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Autómatas finitos no deterministas
Dr. Julio J. Águila G.
20 de diciembre de 2004
Última revisión: 20 de agosto de 2019
29/08/2019 Autómatas finitos no
deterministas 2
Contenidos
Autómatas.
Autómatas finitos no deterministas.
Expresiones regulares.
Construcción de Thompson
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Autómata
AUTÓMATA
reconocedor
de un
lenguaje:
¿pertenece la
palabra al
lenguaje?
palabra
de
entrada
Solo hay dos
respuestas
posibles: SÍ o
NO
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Grafo de transiciones AFN
0 1 2 3 Inicio
a
a
b
b b
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Movimientos del AFN
a a b b
0 -> 0 -> 1 -> 2 -> 3
a a b a
0 -> 0 -> 0 -> 0 -> 0
a a b b
0 -> 0 -> 0 -> 0 -> 0
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Definición AFN 1. Un conjunto de estados S.
2. Un conjunto de símbolos de entrada Σ (el alfabeto del lenguaje).
3. Una función de transición mueve, denotada por ∆,
que transforma pares estado-símbolo en conjuntos de estados. (∆: S × Σ → S)
4. Un estado s0 que se considera el estado de inicio (o estado inicial).
5. Un conjunto de estados F considerados como estados finales (o estados de aceptación).
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Ejemplo AFN
Sea entonces M un AFN, tal que M= { S, Σ, Δ, s0, F} donde:
S= { 0, 1, 2, 3}
Σ= { a, b}
Δ= { { 0, a, { 0, 1}}, { 0, b, { 0}}, { 1, b, { 2}}, { 2, b, { 3}}}
s0= { 0}
F= { 3}
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Tabla de Transiciones
Estado
Símbolo de Entrada
a
b
0
{0,1}
{0}
1
-
{2}
2
-
{3}
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AFN y lenguajes regulares
El lenguaje definido por un AFN es el conjunto de palabras de entrada que acepta como válidas. Los conjuntos de palabras pueden ser finitos, infinitos o infinito numerables.
En general, el lenguaje definido por un AFN se conoce como lenguaje regular y puede ser definido por una expresión regular, la cual, independiente del tamaño del lenguaje, es una expresión finita.
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AFN lenguaje (a*|b*)abb
0 1 2 3 Inicio
a
a
b
b b
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AFN lenguaje aa*|bb*
1 2 a
3 4 b
a
b
0 Inicio
ε
ε
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Expresiones regulares
1. ε es una e.r. designada por { ε}.
2. Si a Є Σ → a es una e.r. designada por { a}.
3. Si r y s son e.r. representadas por L( r) y L( s) entonces:
a. (r)|(s) es una e.r. representada por L( r) U L( s).
b. (r)(s) es una e.r. representada por L( r)L( s).
c. (r)* es una e.r. representada por (L( r))*.
d. (r) es una e.r. representada por L(r).
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Construcción de Thompson
Construcción de un AFN a partir de una expresión regular.
Entrada: una expresión regular r en un alfabeto Σ.
Salida: un AFN que acepte L(r).
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Método de Thompson
Leyendo la expresión de izquierda a derecha, y considerando su estructura sintáctica, se crean los autómatas para cada subexpresión. En la medida que se avanza se van combinando de forma inductiva los autómatas.
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Regla 1
1. Para ε, construir el AFN
Aquí, i es un nuevo estado de inicio y f es un un nuevo estado de aceptación. Ciertamente este AFN reconoce {ε}.
Inicio
f i
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Regla 2
2. Para a de Σ, construir el AFN
De nuevo, i es un nuevo estado de inicio y f es un un nuevo estado de aceptación. Esta máquina reconoce {a}.
Inicio
f i
a
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Regla 3
3. Supóngase que N(s) y N(t) son AFN para las expresiones regulares s y t.
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Regla 3.a
a) Para la expresión regular s|t, constrúyase el siguiente AFN compuesto N(s|t):
Inicio f i
N(s)
N(t)
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Regla 3.b
b) Para la expresión regular st, constrúyase el siguiente AFN compuesto N(st):
Inicio f i N(s) N(t)
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Regla 3.c
c) Para la expresión s*, constrúyase el AFN compuesto N(s*):
f i N(s)
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Regla 3.d
d) Para la expresión regular entre paréntesis (s), utilícese N(s) como AFN.
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Propiedades
1. N(r) tiene a lo sumo el doble de estados que de símbolos y operadores en r. Esto se debe al hecho de que en cada paso de la construcción se crean a lo sumo dos nuevos estados.
2. N(r) tiene exactamente un estado de inicio y otro de aceptación. El estado de aceptación no tiene transiciones salientes. Esta propiedad se cumple igualmente para todos los autómatas constituyentes.
3. Cada estado de N(r) tiene una transición saliente con un símbolo en S o a lo sumo dos transiciones ε salientes .
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Ejemplo
Ejemplo: utilizando el algoritmo para construir el N(r) de la expresión regular r= (a|b)*abb, tendremos los siguientes pasos.
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Ejemplo (a|b)*abb
Para la primera a se construye N(a)
Inicio
2
a
3
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Ejemplo (a|b)*abb
Para la primera b se construye N(b)
Inicio
4
b
5
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Ejemplo (a|b)*abb
Ahora se puede combinar N(a) y N(b) utilizando la regla de la unión para obtener el AFN para N(a|b)
Inicio
2
a
3
4
b
5
6 1
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Ejemplo (a|b)*abb
El AFN para N((a|b)*) es
Inicio
2 a
3
4 b
5
6 1
7 0
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Ejemplo (a|b)*abb
Para la segunda a se construye N(a)
Inicio
7’
a
8
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Ejemplo (a|b)*abb
Para el autómata N((a|b)*a) se unen los autómatas correspondientes
Inicio 2
a 3
4 b
5
6 1
7 0
a 8
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Ejemplo (a|b)*abb
Para la segunda y tercera b los autómatas respectivos serían:
Inicio
8’
b
9
Inicio
9’
b
10
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Ejemplo (a|b)*abb
Finalmente, fusionando los autómatas, se construye N((a|b)*abb)
Inicio 2
a
3
4
b
5
6 1
7 0
8 10 9
a b b