∆u e Consolidazione

1

Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno a grana fine saturo soggetto a variazioni di stato tensionale,sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: ∆∆∆∆w ≠≠≠≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ εεεεv ≠≠≠≠ 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione delle tensioni totali (∆σ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: ∆∆∆∆w = 0 ⇒⇒⇒⇒ εεεεv ≅≅≅≅ 0

0t =

u σ′∆ σ∆

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale ∆σ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(∆σ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).

0v =ε

uuE ν,

∞≠=ν+

=

∞=ν−

=

3

E

12

EG

213

EK

u

u

u

u

u

)(

)(

aledistorsion rigidezza

avolumetric rigidezza

Ciò equivale ad assumere νννν=ννννu=0.5 e pertanto:

z

∆u e Consolidazione

2Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (∆σ = ∆σ’ + ∆u)e la ripartizione di ∆σ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza.

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

∆u = f(∆σ)

incrementi tensioni efficaci ∆σ’ = ∆σ - ∆u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)

calcolo deformazioni ε = f(∆σ, Eu, νu) ε = f(∆σ’, E’, ν’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico, quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruenti nell’ipotesi di validità della teoria elastica.

)'1(2

'E'G

3

E

)1(2

EG u

u

uu

ν+=≡=

ν+=In particolare se:

∆u e Consolidazione

3Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere ∆u = f(∆σ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazione

Skempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

[ ])(AB),(fu 31331 σ∆−σ∆+σ∆=σ∆σ∆=∆

1σ1σ

31 ∆σ∆ −σ

3Bu σ∆=∆ )(BAu 31 σ∆−σ∆=∆incremento (sferico) di σσσσ3 ⇒⇒⇒⇒ incremento di σσσσ1 ⇒⇒⇒⇒

3σ∆

3σ 3σ

3B σ∆

q

upp ,, ′

q

upp ,, ′

3B σ∆)∆σBA(∆ 31 −σ

∆u e Consolidazione

4Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

Applicazione di compressione isotropa 321p σ∆=σ∆=σ∆=∆ ad un terreno bifase

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

∆=

∆=∆

∆=

∆=∆

VK

'pV

K

'pV

nVK

uV

K

uV

ss

ss

ss

ss

f

f

f

f

)up(K

'pK

uVV ff ∆−∆=∆=∆⇒∆=∆ )up(nK

K'p

nK

KuVV

ss

f

ss

fssf ∆−∆=∆=∆⇒∆=∆

⇒σ∆

+

≡∆

+

=∆ 3

f

ss

f

ss

K

Kn1

1p

K

Kn1

1u

Imponendo la congruenza:

Riordinando:

f

ss3

K

Kn1

1B

u

p

u

+

==σ∆

∆=

∆

∆

∆u e Consolidazione

e5

Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:

• terreno saturo 1

K

Kn1

1B

w

ss

≅

+

= (∆σ è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 0

K

Kn1

1B

g

ss

≅

+

= (∆σ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - II

• terreno non saturo ] [1,0

K

K)S1(n

K

KnS1

1B

g

ss

w

ss

∈

−++

= (∆σ ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido

q

u,p,p ′

0u0S =∆⇒=

pu1S ∆=∆⇒=

∆u e Consolidazione

6

Applicazione di un incremento di deviatore 31 σ∆−σ∆ ad un terreno bifase

Dalla condizione3

K

Kn1

1p

K

Kn1

1u 31

f

ss

f

ss

σ∆−σ∆

+

≡∆

+

=∆ risulta:3

1

K

Kn1

1uAB

f

ss31 +

=σ∆−σ∆

∆=&

Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,

Per ‘percorsi di estensione’ (∆q<0)

3

1AB ≅

3

1A =

2A =

q3

qu

∆=∆

q∆

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III

si dimostra invece che3

2A =

In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!

Argilla sensitiva 0.7 – 1.5

Argilla molle 0.5 – 1.0

Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5

Argilla molto consistente -0.5 – 0.0

Valori sperimentali tipici di A:

u,p,p ′

q∆si dimostra invece che

q∆In ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale q

3

2u ∆=∆

∆u e Consolidazione

7Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):

dtdzdAt

ndAdtdz

z

vz ⋅∂

∂=⋅

∂

∂−

Indicando con

γ+ζ

∂

∂−=

∂

∂−=

w

z

u

zk

z

hkv

Ipotizzando costante la variazione temporale della tensione totale dx

dy

zv

t

n

z

vz

∂

∂=

∂

∂−⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒

2

2

z

w

v k u

z zγ

∂ ∂− =

∂ ∂

�

�

u l’incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

Ipotizzando costante la variazione temporale della tensione totale

'

1

z

v z

ed ed

ue t tne E E

σ

ε ε

∂ ∂∆ ∂ ∂−∆ = − = = = = −+

uguagliando la � alla � e introducendo la �,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola

2

2

1

w ed

k u u

z E tγ

∂ ∂=

∂ ∂

dz

dx

dzz

vv z

z∂

∂+

1

ed

n u

t E t

∂ ∂=

∂ ∂⇒⇒⇒⇒ �

0z zu

t t t

σ σ ′∂ ∂ ∂= − =

∂ ∂ ∂

( , )u z t

si ha:

∆u e Consolidazione

8Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2

2v

u uc

t z

∂ ∂

∂ ∂=

[ ]12

w

edv TL

kEc −

γ=

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purchè siano assegnate:

• condizioni al contorno

• distribuzione iniziale delle sovrappressioni

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curvedette isocrone (distribuzioni, per un fissato t, di

tu

( )t

u z

∆u e Consolidazione

9Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:

• sovraccarico uniforme ∆σ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = ∆σ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)

σσσσ

∆σ∆σ∆σ∆σ

u0

u

2H

wu

u(z,t)

t

La soluzione analitica è:

20

0

2( , ) sin( ) n (2 1)

2

n T

i

uu z t nZ e i

n

π∞−

=

= ⋅ = + ∑

H

zZ =

2v

H

tcT =dove si è posto e (fattore tempo)

(H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)

z z

u(z,t)

∆u e Consolidazione

10Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σσσσ

zZ =

HZ =

σσ′

∆u e Consolidazione

11Consolidazione monodimensionale – grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione

• grado di consolidazione medio

0

( , )( , ) 1

( )

u z tU z t

u z= −

0

0

0

0

0

( , )

( ) 1

( )

z H

z

z H

z

u z t dz

U t

u z dz

+

+= −

∫

∫

cw

w

)t(wU =

significato geometricoa b

BA C

ABU

AC= area abdca

Uarea abeca

=

z/H=1

a b

c de

20

20

2( ) 1 n (2 1)

2

n T

i

uU t e i

n

π∞−

=

= − ⋅ = +

∑

∆u e Consolidazione

12Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

20

20

2( ) 1 n (2 1)

2

n T

i

uU t e i

n

π∞−

=

= − ⋅ = +

∑

2

0

1( ) ( , )

H

ed

w t t z dzE

σ ′= ∫ [ ]0w0)z,0( 0 =⇒=σ′

Inoltre, stante l’ipotesi di linearità del legame costitutivo:

2 2

0

0 0

1 1( ) ( , ) ( )

H H

c

ed ed

w w z dz u z dzE E

σ ′= ∞ = ∞ =∫ ∫

( ) ( )( )

( )c

w t w tU t

w w= =

∞Si ha:

∆u e Consolidazione

13Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:

1. fissando t → determinando il corrispondente T

2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc

2v

H

tcT =

∆u e Consolidazione

14

0.0

0.2

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do

di

co

nso

lid

azio

ne

, U

kE

c z

uc

t

u

w

edv2

2

v

γ=

∂

∂=

∂

∂

Equazione della consolidazione monodimensionale

0.0

0.2

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do

di

co

ns

oli

da

zio

ne

, U

197.05.0 ==UT

Curva di consolidazione teorica

H

tcT

)T(U1/u

)T(Uww(t)

2vc

=

−=σ∆∆

⋅=⇒

0.4

0.6

0.8

1.0

Gra

do

di

co

nso

lid

azio

ne

, U

0.4

0.6

0.8

1.0

Gra

do

di

co

ns

oli

da

zio

ne

, U

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)

179.08.2

5.0

T4

1

T4

U

π+

π=

357.06.5

2

v]U1[

U)4/(T

−

π=⇔

197.05.0 ==UT

848.09.0 ==UT

∆u e Consolidazione

e15

Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati con uno o doppio contorno drenante.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1. Isocrone iniziali triangolari, strato drenato da entrambi i lati

Soluzione � = combinazione di � e �

∆u e Consolidazione

16

Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Sia la � che la � presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso �

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U� > U� > U�

2. Isocrone iniziali triangolari, strato drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante

∆u e Consolidazione

17

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (

mm

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆∆ ∆∆u

/ ∆σ

∆

σ

∆σ

∆

σ

∆∆∆∆u/∆σ∆σ∆σ∆σ

w1

Cedimento da consolidazione primaria

0.00

0.20

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

0

0.2

w1+w2

∆∆∆∆u 0

Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di ∆∆∆∆∆∆∆∆uu

Comportamento sperimentale vs teoriaComportamento sperimentale vs teoria

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (

mm

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆∆ ∆∆u

/ ∆σ

∆σ

∆σ

∆σ

∆∆∆∆u/∆σ∆σ∆σ∆σ

w2

Cedimento da consolidazione primaria

Cedimento secondario

0.40

0.60

0.80

1.00

w (

mm

) 0.4

0.6

0.8

1

∆∆ ∆∆u

/ ∆σ

∆

σ

∆σ

∆

σ

∆∆∆∆u/∆σ∆σ∆σ∆σ

w1+w2

w w2

+ =

Curva di consolidazione sperimentaleda ’depurare’ per ottenere il

coefficiente di consolidazione verticale ccoefficiente di consolidazione verticale cvv

Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a σσσσσσσσ’=’=costcost. (si manifestano visibilmente quando . (si manifestano visibilmente quando ∆∆∆∆∆∆∆∆uu → 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)

Compressione edometrica

18Interpretazione della curva di consolidazione sperimentaleInterpretazione della curva di consolidazione sperimentale

0,00

0,10

0,20

0,1 1 10 100 1000 10000

Log(t) (min)

∆∆∆∆wU=0.0

t50

∆∆∆∆w

t 4t

Metodo di CasagrandeMetodo di Casagrande

Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per estrarneestrarne

-- cedimento di consolidazione primaria, wc cedimento di consolidazione primaria, wc

-- coefficiente di consolidazione primaria, cvcoefficiente di consolidazione primaria, cv

-- coefficiente di consolidazione secondaria, ccoefficiente di consolidazione secondaria, cαααααααα

50

2

vt

H197.0c

⋅=

h0=2Hh0=2H

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

w (

mm

)U=0.5

U=1.0

tangente al punto di flesso

asintoto obliquo

cedimento di consolidazione primaria

αααα

50v

t

ohc

ααε

tan=

Compressione edometrica

19

per t ridotti, vale approssimativamenteper t ridotti, vale approssimativamente 2)t(w

)t4(wtw =⇒∝

intersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquointersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquo

Fasi del procedimento di CasagrandeFasi del procedimento di Casagrande

1. Cedimento immediato w01. Cedimento immediato w0

2. Cedimento secondario ws2. Cedimento secondario ws

(ribaltamento (ribaltamento ⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔ estrapolazione a t=0)estrapolazione a t=0)

3. Cedimento di consolidazione wc3. Cedimento di consolidazione wc s0fc w- – w w w =

50

2

v250vc

vt

H197.0c197.0

H

tcT50.0U

2

w:c =⇒==⇒=⇒

t

eC

log∆

∆−=α

o

os

ht

hw

tC

αεεα

tan

log

/

log, =

∆

∆−=

∆

∆−=

oppureoppure

4. Coefficiente di consolidazione cv4. Coefficiente di consolidazione cv

5. Coefficiente di consolidazione secondaria C5. Coefficiente di consolidazione secondaria Cαααααααα

Compressione edometrica

20

per t ridotti: tw ∝

⇓⇓⇓⇓estrapolazione a t=0 della

retta t:w

w90 = intersezione della curva con la retta

9.0

www 090

c−

=

Procedimento di TaylorProcedimento di Taylor

1. Cedimento immediato w01. Cedimento immediato w0

2. Cedimento di consolidazione wc2. Cedimento di consolidazione wc

w90 = intersezione della curva con la retta inclinata 1.15 volte la tangente iniziale

90

2

v290v

vt

H848.0c848.0

H

tcT90.0U:c =⇒==⇒=

NB: cedimento secondario NB: cedimento secondario wsws

e coefficiente di consolidazione secondaria ce coefficiente di consolidazione secondaria cαααααααα

non determinabilinon determinabili

3. Coefficiente di consolidazione cv3. Coefficiente di consolidazione cv