[ ][ ] ; 0'sincossin'cos'sinsin'sincossin'cos'sincos

cossin'sincossin'cos'sinsin'cos'sincos'coscossin2222

2222

=−−−−

+−−−+

φααφφαφααφφαγ

ααφααφφαφφαφααγ

w

[ ][ ] ; 0'cos'sinsin'cos'sincos'sincossin2

'cos'sinsin'cos'sincos'sincossin2222

222

=−+−−

+−+−

φφαφφαφααγ

φφαφφαφααγ

w

;0'cos'sinsin'cos'sincos'sincossin2 222 =−+− φφαφφαφαα

( ) ;0'cos'sinsincos'sincossin2 222 =−+− φφααφαα

;0'cos2cos'sin2sin =+− φαφα

;'cot2tan φα =

;2

'2 πφα =−2'-

2φπα =

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (4)(4)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90α (°)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Sa /

(0.5

γ H

2 )

φ' = 20°

φ' = 30°

φ' = 40°

γw/γ = 0.5

( )'sincos'sin)'cot(tan

21 2 φαα

φγ

γφααγ +

++= wa

H

S

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90α (°)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sa /

(0.5

γ H

2 )

SeccoSaturo

φ' = 20°

γw/γ = 0.5

TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE TERRENO SATURO PRIVO DI COESIONE (5)(5)

La spinta assume valore massimo per α = 45°-φ’/2 vale:

H

W

Sa

T

N α

+

+=

+

−

+

−=

2'45sin

'sin 21

21

2'45sin

2'45cos

'sin 21

2'45tan

21

2

22222

φφγγ

φφφγφγ HkHHHS wawa

( )awaa kHkHS −+= 1 21

21 22 γγ

esattamente il valore ottenuto con il metodo di Rankine

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (1)(1)

γucH 4

=

H

WT

N α

LcTWTWN

u===

αα

sincos

L

L’altezza di autosostentamento H assume valore massimo per α = 45°:

il doppio del valore ottenuto con il metodo di Rankine

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (2)(2)

0044 zczcH uu −=−=γγ

H

W

T

N α

1

sincos

LcTWTWN

u===

αα

L1

L’altezza di autosostentamento H assume valore massimo pari a:

Assumendo da dati sperimentali che z0=H/2, si ottiene:

rottura per trazione

z0

γucH 67.2

=

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATETERRENO SATURO IN C. NON DRENATE(3)(3)

HW

STN α

z0=H/2

L1

N cosα

NN senα

α

α

T T cosα

T senα

( )( ) αγ tan21

00 zHzHW −+=W

αcos0

1zHL −

=

1

coscos

LcTTsenNSTNsenW

u

a

=

−=+=

ααααTraslazione verticale ⇒

Traslazione orizzontale ⇒

Criterio di rottura ⇒

L1

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATETERRENO SATURO IN C. NON DRENATE(4)(4)

( ) ( )( )α

γ2sin

2 21 02

02 zHczHS u

a−

−−=

αααα

TsenNSTNsenW

LcT

a

u

−=+=

=

coscos

1

αααα

senLcNSLcNsenW

LcT

ua

u

u

1

1

1

coscos

−=

+=

=

ααα

αα

α

senLcsenLcWS

senLcWN

LcT

uu

a

u

u

11

1

1

coscos

cos

−−

=

−=

=

αα

αααα

α

senLcsenLc

senWS

senLcWN

LcT

uu

a

u

u

1

21

1

1

coscos

cos

−−=

−=

=

+−=

αααα

senLcWS ua

22

1sincoscot

( )( )αα

ααγsin

1cos

cottan21 0

00zHczHzHS ua

−−−+=

( )( )αα

ααγsin

1cos

cottan21 0

00zHczHHzS ua

−−−+=

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (5)(5)

4πα =

( ) ( )( ) ; 02sin

2 21 02

02 =

−−−=

αγ

ααzHczH

dd

ddS ua

( ) ( ) ; 02 2cos2sin

12 =α

α

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE TERRENO SATURO IN C. NON DRENATE (6)(6)

( ) ( ) ( )αγ

2sin12

21

020

2 zHczHS ua −−−=

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90α (°)

-3.2

-2.8

-2.4

-2

-1.6

-1.2

-0.8-1

/ si

n(2α

)

TERRENO SATURO IN C. NON DRENATETERRENO SATURO IN C. NON DRENATE(7)(7)

La spinta assume valore massimo per α = 45° E vale:

( ) ( )020

2 2 21 zHczHS ua −−−= γ

HW

STN α

z0=H/2

L1

La spinta assume valore massimo per α = 45° E vale:

( ) ( )020

2 2 21 zHczHS ua −−−= γ

Per z0=H/2:

VERIFICA IN PRESENZA DI CARICHI VERIFICA IN PRESENZA DI CARICHI CONCENTRATICONCENTRATI

H

W

S

T

N α

F F

L’equazione di equilibrio del concio deve includere anche le forzeconcentrate F

DA RICORDAREDA RICORDARE

Trascurare l’attrito tra terreno e muro è generalmente a vantaggio di sicurezza (la spinta attiva è sovrastimata)

Il metodo dell’equilibrio globale, per quanto non fornisca sempre soluzioni a vantaggio di sicurezza, risulta accettabile nei problemi applicativi correnti.

VERIFICHE PER I MURI DI VERIFICHE PER I MURI DI

SOSTEGNOSOSTEGNO

VERIFICA ALLA TRASLAZIONEVERIFICA ALLA TRASLAZIONE

HS

T

3.1≥ST

VERIFICA ALLA TRASLAZIONE IN VERIFICA ALLA TRASLAZIONE IN TERMINI DI PRESSIONI EFFICACITERMINI DI PRESSIONI EFFICACI

H

T

W

U=γwHB

B

T=(W-U)tan δ

S’+Sw

COEFFICIENTE DI ATTRITO TRA LA COEFFICIENTE DI ATTRITO TRA LA BASE DEL MURO ED IL TERRENOBASE DEL MURO ED IL TERRENO

tan δ ≤ tan (φ’)

0.35Limi

0.45Sabbie e ghiaie limose

0.55Sabbie e ghiaie pulite

tan δMateriale

VERIFICA ALLA TRASLAZIONE IN VERIFICA ALLA TRASLAZIONE IN TERMINI DI PRESSIONI TOTALITERMINI DI PRESSIONI TOTALI

HS

T

W

B

T = ca B

ca ≤ cu

VERIFICA AL RIBALTAMENTOVERIFICA AL RIBALTAMENTO

h

S 5.1≥ShWb

W

b

VERIFICA AL RIBALTAMENTO IN VERIFICA AL RIBALTAMENTO IN TERMINI DI PRESSIONI EFFICACITERMINI DI PRESSIONI EFFICACI

h

S’+Sw

B

b

U=γwHB

5.12 ≥−

Sh

BUWb

VERIFICA AL RIBALTAMENTO IN TERMINI VERIFICA AL RIBALTAMENTO IN TERMINI DI PRESSIONI TOTALIDI PRESSIONI TOTALI

h

S 5.1≥ShWb

W

b

VERIFICA AL CARICO LIMITEVERIFICA AL CARICO LIMITE

SW

Q

Il problema si riconduce a quello del carico limite di una fondazione in presenza di carici inclinati ed eccentrici

VERIFICA DI STABILITVERIFICA DI STABILITÀÀ GLOBALEGLOBALE

SOLUZIONI COSTRUTTIVESOLUZIONI COSTRUTTIVE

INCLINAZIONE DEL PARAMENTO INCLINAZIONE DEL PARAMENTO A TERGO DEL MUROA TERGO DEL MURO

Si riduce la componente orizzontale della spintaMigliora la stabilità al ribaltamentoDiminuisce l’eccentricità e l’inclinazione del carico sul piano di posaDiminuisce l’ecentricità rispetto al nocciolo d’inerzia

MURI ARMATIMURI ARMATI

E’ possibile realizzare unmuro più snello lasciando all’armatura il compito di assorbire gli sofrzi di trazione

MURI A MENSOLAMURI A MENSOLA

Si aumenta l’azione normale e quindi l’azione tangenziale alla base del muroMigliora la stabilità al ribaltamentoDiminuisce l’eccentricità e l’inclinazione del carico sul piano di posa

MURI A CONTRAFFORTIMURI A CONTRAFFORTI

Rispetto al muro a mensola, si migliora la resistenza a flessione complessiva

DRENAGGIDRENAGGI

I drenaggi riducono le pressioni interstiziali e quindi le spinte