Del mismo modo, suponiendo que es una aproximacin 2. Obtenemos|| - 2 2 ll2 1Y en ambos casos el destino obtenido es muy grande (en cuenta que ll 1 ll 2 = 1 y ll 2 l2 = 1),Lo que indica que no se aproxima un eigen vector.

Eigen problema Generalizado

Consideremos ahora que se desea estimar la precisin obtenida en la solucin de lo generalizado Eigen problema K= .M Supongamos que hemos calculado como una aproximacin a i i los valores y Luego, en analoga con los clculos efectuados anteriormente, podemosCalcular un vector de error rM, donde

rM = K M (10.103)

Con el fin de relacionar el vector de error en (10.103) al vector de error que corresponde a la eigen problema estndar, usamos M = sst, y luego

r = K, - (10.104)Donde r = s-1 r M, = sT and K = s-1 Ks-r (vase la Seccin 10.2.5). It is the vector s-1 rM que tendramos que utilizar, por lo tanto , para calcular la cota de error dado en ( 1O.1O 1).

Estos Clculos de error obligado requeriran la factorizacin de M en ssT donde se suponeQue es definida positiva. Durante clculos

En los clculos reales frecuentemente usamos el mtodo de interaccin inversa (vanse las secciones 11.2 y 11.6) , y luego un lmite de error basado en las siguientes evaluaciones se pueden obtener de manera eficiente ( ver H. Matthies [A] y tambin el ejercicio 10.11). Dejar

Entonces tenemos

1

(10.105)

(10.106)

Y

(10.107)

Donde p () es el cociente de Rayleigh

Veremos qu (10.105) es el paso tpico en una iteracin inversa, Lanczos iteracin, y la iteracin sub espacio, y p ( ) es , en la prctica tambin casi siempre calculan de buena calidad aproximacin del cociente de Rayleigh a un valor propio . Ntese tambin que el trmino T M/TM consta de dos nmeros que se calculan con facilidad en las iteraciones.

Mientras que los lmites de error anteriores son muy eficaces, es finalmente tambin de inters para considerar la siguiente medida simple error:

(10.108)

Para evitar la factorizacin de M podemos en lugar de considerar el problema M, = - 1 K , si la factorizacin de K ya est disponible, y luego establecer lmites sobre el - 1Dado que, fsicamente, K representa las fuerzas elsticas de puntos nodales y M representa las fuerzas de inercia de punto nodal cuando el elemento de conjunto finito est vibrando en el modo evaluamos en (10.108) la norma de salida de la balanza de fuerzas punto nodal dividido por la normaDe fuerzas elsticas punto nodal. Esta cantidad debe ser pequea si y Son una exactaSolucin de un eigenpair.

If M = 1, debe tenerse en cuenta que podemos escribir

y por lo tanto

(10.10(10.110)Ejemplo 10.23: Considere la eigen problema K = M , donde

Los valores propios y vectores propios exactos a la precisin de 12 dgitos son

Supongamos que = ( 1 + 2 ) c , donde c es tal que TM = 1 y = 10-1 , 10-3 , y 10-6 Para cada valor de evaluar X como la Ray1eigh cociente de ( i) y calcu1ar de los lmites de error sobre la base de ( 10.104 ) , ( 10.106 ) , y la medida de error e dada en ( 10.108 ) .La siguiente resume la tab1a de resu1tados obtenidos. Las ecuaciones utilizadas para evaluar las cantidades se dan en (10.103) a (10.108). Los resultados en el tab1e muestran que para cada valor de de los lmites de error son satisfactoriamente y que E es tambin para una pequea solucin precisa.

10-110-310-6 0.597690792656 0.6403746490730.640775610204

0.1566981944810.1055943786950.105070861597TK4.1546338902753.8634149289323.863385512905

4.1546338902753.8634149289323.863385512905

-1.207470493734-0.008218153965-0.000008177422rM4.6056305811240.0498388032260.000049870085

r1.6344194662420.0211067436170.0000211523641.4116792956810.0150425453270.000015049775

|1 |0.2912483773990.000029416056 0.000000000029

Destinado2.1596678970360.0259185801320.000025959936 (10.101/10.104)

Bound2.9124837739830.0294160567440.000029433139(10.106)

Measure0.4471132358130.0074582086600.000007491764(10.108)

886Preliminares a las Soluciones de Eigen problemas Chap. 10

10.4.1 Ejercicios

10.11. La siguiente cota de error es discutido por J. Stoer y R. Bulirsch [ A]. Sea A una matriz simtrica y A ; ser un valor propio de A; entonces

Para cualquier vector

Demostrar que (10.105) a (10.107) se siguen de esta frmula.

10.11. Considere el eigen problema en el Ejercicio 10.1. Dejar

Calcular usando (10.105) y p Estos valores, p ()Y , son ahora las mejores aproximaciones a un valor propio y vector propio.

Establecer los lmites de error (10.101) [con (10.103) ] y ( 10.106 ) . Tambin evaluar el errorMedida (10.108).

CAPTULOTENPreliminares ala SolucindeEigenproblems1. INTRODUCCINEnvarioseccionesdelaanteriorcaptulosnosotrosencontradoeigenproblemsylapliegodesusoluciones.Nosotroshizonoenquetiempodiscutircmoaobtenerlanecesarioues eigenvalyvectores propios.Ellaeslapropsitodeesteylasiguientecaptuloadescribirlasolucin realprocedimientosusadoaresolverlaeigenproblemsdeinters.BEFARepresentacinlos algoritmos,nosotrosdiscutirenestecaptulosorneimportantebsicoConsideracionesparalasolucin deeigenproblems.En primer lugar,dejarnosotrosbrieftyresumirlaeigenproblemsquenosotrosquereraresolver.Lams simpleproblemaencontradoeslaestndareigenproblema,K =A (10.1)dondeKeslarigidezmatrizdeunsolode elementos finitosodeunaelementode encaje.RecordamosqueKtieneordenn,yparaunaelementomontajelaun medio de ancho de bandamK(Es decir,latotalancho de bandaes2mK+1),yqueKespositivosemidefinidoopositivodefinida.Ya Estsonnvalores propiosycorrespondientevectores propiossatisfactorio(10.1).LaITHeigenpairse denotacomo(A,CFA J,dondelavalores propiossonordenadoconformeasumagnitudes:(10.2)LasolucinparapeigenpairslataserescritoKc,=c, A(10.3)dondefPesunanXpmatrizconsus columnasigualalapvectores propiosyLaes unapXpdiagonallista matrizlacorrespondientevalores propios.Comounaejemplo,(10.3)mayorepresentar elsolucinalams bajopvalores propiosycorrespondientevectores propios deK,enquecasofP=[Comitde Libertad Sindical 1, ,CFA p]ANDA=diag (A;),yo=1,...,P.NosotrosretiradaquesiKespositivodefinido,838

Sec.10.1lntroduccin839A;>O,yo=1,...,n,ysiKespositivosemidefinido,A;>O,yo=1,...,n,dondeel nmerodecerovalores propiosesigualalanmerodergidocuerpomodosenlasistema.La solucin dede losvalor propioproblemaen(10.1)es decir,paraejemplo,buscadoenlaevaluacindeunaelementorigidezmatrizoenlaclculodelacondicinnmerode unaestructurarigidezmatriz.NosotrosdiscutidoenSeccin4.3.2quelarepresentacindeel elementorigidezmatrizensucannicoforma(Es decir,enlavector propiobase)esusadopara evaluarlaeficaciadelaelemento.Enestecasotodosvalores propiosyvectoresdeKdebe sercalculado.Enlaotromano,aevaluarlacondicinnmerodeunrigidezmatriz, slolams pequeoyms grandevalores propiossonnecesario(VerSeccin8.2.6).Antesprocederalageneralizadaeigenproblems,nosotrosdeberamencionarqueotra normaeigenproblemsmayotambinnecesitaraserresuelto.Paraejemplo,nosotrosmayoexigirlos valores propiosdelamasamatrizM,enquecasoMreemplazaKen(10.1).Del mismo modo,nosotrospuede quereraresolverparalavalores propiosdeunconductividadocalorcapacidadmatrizencaloranlisis ftow(VerSeccin70.2).Lamuyfrecuentementeconsideradoeigenproblemaeslaunoaserresueltoen la vibracinmodo de superposicinanlisis(VerSeccin9.3).Enestecasonosotrosconsiderarlageneralizadaproblema eigen,K EllaescredoqueladoseigenpairsdelaproblemaK w2rMW2=[5-2febJ[O!][=_1wfMw2=wfMw1=OPor lo tanto,larelacionesen(10.5)y(10.10)sonsatisfechoynosotrostener

Ejemplo10.2:ConsiderelaeigenproblemaK 11--V'2 V'2

yencalortransferenciaanlisis,usolanotacinen(.10 7),nosotrostener

Unaimportantepropiedaddelavalores propiosdelaproblemaK p (A)=det (K-AM)(10,16)

Nosotroslatashowqueestepropiedadderivadesdelabsicorelacinen(10.8).Reescribiendo(10.8) enlaforma(K-A; M) formadoaunestndareigenproblemaparaquelaSturmsecuenciapropiedaddelapersonajeisticpolinomiossostiene.ReferentelapruebaaSeccin10.2.5,Ejemplo10,11,dejarResumamoslaimportanteresultado.LaeigenproblemadelarthasociadorestriccinproblemacorrespondienteaK K (r) [o-1JJ-} = o- 11(B)Nosotrosnotaqued33=0.0.Aeva1uar_J7Il7f.] ['3-nDesdetodoselementos enDsonmayordecero,nosotrostenerA1>l.2. Nosotrosahoraintentar.t=8,dondeyDesdetodostresdiagonalelementossonmenordecero,ellasiguienteque, \ 3yusop=k / ra ,lacondicinparaunmnimodep (c,)esqL(K1-pmij)x1=oparayo=1,...,q(10,65)j =!Enrealanlisisnosotrosescribirlaqecuacionesen(10.65)enmatrizforma,asobtencinla eigenproblemaKx=PMX(10.66)dondeKyMsonqXqmatricescontpicoelementosdefinidaen(10.62)y(10,63), respectivamente,yxesunvectordelaCoordenadas Ritzbuscado:(10.67)Lasolucina(10.66)rendimientosqvalores propiosp,...,pq,que sonaproximacionesaA ,,...,Q ,yqvectores propios,(10.68)

Lavectores propiosX;sonuSEDaevaluarlavectores,...,q,quesonaproximaciones alavectores propios ...,qa Uso(10.68)y(10,60),nosotrostenerqcf>;=Lx;tllj;j = lyo=1,...,q(10,69)Unaimportantecaractersticadelavalor propioaproximacionescalculadoenlaanlisises queellossonsuperiorencuadernadoaproximacionesalavalores propiosdeinters;es decir,(10.70)significadoquedesdeKyMsonasumidoaserpositivodefinido,KyMsontambindefinida positivamatrices.Lapruebadeladesigualdaden(10.70)espectculoslarealmecanismoes decirusadoparaobtenerlavalor propioaproximacionesp ;.Acalcularpnosotrosbsquedaparalarninimumdep ()quelataseralcanzadoporlinealmentecombinandotodosdisponibleRitzbasevectores.LadesigualdadA1)(10.71)dondelarninimumesahoratomadoencimatodosposiblevectoresenVnquesatisfacerlaorthog onalitycondicin(VerSeccin2.6)(10.72)En vista delaaproximadovectores propios;obtenidoenlaRayleigh-Ritzanlisis,observarque(10.73)donde5; jeslaKroneckerdelta,yque,Por lo tanto,enlaarribaRayleigh-RitzanlisisobtuvimospzporevaluacinP2=minp (cf>)(10.74)dondelarninimumfuetomadoencimatodosposiblevectores enVqquesatisfacerlacondicin de ortogonalidad(10.75)AshowqueArizona TMcf> =0(10.76)(10.77)Laproblemadefinidaen (10.76)y(10.77)eslamismocomolaproblemaen(10.71)y (10,72),exceptoqueenlaltimocasolamnimoestomadoencimatodos.mientrasenel problemaen(10.76)y(10.77)consideramostodosvectoresenVq.EntoncesdesdeVqescontenida enVn,nosotrostenerArizona 1=0,70711;[0.70711-0,70708]4> 2=O.70713[-0.70708

Comparandolaresu1tadosconlaexactosolucin,ellaesinteresanteanotaqueencaso1,P1>A1yP2=A2,mientrasencaso2,P1=A1yP2= 3.Enamboscasosnosotroshizonoobtener una buenaaproximacionesalams bajodos valores propios,yellaesclaramentedemostradoquelaresultadosdependercompletamenteenlainicialRitzbasevectoreselegido.Ejemplo10.16:UsolaRay1eigh-RitzanlisisacalcularunaaproximacinaA1ycf> 1delaeigenproblemaconsideradoenEjemplo 10.12.NosotrosnotaqueenestecasoMespositivosernidefinite.Por lo tanto,allevarfueralaAnlisis RitznosotrosnecesitaraelegiruncargavectorenRqueexcitaenmenosunomasa.AsumirquenosotrosusoRT=[O 1oO]Entonceslasolucinde(10.79)rendimientos(VerEjemplo10.13)wr=[1 2 2 2]

Por lo tanto,K =[2];p=61;M =[12]X =[2]yPor lo tantonosotrostener,comoera de esperar,p,>A,.LaRitzanlisisprocedimientopresentadoarribaesunmuygeneralherramienta, y,comopuntiagudoanteriormente,varioanlisismtodosconocidobajodiferentenombreslataen realidadserse muestraparaserRitzanlisis.EnSeccin10.3.3nosotrospresentelacomponentemodosntesiscomounAnlisis Ritz.Enlasiguientenosotrosbrevementequererashowquelatcnicadeestticocondensacin comodescritoenSeccin10.3.1es decir,enDe hecho,tambinunRitzanlisis.Enlaestticocondensacinanlisisnosotrosasumidoquetodosmasalataseragrupadoenqgradosdelibertad.Por lo tanto,comounaaproximacinalaeigenproblemaK=AM.obtuvimoslasiguienteproblema:KaaKae][E!> ]="- [MA O][E!> ]Kea Kee cf> eO Ocf> e(10.42)conqfinitoyn-qinfinitovalores propios,quecorresponderalasin masagradosde libertad(VerSeccin10.2.4).Para calcularlo finitovalores propios,nosotrosusadoestticola condensacinenlasin masagradosdelibertadyllegadoenlaeigenproblema(10.45)dondeK.esdefinidaen(10,46).Sin embargo,estesolucinesen realidadunRitzanlisisdela agrupadomasamodeloconsideradoen(10,42).LaBase Ritzvectoressonlapatrones de desplazamientoasociadoconla.gradosdelibertadcundolaegradosdelibertadson liberados.ResolverlaecuacionesKaa Kae][Fa ]=[1]Kea Kee FeO(10.51)enqueF.=K ;; ',nosotrosencontrarquelaRitzbasevectoresaserusadoen(10,80),(10,81),y (10.84)son(10.85)AverificarqueunRitzanlisisconlabasevectoresen(10.85)rendimientosenhecho(10.45), queevaluar(10.80)y(10,81).Sustituyendopara'\} FyKen(10,80),nosotrosobtenerK =[1(FeKaYJ [:: J [FeJ(10,86)que,uso(10,51),reduceaK =K.Sirnilarly,sustitucinpara'\} FyMen(10,81),nosotrostenerM =[1(FeK.Y] [ ] [FeJ(10.87)(10.88)

oM = Ma(10.89)Por lo tanto,enlaestticocondensacinnosotrosen realidadrealizarunRitzanlisisdelamasa concentradamodelo.ltdeberaserconocidoqueenlaanlisisnosotroscalcularlaqfinitovalores propiosexactamente(Es decir,p;=A;parayo=1,...,q)porquelaRitzbasevectoreslapsolaqdimensionalsubespaciocorrespondientealo finitovalores propios.Enla prctica,laevaluacindelavectores'\} Fen(10.85)esnonecesario(Yharasercostosa),yen lugarlaAnlisis Ritzesmejorrealizadofuerauso\ Fl=[:](10.90)Desdelavectoresen(10.90)lapsolamismosubespaciocomolavectoresen(10,85),lamismos valores propiosyvectores propiossoncalculadoempleandocualquiera de los dosconjuntodebasevectores.Especficamente,uso(10,90),nosotrosobtenerenlaRitzanlisislareducidoeigenproblema(10.91)Para mostrarqueesteeigenproblemaesen efectoequivalentealaproblemaen(10.45),nosotrosPremul tiplyambosladosen(10,91)porK.yusolatransformacinx=Kai,dandoKai=Amai, es decir,laproblemaen(10.45).Ejemplo10.17:UsolaRitzana1ysisprocedimientoarealizarestticocondensacin dela mass1essgradosdelibertadenlaproblemaKcf>=ACCM>consideradoenEjemplo10.12.Nosotrosprimeronecesitaraevaluar laRitzbasevectoresdadoen (10,90).EstefuehechoenEjemplo10.13,dondenosotrosfundarque

LaRitzreduccindadoen(10.91)asrendimientoslaeigenprob1em2 2] -, \ [12 16]2 4X-16 24XFinalmente,nosotrosdeberanotaquelausodeElRitzbasevectoresen(10.85)[(Oen(10.90)] estambinconocidocomolaGuyanreduccin(VerR.J.Guyan[A]).EnlaGuyanesquemalaVectores Ritzsonusadoafuncionarenunagrupadomasamatrizconceroelementosenladiagonalcomo en(10.88)oenfulllumped general oconsistentemasamatrices.Enestereduccinlaunosgradosdelibertadsonfrecuentementereferidoacomodinmicagradosdelibertad.3. ComponenteModoSntesisComoparalaestticocondensacinprocedimiento,lacomponentemodosntesises decir,enDe hecho,un anlisis Ritz,ylamtodofuerzatenerestadopresentadoenlaanteriorseccincomounaplicacin especfica.Sin embargo,comofuerepetidamentepuntiagudofuera,lamsimportanteaspectoenunAnlisis RitzeslaseleccindeapropiadoRitzbasevectoresporquelaresultadoslataserslotan buenocomolaRitzbasevectorespermitirellosaser.Laespecficoesquemausadoenlamodo de componentesntesisesdeparticularinters,queeslaraznnosotrosquereradedicarunseccin separadaaladiscusindelamtodo.

Lacomponentemodosntesistieneestadodesarrolladoaungrandegradocomounconsecuencia naturaldelaanlisisprocedimientoseguidoenprcticacundograndeycomplejoturas estrucsonanalizada.Lageneralpractica!procedimientoesquediferentegruposrealizarlos anlisisdediferentecomponentesdelaestructurabajoconsideracin.Paraejemplo,enuna plantaanlisis,unogrupomayoanalizarunprincipalpipayotrogrupountuberasistema conectadoaella.Enunprimeropreliminaranlisis,ambosgrupostrabajopor separadoymodelolos efectosdeel otrocomponentesenlacomponente especficoqueellosconsiderarenunaaprox imatemanera.Paraejemplo,enlaanlisisdeladostuberasistemasreferidoaanteriormente,el anlisis grupo delaladoramamayoasumircompleto fijezaenel puntodeinterseccinconla principaltubera,yel grupoanlisislaprincipalpipamayointroducirunconcentradoprimaveray la masaapermitirparalaladorama.Laventajadeen vista delacomponentesdela estructurapor separadoesante todounodetiempoprogramacin;es decir,laseparadogruposlatatrabajar enlaanlisisydiseosdelacomponentesenlamismotiempo.ltesante todoparaesta raznquelacomponentemodosntesisesmuyatractivoenlaanlisisydiseode granestructuralsistemas.Asumirquelapreliminaranlisisdelacomponentestenerestadorealizadofueray quelacompletoestructuradeberahoraseranalizada.ltesenesteetapaquelamodo de componentesntesisesunnaturalprocedimientoausar.A saber,conlamodoformacaractersticas decadacomponenteconocido,ellaaparecenaturalausoesteinformacinenestimarlas frecuenciasymodoformasdelacompletoestructura.Laespecficoprocedimientomayovaran (vaseR.R.Craig,Jr.[A]),pero,enesencia,lamodoformasdelacomponentessonusadoenunaRayleigh-Ritzanlisisacalcularaproximadomodoformasyfrecuenciasdela completaestructura.Considerarparailustracinquecadacomponenteestructurafueobtenidoporfijacina11su lmitegradosdelibertadydenotarlarigidezmatricesdelacomponenteestructuras deK1,Kn,...,KM(VerEjemplo10,18).AsumirqueslocomponenteestructurasL-1yLconectar,L=2,...,M;entoncesnosotroslataescribirparalarigidezmatrizdelacompletoestructura, KNA K =(10.92)Usounaanlogonotacinpara lamasamatrices,nosotrostambintenerM. Mn M =(10.93)Asumirquelams bajovalores propiosycorrespondientevectores propiosdecadacomponente

estructuratenerestadocalculado;es decir,nosotrostenerparacadacomponenteestructura,K,ELA ,=M, 11A,Kn ,donde2 -1:-12:...-1K =-1 2 -1-1: --T--_: _- 1:-l 11 I_j'M = 1r -----:112Usola subestructuraeigenproblemsindicadoporladiscontinualneasenKyMaestablecerlacarga

matrizdadoen(10.95)parauncomponentemodosntesisanlisis.Entoncescalcularvalor propioy vector propioaproximaciones.Aqunosotrostenerparainfraestructura1,conlaeigensolutionLa1=1,K, =[-1febrero a 1febrero];M1=[1o o]yparainfraestructura11,conlaeigensolutionKn=[-En2a1l];= Mu1o_J0

A, =2-V2,A2=2+V2;AsnosotrostenerparalamatrizRen(10,95),V2 V2o22V2 V2oR =22o o1V2 V2o2 21 1OAhorarealizarlaRitzanlisiscomodadoen(10.79)a(10,84),nosotrosobtener[22.405.3287.243]7.243 1.5863[222,450,6977,69]M = 50.6911.94 17.5977.69 17.59 27.5yPor lo tanto,p["" 0982.83LBJ0,207-0.7730.00690

0,1810.0984-0.0655

4J) =0,5091.470,443

0,594-0.385-0.166

0,6550,574-0.978

Laexactovalores propiossonLa1=0.09789A2=0,824;A3=2,00;,\ .=3.18,As:3.90ypor lo tantonosotrosnotaquenosotrosobtenidoenp1unbuenoaproximacinaA,perop2yp3hacerno representanaproximacionesavalores propios.10.3.4Ejercicios7. Considerarlaeigenproblema-14-1-1 !> = AO21 f>2o1 1Realizarlaestticocondensacincomoen generalrealizado[Ver(10.46)]yentoncesporlaRayleigh Ritzanlisisprocedimiento[Ver(10,51)].8. ConsiderarlaeigenproblemaenEjercicio10.1.RealizarunRayleigh-Ritzanlisisconladosvectores

acalcularunaaproximacinalams pequeovalor propioycorrespondientevector propio.9. EllaesserreclamadoqueSi,enlasolucindelageneralizadaeigenproblemaK f>=AM f>,laRitzvectoresson"'1= !> T+2 1> 2"'2=3 f> t- 1> 2donde f> ty !> 2sonlavectores propioscorrespondienteaEnyA2,entonceslaAnlisis de Rayleigh-Ritzvoluntaddarlaexactovalores propiosEnyA2ylacorrespondientevectores propios f>1y 1> 2.Mostrarexplcitamentequeesteresultadoesen efectoobtenido.10. Considerarlasiguienteprimaverasistema.a. Evaluarlaexactoms pequeofrecuenciadelasistema.(B)Evaluarunaaproximacindelams pequeofrecuenciaporusolacomponentemodosynthe sistcnicaenSeccin10.3.3.Usoslolavector propiodelams pequeofrecuenciadecada componenteenlasistema.Componente1-------------,/Km * \l1...._------------ ""K =10k =1m = 2 m * =1

4. SOLUCINERRORESUnaimportantepartedeunavalor propioyvectorsolucinesaestimacinlaprecisincon la cuallanecesarioeigensystemtieneestadocalculado.Desdeunaeigensystemsolucines necesariamenteiterativo,lasolucindeberaserfinalizadouna vezconvergenciadentroladescri- pretoleranciasdandolarealprecisintieneestadoobtenido.Cundounodelaaprox imatesolucintcnicasesbozadoenSeccin10.3esutilizado,unaestimacindeElrealprecisin de la solucinobtenidoesdecursotambinimportante.1. ErrorLmitesEnordenaidentificarlaprecisinquetieneestadoobtenidoenunaeigensolution,nosotrosretiradaque laecuacinaserresueltoesK=AM(10.96)DejarnosotrosprimeroasumirqueusocualquierunosolucinprocedimientoobtuvimosunaaproximacinXyToaneigenpair.Entoncessinrespectoacmolavalorestenerestadoobtenido,nosotrospuede evaluarunresidualvectorquedaimportanteinformacinacerca delaprecisinconqueXyaproximadolaeigenpair.Laresultadossondadoen(10.101)a(10.104).NosotrosentoncespresentetambinerrorencuadernadoClculostilensolucionesbasadoeninversoiteracionesyunsimpleerrormedir.EstndarEigenproblemaConsiderarprimeroqueM=l.Enquecasonosotroslataescribirr= K-Xyusolarelacionesen(10.12)y(10,13),nosotrostenerr=CIA (A-XI) CLA r (i)oporqueXesnoigualperoslocercaaunavalor propio,nosotrostenerCi)=CIA (A-Xlt1cl rrPor lo tanto,porque11llz=1,tomanormasnosotrosobtener1: S;II se aproximaf>2.Paralaestimacinnosotrosusolarelacinen(10.102).Enestecasonosotrostener

conmin! Al-1 = 1,3Por lo tanto,desdeX=3,1,nosotrosteners=0.9y11(J)-A2A !> 2ll2: 50.3744Evaluacin11 !>- !> 2ll2exactamente,nosotrostener11a > - 1> 2112=[(O.7-y +(0.1414-0)2+(-0.7+Ao=0.1418Ejemplo10.22:ConsiderarlaeigenproblemaKa f>=AA f>,dondeK =[JLavalores propiosyvectores propiosdelaproblemason1 1A2=101, 1> 2=v-'2[-1JAsumirquenosotrostenercalculadovalor propioyvector propioaproximacionesA-=100,!->=[1] 0Evaluarryasestablecerlarelacionesdadoen(10.101)y(10.102).En primer lugar,nosotroscalcularrcomodadoen(10,97),

Por lo tanto,llrll2=1y(10.101)rendimientosminiA-XI: 511(A)Por lo tanto,nosotroslataconcluirqueunavalor propiotieneestadoaproximadaconacerca de1por cientoo menoserror.DesdesabemosEnyA2,nosotroslatacompararXconEnoA2yencontrarque(A)haceen efectobold.En vista deahoralavector propioaproximacin f>,nosotrosnotaque f>hacenoaproximar cualquiera f> to !> 2 Esteestambinreflejadaporevaluacinlarelacin(10.102).Suponiendoque f>esunaaproximacina !> T.quedas=1,nosotrostener11(J)-un1 !> tlb: 51

Del mismo modo,asumiendoes decirunaaproximacina2.nosotrosobtener11-a22ll2S:1yenamboscasoslaencuadernadoobtenidoesmuygrande(Notaquell1ll2=1yll2 libras=1),indicandoque hacenoaproximadounavector propio.GeneralizadEigenproblemaConsiderarahoraquenosotrosdesearaestimacinlaprecisinobtenidoenlasolucin deuneigenproblema generalizadaK =AM .Asumirquenosotrostenercalculadocomounaaproximacina;y;lavaloresXy.Luego,enanalogaalaClculosrealizadoanteriormente,nosotroslatacalcularunaerrorvectorRM,donderM=K-XM(i) (10.103)Enordenarelacionarlaerrorvectoren(10.103)alaerrorvectorquecorrespondeala normaeigenproblema,nosotrosusoM=Ssr,y luegor=icf,-Xcf,(10.104)donder=s- RM, rMcl>/rM consistededosnmerosquesonfcilmentecalculadoenlaiteraciones.Mientraslaarribaerrorlmitessonmuyefectiva,ellaesfinalmente tambindeintersaconsiderar lasiguientesimpleerrormedir:IIK (i) -XM (i) ll2E=IIK112(10.lOS)1Aevitarla factorizacindeMnosotros podemosen lugarconsiderarlaproblemaMe,=A-1Kc,sila factorizacin deKesyadisponible,yentoncesestablecerlmitesenA-1

Dado que,fsicamente,K representalaelsticonodalpuntofuerzasyAMrepresentala inercianodalpuntofuerzascundolafinitoelementomontajeesvibrandoenlamodo, queevaluaren(10.108)lanormadefuera de equilibrionodalpuntofuerzasdivididoporlanormadenodal elsticapuntofuerzas.EstecantidaddeberaserpequeosiXysonunaexactosolucindeunaeigenpair.SiM=1,elladeberaDebe observarsequenosotroslataescribiryPor lo tanto,XE=/ Lrll2E2 ::mm.1A; -XI(10.109);'---'-A= ----'(10.110)Ejemplo10.23:ConsiderelaeigenproblemaK=AM,dondeK=[10 -Lo] M=[2 1]-10 100'14Laexactovalores propiosyvectores propiosa12 dgitosprecisinsonA1=3.863385512876;0.640776011246]1=[,105070337503-0.401041 986 380]A2=33,279471629982;2=[0.524093989558Asumirque(Yo)=(1+s2) c,dondeeestalque(I) TM=1yS =10-1,10-3,y10-6 ParacadavalordeSevaluarXcomolaRay1eighcocientede(Yo)ycalcu1atelalmites de errorbasadoen(10.104),(10.106),ylaerrormedirEdadoen(10,108).Lasiguientetab1eresumelaresu1tadosobtenido.Laecuacionesusadoaevaluarlas cantidadessondadoen(10.103)a(10.108).Laresultadosenlatab1eshowqueparacadavalorde SlaerrorlmitessonsatisfechoyqueEestambinpequeoparaunaexactosolucin.S10-1 10-310-60.597690792656 ,6403746490730,6407756102040.156698194481 ,105594378695 0,1050708615974LK4,154633890275 3,863414928932 3,863385512905X 4,154633890275 3,863414928932 3,863385512905-1.207470493734 -0,008218153965 -0,000008177422rM4,605630581124,049838803226 ,0000498700851.634419466242 0,0211067436170,0000211523641.411679295681 ,0150425453270,000015049775JA1-XJ0,291248377399 0,000029416056 ,000000000029Bound 2,159667897036 ,025918580132 ,000025959936 (10.101 / 10.104)Bound 2,912483773983 ,029416056744 0,000029433139(10.106)Mida 0,447113235813 0,007458208660 0,000007491764(10.108)

886PreliminaresalaSolucionesdeEigenproblems Cap.102. Ejercicios11. LasiguienteerrorencuadernadoesdiscutidoporJ.StoeryR.Bulirsch[A].DejarLaserunsimtricomatrizyA;serunavalor propiodeA;entoncesminlA; -xrAx1: 5iXTXparacualquiervectorx*O.Showque(10.105)a(10.107)seguirdesdeestefrmula.12. ConsiderarlaeigenproblemaenEjercicio10.1.Dejar

Calcula utilizando(10.105)yp ().Estosvalores,p (Ci))yCi),sonahoralamejorlas approximaaunavalor propioyvector propio.Establecerlaerrorlmites(10.101)[con(10.103)]y(10,106).Tambinevaluarlaerrormedir(10,108).